培优02 角（4种题型9重难点突破）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

培优02 角 题型1 角中的设元思想 在求角的度数时，若不能直接通过和、差、倍、分求得，则可把角的度数设为未知数，并根据所求角与其他角之间的关系列方程求解.方程能清楚、简洁地表示出几何图形中的数量关系，是解决几何计算问题的一种重要方法. 重难点一 根据角的比关系设元 1．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）如图，点在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 2．（2024七年级上·河南·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，且，已知，的度数为 ． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，若，，，求的度数为 ． 4．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，射线平分，射线平分，若，．则的度数为 ． 5．（21-22七年级上·湖北黄石·期末）如图所示，AB为一条直线，OC是的平分线． (1)如图1，若为直角，且，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 重难点二 根据角的倍分关系设元 6．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点，若的度数是的倍，则的度数为 ． 8．（24-25七年级上·山西晋中·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是 ． 9．（20-21七年级上·河南许昌·期末）若的度数是的度数的n倍，则规定叫做的n倍角． (1)若，则的3倍角的度数为______； (2)如图1，若射线，是的三等分线，请直接写出图1中的所有2倍角； (3)如图2，若是的5倍角，是的3倍角，且和互为补角，求的度数． 10．（24-25七年级上·福建厦门·期末）以直线上点O为端点作射线，使，将直角三角尺如图所示放置． (1)如图1，若放在射线上，则 ． (2)如图2，将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明：所在射线是的平分线． (3)将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数． 重难点三 根据角的和差关系设元 11．（20-21七年级·全国·假期作业）如图所示，为直线上的一点，且为直角，平分，平分，，求的度数． 12．（江苏省南京市2024-2025学年七年级下学期开学适应性模拟考数学练习卷）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 题型2 角中的分类讨论思想 若题目中没有给出具体的图形，则应考虑多解，要根据已知条件画出所有符合条件的图形，进而分类讨论求解. 重难点一 单条待定射线的分类讨论问题 13．（湖北省襄阳市老河口市2024-2025学年七年级上学期期末学业质量综合监测数学试题）在同一平面内，，，射线平分，则的度数为 ． 14．（浙江省杭州市拱墅区文澜中学2024—2025学年上学期七年级期末数学试卷）已知，在同一平面内，，则的度数为 ． 15．（第四章3多边形和圆的初步认识 第四章基本平面图形?易错小练习-【勤径千里马】2024-2025学年新教材七年级上册数学随堂小练10分钟（北师大版2024））已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一条射线，若从点再引两条射线，使，，则的度数为 ． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 重难点二 多条待定射线的分类讨论问题 18．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图已知，以为顶点作射线，．且射线在射线的上方，若，，则的度数为 ． 19．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在直线上任取一点，过点作射线，使，当时，的度数是 ． 20．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是 ． 21．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，，若，则 ． 22．（23-24七年级上·福建漳州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 题型3 双角平分线模型 重难点一 双角平分线模型直接运用 23．（24-25七年级上·湖南·期末）如图，已知，平分，平分．则的大小是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级上·山东济宁·期末）已知：如图，，，在的内部，平分，平分，则的度数等于（   ） A． B． C． D．大小不确定 26．（20-21七年级上·河南驻马店·期末）如图，平分，平分．若，则的度数为 ． 重难点二 双角平分线模型与分类讨论综合 27．（安徽省亳州市涡阳县2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 28．（2024七年级上·全国·专题练习）已知在的外部，平分，平分，平分， ，，则的度数是 ． 29．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是内的一条射线，，分别平分，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 30．（24-25六年级下·山东东营·期中）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是 内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分 ，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 31．（21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当射线在内部，且时，求的度数； (2)如图2，当射线在内部绕O点旋转时，的大小是否发生变化？若变化，请直接写出的度数；若不变，说明理由； (3)当射线在外部绕O点旋转时，则________． 题型4 角中的动态问题 ①标记转动方向与速度； ②用含有运动时间t的式子表示相关角度； ③结合等量关系列方程求解. 重难点一 单条射线的旋转探究 32．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 33．（24-25七年级上·北京通州·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板 的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将图1的直角三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当射线与射线重合时停止），在旋转过程中始终平分，当满足时，三角板的运动时间为 ． 34．（20-21七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 35．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）点在直线上，在直线的下方作射线、，满足（其中），将射线绕着点逆时针旋转90°得到射线． (1)①如图1，当时，直接写出的度数___________； ②若比大15°，求出的值； (2)如图2，若，射线从开始绕着点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为，射线是由射线绕点逆时针旋转得到，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值． 重难点二 多条射线的旋转探究 36．（第六章平面图形的基本认识章节检测卷（提优）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024））如图，、、在一条直线上，射线从出发，绕点顺时针旋转，同时射线也以相同的速度从出发，绕点逆时针旋转，当、分别到达、上时，运动停止．已知、分别平分和，设，，则与之间的数量关系为 ． 37．（山东省青岛市即墨区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）如图，平分．现有射线分别从同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转，则经过 秒后，射线的夹角为． 38．（辽宁省沈阳市沈河区2023-2024学年七年级上学期期末考试数学试题）两条线段，在数轴上运动，起始状态如图所示．A，D表示的数分别为，10，，，两条线段同时出发相向而行，线段的速度是线段的速度的两倍，两条线段从相遇到刚好完全离开用时2秒．M，N分别是，中点，当两条线段开始运动时，射线开始以的速度顺时针旋转至结束，射线开始以的速度逆时针旋转至结束．若两射线所在直线相交于点E，当时， ．    39．（天津市育贤中学2023-2024学年七年级上学期人教版数学期末复习试题三）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 40．（安徽省合肥市包河区中国科学技术大学附属中学2020-2021学年七年级上学期月考数学试卷）探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 41．（2024—2025学年人教版七年级上册数学期末考试模拟试卷）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 42．（山东省青岛大学附中学2024-2025学年七年级上学期期末数学模拟试卷）综合与实践 说明：本题中的角都是大于而小于的角． [问题初探] （1）如图1，射线在内部，，，求的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，作平分，平分．设的旋转的时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，直接写出的度数． 43．（陕西省西安市曲江第二中学2024-2025学年七年级上学期第二次月考数学试卷（12月））如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 44．（湖北省武汉二中广雅中学2024-2025学年七年级上学期元月月考数学试题）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 角 题型1 角中的设元思想 在求角的度数时，若不能直接通过和、差、倍、分求得，则可把角的度数设为未知数，并根据所求角与其他角之间的关系列方程求解.方程能清楚、简洁地表示出几何图形中的数量关系，是解决几何计算问题的一种重要方法. 重难点一 根据角的比关系设元 1．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）如图，点在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/126度 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平角的含义，角的和差关系，一元一次方程的几何应用． 由，所以设 则 利用角平分线的定义与平角的含义列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 所以设 则 平分，平分， ， 故答案为： 2．（2024七年级上·河南·专题练习）如图，是的平分线，是内部一条射线，且，已知，的度数为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查角平分线的计算及一元一次方程的应用，熟练掌握角平分线的计算是解题的关键； 根据题意设，则，得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 所以． 因为是的平分线， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 故答案为： 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，若，，，求的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，设，则，，根据求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）如图，射线平分，射线平分，若，．则的度数为 ． 【答案】39°/39度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差， 设，可知，再根据角平分线的定义得，然后根据得出方程，求出解，再根据得出答案． 【详解】解：设， ∴． ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得， 则． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（21-22七年级上·湖北黄石·期末）如图所示，AB为一条直线，OC是的平分线． (1)如图1，若为直角，且，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 【答案】(1)60° (2)60° 【分析】（1）根据已知，先求出∠AOC即可求解． （2）设∠DOE=2x，表示出∠BOE、∠AOC、∠COD．即可求解． 【详解】（1）解：∵∠COE是直角， ∴∠COE=90°． ∴∠AOC+∠EOB=90°． ∵OC是∠AOD的平分线，∠AOD=60°． ∴∠AOC=30°． ∴∠EOB=90°-30°=60°． （2）设∠DOE=2x， ∵∠DOE：∠BOD=2：5， ∴∠BOE=3x． 又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE=80°， ∴∠AOC=∠COD=80°-2x． 2×（80°-2x）+5x=180°， 解得x=20°． ∴∠BOE=3x=3×20°=60°． 【点睛】本题考查角的计算，熟练运用直角，角平分线的定义是关键，属于基础题． 重难点二 根据角的倍分关系设元 6．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的运算，要设恰当的未知数，用同一个未知数表示相关的角，根据已知的角列方程进行计算是解此题的关键. 设， 根据已知条件求出，根据角平分线定义得出，由列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵ ∴ 解得 ∴ 故答案为：． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点，若的度数是的倍，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查角的计算，平角的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先求得，再根据的度数是的倍，求出的度数，即可由求解． 【详解】解：，， ， 的度数是的倍， ，解得， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山西晋中·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 9．（20-21七年级上·河南许昌·期末）若的度数是的度数的n倍，则规定叫做的n倍角． (1)若，则的3倍角的度数为______； (2)如图1，若射线，是的三等分线，请直接写出图1中的所有2倍角； (3)如图2，若是的5倍角，是的3倍角，且和互为补角，求的度数． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，本题是阅读型题目，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键 （1）根据题意列式计算即可； （2）根据已知条件得出的所有2倍角； （3）设，则，，根据补角的定义列方程解答即可 【详解】（1）解：或 故答案为：（或） （2）解：射线，是的三等分线， ． ，． 的2倍角有，． （3）解：设． 是的5倍角，是的3倍角， ，． ． 和互为补角， ． ． ． ．解得． ． 10．（24-25七年级上·福建厦门·期末）以直线上点O为端点作射线，使，将直角三角尺如图所示放置． (1)如图1，若放在射线上，则 ． (2)如图2，将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明：所在射线是的平分线． (3)将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）把数值代入，进行计算，求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）根据平角等于进行列式计算，求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴所在射线是的平分线； （3）解：设， 则， ∵，， ∴或 ∴或， 即或 ∴或． 重难点三 根据角的和差关系设元 11．（20-21七年级·全国·假期作业）如图所示，为直线上的一点，且为直角，平分，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】设，根据题意运用余角性质可得出，根据角平分线性质可得出，将代入，计算得出的度数． 【详解】解：设，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了与余角、补角有关的运算，综合运用角平分线性质和解一元一次方程的方法是解题关键． 12．（江苏省南京市2024-2025学年七年级下学期开学适应性模拟考数学练习卷）（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 题型2 角中的分类讨论思想 若题目中没有给出具体的图形，则应考虑多解，要根据已知条件画出所有符合条件的图形，进而分类讨论求解. 重难点一 单条待定射线的分类讨论问题 13．（湖北省襄阳市老河口市2024-2025学年七年级上学期期末学业质量综合监测数学试题）在同一平面内，，，射线平分，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角的有关计算的应用，分两种情况：①如图，当射线在内部时；②如图，当射线在外部时，分两种情况分别求解即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①如图，当射线在内部时， ∵，， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； ②如图，当射线在外部时， ∵，， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 14．（浙江省杭州市拱墅区文澜中学2024—2025学年上学期七年级期末数学试卷）已知，在同一平面内，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算，利用分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分两种情况画出图形，由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示， ∵，， ∴， ∴； ②如图所示， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 15．（第四章3多边形和圆的初步认识 第四章基本平面图形?易错小练习-【勤径千里马】2024-2025学年新教材七年级上册数学随堂小练10分钟（北师大版2024））已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，关键是分两种情况讨论进行求值．先根据题意求出，，，再分两种情况进行分析，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 当射线在的内部时，如图： 此时， 当射线在的外部时，如图： 此时． 故答案为：或． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一条射线，若从点再引两条射线，使，，则的度数为 ． 【答案】108°或12° 【分析】此题考查了角的计算，解题关键：要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 若从点再引两条射线和，首先弄清有两种情况，即或，这样就可根据已知条件求出的度数． 【详解】解：有两种情况： 第一种情况：如图①所示：； 第二种情况：如图②所示：或； 故答案为：或． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 【答案】或 【分析】本题需要分射线在内部和外部两种情况，根据角的和差关系来计算的度数． 【详解】解：当射线在内部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 当射线在外部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了角的和差计算，掌握分情况讨论射线的位置，根据角的和差关系计算角的度数是解题的关键． 重难点二 多条待定射线的分类讨论问题 18．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图已知，以为顶点作射线，．且射线在射线的上方，若，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角的和差运算，正确分类并画出图形是解题的关键． 分两种情况：、在直线异侧，、在直线同侧，先分别画出图形，再根据角的和差计算即可． 【详解】∵，， ∴， ①、在直线异侧，如图所示： ∵， ∴； ②、在直线同侧，如图所示： ∵， ∴； 故答案为：或． 19．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）在直线上任取一点，过点作射线，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角、补角性质，分射线在直线的同侧、异侧两种情况讨论，是解题的关键． 先根据题意可得分在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数． 【详解】解：当在直线同侧时， ∵，， ∴； 当在直线异侧时， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 20．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可． 【详解】解：当在同侧时，如图， ，， ； 当在异侧时，如图， ，， ； 故答案为：或． 21．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差，当在的左边时，设，，由角的和差得，即可求解；当在的右边时，同理可求；能根据角的边的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，当在的左边时， 设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当在的右边时， 同理可得：， ， ， ； 故答案为：或． 22．（23-24七年级上·福建漳州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算． （1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可； （2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可； （3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ； （2）解： 平分，平分， ，， ， ． ， ． （3）解：①如图，当在右侧时， 平分，， ． 为的平分线， ， ． ②如图，当在左侧时， 平分， ， ， 为的平分线， ， 的度数为或． 题型3 双角平分线模型 重难点一 双角平分线模型直接运用 23．（24-25七年级上·湖南·期末）如图，已知，平分，平分．则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，掌握角的和差计算，角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义求出，，再根据求出结果即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 故选：B． 24．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）如图，射线，分别在，的内部，且射线，分别平分，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了和差计算，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由角平分线的定义得到，，然后求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵射线，分别平分， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 25．（24-25七年级上·山东济宁·期末）已知：如图，，，在的内部，平分，平分，则的度数等于（   ） A． B． C． D．大小不确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线，得到，从而得到结果． 【详解】解：， ， ∵平分， ， ∵平分， ， ， 故选： C． 26．（20-21七年级上·河南驻马店·期末）如图，平分，平分．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线有关的角的计算．根据角平分线的定义和角的和差可得，再把代入计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 重难点二 双角平分线模型与分类讨论综合 27．（安徽省亳州市涡阳县2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差计算，角平分线定义以及分类讨论的思想，解题关键是运用分类讨论的思想． 分两种情况讨论：在的外部时，在的内部时，分别根据角的和差以及角平分线定义进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论：在的外部时， ，ON分别平分，， ，， ； 在的内部时，此时B与N重合， ，ON分别平分、， ，， ； 因此的度数为或． 故选D． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）已知在的外部，平分，平分，平分， ，，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算及角平分线的定义，由平分，，可得的值，再由平分，可得出，由平分，即可得出的值． 【详解】解：如图1， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴平分， ∴． 如图2， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴平分， ∴． 故的度数是或． 故答案为：或 29．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是内的一条射线，，分别平分，． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）先求出，再由角平分线得到，据此即可求解； （2）先得到，根据角平分线的定义求出，再由求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 因为平分平分， 所以． （2）解：因为分别平分，，，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 30．（24-25六年级下·山东东营·期中）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是 内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分 ，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①8；②8；（2）60度；（3） 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． （1）①利用线段中点得出求解即可； ②利用线段中点得出求解即可； （2）利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； （3）先利用角平分线得出，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； ②∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ； （3）射线平分，射线平分， ， ， ． 31．（21-22七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，． (1)如图1，当射线在内部，且时，求的度数； (2)如图2，当射线在内部绕O点旋转时，的大小是否发生变化？若变化，请直接写出的度数；若不变，说明理由； (3)当射线在外部绕O点旋转时，则________． 【答案】(1)； (2)不变，； (3)或； 【分析】（1）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可； （2）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可； （3）利用角平分线的性质和角之间的关系计算即可； 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． （2）解：不变，． 理由如下： ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ， ， ， ． （3）解：如下图 ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ， ， ， ， 如下图： ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的性质和角之间的关系，关键要结合图形进行分析，清楚角之间的关系． 题型4 角中的动态问题 ①标记转动方向与速度； ②用含有运动时间t的式子表示相关角度； ③结合等量关系列方程求解. 重难点一 单条射线的旋转探究 32．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线上有一点，过点在直线的上方作射线，，现将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，射线始终平分，射线始终是的三等分线，且．设旋转时间为秒，若，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线，角的和差，理解角平分线的定义是正确解答的关键．分三种情况进行解答，即当，和时，根据角平分线的定义以及角之间的和差关系，表示，代入到中进行计算即可求解． 【详解】解：设旋转时间为秒， 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， ∵射线始终是的三等分线，且， ∴， ∵射线始终平分， ∴， ∴， 解得：（舍去）． 综上可得，的值为或． 故答案为：或． 33．（24-25七年级上·北京通州·期末）一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板 的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将图1的直角三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当射线与射线重合时停止），在旋转过程中始终平分，当满足时，三角板的运动时间为 ． 【答案】32.5秒 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，直角三角板中角度的计算，解题的关键是根据旋转的特点，利用角平分线的定义，列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：32.5秒． 34．（20-21七年级上·四川成都·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果原角是这两条射线所成的角的倍，那么原角叫做这两条射线所成的角的倍角．如图1，若，则是的两倍角． (1)如图1：已知，，是的两倍角，则___________； (2)如图2：已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的三倍角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4）．问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成三倍角？若能，请求出旋转的时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，7.5秒或30秒或150秒或172.5秒 【分析】本题考查了角度计算、一元一次方程的应用，理解倍角的定义，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据两倍角的定义得到，再利用角的和差即可求解； （2）由题意得，利用角的和差得到，，再根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答； （3）设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度，根据题意分4种情况讨论：①射线在内部，射线在外部，且是的三倍角；②射线、都在外部，且是的三倍角；③射线、都在外部，且是的三倍角；④射线在内部，射线在外部，且是的三倍角，画出示意图，根据三倍角的定义列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的两倍角， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴，， ∵是的三倍角， ∴， ∴， 解得， ∴当旋转的角度时，是的三倍角； （3）解：设旋转的时间为秒，则三角板旋转的角度为度， ①当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ②当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ③当射线、都在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ④当射线在内部，射线在外部，且是的三倍角时， 则， ∴， 解得； ∴综上所述，射线，，，能构成三倍角，旋转的时间为7.5秒或30秒或150秒或172.5秒． 35．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）点在直线上，在直线的下方作射线、，满足（其中），将射线绕着点逆时针旋转90°得到射线． (1)①如图1，当时，直接写出的度数___________； ②若比大15°，求出的值； (2)如图2，若，射线从开始绕着点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为，射线是由射线绕点逆时针旋转得到，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值． 【答案】(1)①；②或或 (2)当时，是定值，， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，旋转性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）①根据题意并结合图形可得，代入数据计算即可； ②分当，当时，当时，当时，四种情况画出图形讨论求解即可； （2）分当时， 当时，两种情况画出图形分别求出即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为， 故答案为：； ②当，如图1， ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图： ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，此时，不符合题意； 当时，如图： ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或； （2）解：∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线是由射线绕点逆时针旋转得到， ∴，，， 当与重合时，， 则，解得； 当与重合时，， 则，解得； ①当时，如图， 则，， ∴， ∴，不是定值； 当时，如图： 则，， ∴， ∴，是定值， 综上所述，当时，，是定值． 重难点二 多条射线的旋转探究 36．（第六章平面图形的基本认识章节检测卷（提优）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（苏科版2024））如图，、、在一条直线上，射线从出发，绕点顺时针旋转，同时射线也以相同的速度从出发，绕点逆时针旋转，当、分别到达、上时，运动停止．已知、分别平分和，设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查角度和差关系和角平分线的性质，分两种情况：当、未相遇时，有，结合角平分线的性质得和，则有，即可求得；当、相遇后，结合角平分线的性质得和，由，得，结合即可求得答案． 【详解】解：①当、未相遇时，， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， 则； ②当、相遇后， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 37．（山东省青岛市即墨区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）如图，平分．现有射线分别从同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转，则经过 秒后，射线的夹角为． 【答案】8或20 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用．分，相遇之前与相遇之后分别讨论，求出结果即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， 设经过秒后，射线、的夹角为， ∴或， 解得：或． ∵射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线都停止旋转， ∴， ∴， ∴经过秒或秒后，射线、的夹角为． 故答案为：8或20． 38．（辽宁省沈阳市沈河区2023-2024学年七年级上学期期末考试数学试题）两条线段，在数轴上运动，起始状态如图所示．A，D表示的数分别为，10，，，两条线段同时出发相向而行，线段的速度是线段的速度的两倍，两条线段从相遇到刚好完全离开用时2秒．M，N分别是，中点，当两条线段开始运动时，射线开始以的速度顺时针旋转至结束，射线开始以的速度逆时针旋转至结束．若两射线所在直线相交于点E，当时， ．    【答案】1或21 【分析】本题考查了数轴的动点问题，一元一次方程的应用．设线段的速度是个单位/秒，线段的速度是个单位/秒，然后列方程计算求得两线段的运动速度；由题意可得，解方程求得的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵A，D表示的数分别为，10，，， ∴B表示的数为：，C表示的数为：； ∵M，N分别是，中点， ∴M，N表示的数分别是，8， ∴， 设线段的速度是个单位/秒，线段的速度是个单位/秒， 则有， 解得：， ∴线段的速度是1个单位/秒，线段的速度是2个单位/秒， 设运动时间为t秒时，， ∴或， 解得或， ∴或； 故答案为：1或21． 39．（天津市育贤中学2023-2024学年七年级上学期人教版数学期末复习试题三）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)20或40或80 (3)存在，t的值为36或60 【分析】本题考查角的和差关系，一元一次方程的应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）的度数等于旋转速度乘以旋转时间； （2）当时，分三种情况：射线在左侧；射线在右侧；射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解； （3）分两种情况：射线在上方，射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 度， 故答案为：； （2）解：当时，分三种情况： 当射线在左侧时，如图： ，， ， 即， 解得：； 当射线在右侧时，如图： ， 即， 解得：； 当射线在下方时，如图： ， 解得：； 综上可知，的值为20或40或80． （3）解：由题意得平分， 所以， 当射线在上方时，， 解得； 当射线在下方时， 解得， 综上可知，存在，t的值为36或60． 40．（安徽省合肥市包河区中国科学技术大学附属中学2020-2021学年七年级上学期月考数学试卷）探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ；（用含α的代数式表示出所有可能的结果） 深入研究： 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”； ②若射线同时绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）①当t为9或12或18时，射线是的“巧分线”；②当t为或4或6时，射线是的“巧分线” 【分析】本题考查了角之间的数量关系，巧分线定义，解题的关键是理解“巧分线”的定义． （1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 （2）解：∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （3）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示： ， 解得； 当时，如图所示： ， 解得； 当时，如图所示： ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示： ， 解得； ②当时，如图所示： ， 解得； ③当时，如图所示： ， 解得． ∴当射线是的“巧分线”时的值为或或． 41．（2024—2025学年人教版七年级上册数学期末考试模拟试卷）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 42．（山东省青岛大学附中学2024-2025学年七年级上学期期末数学模拟试卷）综合与实践 说明：本题中的角都是大于而小于的角． [问题初探] （1）如图1，射线在内部，，，求的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，作平分，平分．设的旋转的时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或或或；（3）①；②或 【分析】本题主要考查角度的和差运算，一元一次方程的应用，角平分线的性质，在解题过程中根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题的关键． （1）根据，进行求解即可． （2）分四种情况进行讨论：当、同向运动追及前，当、同向运动追及后，当、反向运动相遇前，当、反向运动相遇后，分别求出结果即可； （3）根据不同时间，运动的位置的不同，利用角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵射线在内部，，， ∴， 当和第一次重合时： ∵从开始以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∵从开始以每秒的速度逆时针旋转， ∴，则， 当和重合时，，即，解得， 当到达时，即，此时， 当和第二次重合时： 由题意得，， ∴， ∵， ∴，解得， 当和停止运动时，，即， 以这几个节点展开进行分类讨论： 当时： ∵，， ∴， ∵，，， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得． 综上所述，为或或或． （3）①∵以点每秒旋转的速度逆时针旋转，， ∴当到达时，即，此时， 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所述，． ②当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 综上所述，的度数为或． 43．（陕西省西安市曲江第二中学2024-2025学年七年级上学期第二次月考数学试卷（12月））如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6或14 (3)存在，运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线 【分析】本题考查了角平分线的意义，角的和差，一元一次方程的应用等知识，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）当秒时，，的度数，由即可求解； （2）结合题意用t表示，的度数，分射线与射线重合之前，与射线与射线重合之后，两种情况建立方程求解，即可求得t的值； （3）分三种情况：当时，射线平分；当时，射线平分；当时，射线平分；表示出相关角，利用角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：当秒时，，， ∵， ∴ ； （2）解：当运动t秒，且当射线未到达射线时， 当射线重合时，则； ，； 射线与射线重合之前， 有， ∴， 解得：； 射线与射线重合之后， 有， ∴， 解得：； 综上所述，或； （3）解：存在； 当射线首次相遇时，则有， 解得：； 当射线重合时，则； 当射线与重合后返回，与重合时，则有， 解得：； 此时两射线同时到达终点； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴， 解得：； 综上，当运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线． 44．（湖北省武汉二中广雅中学2024-2025学年七年级上学期元月月考数学试题）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ， 或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解： 与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $