第五章 基本平面图形（必备知识+7大题型+分层训练）（复习讲义）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

第五章 基本平面图形（复习讲义） 1. 了解线段、射线、直线、角、多边形、圆及扇形的意义，体会基本平面图形之间的整体联系。 2. 能用大写字母、小写字母、小写希腊字母或数字表示线段、射线、直线和角；能进行角的度、分、秒单位换算。 3. 理解并利用直线“两点确定一条直线”、线段“两点之间线段最短”的性质，线段中点、角平分线的定义，以及多边形对角线数量、外角和等知识解决问题。 知识点一 线段、射线、直线 1.概念：线段是直线上两点之间的部分，有两个端点；射线是将线段向一个方向无限延长形成的，只有一个端点；直线是将线段向两个方向无限延长形成的，没有端点。 2.表示方法：都可以用两个大写字母表示，线段、直线也可以用一个小写字母表示。表示射线时，必须将表示端点的字母写在前面。 3.直线的性质：两点确定一条直线。 4. 线段的性质：两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫两点间的距离。 5.线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点，叫做这个线段的中点。线段中点到线段两个端点的距离相等，对于任意一条线段，它都有且只有一个中点。 知识点二 角 1.定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；也可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2.表示法：可以用三个大写字母表示，顶点字母写在中间；也可用一个大写字母表示（当以该字母为顶点的角只有一个时）；还可以用小写希腊字母或数字表示。 3.度量单位：度、分、秒，1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 4.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角平分线。 知识点三 多边形及正多边形 1.定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.相关概念：多边形有顶点、边、内角、外角和对角线等概念。n边形一个顶点的对角线数为n-3，n边形的对角线总数为，n边形的外角和为360°。 知识点四 圆及扇形 1.圆的定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 2.扇形：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 题型一 直线、射线、线段的表示及性质应用 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【变式1-2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（　　） A．点A在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 【变式1-3】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．射线a比直线b短 B．已知C、D为线段上的两点，若，则 C．若，则点C为线段的中点 D．射线与射线是同一条射线 题型二 画直线、射线、线段 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）如图，A，B，C，D四个点在同一平面内，根据下列语句画图． (1)画射线，直线； (2)延长至点E，使得； (3)连接与交于点F． 【变式2-1】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，在平面上有四个点，根据下列语句画图． (1)①作射线；②作线段； (2)在（1）的基础上，请在线段上画出一点，使点到两点的距离之和最短． 【变式2-2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画直线，画射线，连接； (2)连接，并反向延长至点E，使； (3)请在A，B，C，D四个点围成的四边形内找一点O，使最小，理由是______． 【变式2-3】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)在直线上找一点F，使得最小，并说明理由； (4)在图中找一个点，使该点到点A，B，C，D的距离之和最小． 题型三 线段长度的计算 【例3】（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段，，是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)在线段上取一点，使得：：，求线段的长． 【变式3-1】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【变式3-2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有 条线段． (2)求的长． (3)若点在直线上，且，求的长． 【变式3-3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 题型四 角的度量及计算 【例4】（24-25七年级上·吉林通化·期末）如图，为的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么为多少度？ (2)如果，，那么为多少度？ 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图①所示，若，则的度数为________；若，则的度数为______（用含a的式子表示）； (2)将图①中的绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究和度数之间的关系，并说明理由． 【变式4-2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知是过点的一条射线，分别平分． (1)当射线在的内部时 ①如图①，若，则_________； ②如图②，若，求的度数（用含的式子表示）； (2)当射线在的外部时，，请借助备用图探究的度数是________（直接写出答案） 【变式4-3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）【问题背景】 如图，在内部，是的平分线，是的平分线． 【问题探究】 （1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由． 题型五 多边形及圆的相关计算 【例5】（24-25七年级上·辽宁本溪·期末）过六边形的一个顶点能画出对角线的条数是 ． 【变式5-1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个扇形的半径长为，圆心角为，则这个扇形的面积为 ． 【变式5-2】（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【变式5-3】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ． 题型六 线段与角的规律探究问题 【例6】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【变式6-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【变式6-2】（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【变式6-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究： 如图1，已知一条直线， 当上有2个点时，图中只有，条线段， 当上有3个点时，图中有条线段， 当上有4个点时，图中有条线段， 当上有5个点时，图中有条线段， ．．．．．． 按此规律： 当上有个点时，图中有___________条线段： （2）知识应用； 如图2，内有条射线，则图中共有___________个角； （3）知识迁移： 如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形； （4）知识拓展： ①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）； ②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）； 题型七 线段动点与动角的探究问题 【例7】（24-25七年级上·江西上饶·期末）（1）探索规律 点C在线段上，则有三条线段．若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称C是线段的“巧点”． ①线段的中点 这条线段的“巧点”．(填“是”或“不是”) ②若，C是线段的“巧点”，求的长． （2）探究类比 如图，平分，是内部从点O出发的一条射线，平分． ①若，求的度数． ②设，x与y具有怎样的数量关系？ 【变式7-1】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）类比思想和分类讨论思想是初中数学学习中常用的数学思想，小明在学习了第六章《几何图形初步》的相关知识后，认为解决线段和角的问题是对这两种思想的一种体现．如图①，已知线段，点C为直线上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 【分类讨论】（1）若，请画图分析并写出： ①当点C在线段上时，的长为______； ②当点C在的延长线上时，的长为______． 【类比分析】（2）若，请说明不论m取何值（m小于20）的长不变； 【知识迁移】（3）如图②，已知，过平面内任一点C画射线，满足（n小于70），若、分别平分和，请求出的度数，并写出你发现的结论． 【变式7-2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【变式7-3】（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【变式7-4】（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段，C，D为线段上的两个动点，且，M，N分别是和的中点，求线段的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数； 【知识迁移】 （3）当，时，如图③摆放在一起，且和分别是，的平分线，求的度数（用含，的代数式表示）．（，） 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列说法正确的是（    ） A．射线就是直线 B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离 C．两条射线组成的图形叫做角 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图是直角，平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，， 以O为顶点作射线， 使， 若设 ，则的值有可能为：①；②；③；④．以上结论中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（24-25七年级上·天津·期末）度分秒换算： ． 7．（24-25七年级上·全国·期末）一块手表如图，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是 ． 8．（24-25七年级上·全国·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为 ． 9．（24-25七年级上·全国·期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测，小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它北偏西的方向上，则的度数是 ． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，两个直角，有相同的顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线，其中正确的有 ．（填写序号） 三、解答题 11．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，，平分，平分，求 的度数． 12．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 13．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图．已知四点A，B，C，D．读下列语句，并分别画出图形．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，射线，线段； (2)延长至点E，使； (3)连接，在线段上取点P，使的值最小． 14．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是（　　） A．连接两点的线段可以有无数条 B．如果线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离 C．连接两点的线段的长度是两点间的距离 D．连接两点的线段是连接两点的所有的线中，长度最小的 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知，，，那么这三个点的位置关系是（   ） A．点A在B、C之间 B．点B在A、C之间 C．点C在A、B之间 D．无法确定 4．（23-24六年级下·上海虹口·期末）定义：如图，点C把线段分成两条线段和，若，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点；由图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，也满足，点D叫做线段的黄金“左割”点．如果，那么约为（   ） A．1.382 B．0.764 C．0.472 D．0.236 5．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（24-25七年级上·吉林·期末）计算： ． 7．（24-25七年级上·全国·期末）如图，两条直线相交于点O，若射线平分平角，，则等于 ． 8．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在直线l上顺次取A、B、C三点，使得，，如果O是线段的中点，那么线段的长度是 cm． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，小明家客厅的电视背景墙是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比的值为 ． 10．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，两边组成的角时，的值为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图所示，点在点左侧，，点，分别是，的中点． (1)若，点在线段上，求的长度； (2)若点在直线上，求的长度． 12．（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知内部有三条射线，，，其中平分，平分． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若，求的度数；(用含的式子表示) (3)如图，若将其中的“平分”的条件改为“，”，且，用含的式子表示的度数为 ． 13．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 14．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，点，分别是，的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变前提下，若点为线段上任意一点（不与点重合），且满足，猜想线段的长．请直接写出结论，不必说明理由． (3)若点在线段的延长线上（不与点重合），且满足，点，分别是，的中点，猜想线段的长．请画出图形，写出你猜想的结论，并说明理由． 15．（24-25六年级下·山东烟台·期末）生活中的折纸活动蕴含着丰富的数学知识，让我们一起体会一下其中的奥秘． 【折一折】如图1，将画有的纸片折叠，使边都落在角平分线上，展开得折痕，． （1）若，则___________°； 【变一变】将画有的纸片折叠，使边落在的位置，使边落在的位置上，展开后分别得折痕，如图2或者图3． （2）在图2中，若，，求的度数； （3）在图3中，若，，请用含的代数式表示直接写出的度数． 16．（24-25七年级上·四川达州·期末）在数轴上，点M，N对应的数分别是，，P为线段的中点，同时给出如下定义：如果，那么称M是N的“努力点”． 例如：，，M是N的“努力点”． (1)若，则_____，_____． (2)在（1）的条件下，下列说法正确的是_____（填序号）： ①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”； ③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点” (3)若，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 基本平面图形（复习讲义） 1. 了解线段、射线、直线、角、多边形、圆及扇形的意义，体会基本平面图形之间的整体联系。 2. 能用大写字母、小写字母、小写希腊字母或数字表示线段、射线、直线和角；能进行角的度、分、秒单位换算。 3. 理解并利用直线“两点确定一条直线”、线段“两点之间线段最短”的性质，线段中点、角平分线的定义，以及多边形对角线数量、外角和等知识解决问题。 知识点一 线段、射线、直线 1.概念：线段是直线上两点之间的部分，有两个端点；射线是将线段向一个方向无限延长形成的，只有一个端点；直线是将线段向两个方向无限延长形成的，没有端点。 2.表示方法：都可以用两个大写字母表示，线段、直线也可以用一个小写字母表示。表示射线时，必须将表示端点的字母写在前面。 3.直线的性质：两点确定一条直线。 4. 线段的性质：两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫两点间的距离。 5.线段的中点：把一条线段平均分成两条相等线段的点，叫做这个线段的中点。线段中点到线段两个端点的距离相等，对于任意一条线段，它都有且只有一个中点。 知识点二 角 1.定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；也可以看作一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。 2.表示法：可以用三个大写字母表示，顶点字母写在中间；也可用一个大写字母表示（当以该字母为顶点的角只有一个时）；还可以用小写希腊字母或数字表示。 3.度量单位：度、分、秒，1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。 4.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角平分线。 知识点三 多边形及正多边形 1.定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形。各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.相关概念：多边形有顶点、边、内角、外角和对角线等概念。n边形一个顶点的对角线数为n-3，n边形的对角线总数为，n边形的外角和为360°。 知识点四 圆及扇形 1.圆的定义：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 2.扇形：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心角。 题型一 直线、射线、线段的表示及性质应用 【例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【答案】D 【分析】本题考查直线、射线、线段的表示方法，由直线、射线和线段的表示方法，即可判断． 【详解】解：A、直线上的点用大写字母表示，不能用小写字母表示，直线用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用两个小写字母表示，故A不符合题意； B、线段用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用一个大写字母表示，故B不符合题意； C、表示射线，应该把表示端点的字母放在前面，应该表示为射线，故C不符合题意； D、表示正确，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线和直线表示不同的直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线比直线短 【答案】B 【分析】本题主要考查直线和射线的区别，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．根据直线和射线的定义解答即可． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，选项错误，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，符合题意； C、射线和射线表示不同的射线，选项错误，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（　　） A．点A在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，线段、射线、直线，掌握线段、射线、直线的定义以及线段的和差关系是正确解答的关键．根据线段、直线、射线的定义以及两点间的距离进行判断即可． 【详解】解：A．点A在直线上或在的延长线上，不在线段上，因此选项A不符合题意； B．点C在线段的延长线上，因此选项B不符合题意； C．射线与射线不是同一条射线，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．射线a比直线b短 B．已知C、D为线段上的两点，若，则 C．若，则点C为线段的中点 D．射线与射线是同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线和射线的概念，线段的和差计算，线段中点的定义，射线和直线不可度量，由此可判断A；根据线段的和差关系及等式的性质即可判断B；根据线段中点的定义即可判断C．根据射线的表示方法即可判断D； 【详解】解；A、射线向一方无限延伸，直线向两方无限延伸，都不可度量，故射线a比直线b短这种说法错误，不符合题意； B、已知为线段上的两点，若，则或，即，原说法正确，符合题意； C、若，只有当点在线段上时，点C为线段的中点，原说法错误，不符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选B． 题型二 画直线、射线、线段 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）如图，A，B，C，D四个点在同一平面内，根据下列语句画图． (1)画射线，直线； (2)延长至点E，使得； (3)连接与交于点F． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线和射线的定义作出图形，即可求解； （2）根据线段的定义作出图形，即可求解； （3）根据要求进行连接线段，并标注点F，即可求解； 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图： 【变式2-1】（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，在平面上有四个点，根据下列语句画图． (1)①作射线；②作线段； (2)在（1）的基础上，请在线段上画出一点，使点到两点的距离之和最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握直线、射线、线段的特点及点与直线的关系是解题的关键． （1）①根据射线的特点作图；②根据线段的特点作图； （2）根据“两点之间，线段最短”作图． 【详解】（1）解：①射线即为所求； ②线段即为所求； （2）点P即为所求． 【变式2-2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图： (1)画直线，画射线，连接； (2)连接，并反向延长至点E，使； (3)请在A，B，C，D四个点围成的四边形内找一点O，使最小，理由是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，两点之间线段最短 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，两点之间线段最短，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （2）根据题目要求画出图形； （3）连接，交于点O，点O即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：如图，点O即为所求．理由是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 【变式2-3】（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图，平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图． (1)画直线； (2)画射线交直线于点E； (3)在直线上找一点F，使得最小，并说明理由； (4)在图中找一个点，使该点到点A，B，C，D的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段． （1）根据直线定义即可画直线； （2）根据射线定义即可画射线交直线于点E； （3）根据根据两点之间线段最短求解； （4）点即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，射线，点E即为所求； （3）连接与相交于点，根据两点之间线段最短，可得此时的最小值为； （4）如图，点F即为所求，利用同（3）． 题型三 线段长度的计算 【例3】（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段，，是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)在线段上取一点，使得：：，求线段的长． 【答案】(1)10 (2)17 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据已知条件求得，由中点定义知，然后根据求解． 本题考查了线段的和差倍分关系、线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵线段，， ； （2），：：， ． 又点是的中点，， ， ， 即的长度是． 【变式3-1】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）线段，C为直线上一点,，E 为线段上一点， F 为线段 上一点,， (1)如图1，当点C在线段上时，求线段的长； (2)如图2，当点C在线段的延长线上时，求线段的长． 【答案】(1)41 (2)49 【分析】本题考查了线段的和差计算及线段上点的位置关系，解题的关键是根据点C的不同位置（线段上或延长线上）确定线段的长度，再结合线段的比例关系求出相关线段长度，进而得到的长.​ （1）当点C在线段上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． （2）当点C在线段的延长线上时，先由和的长度求出的长；根据与的比例关系求出，进而得到；再由与的关系及的长求出；最后根据计算的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有 条线段． (2)求的长． (3)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)6 (2)的长是 (3)的长是或 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，正确的理解题意是解题关键． （1）根据直线上线段的条数公式：直线上有n个点，线段的条数是，可得答案； （2）根据线段中点的性质和线段的和差即可得到结论； （3）根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：图中有四个点，线段有． 故答案为：6； （2）解：点为的中点，， ， ， 答：的长是； （3）解：，， 当点在线段上时， ， 当点在线段的延长线上时， ， 答：的长是或． 【变式3-3】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）（1）如图1，点C为线段上一点，与长度之比为3:5，D为线段中点． ①若，求的长． ②点E为线段的中点，若，求的长（用含m的代数式表示）． （2）如图2，点M为线段中点，点N为线段中点，若，，请用含a，b的代数式直接表示出的长． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差求解线段的长是解题的关键． （1）①由设，，根据可求解值，即可得，的长，结合中点的定义可求解；②根据题意画出图形，由设，，则，利用线段的和差，结合中点的定义可求解，由，进而可求解的长． （2）根据中点定义得到，即可求出． 【详解】（1）解：①由设，， ∵，， ， 解得， ，， 为线段的中点， ， ． ②解：如图所示． 由设，， ∴， 为线段的中点， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 解得， ． （2）∵点M为线段中点，点N为线段中点， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 题型四 角的度量及计算 【例4】（24-25七年级上·吉林通化·期末）如图，为的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么为多少度？ (2)如果，，那么为多少度？ 【答案】(1)为 (2)为 【分析】此题主要考查了角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义得，，然后根据即可得出答案； （2）先根据是的平分线，得，进而得，然后再根据为的平分线可得出的度数． 【详解】（1）解：∵为的平分线，是的平分线， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即为； （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， 即为． 【变式4-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图①所示，若，则的度数为________；若，则的度数为______（用含a的式子表示）； (2)将图①中的绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究和度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由：见解答过程 【分析】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据即可求解；解法与（1）相同，把（1）中的改成a即可； （2）把的度数作为已知量，求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，再根据求得，即可解决． 【详解】（1）解：∵， ， 又 ∵平分， ， 又 ∵， ； 若，同理； 故答案为：；； （2）解：，理由如下： ，平分， ， ∴ ． 【变式4-2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知是过点的一条射线，分别平分． (1)当射线在的内部时 ①如图①，若，则_________； ②如图②，若，求的度数（用含的式子表示）； (2)当射线在的外部时，，请借助备用图探究的度数是________（直接写出答案） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，分情况确定射线的位置是解题的关键． （1）①由，求角度即可； ②借助①的角的数量关系即可求得的度数； （2）分情况讨论射线的位置，在（1）的基础上求的度数即可． 【详解】（1）解：①分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②由①知， ， ， 即的度数为； （2）解：射线在的外部分两种情况， 如图③， 分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 如图④， ， ， ， ， ， ， 即的度数为或 故答案为：或 【变式4-3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）【问题背景】 如图，在内部，是的平分线，是的平分线． 【问题探究】 （1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）与α有关，与β无关，，理由见解析 【分析】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，，从而根据求得的度数； （2）同理（1），，，，从而求得的度数； （3）同理（1），，，，从而求得的度数； 【详解】解：（1）是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）同理（1），， ，， ； （3）与α有关，与β无关，，理由如下： 同理（1），， ，， ． 题型五 多边形及圆的相关计算 【例5】（24-25七年级上·辽宁本溪·期末）过六边形的一个顶点能画出对角线的条数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，解答此类题目的关键是正确记忆一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是． 根据从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是进行计算即可． 【详解】解∶从六边形的一个顶点出发，引对角线的数量为∶ (条)， 故答案为∶3． 【变式5-1】（2024七年级上·全国·专题练习）已知一个扇形的半径长为，圆心角为，则这个扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，理解扇形面积与相应圆面积的比就是扇形圆心角占整个周角的比，列式求解即可得到答案，熟记扇形面积公式并正确理解是解决问题的关键． 【详解】解：一个扇形的半径长为，圆心角为， 这个扇形的面积为， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 【变式5-3】（24-25七年级上·山东枣庄·期末）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形是解题的关键． 从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形，由此计算即可． 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是， 故答案为：7． 题型六 线段与角的规律探究问题 【例6】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③ (2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可； ③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ， ∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ， ∴图中得到6个角； ③由①②可得， 当从点分别引条射线， ， ∴得到个角； （2）根据题意可得， 当时，． ∴全部赛完共需120场比赛． 【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键． 【变式6-1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 【变式6-2】（24-25七年级上·山东济南·期末）有如下问题：“平面上，分别有2个点、3个点、4个点、5个点，……，n个点，其中任意3个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，它们分别可以画多少条直线？”为了解决这一问题，小明设计了如图表进行探究： 点数 2 3 4 5 … n 示意图 … 直线 1 … 【发现规律】 （1）当点数为5时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条； 【探索归纳】 （2）当点数为时，过任意一点的直线有_____条，共有直线_____条；（用含的代数式表示） 【迁移运用】 （3）请按照小明的探究思路，分析并解决下列问题： 某学校七年级共有6个班进行足球比赛． ①若进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行了多少场比赛? ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出多少件纪念品？ 【答案】（1）4；10；（2）；；（3）①15；②30 【分析】本题主要考查了图形规律探究，两点确定一条直线，解题的关键是根据已知图形，得出一般规律． （1）根据图形进行解答即可； （2）根据已知图形得出一般规律，进行解答即可； （3）①将代入代数式进行求解即可； ②将代入求出结果即可． 【详解】解：（1）当点数为5时，过任意一点的直线有4条，共有直线（条）； 故答案这：4；10； （2）当点数为时，过任意一点的直线有条，共有直线（条）； 故答案为：；； （3）①进行单循环比赛，每两个班都要赛一场，全部比完共进行的比赛场数为： （场）； ②比赛结束后，每两个班级之间互送一份纪念品，共送出的纪念品件数为： （件）． 【变式6-3】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究： 如图1，已知一条直线， 当上有2个点时，图中只有，条线段， 当上有3个点时，图中有条线段， 当上有4个点时，图中有条线段， 当上有5个点时，图中有条线段， ．．．．．． 按此规律： 当上有个点时，图中有___________条线段： （2）知识应用； 如图2，内有条射线，则图中共有___________个角； （3）知识迁移： 如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形； （4）知识拓展： ①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）； ②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①36；②216 【分析】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，找到一般规律，并能应用规律是解题的关键 （1）通过观察所给的式子，求解即可； （2）通过计算，探索出一般规律即可； （3）通过计算，探索出一般规律即可； （4）①根据（1）的方法，类比求解即可；②根据以上解题的方法，类比求解即可， 【详解】解: （1）， 故答案为：； （2）内有1条射线，共有个角， 内有2条射线，共有个角， 内有3条射线，共有个角， 内有条射线，共有个角， 2 故答案为： （3）线段上有1个点，共有个三角形， 线段上有2个点，共有个三角形， 线段上有3个点，共有个三角形， 线段上有n个点，共有个三角形， 当时，共有个三角形； 故答案为：2035153； （4）①有个长方形， 故答案为：36； ②有个长方形， 故答案为：216. 题型七 线段动点与动角的探究问题 【例7】（24-25七年级上·江西上饶·期末）（1）探索规律 点C在线段上，则有三条线段．若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称C是线段的“巧点”． ①线段的中点 这条线段的“巧点”．(填“是”或“不是”) ②若，C是线段的“巧点”，求的长． （2）探究类比 如图，平分，是内部从点O出发的一条射线，平分． ①若，求的度数． ②设，x与y具有怎样的数量关系？ 【答案】（1）①是；②或或；（2）①；② 【分析】本题考查线段的和差倍分．角平分线的定义及角的和差． （1）①根据“巧点”的定义即可求解；②分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可； （2）①由角平分线的定义，得出，再结合图形，即可求解； ②由角平分线的定义，得出 ，表示出，由，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵线段的长是线段中点分割的两条线段长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”； ②∵，点C是线段的“巧点”， 若C在中点的左边，则； 若C在中点的右边，则； 若点C在中点，则； 故的长度为或或； （2）①解：平分，， ， ∵， ， ∵平分， ∴； ②解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即． 【变式7-1】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）类比思想和分类讨论思想是初中数学学习中常用的数学思想，小明在学习了第六章《几何图形初步》的相关知识后，认为解决线段和角的问题是对这两种思想的一种体现．如图①，已知线段，点C为直线上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 【分类讨论】（1）若，请画图分析并写出： ①当点C在线段上时，的长为______； ②当点C在的延长线上时，的长为______． 【类比分析】（2）若，请说明不论m取何值（m小于20）的长不变； 【知识迁移】（3）如图②，已知，过平面内任一点C画射线，满足（n小于70），若、分别平分和，请求出的度数，并写出你发现的结论． 【答案】（1）10,10 （2）不变， （3），不论（小于）取何值，不变 【分析】本题主要考查了线段的中点，线段的和差，角平分线的定义，角的和差， 对于（1），①根据可得答案；②根据可解； 对于（2），结合（1）分两种情况讨论，并求出值即可； 对于（3），分射线在内部和外部两种情况讨论，再结合角的和差得出答案． 【详解】解：（1）①如图所示，当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 故答案为：10，10； （2）①如图所示，当点C在线段上时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点C在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴． 所以不论m取何值，的长不变； （3）当射线在内部时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴； 当射线在外部时， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴， ∴． 可知不论取何值，不变． 【变式7-2】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 【变式7-3】（24-25七年级上·河南商丘·期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 【变式7-4】（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段，C，D为线段上的两个动点，且，M，N分别是和的中点，求线段的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数； 【知识迁移】 （3）当，时，如图③摆放在一起，且和分别是，的平分线，求的度数（用含，的代数式表示）．（，） 【答案】（1）10；（2）；（3） 【分析】本题考查了线段的中点及线段的和与差以及角的平分线及角的和与差，根据图形找到线段与角的关系是解题的关键． （1）根据，，求出，根据中点定义得出，，求出，最后求出结果即可； （2）根据和分别是，的角平分线，得出，求出，最后求出结果即可； （3）根据角平分线定义得出，根据求出结果即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为M，N分别是和的中点， 所以，， 所以． 所以． （2）因为，， 所以， 因为和分别是，的角平分线， 所以， 所以， 所以． （3）因为和分别是，的角平分线， 所以， 所以 ． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列说法正确的是（    ） A．射线就是直线 B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离 C．两条射线组成的图形叫做角 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了射线的定义、两点的距离、角的定义、直线的定义． 根据射线的定义、两点的距离、角的定义、直线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 射线有一个端点，直线无端点，射线不是直线，原说法错误； B． 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，原说法错误； C． 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误； D． 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，原说法正确； 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图是直角，平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的度数计算，解题的关键是根据角平分线的性质逐步求出相关角的度数，进而得到的度数．​ 先根据直角的定义确定的度数；再依据平分求出的度数；接着根据平分求出的度数；最后用减去得到的度数，再与选项对比．​ 【详解】解：∵是直角，​ ∴．​ ∵平分，​ ∴．​ ∵平分，​ ∴．​ ∴．​ 故选：D．​ 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，以及线段中点的特点，根据D，E分别是线段的中点，推出，再结合求解，即可解题． 【详解】解：因为D，E分别是线段的中点， 所以， 所以 ， 又因为， 所以 ， 故选：C． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角度的和差计算．根据作图可知，结合图形，根据角度的和差关系逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，符合题意； B、∵，即，故该选项正确，不符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知，， 以O为顶点作射线， 使， 若设 ，则的值有可能为：①；②；③；④．以上结论中正确的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，根据题意，分情况讨论射线和的位置，计算出的可能值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图，分四种情况进行讨论： 由图可知：； ； ； ； 综上：正确的个数是4个； 故选A． 二、填空题 6．（24-25七年级上·天津·期末）度分秒换算： ． 【答案】 【分析】本题考查度分秒换算，熟练运用度分秒换算法则是解题法关键． 根据度分秒换算法则，按照60进制计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·期末）一块手表如图，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．熟悉钟面角的特征是解题的关键． 先明确钟面一圈且分12大格，算得每大格；再看8时整时针与分针间隔大格，用算出夹角为． 【详解】解：因为钟面一圈且分12大格， 所以每大格； 因为8时整时针与分针间隔大格， 所以8点整分针与时针的夹角正好是 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义．作出图形，分①点A、C在点B的两侧，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解；②点C在线段上，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解；③点A在线段上，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解． 【详解】解：①如图1，点A、C在点B的两侧， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②如图2，点C在线段上， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； ③如图3，点A在线段BC上， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·全国·期末）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测，小岛A在它北偏东的方向上，小岛B在它北偏西的方向上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算、方向角及其计算，关键是掌握方向角的定义，度分秒相邻单位的换算是60进制． 根据方向角的定义和角的和差关系，即可求出的度数． 【详解】解：小岛在它北偏东的方向上，小岛在它北偏西的方向上， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，两个直角，有相同的顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线，其中正确的有 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． ①依题意得，则，由此可对该结论进行判断； ②假设，则，进而得，根据已知条件无法判定，由此可对该结论进行判断； ③根据平分得，则，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ④设平分，则，再根据得，则平分，由此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是直角， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②假设， ， ， ∴， ， 根据已知条件无法判定， 故结论②不正确， ③∵平分，， ， 又， ， ， ∴平分， 故结论③正确； ④设平分，如图所示： ， ， ， ， ∴平分， 即的平分线与的平分线是同一条射线， 故结论④正确， 综上所述：结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题 11．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，，平分，平分，求 的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查的是角平分线的定义，角的和差，根据角平分线的定义求出和的度数，然后利用角的和差解答即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，已知线段，，点M是的中点． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键． （1）根据线段的和差得到，根据线段中点定义得到； （2）由，得到，根据点M是的中点，求得，于是得到． 【详解】（1）解：，， ， 点M是的中点， ； （2）解：， ， 点M是的中点， ， ． 13．（24-25七年级上·甘肃庆阳·期末）如图．已知四点A，B，C，D．读下列语句，并分别画出图形．（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，射线，线段； (2)延长至点E，使； (3)连接，在线段上取点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义，熟练的画图是解本题的关键； （1）根据直线，射线和线段的定义画图即可； （2）延长，以点C为圆心为半径画弧交射线于一点，然后以这点为圆心，为半径交射线于点E，即为所求； （3）根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1）如图所示，直线，射线，线段即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，点P即为所求． 14．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 【答案】（1）24；（2）①；② 【分析】本题考查了线段中点以及角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可得，再由线段中点的定义可得，即可求解； （2）①根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解；②根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点和点分别是和的中点， ，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， ； ②∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是（　　） A．连接两点的线段可以有无数条 B．如果线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离 C．连接两点的线段的长度是两点间的距离 D．连接两点的线段是连接两点的所有的线中，长度最小的 【答案】A 【分析】本题考查线段，两点间的距离，线段的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】连接两点的线段只有1条，故A错误； 线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离，故B正确； 连接两点的线段的长度，是两点间的距离，故C正确； 两点之间的距离是连接两点的所有线的长度中，长度最短的，故D正确； 故答案为：A 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据得出，是解题的关键． 根据分别平分和，得出，从而得出． 【详解】解：∵分别平分和， ， ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知，，，那么这三个点的位置关系是（   ） A．点A在B、C之间 B．点B在A、C之间 C．点C在A、B之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点间的距离，整式的加减．根据题意得，若点A在两点之间，则，代入求解即可判断；若点在两点之间，则，代入求解即可判断；若点在两点之间，则，此时无解，综上，即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， A、若点A在两点之间， 则， ， ，符合题意； B、若点在两点之间， 则， ， ，此情况不存在，不符合题意； C、若点在两点之间， 则， ，此时无解，故选项情况不存在； 故选：A． 4．（23-24六年级下·上海虹口·期末）定义：如图，点C把线段分成两条线段和，若，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点；由图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，也满足，点D叫做线段的黄金“左割”点．如果，那么约为（   ） A．1.382 B．0.764 C．0.472 D．0.236 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差关系，由已知得出，再根据即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：C． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题综合考查了角平分线和线段中点的相关计算．根据角的表示方法可得以O为顶点的角的个数，判断①；根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③；根据，，得到，判断④． 【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， ∴， 故②正确； 由中点定义可得：，， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误； 故选：C. 二、填空题 6．（24-25七年级上·吉林·期末）计算： ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的四则运算，熟知角度值的进率为60是解题的关键． 根据角度的计算方法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·期末）如图，两条直线相交于点O，若射线平分平角，，则等于 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了角平分线的相关计算．根据角平分线的定义得到，由即可得到答案． 【详解】解：∵射线平分平角， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 8．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在直线l上顺次取A、B、C三点，使得，，如果O是线段的中点，那么线段的长度是 cm． 【答案】1 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义， 先求出，再结合题意得出，然后根据中点的定义得，最后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵直线l上顺次取A，B，C三点， ∴. ∵点O是的中点， ∴， ∴. 故答案为：1. 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，小明家客厅的电视背景墙是长方形，长方形的电视机（阴影部分）的长与宽的比为．若用166个面积相等的小正方形装饰板恰好无缝隙地填满电视机与电视背景墙之间的空白，则电视背景墙的两边之比的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段和差位分，比的应用，能根据题意分别表示出和及找出和之间的关系是解题的关键． 根据题意，设电视机的长为，宽为，小正方形的边长为，再用和表示出和，最后根据小正方形的个数为166个找出与之间的关系即可解决问题． 【详解】解：设电视机的长为，宽为，小正方形的边长为， 所以，． 因为小正方形的个数有166个， 所以，， 所以， 所以， 则． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，两边组成的角时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算． 设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，得到，点B的对应点为,当平分时，得，结合，由计算即可得到答案． 【详解】解：设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，到的位置，点B的对应点为． 当平分时， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图所示，点在点左侧，，点，分别是，的中点． (1)若，点在线段上，求的长度； (2)若点在直线上，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点，熟练掌握线段中点，线段的和差意义是解题的关键． （1）已知，，可得的长度，又因点N是的中点，即，可得的长度； （2）根据题意画出示意图，求出，根据点，分别是，的中点，求出，可得的长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点N是的中点， ∴． （2）解：∵，，点在直线上， ∴点C在点A的左侧如图， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知内部有三条射线，，，其中平分，平分． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若，求的度数；(用含的式子表示) (3)如图，若将其中的“平分”的条件改为“，”，且，用含的式子表示的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． （1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可； （2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可； （3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可． 【详解】（1）解： ，， ； 平分，平分， ，， ； （2）解：，平分，平分， ； （3）解：，，， ． 13．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是__________，的度数__________，的度数是__________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·山东济宁·期末）如图，点在线段上，点，分别是，的中点． (1)若，求线段的长； (2)在其他条件不变前提下，若点为线段上任意一点（不与点重合），且满足，猜想线段的长．请直接写出结论，不必说明理由． (3)若点在线段的延长线上（不与点重合），且满足，点，分别是，的中点，猜想线段的长．请画出图形，写出你猜想的结论，并说明理由． 【答案】(1)13 (2) (3)，图及理由见解析 【分析】本题考查了线段中点的有关计算； （1）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解； （2）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解； （3）由线段的中点得，，由线段的和差得，即可求解； 能熟练利用线段的中点及线段的和差进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：点，分别是，的中点， ， ， ； （2）解：； 理由如下： 点，分别是，的中点， ， ， ； （3）解：如图， ； 理由如下： 点，分别是，的中点， ， ， ． 15．（24-25六年级下·山东烟台·期末）生活中的折纸活动蕴含着丰富的数学知识，让我们一起体会一下其中的奥秘． 【折一折】如图1，将画有的纸片折叠，使边都落在角平分线上，展开得折痕，． （1）若，则___________°； 【变一变】将画有的纸片折叠，使边落在的位置，使边落在的位置上，展开后分别得折痕，如图2或者图3． （2）在图2中，若，，求的度数； （3）在图3中，若，，请用含的代数式表示直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查翻折的性质，角的计算，解题的关键是掌握角的和差倍分的计算． （1）由折叠可得：，，即可得； （2）先求出，由折叠可得：，，故，从而由求解； （3）先求出，由折叠可得：，，故，从而由求解即可． 【详解】解：（1）如图： 由折叠可得：，， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：29； （2）如图： ∵，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）如图： ∵，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∴的度数为． 16．（24-25七年级上·四川达州·期末）在数轴上，点M，N对应的数分别是，，P为线段的中点，同时给出如下定义：如果，那么称M是N的“努力点”． 例如：，，M是N的“努力点”． (1)若，则_____，_____． (2)在（1）的条件下，下列说法正确的是_____（填序号）： ①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”； ③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点” (3)若，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？ 【答案】(1)10， (2)③ (3)或 【分析】（1）由题意可得，，分别求出、即可； （2）根据“努力点”的定义分别进行判断即可； （3）分两种情况讨论：当是点的“努力点”时，，求出；当是点的“努力点”时，，求出． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：10，； （2），， 点对应的数是， ， 不是的“努力点”， 故①不符合题意； ，， ， 不是的“努力点”， 故②不符合题意； ， 是的“努力点”， 故③符合题意； ， 是的“努力点”， 故④不符合题意； 故答案为：③； （3）为线段的中点， 点对应的数为， 当是点的“努力点”时，， 或， ， ； 当是点的“努力点”时，， 或， ， ； 综上所述：的值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $