1.5矩形 同步达标测试题 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

2025-2026学年湘教版八年级数学下册《1.5矩形》同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，的平分线交于点，连接，若的面积为14，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（   ） A．24 B．20 C．18 D．12 4．如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 5．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（   ） A．8 B．5 C． D． 7．四个完全一样的矩形如图所示摆放着，相邻两矩形夹角为，若，则的长度为（   ） A．1.5 B． C．2 D． 8．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为________时，四边形ABCD是矩形． 10．如图，在矩形中，对角线、交于点O，点E为边的中点，连接，若，，则的周长为______． 11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若，，则EF的长为________． 12．如图，在长方形中，，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上处，则的长为___________ 13．如图，在矩形中，，M为的中点，连接，E为的中点，连接，，若为直角，则的长为______． 14．如图，P是矩形的对角线上一点，，，于点E，于点F．连接，，则的最小值为_____． 15．如图，矩形中，，，是边的中点，是边上任意一点，连接．把沿着折叠，使点落在处，当为直角三角形时，的长为___________． 16．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 三、解答题（满分72分） 17．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点，． 求证：平行四边形是矩形． 18．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 19．如图，在矩形中，点在上，，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，且，求． 20．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 21．如图，平行四边形的对角线，交于点，为的中点．连接并延长至点，使得．连接，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形为矩形． 22．如图，在中，为的中点，为延长线上一点，连接，，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 23．九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小星将如图所示的矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为，展开后，连接，就可以得到一个四边形． (1)如图①，与的数量关系为_______，与的位置关系为_______． (2)如图②，将图①中的矩形纸片沿过点的直线进行折叠，使得点恰好落在上的点处，展开后，分别连接，，并延长交于点，证明：； (3)如图③，若将图①中的矩形纸片沿中点所在直线进行折叠，使得点恰好与点重合，展开后，折痕所在的直线交的延长线于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 24．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图的形状，连接，，，则 °； 【解决问题】（2）将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接．如图2，当时，求证：平分； 【迁移应用】（3）如图，将矩形绕点顺时针转动，当点落在上时，连接，，交于点，过点作于点． ①求证：； ②若，，直接写出的长． 参考答案 1．A 【分析】根据矩形的性质，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形． ∴矩形一定满足对边平行且相等，四个内角都是直角． ∴，，． 矩形的邻边不一定相等，只有特殊的矩形（正方形）才满足邻边相等，因此选项A不一定成立． 2．B 【分析】根据矩形的性质可得出，则可求出根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，， ∴，， 又的面积为14， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．A 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键． 根据三角形中位线定理求得，然后根据矩形的性质得． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 四边形为矩形， ． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可． 【详解】解：．如图，连接，， 在四边形中， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，故A选项错误； B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误； C．点，，，分别是，，，边上的中点， ，， ， 同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确； D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 6．D 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．由通过折叠得到可得：，，推出，由矩形通过折叠得到矩形可得：，得到为等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由通过折叠得到可得：，， 则， 由矩形通过折叠得到矩形可得：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过C作于F，交于E，过D作于N，交于M，证明，得出，证明四边形是矩形，得出，进而得出，同理，根据三角形的内角和定理和对顶角的性质依次可求出，，，，，然后根据含角的直角三角形的性质得出，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过C作于F，交于E，过D作于N，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 同理可求， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 9．2.5 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 10．12 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理；先由勾股定理求出，再由矩形的性质得出、，再由中位线性质求出，即可求出的周长． 【详解】解：∵在矩形中，，，，为、的中点，点E为边的中点， ∴，，为的中位线， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：12． 11．2 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分． 先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，然后通过证明，即可得到的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵， ． ，， ， ． 在中，， 即， 解得． ∵四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ． 故答案为：． 12．5 【分析】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．由四边形为矩形，得到为直角，由折叠得到，，，利用勾股定理求出的长，由求出的长，在中，设，表示出，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可确定出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 根据勾股定理得：， ， 由折叠可得，，，， ， 设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则， 故答案为：5． 13．4 【分析】本题主要考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形中位线性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，过点作于，并延长，交于点，根据矩形的性质得出，，，得到，，然后求出，进而得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于，并延长，交于点， 四边形是矩形，， ，，，， ， 四边形是矩形， 为的中点， ， ， ，， ， ． 为的中点， ， ， ， ． 故答案为：4． 14． 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 15．1或 【分析】本题考查了勾股定理、矩形与折叠综合问题，分类讨论：当时，当时，利用勾股定理及矩形与折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：是边的中点， ， 当时，如下图： ，， 矩形沿折叠，使点B落在点处， ， 在矩形中，， ， ， ； 当时，如下图： 矩形沿折叠，使点B落在点处， ， ， ∴点E，点，点C三点共线， 在中，， ， ， ， ， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或1． 16．3s或6s或9s 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 17．见解析 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知角相等推导出对角线相等，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明． 【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ 四边形 是平行四边形，且 ， ∴ 平行四边形 是矩形． 18．见解析 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ． 于点E，于点F． ． ， ， ． 19．(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先利用“”证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由得 ，即可得到 结合即可解答． 【详解】（1）证明: ∵四边形是矩形, ∵, ∴, 又∵, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴． （2）解：, ∴, , , ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． （1）证明为的中位线，则，且，又，则，即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，则，根据已知的，可得，则四边形是菱形，可得，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线，交于点， ∴， 又， ∴为的中位线， ∴，且， 又为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 22．(1)证明见解析 (2)四边形为矩形，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质和矩形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）根据可得，，再根据为的中点可得，进而利用证明即可； （2）根据可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质证明，即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）证明：， ，． 为的中点， ， ∴在和中， ， ． （2）解：四边形为矩形．证明如下： ， ． ， 四边形为平行四边形． 四边形是平行四边形， ． ， ． ， ， ， 四边形为矩形． 23．(1)， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，即可得出答案； （2）根据全等三角形的判定与性质，垂直的判定方法，即可得证； （3）先连接，，，与交于点，根据折叠的性质，得出垂直平分，进一步得出，再通过推导角之间的关系，得出为直角三角形，最后利用直角三角形斜边上的中线的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，， ，． 矩形纸片进行折叠，使点落在边上的点处，折痕为， ，，， ， 即与的数量关系为，与的位置关系为． 故答案为：，． （2）证明：由（1）得，，， ． 由折叠得，， ， ． ， ． ， ， ， ． （3）解：，理由如下： 如图，连接，，，与交于点， 由矩形纸片沿进行折叠，使点落在边上的点处， 得，， ． 又矩形纸片沿中点所在直线进行折叠， 垂直平分， ， ， ， ． ， ． ， ，即， 为直角三角形． 点为的中点， . ， ． 24．（1）；（2）见解析；（3）①见解析，② 【分析】（1）利用两个矩形完全相同的条件，得到对应边相等，从而证明三角形全等，结合全等三角形的角相等关系，推导出为直角，再由等腰直角三角形的性质得出的度数； （2）利用等边对等角得到角相等，结合矩形对边平行的性质，通过平行线的内错角相等完成角的等量代换，从而证明角平分线； （3）①先通过矩形性质与平行线性质得到角相等，证明三角形全等，推出对应边相等，再结合矩形的边相等关系，证明另一组三角形全等，从而得到与相等； ②先利用勾股定理求出线段长度，结合全等三角形的对应边相等，得到相关线段的长度，再通过勾股定理计算出的长度，最终得出的长度． 【详解】解：（1）两个完全相同的矩形纸片， ，，， ， ， ， ； （2）证明：， ， 四边形是矩形， ， ， ， 平分； （3）①， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ； ②，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $