培优03 基本平面图形章末15题型归类（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

培优03 基本平面图形章末15题型归类 题型1 理解直线、射线、线段的相关概念 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【答案】D 【分析】本题考查直线、射线、线段的表示方法，由直线、射线和线段的表示方法，即可判断． 【详解】解：A、直线上的点用大写字母表示，不能用小写字母表示，直线用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用两个小写字母表示，故A不符合题意； B、线段用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用一个大写字母表示，故B不符合题意； C、表示射线，应该把表示端点的字母放在前面，应该表示为射线，故C不符合题意； D、表示正确，故D符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级上·山西·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线，射线，线段的有关概念；由直线，射线，线段的有关概念，即可判断． 【详解】解：A、点在射线的反向延长线上，故此选项不符合题意； B、直线没有端点，故此选项不符合题意； C、点在线段上，原说法正确，故此选项符合题意； D、射线和射线的端点不同，不是同一条射线，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．射线a比直线b短 B．已知C、D为线段上的两点，若，则 C．若，则点C为线段的中点 D．射线与射线是同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线和射线的概念，线段的和差计算，线段中点的定义，射线和直线不可度量，由此可判断A；根据线段的和差关系及等式的性质即可判断B；根据线段中点的定义即可判断C．根据射线的表示方法即可判断D； 【详解】解；A、射线向一方无限延伸，直线向两方无限延伸，都不可度量，故射线a比直线b短这种说法错误，不符合题意； B、已知为线段上的两点，若，则或，即，原说法正确，符合题意； C、若，只有当点在线段上时，点C为线段的中点，原说法错误，不符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选B． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（    ） A．从张庄去李庄走直线最近 B．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉 C．数轴是一条特殊的直线 D．一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标 【答案】D 【分析】依据两点之间线段最短，直线、射线、线段的联系与区别，数轴的定义，两点确定一条直线等知识点逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 从张庄去李庄走直线最近，属于“两点之间线段最短”的知识，故选项不符合题意； B. 向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉，属于“直线可以无限延长”的知识，故选项不符合题意； C. 数轴是一条特殊的直线，属于数轴的定义知识，即“数轴是一条有方向、有刻度的直线”，故选项不符合题意； D. 一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标，属于“经过两点有且只有一条直线”，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，直线、射线、线段的联系与区别，数轴的定义，两点确定一条直线等知识点，熟练掌握直线的相关特性是解题的关键． 5．（24-25七年级上·河北唐山·期中）值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是 （   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】本题考查了直线的性质．根据直线的性质“两点可以确定一条直线”进行解答． 【详解】解：总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：B． 6．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据两点之间线段最短进行解答即可． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线中，最短的路线是②，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握两点之间所有连线中，线段最短． 题型2 直线、射线、线段的数量 1）一条直线上有n（n≥2且n为整数）个不同的点时，有条线段. 2）一条直线上有n(n>1)个不同的点时，有2n条射线. 7．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：，， ∴需印制20种车票，共有10种票价． 故选：C． 【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面上直线的确定方法，由于没有明确平面上五点的位置关系，所以是否全面的类讨论是解答本题的关键；根据5点或4点在一条直线上，3点都不在一条直线上，五点都不在一条直线上，分别画出图形，即可求得画的直线的条数，得出结论． 【详解】解:如下图，分以下四种情况： ①当五点在同一直线上，如图：      故可以画1条不同的直线； ②当有四个点在同一直线上，    故可以画5不同的直线； ③当有两个三点在同一直线上，    故可以画6条不同的直线； ④当有三个点在同一直线上，    故可以画8不同的直线； ⑤当五个点都不在同一直线上时， 因此当n=5时，一共可以画×5×4=10条直线． 故可以作1条、5条、6条，8条或10条直线，不可能是7条， 故选：C． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）在平面上任意画4个点，那么这4个点确定的直线共有（　　） A．1条或4条 B．1条或6条 C．4条或6条 D．1条或4条或6条 【答案】D 【分析】本题考查了直线，射线，线段的数量问题，解题的重点在于分情况讨论．先根据题意，分4点共线，3点共线，任意三点不共线三种情况画图，根据图示找出答案． 【详解】解：如图1，4点共线时，可以确定1条直线； 如图2，3点共线时可以确定4条直线； 如图3，任意3点都不共线时，可以确定6条直线； 综上所述，这4个点确定的直线共有1条或4条或6条． 故选：D． 10．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，点、、是直线上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（    ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可． 【详解】解：根据两点确定一条直线，知道图中只有1条直线， 图中的线段有，，，共3条， 以点、、分别为端点的射线，共6条， 故选：C 【点睛】本题考查了直线的性质，直线、射线、线段，在数线段的时候，按照顺序数，要做到不重不漏． 题型3 画直线、射线、线段 11．（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，交于点O； (3)画射线，，交于点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查画直线，射线和线段，掌握直线，射线和线段的定义，是解题的关键： （1）根据直线的定义，画图即可； （2）画出线段，，交于点O即可； （3）根据射线的定义，画图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，，，点O即为所求； （3）如图，射线，，点P即为所求． 12．（22-23七年级上·北京东城·期末）如图，已知平面上四个点，请按要求画图并回答问题． (1)连接，延长到，使； (2)分别画直线、射线； (3)在射线上找点，使最小．此画图的依据是_______． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题考查基本作图，涉及作等线段、作直线、作射线、利用对称性作图，熟记直线、射线、线段及对称性概念是解决问题的关键． （1）连接，并延长，以为圆心、以为半径作圆交延长线于即可得到； （2）根据直线、射线定义作图即可得到答案； （3）由两点之间线段最短直接连接交于即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 线段即为所求； （2）解：如图所示： 直线，射线即为所求； （3）解：如图所示： 点即为所求；此画图的依据是两点之间线段最短． 13．（24-25七年级上·河北唐山·期中）根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点． ①连接，画射线． ②画出一点P，使P到的距离之和最小，理由是________． (2)在（1）的条件下填空： ①图中共有________条线段． ②若，M是的一个三等分点，则的长为________． 【答案】(1)①见解析；②见解析，两点之间线段最短 (2)①8；②5或10 【分析】本题主要考查直线、射线、线段及线段的和差． （1）①根据题意作图即可；②根据两点之间线段最短，连接交于点P，点P即为所求， （2）①根据两点确定一条线段求解即可；②根据三等分点的定义求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，连接交于点P，点P即为所求， 理由为两点之间线段最短； （2）解：①图中有线段，共有8条线段， 故答案为：8； ②∵，M是的一个三等分点， ∴或， 故答案为：5或10． 14．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，平面内有，，，四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若，，，四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站，要使供水站到，，，四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）①根据射线的定义画图即可； ②根据线段的定义画图即可； ③根据直线的定义画图即可； （2）线段与直线的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【详解】（1）解：①如图所示，射线即为所求； ②如图所示，线段即为所求； ③如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法〉 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规画线段以及线段的和差，利用尺规画线段的方法去作图． 【详解】解：①如答图，画射线． ②在射线上顺次作；再反向作． ③线段．线段即为所要求作的线段． 题型4 与线段中点有关的计算问题 线段的中点把这条线段分为相等的两条线段，也就确立了题目中相关线段的数量关系，在不同的前提条件下，学生需要仔细观察图形，充分利用线段的相等关系. 16．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点有关的计算． （1）先求出，再求出，根据线段的中点求出的长即可； （2）求出，，把代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 17．（20-21七年级上·河北承德·期中）如图，线段，，点M是的中点．    (1)求线段的长度； (2)在上取一点N，使得．求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段的中点以及和差关系，求解即可； （2）根据线段的比值关系以及和差关系，即可求解． 【详解】（1）解：线段线段，， ∴． 又∵点M是的中点． ∴，即线段的长度是． （2）∵， ∴． 又∵点M是的中点，， ∴， ∴，即的长度是． 【点睛】此题考查了与线段中点有关的和差关系，解题的关键是理解题意，正确的进行求解． 18．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 【答案】(1) (2)3或10 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据中点的定义，推出，即可得解； （2）根据中点的定义和线段的和差关系求出的长，分点在点P的右侧，点C在点A，P之间，点C在点A的左侧，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以． 因为， 所以． （2）由题意，得，， 所以， 所以． 当点C在点P的右侧时，，即，解得； 当点C在点A，P之间时，，不符合题意； 当点C在点A的左侧时，，即，解得， 所以． 综上所述，CP的长为3或10． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点． (1)图中共有 条线段． (2)若，，求的长度． (3)若，，请用含a，b式子直接表示的长度． 【答案】(1)15 (2)的长度为21 (3)的长度为 【分析】（1）根据线段的定义即可得到结论； （2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据已知可得，再根据线段的中点定义可得，，从而可得，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了线段的和差，线段的中点，熟练掌握线段中点，线段的和差意义是解题的关键． 【详解】（1）解：图中共有条线段， 故答案为：15． （2） 解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为21． （3） 解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得， ， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ， 解得：， ， 若，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ， ， ； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ， ； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ， ∵点分别是线段的中点， ， ， ∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下： 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴， ∴， ∴． ∴为定值． 题型5 与线段有关的动态问题 数轴上的动点问题主要考查线段的变化以及线段之间的数量关系，但数轴上利用点所对应的数比较容易将问题代数化，结合图形容易找出线段长度与数之间的关系，这种“以数解形”的思想是解决这类问题最常用的思想方法.此类问题需要注意分类讨论. 21．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 22．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 23．（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 24．（20-21七年级上·江苏南通·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题． （2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 题型6 线段双中点模型 题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 25．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知A，B，C三点在同一条直线上，点M，N分别为线段的中点，且，，求的长． 【答案】或35 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是分类讨论． 根据题意画出图形，分两种情况讨论，根据线段的中点和线段的和差进行求解即可． 【详解】解：①如图所示，当点在点之间时， ∵点M，N分别为线段的中点， ∴， ∴； ②如图所示，当点在线段延长线上时， ∵点M，N分别为线段的中点， ∴， ∴； 综上，的长为或35． 26．（24-25七年级上·河北沧州·期中）已知，点A、B、C在同一直线上，且，，点E、F分别是线段、的中点，求线段的长． 【答案】线段EF的长为或 【分析】本题考查线段中点的性质以及线段的和差计算，解题的关键是根据点相对于线段的不同位置进行分类讨论，再利用线段中点性质求出相关线段长度，进而得出EF的长度． 先根据线段中点性质求出和的长度，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，通过线段的和差关系计算的长度． 【详解】解：因为点E、F分别是线段、的中点，，， 所以，， ①当点C在线段AB上时，如图1， ； ②当点C在线段的延长线上时，如图2， ． 所以线段的长为或． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，点A，B，C在同一条直线上，且，M，N分别是的中点． (1)画出符合题意的图形； (2)依据（1）中所画的图形，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)8或2 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键． （1）分类讨论：点B在线段上，点B在线段的延长线上，根据题意，可得图形； （2）根据线段中点的性质，可得的长，根据线段和差，可得答案． 【详解】（1）解：①点B在线段上， ②点B在线段的延长线上， ， （2）解：当点B在线段上时，由，点M、N分别是的中点，得 ，， 由线段的和差，得； 当点B在线段的延长线上时，由，点M、N分别是的中点，得 ，， 由线段的和差，得， 综上所述，线段的长是8或2． 题型7 理解角的相关概念 28．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 29．（21-22七年级上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ）． （1）线段有两个端点，直线有一个端点； （2）由两条射线组成的图形叫角 （3）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关； （4）线段上有无数个点； （5）两个锐角的和必定是直角或钝角； （6）若与有公共顶点，且的一边落在的内部，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】线段有两个端点，直线没有端点，由两条有公共端点的射线组成的图形叫角，角的大小与角两边的长短无关，根据线段、直线、角的定义等知识逐一进行判断． 【详解】解：（1）线段有两个端点，直线没有端点，故（1）错误； （2）由两条有公共端点的射线组成的图形叫角，这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点，故（2）错误； （3）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关，故（3）正确； （4）线段上有无数个点，故（4）正确； （5）两个锐角的和可能是锐角，故（5）错误； （6）若与有公共顶点，且的一边落在的内部，则，故（6）正确，即正确的序号为（3）（4）（6），共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查线段、直线、角的定义等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 30．（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 31．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 32．（2022七年级上·全国·专题练习）如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（   ） A．的方向是北偏东 B．的方向是北偏西 C．的方向是南偏西 D．的方向是东南方向 【答案】A 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义，掌握角的计算方法是正确解答的前提．由方向角的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、的方向是北偏东，错误，故符合题意； B、的方向是北偏西，正确，不符合题意； C、的方向是南偏西，正确，不符合题意； D、的方向是南偏东，即东南方向，正确，不符合题意， 故选：A． 33．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 题型8 钟面角 钟表中共有12大格，把周角12等分，每个大格对应30°的角.解决此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确把握时针、分针的旋转规律： 1）时针转一圈12小时，则它1小时转过的角度为30°，1分钟转过的角度为0.5° 2）分针转一圈是1小时，分针每分钟转过的角度为6° 3）分针走一圈 360°，时针走了 30°，所以，时针和分针所走度数的比例关系为1:12. 利用这些规律，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. 34．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，用乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12份，每份是，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是， 故选：C． 35．（24-25七年级上·全国·单元测试）钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面被分成12大格，每大格，分针每分钟转，时针每分钟转度，计算即可得出答案． 【详解】解：钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是， 故选：D． 36．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，钟表上显示的时刻是点分，再过分钟，时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的知识，熟练掌握角的运算是解题的关键． 根据题意计算点分时针与分针所成的角，即可求解； 【详解】解：点分，再过分钟，就是点分， ， 故选：C 37．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 【答案】（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2点分；2点分；②2点6分和2点分，2点分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角． （1）根据1小时分解答即可； （2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解； （4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；②令时针所在直线为，分针所在直线为，分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为． ∴时针每分钟转动，分针每分钟转动， 故答案为：；6； （2）①某个时刻的钟面角α为，可为或，②某个时刻的钟面角α为，可为， 故答案为：①或；②； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4， 则时针转动的角度是，分针转动的角度是， 此时钟面角， ∵， ∴， 故答案为：； （4）①时针恰好与分针重叠：设此时对应的时刻是2点x分，根据题意得， ， 解得，， ∴这一时刻是2点分， 故答案为：2点分； 时针恰好与分针垂直：设此时对应的时刻是2点y分，则有： 或， 解得：或， ∵时为3点整，不合题意，舍去， ∴此时对应的时刻是2点分； ②令时针所在直线为，分针所在直线为，设此时对应的时刻是2点m分，为和角平分线时： ， 解得：； 为和角平分线时： ， 解得：； 为时针，为分针，平分时： ，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 答：当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分． 38．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 【答案】（1），（2）4:00或8:00（答案不唯一），（3）或20，（4） 【分析】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用； （1）根据时，时针与分针的夹角是3.5个大格，可得所夹的锐角的度数； （2）根据时针与分针的夹角是格，即可得出答案； （3）设经过分钟，钟面角为，根据时针与分针的夹角为，分类讨论，分别列出方程，解方程，即可求解； （4）设小明看了分钟电视节目，根据题意可得时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角，进而列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）时，时针与分针的夹角是3.5个大格， ∴， 故答案为：． （2）某个时刻的钟面角为，则时针与分针的夹角是格， ∴一个相应的时刻可以是或（答案不唯一） 故答案为：或（答案不唯一） （3）设经过分钟，钟面角为， ∴或， 解得：或； 答：经过或20分钟，钟面角为． （4）解：∵在到之间这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置． ∴时针与分针旋转的角度刚好等于一个周角， 设小明看了分钟电视节目，根据题意得 解得： 故答案为：． 题型9 与方位角有关的问题 39．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点位于点的北偏西，点位于点的北偏东． (1)求的度数； (2)若，直接写出小华家相对学校的方向． 【答案】(1) (2)南偏东 【分析】此题主要考查方位角的定义和计算，解题的关键是熟知方位角与平角的性质． （1）根据角的和差求解即可； （2）根据方位角的概念和平角求解即可． 【详解】（1）∵点位于点的北偏西，点位于点的北偏东 ∴； （2）如图所示， ∵ ∴ ∴小华家在学校的南偏东方向． 40．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据得出 ，进而求出的度数； （3）根据，射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图： ∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西 ∴， ∵射线平分 ∴ ∴，即射线的方向是北偏东； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵射线的方向是东南方向， 41．（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）如图，点A，B，C，D，O分别表示小亮家、小明家、小华家、超市、学校的位置．点A位于点北偏西，点位于点北偏东，点位于点南偏东，且点是线段的中点． (1)计算，的度数． (2)小亮与小华均以米/分钟的速度去上学，到学校的时间分别用分钟、分钟．小亮沿“家学校超市”的路线买文具，请你计算他家到超市的路程． 【答案】(1)，； (2)小亮家到超市的路程为1400米． 【分析】（1）根据图中所给各个角的度数可以求出和的度数； （2）根据路程=速度×时间，可得小亮家到学校的距离，小华家到学校的距离，再由点D是线段的中点，可得，可得结果． 【详解】（1）解：∵点A位于点O北偏西，点B位于点O北偏东， ∴， ∵点C位于点O南偏东 ∴； （2）解：∵小亮以80米/分钟的速度去上学，到学校的时间用10分钟， ∴（米）， ∵小华以80米/分钟的速度去上学，到学校的时间用15分钟， ∴（米）， ∵点D是线段的中点， ∴（米） ∴小亮家到超市的路程为：（米）． 【点睛】此题主要考查了方向角，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 题型10 角度的四则运算 对于角度的加、减、乘、除运算，可按下列法则进行: 1）对于角的加法，以度、分、秒为三段分段计算，由低到高逐级60进位，即满60"进为1′，满60′进为1°. 2）对于角的减法，先观察是否要借位，借位后按度、分、秒同单位相减. 3）对于角的乘法，从低到高逐级计算. 4）对于角的除法，从高单位除起，余数乘以60后加到下一级单位上继续除，依此类推，最后结果按要求取舍(如有的精确到1°，有的精确到1′等). 42．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 43．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）首先将度转化为分，然后计算除法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先计算括号内加法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 44．（22-23七年级上·湖南·单元测试）计算： (1)； (2) (3)； (4)． (5) (6) (7) (8)； 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】（1）把度、分分别相加，再满60进1即可求解； （2）把度、分分别相减即可求解； （3）把度、分、秒分别相减即可求解； （4）把度、分、秒分别相加，再满60进1即可求解； （5）先将括号里的度、分分别相加，满60进1，再计算括号外面的即可求解； （6）将度、分、秒分别除以2即可求解， （7）把度、分、秒分别相减即可求解； （8）把度、分、秒分别乘以4，再满60进1即可求解； 【详解】（1） ； （2） ； （3）； （4） ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式 ； （8）原式 ． 【点睛】本题考查度、分、秒之间的转换关系，解题的关键是熟练掌握它们之间的换算． 题型11 与角有关的作图问题 45．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，点C在射线上． (1)求作，使； (2)求作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握作一个角等于已知角是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角，即可得到所求角； （2）在下方作，即得所求角． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求．     46．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）如图，在平面上有三点，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)画射线，连接并延长线段至点，使得； (2)在的上方作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作等线段和等角． （1）以为圆心，长为半径画弧，与射线的交点即为，此时； （2）以为圆心，任意半径画弧分别与，交于点，，再以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交上一个弧于，连接射线，此时，当在上时，． 【详解】（1）解：如图，正确作图，射线与线段； （2）解：如图，即为所求． 题型12 与角平分线有关的计算问题 47．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 48．（2024七年级上·全国·专题练习）线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的中点、线段的和差、角平分线的定义，熟练掌握以知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由线段的中点得出，，再由计算即可得解； （2）设，，，则，由角平分线的定义得出，，求出，结合，得出，求解即可． 【详解】（1）解：因为D，E分别是和的中点， 所以，． 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． （2）解：设，，，则． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 49．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得，，进而得，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， 又∵三等分， ∴， ∴， ∴． 50．（22-23七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 题型13 与角有关的动态问题 ①标记转动方向与速度； ②用含有运动时间t的式子表示相关角度； ③结合等量关系列方程求解. 51．（23-24七年级上·上海金山·期末）如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 ． (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 ． (3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度逆时针旋转一周后停止，求第几秒时，恰好与在同一直线上？ 【答案】(1)65 (2)150 (3)第10秒或第秒 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，较难的是题（3），正确分类讨论是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）设，则，根据求出的值，再根据求解即可得； （3）设第秒时，恰好与在同一条直线上，先求出三角板逆时针旋转一周所需时间为45秒，三角板逆时针旋转所需时间为秒；射线逆时针旋转一周所需时间为120秒，射线逆时针旋转至射线位置所需时间为秒，再分四种情况：①、②、③和，分别根据角的关系建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵恰好平分，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． （2）解：设，则， 如图，当落在内部时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：150． （3）解：设第秒时，恰好与在同一条直线上， 由题意得：三角板逆时针旋转一周所需时间为（秒），三角板逆时针旋转所需时间为（秒）；射线逆时针旋转一周所需时间为（秒），射线逆时针旋转至射线位置所需时间为（秒）， ①如图，当时，恰好与在同一直线上， 则，， ∵此时， ∴， 解得，符合题设； ②如图，当时，恰好与在同一直线上， 则，， ∵此时， ∴， 解得，不符合题设，舍去； ③如图，当时，恰好与在同一直线上， 则，， ∵此时， ∴， 解得，不符合题设，舍去； ④如图，当时，恰好与在同一直线上， 则此时三角板已停止运动，旋转至的位置上，恰好与在同一直线上， ∴， 解得，符合题设； 综上，第10秒或第秒，恰好与在同一直线上． 52．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)旋转一共用了或 (3)n为或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， 设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ∴， ∴； ∴； ②当点在的左侧时，， ∴； ∴； 综上，旋转一共用了或； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 综上，n为或． 53．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 【答案】(1)是 (2)或或； (3)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义和“欢乐线”的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“欢乐线”的定义，列出方程可求出的值； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒，由得到，，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“欢乐线”； 故答案为：是； （2）有三种情况：①若时，且， ∴； ②若时，且， ∴； ③若时，且， ∴． 故答案为：或或； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒， 由得到， ， 则， ∴射线为的“欢乐线”． 54．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）已知，在下列各图中，点O为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，则的度数为_________°，的度数为_________°； (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，此时的度数为_________°； (3)在图2中，延长线段得到射线，如图3，则的度数为_________°；与的数量关系是_________（填“”、“”或“”）； (4)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为_________．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3)， (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的运算以及角平分线的定义，解题关键：一是理解角平分线的定义，二是确定旋转到某一条件时旋转的度数． （1）利用两角互补，即可得出结论； （2）根据平分， 可得出，由可求得的度数； （3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论. （4）根据题中条件算出旋转到射线和射线的延长线恰好平分锐角时所旋转的度数，再除以速度即可得的值. 【详解】（1）解：∵，与互补， ∴， ∵， ∴. 故答案为：；； （2）解：∵三角板一边恰好在的角平分线上，， ， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴ 故答案为： ；； （4）解：当直线恰好平分锐角，此时则从图中的位置旋转到射线恰好平分锐角时所旋转的度数为： ， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 当射线的反向延长线恰好平分时， 此时旋转的角度为：， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 故答案为：或． 题型14 双角平分线模型 题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 55．（22-23七年级上·江西抚州·阶段练习）若，是不同于的射线，平分，平分，则的大小为 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，注意“数形结合”数学思想在解题过程中的应用．当射线在的内部时，根据角平分线的定义求得，，然后根据图形中的角与角间的和差关系来求的度数．当射线在的外部时，同理可求的度数． 【详解】解：当射线在的内部时，如图所示： ∵平分， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴ ； 当射线在的外部时，如图所示 ∵平分， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴ ． 故答案为：． 56．（22-23七年级上·河南南阳·期末）已知，，平分，平分，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查与角平分线有关的角的运算．分类讨论是解答此题的关键． 分射线在内部和外部两种可能来解答． 【详解】解：当射线在内部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ； 当射线在外部时，如图， ， 平分， ， ∵，平分， ∴， ， 故答案为：或． 57．（22-23七年级上·海南三亚·期末）已知，在同一平面内过点O作射线平分，平分的度数为 ． 【答案】或 【详解】本题主要考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合的度数可求解． 【解答】解：当射线在的内部时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当射线在的外部且在射线上方时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ∵， ∴； 当射线在的外部且在射线下方时，如图， ∵射线平分，平分， ∴， ， ， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 题型15 多边形与圆 58．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的相关知识点，利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段这一概念，所以①正确； ②圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．所以②正确； ③半径相等的两个圆是等圆；正确； ④能够完全重合的两条弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，所以④错误； ⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，所以⑤正确； ∴符合题意的是①②③⑤，共4个． 故选：D． 59．（23-24八年级下·广东深圳·期末）过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（　　）个三角形． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出条对角线，这些对角线把该多边形分成个三角形是解题的关键． 【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出条对角线， ∴该多边形的边数为， ∴这些对角线将这个多边形分成个三角形． 故选B． 60．（21-22八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 61．（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 62．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1)1；2 (2)2；3 (3)； (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 63．（2024七年级上·全国·专题练习）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占圆的总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查圆的认识，根据题意得，扇形丙的圆心角占的，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： ． 64．（24-25六年级下·上海崇明·期中）一个扇形面积是它所在圆面积的，则这个扇形的圆心角是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为扇形面积是它所在圆面积的， 所以扇形的圆心角度数是的， 则， 所以这个扇形的圆心角是． 故答案为：． 65．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 【答案】大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析 【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可． 【详解】解：大圆的周长，两个小圆的周长和， ∴大圆的周长＝两个小圆的周长和， ∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长． 【点睛】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 66．（22-23六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 67．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合．    (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示－2的点与点B重合，数轴上表示－3的点与点C重合……），那么数轴上表示－2023的点与圆周上哪个点重合？ 【答案】(1)4个单位长度 (2)7 (3)点C 【分析】（1）根据圆的周长公式直接求解即可得到答案； （2）根据圆的周长得到点A滚动的长度，结合数轴上两点间距离即可得到答案； （3）根据A，B，C，D是圆的四等分点得到数字与字母重合的规律，直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵圆的半径为个单位长度， ∴； （2）解：∵圆在数轴上向右滚动2周， ∴A点移动距离为：， ∴与点A重合的点表示的数为：； （3）解：A，B，C，D是圆的四等分点， ∴数字与点数4个一循环， ∵， ∴表示的点是第个循环组的第3个点，与点C重合； 【点睛】本题考查数轴上两点间距离关系及图形规律，解题的关键是熟练掌握两点间距离等于两数之差的绝对值及找到循环规律． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优03 基本平面图形章末15题型归类 题型1 理解直线、射线、线段的相关概念 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 2．（23-24七年级上·山西·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 3．（24-25七年级上·山东枣庄·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．射线a比直线b短 B．已知C、D为线段上的两点，若，则 C．若，则点C为线段的中点 D．射线与射线是同一条射线 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（    ） A．从张庄去李庄走直线最近 B．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉 C．数轴是一条特殊的直线 D．一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标 5．（24-25七年级上·河北唐山·期中）值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是 （   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．以上说法都不对 6．（2022·广西柳州·中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型2 直线、射线、线段的数量 1）一条直线上有n（n≥2且n为整数）个不同的点时，有条线段. 2）一条直线上有n(n>1)个不同的点时，有2n条射线. 7．（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 8．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（2024七年级上·全国·专题练习）在平面上任意画4个点，那么这4个点确定的直线共有（　　） A．1条或4条 B．1条或6条 C．4条或6条 D．1条或4条或6条 10．（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，点、、是直线上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（    ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 题型3 画直线、射线、线段 11．（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知A，B，C，D四点，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，交于点O； (3)画射线，，交于点P． 12．（22-23七年级上·北京东城·期末）如图，已知平面上四个点，请按要求画图并回答问题． (1)连接，延长到，使； (2)分别画直线、射线； (3)在射线上找点，使最小．此画图的依据是_______． 13．（24-25七年级上·河北唐山·期中）根据条件画出图形，并解答问题： (1)如图，已知四个点． ①连接，画射线． ②画出一点P，使P到的距离之和最小，理由是________． (2)在（1）的条件下填空： ①图中共有________条线段． ②若，M是的一个三等分点，则的长为________． 14．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，平面内有，，，四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若，，，四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站，要使供水站到，，，四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站的位置． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法〉 题型4 与线段中点有关的计算问题 线段的中点把这条线段分为相等的两条线段，也就确立了题目中相关线段的数量关系，在不同的前提条件下，学生需要仔细观察图形，充分利用线段的相等关系. 16．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 17．（20-21七年级上·河北承德·期中）如图，线段，，点M是的中点．    (1)求线段的长度； (2)在上取一点N，使得．求的长． 18．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C，D为线段上的两点，M，N分别是，的中点． (1)图中共有 条线段． (2)若，，求的长度． (3)若，，请用含a，b式子直接表示的长度． 20．（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 题型5 与线段有关的动态问题 数轴上的动点问题主要考查线段的变化以及线段之间的数量关系，但数轴上利用点所对应的数比较容易将问题代数化，结合图形容易找出线段长度与数之间的关系，这种“以数解形”的思想是解决这类问题最常用的思想方法.此类问题需要注意分类讨论. 21．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 22．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 23．（21-22七年级上·河北廊坊·期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 24．（20-21七年级上·江苏南通·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 题型6 线段双中点模型 题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 25．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知A，B，C三点在同一条直线上，点M，N分别为线段的中点，且，，求的长． 26．（24-25七年级上·河北沧州·期中）已知，点A、B、C在同一直线上，且，，点E、F分别是线段、的中点，求线段的长． 27．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，点A，B，C在同一条直线上，且，M，N分别是的中点． (1)画出符合题意的图形； (2)依据（1）中所画的图形，求线段的长． 题型7 理解角的相关概念 28．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 29．（21-22七年级上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ）． （1）线段有两个端点，直线有一个端点；（2）由两条射线组成的图形叫角（3）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关；（4）线段上有无数个点；（5）两个锐角的和必定是直角或钝角；（6）若与有公共顶点，且的一边落在的内部，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（23-24七年级上·北京房山·期末）如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 32．（2022七年级上·全国·专题练习）如图所示，关于图中四条射线的方向说法错误的是（   ） A．的方向是北偏东 B．的方向是北偏西 C．的方向是南偏西 D．的方向是东南方向 33．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 题型8 钟面角 钟表中共有12大格，把周角12等分，每个大格对应30°的角.解决此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确把握时针、分针的旋转规律： 1）时针转一圈12小时，则它1小时转过的角度为30°，1分钟转过的角度为0.5° 2）分针转一圈是1小时，分针每分钟转过的角度为6° 3）分针走一圈 360°，时针走了 30°，所以，时针和分针所走度数的比例关系为1:12. 利用这些规律，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. 34．（2024·广西·中考真题）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级上·全国·单元测试）钟表上显示8时45分时，时针与分针所夹的角度是（   ） A． B． C． D． 36．（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，钟表上显示的时刻是点分，再过分钟，时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 37．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 38．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读理解：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．在时钟上，每个大格对应的角，每个小格对应的角．这样，时针每走小时对应的角，即时针每走分钟对应的角，分针每走分钟对应的角． 初步感知： （1） 如图1，时钟所表示的时间为点分，则钟面角为： ； （2） 若某个时刻的钟面角为，请写出一个相应的时刻： ； 延伸拓展： （3） 如图2，时钟所表示的时间为点，此时钟面角为，在点前，经过多少分钟，钟面角为？ 活动创新： （4） 一天中午，小明在到之间打开电视看少儿节目，看完节目后，他发现这段时间钟面上的时针和分针正好对调了位置．请问小明看了 分钟电视节目．（直接写出答案即可） 题型9 与方位角有关的问题 39．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，点分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置．点位于点的北偏西，点位于点的北偏东． (1)求的度数； (2)若，直接写出小华家相对学校的方向． 40．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 41．（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）如图，点A，B，C，D，O分别表示小亮家、小明家、小华家、超市、学校的位置．点A位于点北偏西，点位于点北偏东，点位于点南偏东，且点是线段的中点． (1)计算，的度数． (2)小亮与小华均以米/分钟的速度去上学，到学校的时间分别用分钟、分钟．小亮沿“家学校超市”的路线买文具，请你计算他家到超市的路程． 题型10 角度的四则运算 对于角度的加、减、乘、除运算，可按下列法则进行: 1）对于角的加法，以度、分、秒为三段分段计算，由低到高逐级60进位，即满60"进为1′，满60′进为1°. 2）对于角的减法，先观察是否要借位，借位后按度、分、秒同单位相减. 3）对于角的乘法，从低到高逐级计算. 4）对于角的除法，从高单位除起，余数乘以60后加到下一级单位上继续除，依此类推，最后结果按要求取舍(如有的精确到1°，有的精确到1′等). 42．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 43．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 44．（22-23七年级上·湖南·单元测试）计算： (1)； (2) (3)； (4)． (5) (6) (7) (8)； 题型11 与角有关的作图问题 45．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，点C在射线上． (1)求作，使； (2)求作． 46．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）如图，在平面上有三点，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)画射线，连接并延长线段至点，使得； (2)在的上方作，使得． 题型12 与角平分线有关的计算问题 47．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 48．（2024七年级上·全国·专题练习）线段与角的计算． (1)如图①，已知线段，点C为线段上的一点，，点D，E分别是和的中点，求的长； (2)如图②，已知被分成，平分，平分，且，求的度数． 49．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 50．（22-23七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 题型13 与角有关的动态问题 ①标记转动方向与速度；②用含有运动时间t的式子表示相关角度；③结合等量关系列方程求解. 51．（23-24七年级上·上海金山·期末）如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 ． (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 ． (3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度逆时针旋转一周后停止，求第几秒时，恰好与在同一直线上？ 52．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 53．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 54．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）已知，在下列各图中，点O为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，则的度数为_________°，的度数为_________°； (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，此时的度数为_________°； (3)在图2中，延长线段得到射线，如图3，则的度数为_________°；与的数量关系是_________（填“”、“”或“”）； (4)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为_________．（直接写出答案） 题型14 双角平分线模型 题目如果没有图形，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况. 55．（22-23七年级上·江西抚州·阶段练习）若，是不同于的射线，平分，平分，则的大小为 ． 56．（22-23七年级上·河南南阳·期末）已知，，平分，平分，则 ． 57．（22-23七年级上·海南三亚·期末）已知，在同一平面内过点O作射线平分，平分的度数为 ． 题型15 多边形与圆 58．（23-24七年级下·山东聊城·期末）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．（23-24八年级下·广东深圳·期末）过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（　　）个三角形． A．4 B．5 C．6 D．7 60．（21-22八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 61．（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 62．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 63．（2024七年级上·全国·专题练习）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占圆的总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是 ． 64．（24-25六年级下·上海崇明·期中）一个扇形面积是它所在圆面积的，则这个扇形的圆心角是 ． 65．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 66．（22-23六年级下·山东淄博·期中）如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 67．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合．    (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示－2的点与点B重合，数轴上表示－3的点与点C重合……），那么数轴上表示－2023的点与圆周上哪个点重合？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $