专题04 线段（数轴）上的动点探究问题（4大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04线段（数轴）上的动点探究问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、线段上含动点求线段长问题… 题型二、线段上含动点求定值问题 题型三、线段上含动点求时间问题 题型四、线段上含动点的新定义型问题 … B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、线段上含动点求线段长问题 1.点C在线段AB上满足AC=2BC,点D和点E是线段AB上的两动点（点D在点E的左侧）满足 DE =21cm,AB =36cm. E B B 备用图 (I)当点E是BC的中点时，求AD的长度； 2)当AD=CE时，求CD的长度， 2.(1)如图，己知AB=12cm,点C为线段AB上的一个动点，D、E分别是AC、BC的中点； ①若点C恰为AB的中点，则DE= cm: ②若AC=4cm,则DE= cm; (2)如图，点C为线段AB上的一个动点，D、E分别是AC、BC的中点；若AB=a,则 DE= AD E 3.应用题：如图，己知线段AB=I2Cm,点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点. A D C E (1)若AC=4,求DE的长； (2)若C为AB的中点，则AD与AB的数量关系是； (3)试着说明，不论点C在线段AB上如何运动，只要不与点A和B重合，那么DE的长不变， 4.如图，P是线段AB上一点，AB=18cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发沿射线BA向左运动， 到达点A处即停止运动， D B 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若点C,D的速度分别是1cm/s,2cms. ①若2cm<AP<14cm,当动点C,D运动了2s时，求AC+PD的值； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB; (2)若动点C,D的速度分别是1cm/s,3cm/s,点C,D在运动时，总有PD=3AC,求AP的长度. 题型二、线段上含动点求定值问题 5.如图，数轴上点A,B表示的有理数分别为-6,3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A,B重合）， M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点. A -6 01 3 A 小 -6 01 3 备用图 (1)若点P表示的有理数是0，那么MN的长为 若点P表示的有理数是6，那么MN的长为 (2)点P在射线AB上运动（不与点A,B重合）的过程中，MW的长是否发生改变？若不改变，请写出求 MN的长的过程；若改变，请说明理由. 6.如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A的路线以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中 点，AD=10cm,设点B的运动时间为s(0≤t≤10). A B C D (1)当t=2时，则线段AB=」 cm,线段CD= cm: (2)当t为何值时，AB=CD? (3)点B从点A出发的同时，点E也从点A出发，以acm/s(0<a<2)的速度向点D运动，若当运动时间t满 足0≤1≤5时，线段EC的长度始终是一个定值，求这个定值和a的值. 7.A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4，且AB=10.动点P从点A出发， 以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒(t>0). A 0 B (1)当t=1时，AP的长为_，点P表示的有理数为-： (2)当PB=2时，求t的值： (3M为线段AP的中点，N为线段PB的中点.在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长 8.如图，已知线段AB=16,C、D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧，且都不与端点A、B重 合)，CD=2,E为BC的中点. 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C D E B 图1 A E B 图2 B 备用图 (1)如图1，当AC=4时，求DE的长； (2)如图2，F为AD的中点. ①点C、D在线段AB上移动过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅 以图2为例求出EF的长； ②当CF=0.5时，请直接写出线段DE的长. 题型三、线段上含动点求时间问题 9.如图1，已知线段AE=48cm,点B、C、D在线段AD上，且AB:BC:CD:DE=1:2:1:2. A(E) B C D E 图1 图2 (1)BC= cm,CD= cm; (2)已知动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿A-B-C-D-E向点E运动；同时动点N从点E出发，以 1cm/s的速度沿E-D-C-B-A向点A运动，当点M到达点E后立即以原速返回，直到点N到达点A,运 动停止；设运动的时间为t. ①求t为何值，线段MN的长为12cm; ②如图2，现将线段AE折成一个长方形ABCD(点A、E重合)，请问：是否存在某一时刻，以点A、B、 M、N为顶点的四边形面积与以点C、D、M、N为顶点的四边形面积相等，若存在，求出t的值；若不 存在，请说明理由。 10.定义：在同一直线上有A,B,C三点，若点C到A,B两点的距离呈2倍关系，即AC=2BC或BC=2AC, 则称点C是线段AB的“倍距点”. MN→> C B 0A C B 图1 图2 (1)线段AB的中点_该线段的“倍距点”：（填“是”或者“不是”） 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知AB=9,点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC=一 (3)如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点. ①现有一动点P从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为t秒(>0)，求 当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN(如图2，点M起始位置在原点)，从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿 数轴向右匀速运动.当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值. 题型四、线段上含动点的新定义型问题 1.已知线段AB=20,点C在线段AB上，且AC=34B」 5 A D PC B (1)求线段AC,CB的长； (2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为D,设AP=a· ①请用含有a的式子表示线段PC,DC的长； ②若三个点D,P,C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称D,P,C三点为“和谐点”，求使得D, P,C三点为“和谐点”的a的值， 12.如图1，点C在线段AB上，图中有三条线段，分别为线段AB,AC和BC,若其中一条线段的长度是另 外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”. A B 图1 A B 图2 (1)线段的中点 这条线段的“巧点”，线段的三等分点 这条线段的“巧点”（填“是"或“不是”）； (2)若线段AB=18cm,点C为线段AB的“巧点”，则AC= (3)如图2，已知.AB=18cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发， 以1Cm/s的速度沿BA向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间 为t秒，当t为何值时，点P为线段AQ的“巧点”？并说明理由. 13.(1)【新知理解】 如图1，点C在线段AB上，图中有3条线段，分别是AC,BC,AB,若其中任意一条线段是另一条线段 的两倍，则称点C是线段AB的“妙点”.根据上述定义，线段的三等分点这条线段的“妙点”.（填“是” 或不是”) 4 C -8-7-6-5-4-3-2-10123456方8 图1 图2 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)【新知应用】 如图2，A,B为数轴上的两点，点A对应的数为-5，点B对应的数为7，若点C在线段AB上，且点C为 线段AB的“妙点”，当点C在数轴的负半轴上时，点C对应的数为」 (3)【拓展探究】 己知A,B为数轴上的两点，点A对应的数为a,点B对应的数为b,且a,b满足a-8+(b+4)=0,动 点P,Q分别从A,B两点同时出发，相向而行，若点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度 为每秒3个单位长度，当点P,Q相遇时，运动停止.求当点P恰好为线段AQ的“妙点”时，点P在数轴上 对应的数， B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1,(24-25七年级上贵州铜仁期末)已知点M是线段AB上一点，若AM=AB,点N是直线AB上的一 动点，且AN-BN=MN,则MN的() AB B C.1或 D.3或2 4 2.(24-25七年级上·江苏无锡·期末)已知线段AB=16,C、D是线段AB上的两个动点，则下列结论：① 若C是4B的中点，点D在线段CB上，DB=3,则cD=5:②若AC+BD)CD,则CD:⑧若 CD=4,且AC:BD=1:2,则AC=4;④若D是BC的中点，AC=6+aa>0),则AC>BD,其中正 确的为() A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②④ 3.(24-25七年级下·云南昭通期末)如图，己知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为 4,且AB=6,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M ,N始终为AP,BP的中点，设运动时间为(t>0)秒，则下列结论中正确的有() ①B对应的数是2；②点P到达点B时，t=3;③BP=2时，t=2;④在点P的运动过程中，线段MN的 长度不变 gNPM4一 0 A.①③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 二、填空题 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25七年级上江苏南京·阶段练习)已知线段AB=24cm,动点P从点A出发，以每秒6cm的速度沿 AB向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒4cm的速度沿BA向左运动，设运动时间为t秒0<1<4). 在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段PQ的长= A B 5.(23-24七年级上·贵州六盘水期末)如图，数轴上的点0为原点，点A表示的数为-3，动点P从点0出 发，按以下规律跳动：第1次从点0跳动到OA的中点A处，第2次从点A跳动到A,A的中点A处，第3次 从点A跳动到A,A的中点A处，，第次从点An跳动到A-1A的中点A,处，按照这样的规律继续跳动到 点A,A,A,,A24处，那么点Ao24所表示的数为 P A As A2 A 6.(23-24七年级上江西上饶期中)数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点 是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”.已知，如图点A,B表示的数分别为-2,6，点C为数轴 上一动点.若A,B,C三点满足“中点关系”时，则点C表示的数为一· A -8-7-6-5-4-3-2-10123456789 三、解答题 7.(24-25七年级上·浙江温州期末)如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上 一点，且AC=8.动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为 tt>0秒 014 (1)直接写出数轴上点C表示的数： (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段CP的长度： (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是AP的中点，N是CP的中点，点P在运动过程中，线段MN是否发 生变化？若有变化，请说明理由；若不变，请求出MN的长度 8.(25-26七年级上吉林长春期末)如图，数轴上点A表示的数为-5，点B表示的数为7，动点C从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的 速度向左匀速运动.设点C运动时间为t秒(t>0). B 0 (1)①A,B两点之间的距离为 ，线段AB的中点表示的数为 ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为 ,点D表示的数为 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)当t=4时，描述C、D两点的位置关系， (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：CE-CD的 值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由. 9.(23-24七年级上·福建泉州期末)如图，O为数轴的原点，A0=5,BD=6,O为BD的中点，C为AB 的中点 A D CO (1)求CO的长度； (②)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1 个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒(t>0),当t满足什么条件时，AP+2BQ有最小值，并 求出该最小值 10.(24-25七年级上山西临汾·期末)综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为-2和8. A 的 -20 8 实践探究 (1)线段AB的长为 (②)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为(t>0)秒， ①当0<1<5时，线段PA=,线段PB= ,点P表示的数为 ；(用含t的代数式表 示) ②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，当动点P在(2)条件下运动时，线段MN的长度是 否与点P的运动时间t有关，若有关，请求出线段MW的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出 线段MN的长度 11.(23-24七年级上·江苏无锡期末)在数轴上，把原点记作点O,表示数a的点记作点A.对于数轴上任 意一点P(不与点O、点A重合)，将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P关于点A的K值，记作 (Ra小，即P,)=P阳，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为P0:,P42,所以 sP.小0- I)当点P是线段OA的中点时，点P关于点A的K值k(P,a)=-; (2)若点P表示的数为p,点A表示的数为a,OA=40P,求点P关于点A的K值k(P,a); (3)点P、点B为数轴上两个不同的点，并且点？与所表示的数互为相反数，点P表示的数为p,点A.点 B分别表示数a、-2,若k(P,a)=k(P,-2),请直接写出a、p需满足条件：- 12.(24-25七年级上湖南衡阳阶段练习)如图，已知数轴上原点为0，点A表示的数为Q,点B表示的数 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为b,且a、b满足(a-10)2+b+4=0.动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运 动，设运动时间为(t>0)秒 B 9 A (1)写出数轴上点A表示的数是 ,点B表示的数是 ,点P表示的数是 (用含t的式子表示)： (2)设点M是AP的中点，点N是PB的中点，点P在直线AB上运动的过程中，线段MW的长度是否会发生 变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段MW的长度， (3)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点R从点0出发，以每秒3个单 位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P,Q,R同时出发；若点P,R间的距离记为PR,点P,Q间的距离记 为P9,是否存在一个数n,使得nPR-PQ的值与t无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 13.(23-24七年级上江苏泰州期末)【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合，己知结论：数轴上点A、B表示的数分别为 、6,则本、B两点之间的距离AB=口-；线段AB的中点表示的数为+也 2 【知识运用】 (1)点A、B表示的数分别为、b,若a与三互为倒数，b与-7互为相反数.则A、B两点之间的距离 为；线段AB的中点表示的数为 【拓展迁移】 (2)在(1)的条件下，动点P从点A出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发以 每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点M是线段PQ的中点. ①点M表示的数是（用含t的代数式表示）： ②在运动过程中，点本、P、Q中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间： ③线段PQAM的长度随时间t的变化而变化，当点Q在点P左侧时，是否存在常数m,使mPQ+AM为定 值？若存在，求常数m及该定值；若不存在，请说明理由. 14.（24-25七年级上·浙江台州期末)定义：若点A,B,C在同一直线上，且AB=mAC,则d4Bc=m.例 如AB=6,AC=3,则d4Bc=2. 0 -2 4 图1 A B 图2 A 备用图 (1)如图1,0为数轴的原点，点P,Q表示的数分别为4和-2，则doe= 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，已知线段AB=12cm,点P从点A出发向右运动，点Q从点B出发向左运动，若点P运动速度为 1cm/s,点Q的运动速度为2cm/s.设运动时间为t. ①请用含有t的代数式分别表示dPg和doB ②当t为何值时，d40e-dPs=2 1 ③若线段PO的中点为M,直接写出d-}时t的值. 2 15.(23-24七年级上浙江宁波期末)定义：在同一直线上有A,B,C三点，若点C到A,B两点的距离呈2 倍关系，即AC=2BC或BC=2AC,则称点C是线段AB的倍距点”. P→ M N> 0A C B→ C B 图1 图2 (1)线段AB的中点_该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)己知AB=9,点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC=- (3)如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点 ①现有一动点P从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为t秒(>0)，求 当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN(如图2，点M起始位置在原点)，从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿 数轴向右匀速运动.当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值， 9/9 专题04 线段（数轴）上的动点探究问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、线段上含动点求线段长问题 1 题型二、线段上含动点求定值问题 5 题型三、线段上含动点求时间问题 11 题型四、线段上含动点的新定义型问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段上含动点求线段长问题 1.点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，； （2）设，则，，根据即可得到方程，求解即可解答． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 2.（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 cm； ②若，则 cm； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；    【答案】 6 6 / 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，注意同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半．根据线段的中点性质，可得线段的中点分线段相等，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）DE的长度与点C的位置无关； 因为点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 3．应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．    (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． （1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解； （2）根据线段中点的概念求解即可； （3）根据线段中点的概念求解即可． 【详解】（1）， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ()； （2）为的中点， ， 点是的中点， ； （3）点是的中点， ， 点是的中点， ， ()， 的长不变． 4．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 题型二、线段上含动点求定值问题 5.如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不会，的长为定值 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意求出的长度，根据三等分点的定义求出的长度，即可得到答案； （2）分及两种情况分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：若点P表示的有理数是0， 根据题意可知：， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 若点P表示的有理数是6， ， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 故答案为：；； （2）解：的长不会发生改变； 设点表示的有理数为（且）， 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值． 6．如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】(1)4；3 (2)或 (3)，定值为5 【知识点】整式加减中的无关型问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系 （1）根据可求出的长以及的长，再由是线段的中点，即可求得； （2）分情况讨论，当时，存在；当时，存在，考虑两种情况即可； （3）根据点和点的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段，即可求得． 【详解】（1）解：∵，点以的速度运动， ∴时，，， ∵是线段的中点， ∴ 故答案为： （2）解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 当点从时， 当点从时， ∵点沿的路线需要 故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图， 由题意得：点的速度是，点速度为 ∵， ∴点在点右侧， 由题意可知 ∴ ∵是线段的中点 ∴ 即 ∵线段的长度始终是一个定值 ∴ 故解得，定值为5 7．A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 8．如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①不会发生变化，的长是；②或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离， （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，最后根据可得答案； （2）①根据可得结论；②分两种情况讨论即可； 熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）①∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴ ， ∴线段的长度不会发生变化，； ②当点在点的左侧时， ∵，， ∴， 由①知：， ∴； 当点在点的右侧时， ∵，CD=2， ∴， 由①知：， ∴， 综上所述，当时，线段的长为或． 题型三、线段上含动点求时间问题 9.如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8 (2)①或或；②存在， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段n等分点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形． （1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果； （2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得， 【详解】（1）解：，， 故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，， 当M到达E点时，， 如图1， 当时，， ∴， 如图2， 当时，， ∴， 如图3， 当时，， ∴， 综上所述：或或； ②如图4， 当时， 由得，， ∴， 如图5， 当时，， ∴，此时不构成四边形，舍去 综上所述：． 10．定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 题型四、线段上含动点的新定义型问题 11.已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 【答案】(1)， (2)①当点在线段上时，，；当点在线段上时，，；②的值为或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． （1）由线段，点C在线段上，且，可得答案； （2）①分当点在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得的值． 【详解】（1）解：解：∵线段，点C在线段上，且， ∴，； （2）解：①当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； 当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； ②当点在线段上时，则， ∴， 解得：， 当点在线段上时， 则， ∴， 解得：， 综上：的值为或． 12．如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是 (2)或或 (3)或或，理由见解析 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可； （2）根据点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”进行解答即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可． 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”； 故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”， ∴， 或， 或． 故答案为：或或． （3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间， ∵点P为的巧点， ∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间， 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”． 13．（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用． （1）根据“妙点”的定义即可判断； （2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可； （3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数． 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点， ∴， ∴点为线段的“妙点” 故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7， ∴， 又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵， ∴， 解得：， 点对应的数为， 故答案为： （3）， ∴， ∴ 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则， 依题意：或， 即或， 解得：或， 又当点，相遇时，，得， 即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 故答案为：或 一、单选题 1．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）已知点M是线段AB上一点，若，点N是直线AB上的一动点，且，则的（    ） A． B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据N在线段AB上和线段AB外分情况讨论，再结合线段关系即可解题． 【详解】当N在射线BA上时，，不合题意 当N在射线AB上时，，此时 当N在线段AB上时， 由图可知 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查线段和差计算，解题的关键是画出图形根据图像找到线段直接的和差关系． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）已知线段，C、D是线段上的两个动点，则下列结论：①若C是的中点，点D在线段上，，则；②若，则；③若， 且，则；④若是的中点，，  则．其中正确的为（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算以及与线段的中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别作图以及运用线段的和差关系进行逐个情况分析列式，要注意分类讨论的运用，即可作答． 【详解】解：∵线段，C、D是线段上的两个动点，C是的中点， ∴， ∵点D在线段上，， ∴． 故①是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点，且， ∴， 即， ∴． 故②是正确的； ∵，线段，C、D是线段上的两个动点， ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； ∴当点在线段上时，如图所示： 此时， ∵， ∴； 综上：或， 故③是错误的； ∵，且线段，C、D是线段上的两个动点， ∴， ∵是的中点， ∴， 则． ∵， ∴， 即， ∴， 故④是正确的 故选：D． 3．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】①根据两点间距离进行计算即可； ②利用路程除以速度即可； ③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可； ④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可． 【详解】解：设点B对应的数是x， ∵点A对应的数为4，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴点B对应的数是-2，故①错误； 由题意得： 6÷2=3（秒）， ∴点P到达点B时，t=3，故②正确； 分两种情况： 当点P在点B的右侧， ∵AB=6，BP=2， ∴， ∴4÷2=2（秒）， ∴BP=2时，t=2， 当点P在点B的左侧， ∵AB=6，BP=2， ∴， ∴8÷2=4（秒）， ∴BP=2时，t=4， 综上所述，BP=2时，t=2或4，故③错误； 分两种情况： 当点P在点B的右侧， ∵M，N分别为AP，BP的中点， ∴，， ∴， 当点P在点B的左侧， ∵M，N分别为AP，BP的中点， ，， ∴， ∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确． 所以，上列结论中正确的是②④． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 二、填空题 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 5．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的定义，两点间的距离，探究图形的规律，找到图形变化中线段的变化规律是解题的关键 根据题意，得第一次跳动到的中点处，即在离点的长度为，第二次从点跳动到处，即在离点的长度为，则跳动n次后，即跳到了离点的长度为，再根据线段的和差关系可得线段的长度，最后确定点的表示的数即可． 【详解】解：由题可知：， 此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，第三次从点跳动到处， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：， 当时，， ∵点在负半轴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·江西上饶·期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据中点到其它两点之间的距离相等，分，，点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为或或； 故答案为：或或． 三、解答题 7．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为1，C是数轴上一点，且．动点P从点B出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)直接写出数轴上点C表示的数； (2)当点C在数轴的负半轴上时，用含t的代数式表示线段的长度； (3)当点C在数轴的负半轴上时，设M是的中点，N是的中点，点P在运动过程中，线段是否发生变化?若有变化，请说明理由；若不变，请求出的长度． 【答案】(1)或12 (2) (3)不发生变化， 【分析】题目主要考查线段的中点计算． 解题关键点是运用数形结合思想和分类思想分析问题． （1）根据数轴上两点之间的距离即可得出点的坐标； （2）分两种情况：若点P在线段上，这时；若点P在线段的延长线上，这时；分别求解即可； （3）分两种情况分析：①如图1，当点P在线段上运动时，②如图2，当点P在的延长线上运动时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为4，C是数轴上一点，且． ∴当点C位于点A左侧时，点C表示的数为：， 当点C位于点A右侧时，点C表示的数为：， ∴点C表示的数为或12； （2）当点C在数轴的负半轴上时，点C表示的数是， ①若点P在线段上，这时， 则； ②若点P在线段的延长线上，这时， 则； 综上可得：； （3）线段的长度不发生变化.理由如下： ①如图1，当点P在线段上运动时， ； ②如图2，当点P在的延长线上运动时， ； 由上可知，线段的长度不发生变化，其值为4． 8．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 9．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，O为数轴的原点，，，O为的中点，C为的中点． (1)求的长度； (2)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时，动点Q从O出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为t秒，当t满足什么条件时，有最小值，并求出该最小值． 【答案】(1)1 (2)当，有最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，绝对值的几何意义，数轴上两点距离计算： （1）先根据线段中点的定义得到，进而得到，再由线段中点的定义得到，则； （2）由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为，则运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t，根据两点距离计算公式得到，，则，由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和，故当时，的值最小，即此时的值最小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为， ∴运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为t， ∴，， ∴， 由绝对值的几何意义可知，表示的数数轴上表示t的数到表示2和表示3的数的距离之和， ∴当时，的值最小，即此时的值最小， ∴当，有最小值，最小值为． 10．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为和8． 实践探究 (1)线段的长为________； (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ①当时，线段________，线段________，点P表示的数为________；（用含t的代数式表示） ②若点M是线段的中点，点N是线段的中点，当动点P在（2）条件下运动时，线段的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段的长度． 【答案】(1)10 (2)①，，；②的长与点P的运动时间t无关，的长度为5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （2）①由题意可得点表示的数为，再根据两点间的距离公式计算即可得解； ②分两种情况：当时，线段，线段；当时，线段，线段；分别求解即可得解． 【详解】（1）解：线段的长为； （2）解：①∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， ∴当时，线段，线段； 故答案为：； ② 当时，线段，线段； ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 当时，线段，线段， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长与点P的运动时间t无关，的长度为5． 11．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O、点A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P关于点A的K值，记作，即，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为，，所以 (1)当点P是线段的中点时，点P关于点A的K值 ； (2)若点P表示的数为p，点A表示的数为a，，求点P关于点A的K值； (3)点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，点表示的数为p，点A．点B分别表示数a、，若，请直接写出a、p需满足条件： ． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题即可． （1）根据点P是线段的中点，得出，再利用定义求出的值即可． （2）分两种情况进行讨论：当点P、A在点O的同侧时，当点P、A在点O的异侧时，分别求出结果即可； （3）点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数，得出，根据，得出，即可得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点P是线段的中点， ∴， ∴ ， 故答案为：1； （2）解：当点P、A在点O的同侧时， ∵， ∴ ∴； 当点P、A在点O的异侧时， ∵， ∴ ∴； 综上分析可知，或． （3）解：∵点、点为数轴上两个不同的点，并且点与所表示的数互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当，解得：； 当，解得：； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，数轴上两点间距离，绝对值意义，新定义运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． 12．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，点表示的数为，且满足．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数是____________，点表示的数是___________，点表示的数是___________（用含的式子表示）； (2)设点是的中点，点是的中点．点在直线上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不变化，求出线段的长度． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)线段的长度没有变化，长度为 (3)存在，或 【分析】本题考查了数轴和绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值及其应用是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出和的值，根据动点则可求出表示的数； （2）利用数轴上的中点公式和两点间的距离即可求解； （3）利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， 即，， ∴数轴上点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：； （2）解：不发生变化，线段的长度为． 理由如下： ∵点是中点，点是中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：点表示的数是：，点表示的数是：， ∴，， ①当时，，， ∴， ∵上式与无关， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； ③当时，，， ∴， ∵与无关， ∴，解得； 综上所述，当或时，的值与无关． 13．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】 数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】 （）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】 （）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解； （）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可； 根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解； 根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，， ∴； 线段的中点表示的数为； 故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点， ∴点表示的数是， 故答案为：； 当点为中点时，则， 解得，不合，舍去； 当点为中点时，则， 解得； 当点为中点时，则， 解得； ∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时， ∴， 此时，定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 14．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1)2 (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 15．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $