专题05 与角有关的旋转问题（4大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题05与角有关的旋转问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、旋转中求的角定值问题…】 题型二、旋转中探究角的数量关系问题… 7 题型三、旋转中求角的运动时间问题… 题型四、旋转中探究角的新定义型问题 18 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、旋转中求的角定值问题 1.己知∠A0B=110°，LC0D=40°，OE平分∠AOC,0F平分∠B0D B(C) D 图① (1)如图①，当0B,OC重合时，求∠A0E-∠B0F的值； (2)当∠C0D从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒(0<t<10)；在旋转过程中 ∠AOE-∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由。 2.【问题情境】已知，∠A0B=120°，∠C0D=40°，OE平分∠AOC,0F平分∠BOD. 【特例分析】(1)如图1，当OB、OC重合时，求∠AOE-∠B0F的值： 【深入探究】(2)如图2，当OB、OC不重合，OC在OB的下方时，设∠BOC=x,∠A0E-∠B0F的值 是否会因为x的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由： 【问题解决】(3)在(2)的条件下，当∠C0F=12°时，求∠B0E的度数， B(C) D 图1 图2 3.在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥 秘. 1/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② (1)如图①，三角尺ABP的直角顶点P在直线CD上，点A,B在直线CD的同侧.若LAPC=40°，求 ∠BPD度数、 (2)绕点P旋转三角尺ABP,使点A,B在直线CD的同侧，如图②，若PM平分∠APC,PN平分∠BPD, 他们发现∠MPN的度数为定值，请你求出这个定值 (3)绕点P旋转三角尺ABP,使点A,B在直线CD的异侧，PM平分∠APC,PN平分∠BPD,设 ∠BPD=a,如图③，探究∠MPN的度数， 4.如图，∠A0B=90°，∠D0E=40°角的顶点0互相重合，将∠A0B绕点0旋转. E B D (1)当射线OB,0D重合时，∠A0E=—°， (2)在∠A0B绕点O旋转的过程中，若射线OB,OD与OE中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线， 则∠BOD的度数为： (3)在∠AOB绕点O旋转的过程中，若射线OB始终在∠D0E的内部. ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，∠AOE-∠BOD的值为定值，请你求出这个定值； ②作∠BOD和∠AOE的平分线OM,ON,在旋转过程中∠MON的值是否发生变化？若不变，请求出这个 定值，若变化，请求出变化的范围. 题型二、旋转中探究角的数量关系问题 5.已知∠A0B=∠C0D=90°，OE平分∠B0C. 2/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)如图，若∠A0C=30°，则∠D0E的度数是°；（直接写出答案） (2)将(1)中的条件“LA0C=30°"改为“∠A0C是锐角”，猜想D0E与∠A0C的关系，并说明理由. 6.如图，∠E0C=90°，请你根据图形，求解下列问题： 少 D A E (1)在∠EOA,∠AOC,∠EOB,∠EOD中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用 “<”把它们连接起来： (2)∠BOD是哪两个角的和？ (3)写出∠EOD,∠EOC,∠DOC,∠EOA中某些角之间的两个等量关系； (4)如果∠E0D=∠C0B,则∠BOD的度数为 o 7.已知O为直线AB上一点，射线0D、0C、0E位于直线AB上方，0D在OE的左侧，∠AOC=120°， ∠D0E=80°. O B O B 图1 图2 图3 (1)如图1，当0D平分∠A0C时，求LE0B的度数； (2)点F在射线OB上，若射线0F绕点O逆时针旋转n°(0<n<180且n≠60)，LF0A=3LA0D,当 ∠DOE在∠AOC内部（图2）和∠D0E的两边在射线0C的两侧（图3）时，∠FOE和∠E0C的数量关系是 否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系， 8.如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起， 3/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B B A B 图1 图2 图3 (1)观察分析：若∠DCE=30°，则∠ACB=_ 若∠ACB=145°，则∠DCE= (2)猜想探究：如图2，若将两个同样的三角尺，60°锐角的顶点A重合在一起，请你猜想∠DAB与∠CAE有 何关系，请说明理由； (3)拓展应用：如图3，如果把任意两个锐角∠A0B、∠C0D的顶点O重合在一起，已知LA0B=, ∠COD=B(a、B都是锐角)，请你直接写出LAOD与∠BOC的关系. 题型三、旋转中求角的运动时间问题 9.在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠EDF=90°， ∠DFE=30°，∠DEF=60°)按如图1所示摆放，边BC与EF在同一条直线MN上（点C与点E重合）.如 图2，将三角板ABC从图1的位置开始绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，当边BC与边EF重合时停止运 动，设三角板ABC的运动时间为t秒. M B C(E) C(E) F N 图1 图2 (1)当t为何值时，CA平分∠DCF? (2)当t为何值时，∠ACF=3LBCD? 10.如图，0为线段AB上一点，∠C0D=90°，OE为LC0D的角平分线，定义0C与OA重合时为初始位 置，将∠COD绕着点O从初始位置开始，以10°/秒的速度顺时针旋转，至0D与OA重合时终止. D A C A O ⊙ (备用图1) O (备用图2) (备用图3) 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)当∠COD从初始位置旋转6秒，求此时∠E0B的度数： (2)当∠C0D从初始位置旋转至∠E0B=120°时，求此时t的值； (3)当∠C0D从初始位置旋转至∠E0B=m°时，t= 秒（用含有m的代数式直接表示）. 11.【实践操作】三角尺中的数学 G 图1 图2 (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，∠ACD=LECB=90°. ①若∠ECD=38°，则∠ACB=-;若LACB=150°，则∠ECD=-; ②猜想∠ACB与∠ECD的大小有何数量关系，并说明理由， (2)如图2，若是将两个同样的含60°锐角的直角三角尺叠放在一起，其中60°锐角的顶点A重合在一起， LACD=∠AFG=90°. ①探究LGAC与∠DAF的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将△ADC与△AFG完全重合(AF与AC重合)，保持△ADC不动，将△AFG绕点A以每秒 10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t.在旋转的过程中，t为何值时AG⊥AC. 12.如图①，把一副三角板拼在一起，边0A,0C与直线EF重合，其中∠A0B=45°，∠C0D=60°.此时 易得∠B0D=75°. ① ③ (1)如图②，三角板C0D固定不动，将三角板A0B绕点O以每秒5°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中， 三角板AOB一直在∠EOD的内部，设三角板AOB运动时间为t秒. ①当t=2时，∠B0D=—°； ②当t为何值时，LA0E=2LBOD? (2)如图③，在(1)的条件下，若OM平分∠B0E,ON平分LA0D. ①当∠A0E=20°时，∠M0N=—°： ②请间在三角板AOB的旋转过程中，∠MON的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 发生变化，请求出∠MON的度数， 题型四、旋转中探究角的新定义型问题 13.【问题背景】如图1，已知射线0C在∠A0B的内部，若∠A0B,∠A0C和∠B0C三个角中有一个角 的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“量尺金线”. 图1 图2 【问题感知】 (1)一个角的平分线 这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”) 【问题初探】 (2)如图2，∠MPN=60°.若射线PQ是∠MPN的"量尺金线”，则∠QPN的度数为 【问题推广】 (3)在(2)中，若∠MPN=x°，0°<x≤60°，射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P按逆 时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t(s.当t为何值时，射线PM是 ∠FPN的"量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 14.【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的2倍，则称这条射线是已 知角的“奇妙线” 例如：图1中LA0C=2LB0C,则射线0C是∠A0B的“奇妙线” (1)一个角的角平分线这个角的“奇妙线”：（填“是”或“不是”） 【类比分析】 (2)如图2，若∠MPN=60°，在∠MPN内部画一条射线PQ,使PQ是∠MPN的“奇妙线”，求∠MPQ的 度数； 【变式拓展】 (3)如图3，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始以每秒10°的速度逆时针旋转，同时射线 PM以每秒6°的速度也绕点P逆时针旋转，当射线PQ与射线PM重合时全部停止运动.设旋转时间为t秒， 请直接写出t为何值时，射线PQ是∠MPN的“奇妙线”. 6/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M 图1 图2 图3 15.[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别 与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1， 点P在直线1上，射线PR,PS,PT位于直线1同侧，若PS平分∠RPT,则有LRPT=2LRPS,所以我 们称射线PR是射线PS,PT的“双倍和谐线” R M -N M -N 图1 图2 备用图 [迁移运用] (1)如图1，射线PT三 (选填“是”或“不是”)射线PS,PR的“双倍和谐线”；射线PS一（选填“是”或 “不是”)射线PR,PT的“双倍和谐线”； (2)如图2，点O在直线MN上，0A⊥MN,∠A0B=40°，射线0C从ON出发，绕点O以每秒4的速度逆 时针旋转，运动时间为t秒，当射线0C与射线OA重合时，运动停止. ①当射线OA是射线OB,OC的"双倍和谐线”时，求t的值； ②若在射线0C旋转的同时，∠A0B绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线0D平分 ∠A0B,当射线OC位于射线0D左侧且射线0C是射线OM,0D的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.生活情境水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形， 且被等分成了8份，三角形0AB是水车的支架，∠A0B=60°，水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆 心0旋转.在图②中，若OC平分∠AOB,则∠BOD的度数为() 7/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② A.5 B.15° C.20° D.无法确定 2.题目：“一块含30°角的直角三角板ABC和一块含45°角的直角三角板BDE拼成如图1所示的图案后，三 角板BDE固定不动，将三角板ABC绕顶点B旋转一周，如图2.当∠CBE=∠ABD时（注：∠CBE,∠ABD 均指图中不超过180°的角)，求旋转角α的度数.”对于其答案，甲答：=105°，乙答：α=285°，则 正确的是() D E E B 图1 图2 A.只有甲答的对 B.只有乙答的对 C.甲、乙答案合在一起才完整 D.甲、乙答案合在一起也不完整 3.如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A=30°，∠C=45°.△C0D固定不动，A0B绕着O 点顺时针旋转α(0°<<180)，若A0B绕着O点旋转图2的位置，若∠B0D=60°，则∠AOC的度数为 () D D B B 图1 图2 A.150° B.120 C.60° D.30° 4.定义：若两个角的度数差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”. 如∠=100°，∠B=40°，∠α-∠β=60°，则∠和∠B互为“优角”.如图，∠A0B-120°，射线0C平分 ∠AOB,∠E0F在∠AOB的内部.若LE0F=60°，则图中互为“优角”的共有() 8/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.6对 B.7对 C.8对 D.9对 5.一副三角板ABC、DBE,如图1放置，（∠D=30°、∠BAC=45°），将三角板DBE绕点B逆时针旋转一 定角度，如图2所示，且0°<∠CBE<90°，有下列四个结论： D D M B E C B 图1 图2 ①在图1的情况下，在∠DBC内作∠DBF=∠EBF,则BA平分∠DBF; ②在旋转过程中，若BM平分∠DBA,BN平分LEBC,∠MBN的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为3次： ④∠DBC+∠ABE的角度恒为105°. 其中正确的结论个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.如图，小明利用一副直角三角板绕着直角顶点进行旋转实验，当他旋转至AE⊥BC时，∠BAD的度数为 度 D E 7.如图，已知LA0B=180°，LA0C=110°，现将射线OA绕点O顺时针匀速旋转，射线OB,OC保持不动， 当射线OA与射线OB重合时停止旋转，当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线OA旋转 的角度为一· 9/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 8.定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1：2，这条射线 叫做这个角的三分线.显然，一个角的三分线有两条.如∠A0B=120°，OC,0D是∠A0B的两条三分线， 以点O为中心，将∠C0D按顺时针方向旋转n°(n<90)得到∠COD',当OA恰好是∠COD的三分线时， 的值为」 B 9.一副直角三角板按如图①放置，点B、0、D在同一直线上，∠B=∠D=90°，∠A0B=45°， ∠C0D=60°，AOB和△COD同时以相同的速度绕点O分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当 ∠A0B和∠COD的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了°. YD 图① 图② 10.定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这 条射线称为这个角的n+1分位线.例如：如图1，∠M0P=4LN0P,则OP为∠MON的5分位线： ∠NOQ=4∠MOQ,则00也是∠M0N的5分位线. B 图1 图2 (1)如图2，点A、0、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP,O0分别为∠AOC与∠B0C的3分位 线，(LC0P>LP0A,∠COQ>∠Q0B),LA0C=150°，则∠POQ= (2)如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的 5分位线，且∠M0N=96°，则LA0C= 三、解答题 11.已知O为直线AB上的一点，∠C0E=90°，AB⊥MN. 10/14 专题05 与角有关的旋转问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、旋转中求的角定值问题 1 题型二、旋转中探究角的数量关系问题 7 题型三、旋转中求角的运动时间问题 11 题型四、旋转中探究角的新定义型问题 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、旋转中求的角定值问题 1．已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 2．【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 【答案】（1）；（2）不会变化，定值为；（3） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解； （2）根据角平分线的定义得出：， ，然后代入求值即可； （3）根据，，求出，根据角平分线的定义求出，，根据角度间的关系，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）的值是定值；理由如下： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． ∴的值是定值，定值为； （3）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 3.在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数． (2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值． (3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义． （1）根据即可求解； （2）由可得到，根据角平分线的定义，可得，进而根据角的和差即可求解； （3）由，求得，，根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵， ∴， 平分，平分， ， ， ； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ． 4．如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转． (1)当射线，重合时，______， (2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）直接根据角之间的关系进行求解即可； （2）分当是的角平分线时，当是的角平分线时，当是的角平分线时，三种情况讨论求解即可； （3）①，则；②先由角平分线的定义得到，再由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，， 故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 题型二、旋转中探究角的数量关系问题 5.已知，平分． (1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案） (2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先根据角之间的关系得到，再由角平分线的定义得到，则； （2）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 6．如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【答案】(1)是锐角，是直角，是钝角，是平角， (2) (3)，（答案不唯一） (4)90 【知识点】角的比较、角的分类、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解； （2）根据图形即可求解； （3）根据图形即可求解； （4）由题意可知，结合，即可得． 【详解】（1）解：由图可知，是锐角，是直角，是钝角，是平角， 则； （2）由图可知，； （3）由图可知，，（答案不唯一） （4）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90． 7．已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论； （2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变，． 8．如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起． (1)观察分析∶若则 ，若则 ； (2)猜想探究∶如图，若将两个同样的三角尺，锐角的顶点重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (3)拓展应用∶如图，如果把任意两个锐角的顶点重合在一起，已知，（、都是锐角），请你直接写出与的关系． 【答案】(1) ； ； (2)，理由见解析． (3)，理由见解析． 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据三角板的特点及角度和差求解即可； （2）根据三角板的特点及角度和差求解即可； （3）根据角度和差求解即可； 本题考查了角的运算，熟练掌握角度和差运算是解题的关键． 【详解】（1）由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴ 故答案为：，； （2），理由： 由题意可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），理由： ∵，， ∴， ∵， ∴． 题型三、旋转中求角的运动时间问题 9.在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 10．如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算； （1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解； （2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解； （3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 11．【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 【答案】(1)①；；②猜想，理由见解析 (2)①，理由见解析；②3或21 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系． （）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明； （）①根据（）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：；； ②猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴ ； ②如图所示，当点G在上方时， ∵， ∴， ∴由（3）①的结论可知，， ∴， ∴；    如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，， ∴； 综上所述，t的值为3或21．    12．如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)①65；②10； (2)①；②的度数不发生变化，理由见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键． （1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由结合题意可得从而得出 进而求出时间t； （2）①根据平分平分可得 ，则可以整理为进而得出答案； ②根据平分平分，可得 进而推导出，继而得出答案． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， (秒) ， ∴当t为10秒时，； （2）解：①∵平分平分， ， 故答案为： 的度数不发生变化，理由如下： ∵平分 ∵平分 ． 题型四、旋转中探究角的新定义型问题 13.【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，； 【知识点】用代数式表示式、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． （1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可； （2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可； （3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义， 故答案为：是； （2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图， ∵ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”． （3）∵射线是的“量尺金线”， ∴在的内部， ∴在的外部； 分三种情况： ①如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ②如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”． 14．【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 【答案】（）是；（）或或；（）或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（）根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可； 本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键． 【详解】（）解：根据角平分线的定义可知： 由平分， 得：， 则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”， 故答案为：是； （）当平分时， ∴， 当时， ∴， ， ∴， 则综上可知：的度数为或或； （）由题意得：如图， 则，，则， ∵射线是的“奇妙线”， ∴，即，解得：， ，即，解得：， ，即，解得：， 综上可知：或或． 15．[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． [迁移运用] (1)如图1，射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求t的值； ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数． 【答案】(1)是；不是 (2)①t的值为或；②的度数为或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用“双倍和谐线”的定义结合图形进行判断即可； （2）①由题意得：，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程即可；②由题意得：，，，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； ∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：是；不是． （2）解：①由题意得：，． ∵射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止， ∴此时， ∴，解得：． ∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时， 即：， 则：，解得：， ∴； 如图所示：当时，即：，则：，解得：， ∴； 综上，当射线位于射线左侧且射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 一、单选题 1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，三角形是水车的支架，．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心旋转．在图②中，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义．根据周角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，由； 【详解】解：由题意得，， ∵，平分， ∴， ∴， 故选：B． 2．题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查与三角板有关的计算，分两个三角板重合有得重合部分和不重合两种情况，进行讨论求解，判断即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∴， 当两个三角板不重合时，如图： 则：， 当两个三角板有重合部分时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故甲、乙答案合在一起才完整； 故选C． 3．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，绕着O点顺时针旋转，若绕着O点旋转图2的位置，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了三角板中角的计算，熟练掌握三角板特殊角的度数是解题的关键． 4．定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（   ）    A．6对 B．7对 C．8对 D．9对 【答案】B 【分析】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．根据互为“优角”的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，射线平分， ∴； ∵ ∴互为“优角”； ∵， ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； ∵ ∴互为“优角”； 故共有7对角互为“优角” 故选∶B． 5．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 二、填空题 6．如图，小明利用一副直角三角板绕着直角顶点进行旋转实验，当他旋转至时，的度数为 度． 【答案】45 【分析】本题考查三角板中角度的计算，根据三角板中角度，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 当时，则：， ∴， ∴； 故答案为：45． 7．如图，已知，现将射线绕点顺时针匀速旋转，射线保持不动，当射线与射线重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线旋转的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分类讨论的思想、角的和差关系，根据题意，先进行分类讨论，再根据角的和差关系解决此题． 【详解】解：三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，可能存在以下两种情形： ①当射线旋转到的外部时，． ∴射线旋转的角度为． ②当射线旋转到内部时，． ∴， ∴射线旋转的角度为， 综上：射线旋转的角度为或． 故答案为：或． 8．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意将本题分成两种情况讨论①，②，根据两种情况分别讨论并计算即可． 【详解】解：∵，，是的两条三分线， ∴， ①当，如图， 如原图所示：， 所以； ②当时，如图， 则， 所以，． 故答案为：或． 【点睛】本题考查角的运算，旋转的性质，能够熟练掌握分类讨论思想是解决本题的关键． 9．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 10．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线． （1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ； （2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角的分位线．熟练掌握新定义，角的和差倍分关系，分类讨论，是解题的关键． （1）求出，根据，分别为与的3分位线，（，），得，得； （2）根据、分别为与的5分位线，得,或；，或,当, 时，,不合；当，时，， 得；当，时，，得；当，时，，不合． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，分别为与的3分位线，（，）， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵射线、分别为与的5分位线， ∴，∴, 或，∴； ，∴， 或，∴， 当, 时， ， ∵， ∴不合； 当，时， ， ∴， ∴； 当，时， ， ∴； 当，时， ， 不合． ∴或． 故答案为：或． 三、解答题 11．已知为直线上的一点，，． (1)如图①，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是________；若将射线、射线绕点旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）求出的度数，根据方向角的定义，即可得到射线的方向，根据角的和差关系，角平分线的定义，推出； （2）根据角平分线的定义结合角的和差关系，推出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东； ∵，， ∴，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 12．如图，点O为直线上一点，过点O作射线OC，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方． (1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转，如图2所示，此时 ；在图2中，是否平分？请说明理由； (2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 （直接写出结果） 【答案】(1)，平分，见解析 (2)相等，见解析 (3)4.5秒或40.5秒． 【分析】（1）根据和含角的直角三角尺的特点，算出，得到，即可解题； （2）根据题意算出，，利用，，即可解题； （3）根据直线恰好平分锐角，且，可分为当在直线的下方，且，以及当在直线的上方，且，再根据三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，建立关于t的等式即可求解． 本题考查了旋转的性质、角的运算，角平分线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】（1）解：如图2，由旋转的性质可知，， 故答案为：； 平分．理由如下： ， ， 而， ，则平分． （2）解：． 理由如下：如图3， ， ， ， ， ． （3）解：直线恰好平分锐角，且， 或，即， ①当在直线的下方， 有（秒）， ②当在直线的上方， （秒）． 故答案为：4.5秒或40.5秒． 13．如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，② (2)①，②的度数不发生变化， 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算． （1）①根据如图可得，则，将代入求出； ②根据题意，列出方程，解方程求出的值，即可； （2）①当时，分别求出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出； ②分别用含的代数式表示出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出，得出结论． 【详解】（1）解：∵三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒， 则， ∴， ①当时，， 故答案为：． ②若， 即 解得：， 即当时，． （2）解：①当时，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 则． 故答案为：， ②的度数不发生变化，， 理由如下：根据题意可得， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 则， 即在三角板的旋转过程中，的度数不发生变化，． 14．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，E，O在同一平面内，O为定点，且垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O进行旋转：    (1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且，则________°； (2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，求的度数； (3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，平分，且，开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，，同时绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，运动时间为，当旋转到与重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了角的和差运算，解题的关键是发现图中角之间的和差关系． （）由，，三点共线，可得出，再由，即可求出； （）由，设，则，分别求出，，再代入即可求解； （）先求出旋转到与重合时，，由的运动过程可知，需要分类讨论，在点B，，D三点共线前和点B，，D三点共线后，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， ， ∴； （3）解：∵平分，且， ∴， ∴此时， 则旋转到与重合时，， ∴； 运动停止时，即时，旋转的角度为， 当点D，，B三点共线时，， ∴当时，，， ∴； 当时，，， ∴， 综上，当时，；当时，． 15．【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”． 【深入思考】 (1)如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”） (2)若平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度． 【答案】(1)是 (2) (3)60或105 【分析】本题主要考查了角平分线定义，角的和差， （1）根据题意可知，再结合“分余线”的定义解答； （2）根据角平分线的定义可得，再根据“分余线”的定义可得，求出答案即可； （3）根据题意可得，，可表示出.再分两种情况：当时，当时，然后代入计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴射线是的“分余线”； 故答案为：是； （2）解：∵平分， ∴． ∵是的“分余线”， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，是的“分余线”， 即， 解得； 当时，是的“分余线”， 即， 解得． 所以的度数为或． 故答案为：或． 16．【新定义】已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． (1)如图1，若中是的“量尺金线”，且，则与的数量关系为 ； (2)如图2，若平分，试说明射线是的“量尺金线”； (3)如图3，．若射线是的“量尺金线”，求的度数． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】此题考查了几何图形中角度计算和角平分线的相关计算等知识． （1）根据“量尺金线”定义即可得到答案； （2）由角平分线的定义可以证明； （3）分、、三种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵中是的“量尺金线”，且， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵平分， ∴ ∴射线是的“量尺金线”； （3）当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 综上可知，的度数为． 17．新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【答案】(1)是 (2)2秒，3秒或4秒 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键． （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系． 【详解】（1）解：由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， ∴（秒）； 当时，是的平分线， 则， ∴（秒）； 当时，则， ∴（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）解：， 理由如下： ∵射线分别为、的平分线， ∴，； ∵ ； ∴、、间的数量关系为． 18．【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）或或或 【分析】本题主要考查角平分线的计算及角的动点问题，熟练掌握角平分线的计算及角之间的和差关系是解题的关键． （1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； （2）根据“幸运线”的定义可得：当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时，在与重合之前，则有，，由是的“幸运线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸运线”可分类进行求解． 【详解】（1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； ∴角平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是 （2）由题意得： ∵，射线为的“幸运线”， ∴①当时，则有； ②当时，则有； ③当时，则有； 综上所述：当射线为的“幸运线”时，的度数为 故答案为： （3）∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时，在与重合之前，如图所示： ，， 是的幸运线，则有以下三类情况： ① ② ③ 当时，在与重合之后，如图所示： 是的幸运线，则有以下三类情况： ①（不符合题意，舍去） ② ③（不符合题意，舍去） 综上：或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $