专题02 角的有关计算问题（5大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02角的有关计算问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、三角板中角度计算间题 题型二、与方位角有关的计算题… 5 题型三、钟面角… 题型四、角平分线的有关计算… .10 题型五、角n等分线的有关计算 .16 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、三角板中角度计算问题 1.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O,若∠C0B=3∠A0D,OE为∠AOD的角平分线， 则∠COE的度数是() A.45° B.60° C.65° D.67.5 2.如图，将一副三角板摆成如图形状，如果∠A0B=158°，那么∠C0D的度数是 B 3.将一副直角三角尺按如图1方式叠放，∠B=∠D=90°，∠DEA=∠DAE=45°，∠BAC=30°，∠C=60°.如 图2，现将三角尺ADE固定，令三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转一周.若要使BC∥AD,则∠CAE的度数 为」 BD CE 图1 图2 1/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.直角三角板的一个顶点O在直线AB上，∠C0D=60°. 图1 图2 图3 (1)如图1，三角板在直线AB上方. ①若∠A0C=70°，则LB0D=- ②若0C平分∠A0D,则LB0D=-: (2)若三角板OCD在直线AB下方，∠A0C=2LB0D,求∠AOD的度数： (3)类比究：如图3，在数轴上，点O为原点，点A表示的数是-2，AB=12,线段CD在数轴上移动，且 CD=3(点C在点D的左侧)，当AC=2BD时，求出点C表示的数. 题型二、与方位角有关的计算题 5.如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东3030'方向，轮船B在灯塔P的南偏东7020'方向，则∠APB的度数 为 →东 P B 6.如图，李华同学从点A沿北偏东60°的方向行走到点B,再从点B沿南偏西20°方向行走到点C,则 ∠ABC的大小为 北 B 7.如图，一艘船从A点出发先沿北偏东60°方向航行，到达B点时发现前方有冰山，紧急向左进行了90·的 转弯，然后沿着BC方向航行，则∠CBD=°. 2/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C D 东 北 B A 东 8.如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠A0B=∠A0C,射线0D是OB的反 向延长线 北159 B 40 西 》东 南 (1)射线0C的方向是 (2)求∠C0D的度数： (3)若射线OE平分∠COD,求∠AOE的度数 题型三、钟面角 9.自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为8：30，此时时针与分针的夹角是 10若此时时钟表上的时间是3：00分，则时针与分针的夹角为」 度 11.2点40分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是_一 12如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为_ 度 9 3 题型四、角平分线的有关计算 13.如图，点A,O,B在一条直线上，∠A0C=80°，∠C0E=50°，0D是∠AOC的平分线， 3/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A B 0 (1)求∠AOE和∠DOE的度数； (2)OE是∠C0B的平分线吗？为什么？ 14.(1)如图1，射线0C在∠AOB的内部，OM平分∠A0C,ON平分∠B0C,若∠A0B=110°，求 ∠MON的度数； (2)射线0C,0D在∠A0B的内部，OM平分∠A0C,ON平分∠BOD,若∠A0B=100°，∠C0D=20° ,求∠MON的度数； (3)在(2)中，∠A0B=m。,∠COD=n°，其他条件不变，请用含m,n的代数式表示MON的度数（不 用说理). M 图1 图2 15.如图①，已知射线0C、0D在∠A0B的内部(OC在0D右侧)，∠A0B=120°，LC0D=60°. D B DE D MN 图① 图② 图③ (1)如果射线OE平分∠B0C,∠D0E=10°，如图②，则LB0C=-; (2)如果射线0D、ON分别平分∠B0M、∠D0C,如图③，求∠A0C+∠D0M的度数； (3)在(2)的条件下，当∠D0M=5LMON时，求∠BOC的度数. 16.刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧.已知∠A0B=100°，射线OE,OF 分别是∠AOC和LCOB的角平分线. 4/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，若射线0C在∠A0B的内部，且∠A0C=30°，求∠E0F的度数； (2)如图2，若射线0C在∠AOB的内部绕点0旋转，求LE0F的度数 (3)若射线0C在∠A0B的外部绕点0旋转（旋转中∠A0C,∠B0C均指小于180°的角），其余条件不变， 请借助图3探究∠EOF的大小. 题型五、角n等分线的有关计算 17.在∠A0B的内部作射线0C,射线0C把∠A0B分成两个角，分别为∠AOC和∠BOC,若 A0C5A0B或∠B0CGA0B,则称射线0C为LA0B的三等分线.若LA0B=60°，线0C为 ∠AOB的三等分线，则∠AOC的度数为() A.20° B.40° C.20°或40° D.20°或30° 18.定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC,把∠AOB分成1：2的两部分，射线0C叫做 ∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设 ∠MO9=x,则LMON用含x的代数式表示为(） 2x或3x或9x C. x或)或9：D.3x或？x或9r 9 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习)钟面上的时间为下午2：30，此时时针与分针的夹角的度数是() A.150° B.105° C.162° D.165 2.(24-25九年级下·广东佛山阶段练习)如图，两个直角三角形如图所示摆放，∠C=∠DFE=90°，点F在 AC上.若∠1=25°，则∠2的度数为() 5/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 A.60° B.65 C.55o D.45° 3.(24-25七年级上浙江杭州期末)已知LA0B=110°，0C平分∠A0B,过点0作射线0D,使得 ∠C0D=30°，则∠A0D度数是(). A.90 B.85°或25 C.90°或20° D.90°或30° 4.(25-26七年级上·全国·期末)湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店.如图，若把湘绣手工店记作 点A,在A处观察体验工坊（记作点B)时，点B在点A的北偏西4018'方向上，在A处观察奶茶店（记作 点C)时，∠BAC=90°，则奶茶店在湘绣手工店的() 北 B →东 A.南偏东49°42'方向上 B.北偏东49°42'方向上 C.东偏北49°42'方向上 D.北偏东4018'方向上 5.(24-25八年级下.全国期中)把一副直角三角尺如图摆放，∠C=∠DFE=90°，∠CAB=60°， ∠FDE=45°，斜边AB、DE在直线I上，ABC保持不动，△DEF在直线1上平移，当以点A、E、F三点 为顶点的三角形是直角三角形时，则∠CAF的度数是() B A.159 B.25° C.15°或30 D.25°或30° 二、填空题 6.(2425七年级上四川泸州期末)如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若∠BCD=∠ACE,则 5 ∠ACD的度数为 B E 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25-26七年级上·福建福州开学考试)ABC是边长为6cm的等边三角形，△A'B'C'是ABC绕C点逆 时针旋转后得到的（如图).那么，这个三角形旋转了度.点位于C点西偏北度的方向， 距离C点6cm· 北 B C 8.(24-25七年级上江苏苏州期末)如图，点O为量角器中心，射线0C与射线0D经过的刻度分别为70° 和135°，从点O引一条射线OP,使∠C0P=∠B0D,则∠DOP的度数为 D 9.(2024七年级上全国.专题练习)已知∠A0B是直角，在∠A0B的内部有一条射线0C,满足 ∠AOC=】∠C0B,在∠A0B所在平面上另有一条射线OD,满足∠BOD=!∠4OC,则∠COD的度数 3 为 10.(23-24七年级上江西抚州期中)定义：从∠A0B的顶点出发，在角的内部引一条射线0C,把 ∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分 线，射线O0是∠M0P的三等分线，设∠MOQ=x,则∠MON用含x的代数式表示为. 三、解答题 11.(24-25七年级上湖南·期末)如图，点A,O,B在同一条直线上，0D平分∠A0C,OE平分∠B0C· E A B (1)若∠B0D=160°，求∠B0E的度数. (2)若LC0E比∠C0D多60°，求LC0E的度数. 12.(24-25七年级下广东汕头开学考试)如图，已知点O为直线AB上一点，∠B0C=110, ∠C0D=90°，0M平分∠A0C. 7/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (I)求∠A0D的度数： (2)若∠BOP与∠AOM互余，求LC0P的度数. 13.(24-25七年级上河南郑州期末)如图，已知LA0B=120°，0C是∠A0B内部的一条射线，且 ∠A0C=1∠B0C. B C O A (I)求∠BOC的度数； (2)①尺规作图：在∠AOB内部，过点0作射线0D,使∠AOD=2∠A0C(保留作图痕迹，不要求写作法)： ②在①的条件下，求∠BOD的度数. 14.(24-25七年级上全国期末)已知O为直线AB上的一点，∠C0E=90°，AB⊥MN, 北 东 B 图① 图② 图③ (1)如图①，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方，若∠C0N=17°，则射线OE的方向 是_；若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF恰好平分∠C0M·若 ∠E0F=20°，求∠A0F的度数； (2)若将射线0C、射线OE绕点O旋转至如图③所示的位置，射线0F仍然平分LC0M,∠CON与∠A0F之 间存在怎样的数量关系？请说明理由， 15.(24-25七年级下山东·开学考试)如图，以直线AB上一点0为端点作射线0C,使LB0C=70°，将一 个直角三角形的直角顶点放在点0处.（∠D0E=90°） 8/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E C >D AO D B B B A O B ① ③ ③ 备用图 (I)如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则LC0E=°： (②)如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE,求∠COD的度 数； (3)如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎 样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板DOE绕点O转动一周，如果OD在∠B0C的外部，且∠B0D=80°，请直接写出LC0E的 度数. 16.(24-25七年级上山东济南期末)如图1，点0为直线AB上一点；0C在直线AB的上方，∠A0C=60 ,一直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. M 图1 图2 图3 (①)在图1的时刻，∠B0C的度数为_°，∠CON的度数为_°： (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分∠BOC时，求∠B0N的度数： (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在∠AOC的内部时，LA0M-LC0N度数为°： (4)在三角板绕点O逆时针旋转180°的过程中，直接写出∠C0M与∠A0N的数量关系 9/9 专题02 角的有关计算问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角板中角度计算问题 1 题型二、与方位角有关的计算题 5 题型三、钟面角 9 题型四、角平分线的有关计算 10 题型五、角n等分线的有关计算 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角板中角度计算问题 1.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 2.如图，将一副三角板摆成如图形状，如果，那么的度数是 ．    【答案】/度 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系是解题的关键． 利用即可求解． 【详解】解：由图可知：， ， ， ． 故答案为：． 3.将一副直角三角尺按如图1方式叠放，．如图2，现将三角尺固定，令三角尺绕顶点A顺时针旋转一周．若要使，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．分两种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数． 【详解】如图，当时，， ， ， ； 如图，当时，， ， ； 综上所述，要使，则的度数为或， 故答案为：或 4.直角三角板的一个顶点O在直线上，． (1)如图1，三角板在直线上方． ①若，则 ； ②若平分，则 ； (2)若三角板在直线下方，．求的度数； (3)类比探究：如图3，在数轴上，点为原点，点表示的数是，，线段在数轴上移动，且（点在点的左侧），当时，求出点表示的数． 【答案】(1)①；② (2) (3)4或16 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算，线段的和与差． （1）①利用平角的定义，进行计算即可；②根据角平分线平分角，求出的度数，再根据平角的定义，求解即可； （2）根据，结合，得到，求解即可； （3）分线段在线段上，线段在线段右侧与线段在线段左侧，三种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的和差关系，线段之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为：； ②∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由图2可知，， ，， ， ， ； （3）点A表示的数是，， 点B表示的数为10， ①当线段在线段上时，如图， 由图可知，， ，， ， ， ， 点C表示的数为4； ②当线段在线段右侧时，如图， 由图可知，， ，， ， ， ， 点表示的数为16； ③当线段在线段左侧时，此种情况不成立． 综上，点表示的数为4或16． 题型二、与方位角有关的计算题 5.如图，已知轮船在灯塔的北偏东方向，轮船在灯塔的南偏东方向，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角，根据题意即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键 【详解】解：如图所示标注字母， 由题意知：， ， ∴， 故答案为：． 6.如图，李华同学从点沿北偏东的方向行走到点，再从点沿南偏西方向行走到点，则的大小为 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方位角．画图正确表示出方位角，利用角的和与差计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 故答案是：40． 7.如图，一艘船从A点出发先沿北偏东方向航行，到达B点时发现前方有冰山，紧急向左进行了的转弯，然后沿着方向航行，则 ． 【答案】 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查方向角、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识的．利用平行线的性质求得即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8.如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线． (1)射线的方向是________； (2)求的度数； (3)若射线平分，求的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【知识点】方向角的表示、与方向角有关的计算题、角平分线的有关计算、邻补角的定义理解 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据，，得出，进而求出的度数； （3）根据射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图， 的方向是北偏西，的方向是北偏东， ，， ， ， ， ， 的方向是北偏东； 故答案为：北偏东； （2）解：如图， ，， ． 又射线是的反向延长线， ． ． （3）解：如图， ，平分， ． ． ． 题型三、钟面角 9.自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是 ． 【答案】/75度 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角为把圆分成12等分是解题的关键，根据题意当时钟显示为，时针与分针的夹角由两部分组成，分别是之间的两格和之间的半格，求出它们的度数即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴时针与分针的夹角为. 10.若此时时钟表上的时间是分，则时针与分针的夹角为 度． 【答案】90 【知识点】钟面角 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，先求出时钟上相邻数字之间的度数，再根据时，时针指向数字3，分钟指向数字12进行求解即可． 【详解】解：， ∴此时时针与分针的夹角为90度， 故答案为：90． 11.2点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】钟面角 【分析】本题考考查了钟面角度的计算和时针、分针的转动速度．熟练掌握钟面角度的计算和时针、分针的转动速度是解题的关键．钟面被平均分成了个大格，每个大格的角度是；时针每分钟转，分针每分钟转． 先求出2点时，时针与分针的初始夹角，再根据时针和分针的转动速度，计算分钟后它们的夹角即可． 【详解】解：2点分钟时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数为：． 故答案为：． 12.如图是一个时钟的钟面，此时钟面上的时间是下午1点30分，时钟的分针与时针所成的钝角的度数为 度． 【答案】135 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，整个圆分为12个大格，每个大格30度，下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，由此可解． 【详解】解：下午1点30分时，时针与分针所成的钝角含4.5个大格，每个大格30度， 因此时钟的分针与时针所成的钝角的度数为：（度）， 故答案为：135． 题型四、角平分线的有关计算 13.如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)是的平分线，理由见详解 【知识点】求一个角的补角、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的和差，补角的定义，角平分线的定义； （1）由角的和差得，由角的平分线及角的和差得，即可求解； （2）由补角的定义得，由角平分线的定义即可求解； 理解补角的定义，角平分线的定义，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 是的平分线， ， ； （2）解：是的平分线； 理由如下： ， ， ， ， 是的平分线． 14.（1）如图1，射线在的内部，平分，平分，若，求的度数； （2）射线，在的内部，平分，平分，若，，求的度数； （3）在（2）中，，，其他条件不变，请用含，的代数式表示的度数（不用说理）．    【答案】（1）；（2），（3） 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想． （1）根据角平分线的定义可得：，，相加可得的度数； （2）根据角平分线的定义可得：，，将分成三个角相加，并等量代换可得结论； （3）同理可得结论． 【详解】解：（1）平分， ， 同理， ， ； （2）平分， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ，， ， （3）平分， ， 同理可得：， ， ， ， ， ， ，， ． 15.如图①，已知射线、在的内部在右侧），，． (1)如果射线平分，，如图②，则 ； (2)如果射线、分别平分、，如图③，求的度数； (3)在（2）的条件下，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的运算，利用角的和差得出是解题关键． （1）根据角平分线的性质，数形结合可得答案； （2）根据角平分线的性质，角的和差，数形结合可得答案； （3）根据角的和差，可得，根据角平分线的性质，可得，根据角的和差可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 故答案为：； （2）解：平分， ， ，， ； （3）解：平分，， ， 由，得， ，， 平分， ， 由角的和差可得． 16.刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 题型五、角n等分线的有关计算 17.在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 18.定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 一、单选题 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）钟面上的时间为下午，此时时针与分针的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定时针和分针在下午2:30时的位置，分别计算它们与12点位置的夹角，再求两者的夹角．本题主要考查了钟面角的计算，熟练掌握时针和分针的转动速度是解题的关键． 【详解】解：∵分针60分钟转一圈，即， ∴分针每分钟转， ∴分针转过的角度为； ∵时针每小时转，每分钟转， ∴时针转过的角度为； ∴时针与分针的夹角为 故选：B． 2．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，两个直角三角形如图所示摆放，，点在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据平角的定义可得，代入已知角的度数计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点在上 ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差关系．分两种情况考虑：①射线在内；②射线在内，再根据角的和差求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ①当射线在内时，如图， ； ②当射线在内时，如图， ； ∴度数是或． 故选：B． 4．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店．如图，若把湘绣手工店记作点，在处观察体验工坊（记作点）时，点在点的北偏西方向上，在处观察奶茶店（记作点）时，，则奶茶店在湘绣手工店的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 【答案】B 【分析】本题考查了方位角的定义，角度的运算，掌握方位角的定义是解题的关键．结合图形，根据方位角的意义，求得的度数即可求解． 【详解】解：如图， ∵点在点的北偏西40°18'方向上， ∴， ∵， ∴， ∴奶茶店在湘绣手工店的北偏东方向上． 故选：B． 5．（24-25八年级下·全国·期中）把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，直角三角形的性质. 分两种情况进行讨论：①当点D运动到与A重合时；②当点D运动到A是中点时；分别画出相应的图形进行求解即可． 【详解】解：当点D运动到与A重合时，是直角三角形，此时， 当点D运动到A是中点时，是直角三角形，此时， ∴的度数为或， 故答案为：或． 二、填空题 6．（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键． 由题意可知，，则，，即①，②，再根据，可得，代入②可得：③，①③可得：，即可得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：一副三角板的顶点重合在一起， ． ，， ①，②， ， ， ③， ①③，得， ， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·福建福州·开学考试）是边长为的等边三角形，是绕C点逆时针旋转后得到的（如图）．那么，这个三角形旋转了 度．点位于C点西偏北 度的方向，距离C点． 【答案】 【分析】本题考查方向角． 根据方向角和等边三角形的知识，结合角之间的关系计算即可． 【详解】解：， ∴这个三角形旋转了， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴点位于C点西偏北的方向． 故答案为：，． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点O为量角器中心，射线与射线经过的刻度分别为和，从点O引一条射线，使，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算，分情况讨论的方法是解答本题的关键．先求得，，再分射线在内部和射线在内部两种情况讨论，利用角的和与差求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 当射线在内部时，； 当射线在内部时，； 故答案为：或． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，关键是分两种情况讨论进行求值．先根据题意求出，，，再分两种情况进行分析，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 当射线在的内部时，如图： 此时， 当射线在的外部时，如图： 此时． 故答案为：或． 10．（23-24七年级上·江西抚州·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 三、解答题 11．（24-25七年级上·湖南·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)若比多，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线定义的运用，能理解角平分线定义和角与角之间的关系是解此题的关键． （1）由已知条件和观察图形，利用角平分线的性质求出的度数，再求的度数； （2）由已知条件和观察图形，利用角平分线的性质求出的度数，再根据比多求的度数． 【详解】（1）解：如图，因为平分， 所以， 又因为平分． 所以． 所以， 因为， 所以． （2）解：由（1）可知，． 因为比多， 所以，① 因为，② 由① +②得：， 所以． 12．（24-25七年级下·广东汕头·开学考试）如图，已知点O为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，互余，角的和差关系． （1）根据平角定义求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可； （2）根据互余的两个角和为90度求出，根据角平分线的定义求出的度数，根据角的和差关系求出即可 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知是内部的一条射线，且． (1)求的度数； (2)①尺规作图：在内部，过点作射线，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，求的度数． 【答案】(1) (2)①作图见解析；② 【分析】本题考查几何图形角度的计算，尺规作一个角等于已知角， （1）设，根据题意可得，解方程，即可求解； （2）①根据题意，作，即可求解； ②由（1）得因为，可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：设 因为所以 解得：所以． （2）①如图所示 ②由（1）得因为所以 所以． 14．（24-25七年级上·全国·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·山东·开学考试）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动一周，如果在的外部，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． （4）先画出图形，分两种情况讨论：当在的上方，当在的下方，再结合角的和差运算计算即可． 【详解】（1）解：，， ， （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． （4）解：如图，当在的上方，，    ∴， ∴； 如图，当在的下方，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 16．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图1，点为直线上一点；在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点旋转至一边在的内部时，度数为 　 　°； (4)在三角板绕点O逆时针旋转的过程中，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2) (3)30 (4)与的数量关系有三种或或 【分析】本题主要考查角平分线有关的计算及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）由，，可得，，然后作差即可； （4）分三种情况：当在内部，在下方时，当都在内部时，当在内部，在内部时，分别结合图形求解即可． 【详解】（1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：， ， 又平分， ， ， ； （3）解：，理由如下： ，， 、， ， 即； 故答案为：； （4）当在内部，在下方时，如图， ， 即， ； 当都在内部时，如图： ，即， ； 当在内部，在内部时，如图所示： ∴， ． 综上：或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $