第五章 基本平面图形（复习课件）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

单元复习课件 第五章 基本平面图形 鲁教版五四制·六年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.能识别线段、射线等图形的定义与特征，用规范符号表示，结合生活实例说明现实原型． 3.理解线段、射线、直线的区别，掌握角度分秒换算，推导 n 边形相关数量，形成抽象思维与几何直观． 2.掌握 “两点确定一条直线” 等基本事实，会比较线段与角的大小，能尺规作已知线段和角，解决简单实际问题． 单元学习目标 基 本 平 面 图 形 直线、射线、线段 符号表示 基本事实 线段的比较 角 符号表示 角度换算 角平分线 角的比较 多边形和圆 正多边形 定义 对角线 弧 扇形 定义 面积计算 单元知识图谱 考点一、线段、射线、直线 1．定义与特征：绷紧的琴弦、黑板边沿近似地看作________（线段有________个端点）；将线段向一个方向无限延长形成________（如手电筒光线，射线有________个端点）；向两个方向无限延长形成________（直线________端点）。 2．表示方法：线段可表示为“线段________”、“线段________ ”或“线段________”。 线段 2 射线 1 直线 没有 AB BA a 考点串讲 考点一、线段、射线、直线 射线可表示为“射线________”（A为端点）。 直线可表示为“直线________”、“直线________”或“直线________”。 AB AB BA l 考点串讲 考点一、线段、射线、直线 3．位置关系：点在直线________（直线________点）和点在直线________（直线________点）这________种位置关系。 上 经过 外 不经过 两 考点串讲 考点一、线段、射线、直线 4．基本事实： 经过两点有且只有________直线（简述为：________确定一条直线）。 两点之间的所有连线中，线段________。 注意：两点之间线段的________叫作两点之间的距离。 一条 两点 最短 长度 考点串讲 考点一、线段、射线、直线 5．线段的比较与作图： 比较线段长短可用刻度尺________或叠合法（将一个端点________比较）。 测量 重合 考点串讲 考点一、线段、射线、直线 用尺规作图的方法可以将一条线段________另一条线段上。 用尺规可作一条线段等于已知________（作射线后用圆规截取）。 移到 线段 考点串讲 考点一、线段、射线、直线 将线段分成相等两段的点叫线段________（如点M是线段AB中点，则AM=BM=________或AB=2________=2________）。 中点 AB AM BM 考点串讲 考点二、角 1．定义与分类：角由两条具有公共________的射线组成，也可看作一条射线绕端点________而成。 注意：角的大小与边的________无关。 端点 旋转 长短 考点串讲 考点二、角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作________。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作________。 小于180°的角可分为________、________、________。 平角 周角 锐角 直角 钝角 考点串讲 考点二、角 2．表示方法：可表示为∠________或∠________、∠________、∠________等（顶点处只有一个角时可用________字母表示）。 BAC A a 1 单个 考点串讲 考点二、角 3．度量单位：1周角=________，1平角=________，1直角=________；1°=________，1′=________。 4．方位角：在平面内，为确定物体的相对位置，我们以正________或正________方向为起始边，向正________或正________方向旋转，形成的小于90°的角就是________。 360° 180° 90° 60′ 60″ 北 南 东 西 方位角 考点串讲 考点二、角 5．角的比较与作图：比较角的大小可用量角器测量或________法（顶点与一条边重合，比较另一条边位置）。 叠合 考点串讲 考点二、角 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个________的角，这条射线叫作这个角的________（如射线OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=________或∠AOB=2________=2________）； 相等 平分线 ∠AOB ∠AOC ∠BOC 考点串讲 考点二、角 用尺规可作一个角等于________角（以顶点为圆心画弧，截取等长弧长确定角的另一边）。 已知 考点串讲 考点三、多边形 1．定义与要素：由若干条不在同一直线上的线段________相连组成的封闭平面图形（如三角形、四边形、五边形、六边形等）；要素包括顶点、边、内角（多边形相邻两边组成的角）、对角线（连接不相邻两个顶点的________）。 首尾顺次 线段 考点串讲 考点三、多边形 2．正多边形：各边________、各角也________的多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）。 相等 相等 考点串讲 考点三、多边形 3．n边形中的相关数量关系：n边形有________个顶点、________条边、________个内角；过n边形一个顶点有________条对角线。 n n n （n-3） 考点串讲 考点四、圆与扇形 1．圆的定义与要素：平面上一条线段OA绕固定端点O________一周，另一个端点A形成的图形叫圆；固定端点O为________，线段OA为________；圆上两点间的部分叫________（简称弧，记作）。 旋转 圆心 半径 圆弧 考点串讲 考点四、圆与扇形 2．扇形与圆心角：由一条弧和经过弧端点的两条半径组成的图形叫________；顶点在圆心的角叫________；若圆被分割成多个扇形，扇形圆心角度数与圆周角的比等于扇形面积与圆________的比。 扇形 圆心角 面积 考点串讲 题型一、图形个数问题 例1：（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； 解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段， 以点C为左端点向右的线段有线段， 以点D为左端点的线段有线段， ∴共有（条）． 故答案为：6； 6 题型剖析 题型一、图形个数问题 例1：（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则， ∴倒序排列有， ∴， ∴，故答案为：； 题型剖析 题型一、图形个数问题 例1：（3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （3）把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当时，． 答：一共要进行45场比赛． 题型剖析 题型一、图形个数问题 例1：（4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． （4）∵火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关， ∴根据上述问题可得，， 故答案为：． 题型剖析 题型一、图形个数问题 我们在探索物体的个数时，可首先求出各图中物体的个数，将其与相应的图序数作对比，看二者有何关系，即得规律。 题型剖析 变式：如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需比赛_______场. 题型一、图形个数问题 3 6 120 题型剖析 解：（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有，， ∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有，， ∴图中得到6个角； ③由①②可得，当从点分别引条射线， ， ∴得到个角； （2）根据题意可得， 当时，． ∴全部赛完共需120场比赛． 题型一、图形个数问题 题型剖析 解：如图，  ∵，C是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴，故选：A． 题型二、线段长度的计算 例2：如果线段，C是的中点，延长到D，使，E是的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． A 题型剖析 题型二、线段长度的计算 在求线段长时，我们常常结合图形转化为求相关线段的和或差，再结合线段中点的定义等进而求解(化未知为已知)。 题型剖析 解：（1）∵， ∴当点C在线段上时，； （2）当点C在线段上时，如下图， ∵， ∴，， 又∵M，N分别是的中点，∴， ∴； 题型二、线段长度的计算 变式：已知，点C是直线上一点，线段． (1)如图，当点C在线段上时，求的长； (2)点M，N分别是的中点，求线段的长． 题型剖析 题型二、线段长度的计算 变式：已知，点C是直线上一点，线段． (1)如图，当点C在线段上时，求的长； (2)点M，N分别是的中点，求线段的长． 当点C在直线上时，如下图， ∵， ∴，， 又∵M，N分别是的中点， ∴， ∴ 综上所述，线段的长为12． 题型剖析 题型三、 时钟夹角问题 _______              _______              _______                _______ 解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 例3：（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． 题型剖析 题型三、 时钟夹角问题 例3： （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 题型剖析 题型三、 时钟夹角问题 时针 1 小时 (60 分钟)转 30° (一大格)，那么 1 分钟转0.5°；分针 60 分钟 (1小时) 转360°，那么 1 分钟转 6° (一小格)。 题型剖析 题型三、 时钟夹角问题 变式：如图，2时20分，钟表的时针与分针之间所成的较小角的度数是多少？再过1小时，时针与分针之间所成的较小角的度数是多少？时针转动的度数是多少？ 解：因为当时间为时分时，时针指向点和点之间 的靠近刻度的处，分针指向刻度， 故时针与分针之间所成的较小角度为：． 再过小时是时分，同理可得时针与分针之间所成的较小角度为：． 时针转动的度数：． 所以时分，钟表的时针与分针之间所成的较小角的度数是，再过小时，时针与分针之间所成的较小角的度数是，时针转动的度数是． 题型剖析 题型四、有关角的计算 例4：如图，．求的度数． 解： 故的度数为. 题型剖析 题型四、有关角的计算 在求角度的计算时，我们常常结合图形转化为求相关角的和或差，再结合角平分线的定义等进而求解(化未知为已知)。 题型剖析 解：（1）∵，分别平分和， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴； 题型四、有关角的计算 变式：如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系.(直接写出猜想即可) 题型剖析 题型四、有关角的计算 变式：如图，在内部转动，，分别平分和． (1)若，，求的度数； (2)试猜想，和会有怎样的数量关系.(直接写出猜想即可) （2），理由如下： ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ∴． 题型剖析 题型五、角度的四则运算 例5：计算： (1)；(2)；(3)． 解：（1） ． （2） ． （3） ． 题型剖析 题型五、角度的四则运算 角度四则运算需先统一度分秒单位，计算时满 60 分进 1 度、满 60 秒进 1 分，不够减则借 1 度当 60 分、借 1 分当 60 秒，分步计算后反向验算，保证结果准确。 题型剖析 题型五、角度的四则运算 变式：计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 题型剖析 题型六、多边形的相关概念与计算 例6：下列说法正确的是（    ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 C 分析：本题主要考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．根据正多边形的定义进行判断即可． 解：每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形， 故选：C． 题型剖析 题型六、多边形的相关概念与计算 解多边形问题，先记 n 边形要素（n 顶点 n 边），对角线公式（每个顶点引出（n-3）条对角线）计算，辨析概念时举反例，算后验结果。 题型剖析 题型六、多边形的相关概念与计算 变式：如图所示的多边形分别为正五边形、正六边形、正十边形、正十二边形． (1)在以上各正多边形中分别任选一个顶点作对角线，把各多边形分割为若干个三角形． (2)根据（1）中你的分割结果提出猜想，并说明过正三十边形的一个顶点作对角线，能把正三十边形分割成多少个三角形． (3)在（2）中，当把正三十边形换为任意三十边形时，结论是否还能成立？请说明理由． 解：（1）分割情况如图所示（答案不唯一）． 题型剖析 题型六、多边形的相关概念与计算 （2）过正五边形一个顶点作对角线把正五边形分割成个三角形，而； 过正六边形一个顶点作对角线把正六边形分割成个三角形,而； 过正十边形一个顶点作对角线把正十边形分割成个三角形，而； 过正十二边形一个顶点作对角线把正十二边形分割成个三角形，而； 根据分割结果猜想：分割成的三角形个数与多边形边数之间的关系为三角形的个数多边形的边数． ∴过正三十边形的一个顶点作对角线把正三十边形分割成个三角形， （3）结论仍能成立．理由：因为分割成的三角形个数只与多边形的边数有关，而与多边形边的长短、角的大小无关． 题型剖析 题型七、圆与扇形的相关问题 例7：将一个圆分成三个扇形A，B，C，它们的面积之比为，则面积最小的扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． A 分析：本题考查了扇形的面积公式，圆心角的度数比与扇形的面积比相等是解题的关键，根据扇形的面积公式，利用圆心角之比等于面积之比，求出最小扇形的圆心角即可． 解：∵根据题意得，三个扇形的圆心角之比为， ∴扇形的圆心角度数为，故选： A． 题型剖析 题型七、圆与扇形的相关问题 解圆与扇形题，先明确半径、圆心角等概念，用圆周角 360° 算扇形圆心角，借圆心角占比求面积占比，结合图形理关系，算后验结果。 题型剖析 题型七、圆与扇形的相关问题 变式：如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？ 解：周角是， ， ． 题型剖析 1．如图，是某住宅小区平面图，点M是某小区“菜鸟驿站”的位置，图中各条线为小区内的小路，从居民楼点N到“菜鸟驿站”点M的最短路线是（　　） A．④ B．③ C．② D．① 分析：本题考查的是两点之间，线段最短，根据两点之间，线段最短可得答案. 解：从居民楼点N到“菜鸟驿站”点M的最短路线是③. 故选：B B 针对训练 2．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．  C．   D．   解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． A 针对训练 3．如图，点D为线段上一点，点C为的中点， ，则的长为（    ） A． B． C． D． B 解：∵，∴（）， 又∵点C为的中点， ∴（）． 故选：B． 针对训练 4．如图，交于点O，平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴，故选：B． B 针对训练 5．下列说法①线段，则点C是线段的中点；②两点之间的线段叫做两点之间的距离；③用度、分、秒表示为；④过八边形的一个顶点可作5条对角线．正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：①线段，但未说明C在线段上，若C不在上则不是中点，故①错误． ②两点间距离是线段的长度而非线段本身，故②错误． ③，，故，故③正确． ④八边形一个顶点的对角线数为（条），故④正确． 综上，正确的有③④，共2个，故选：B． B 针对训练 6．计算： ； ． 解： 故答案为：． ， 故答案为：． 针对训练 7．数学课上，小明用土豆做了一个长方体模型．他用一个平面去截该模型，截面的形状如图所示，这个截面共有 条对角线． 分析：本题考查的是多边形的对角线的数量问题，根据边形的对角线有条，从而可得答案． 解：∵这个截面是五边形， ∴对角线有（条）； 故答案为： 针对训练 解：①当点C在线段上时，， ∵点O是线段的中点，∴， ∴； ②当点C在线段的延长线上时，， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴；故答案为：或 8．在直线l上有A，B，C三点，使得，如果点O是线段的中点，则线段的长度是 ． 或 针对训练 9．已知，平分，，则的大小是 ． 或 解：∵，平分， ∴． ①如图所示，射线位于内部， ∴； ②如图所示，射线位于内部时，  ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 针对训练 解：如图，  根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 10．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 针对训练 11．如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图． (1)画直线； (2)作射线，与直线交于点； (3)连接； (4)找到一点，使到、、、四点的距离和最短． 解：（1）如图，直线即为所求． （2）如图，射线和点即为所求． （3）如图，线段即为所求． （4）如图，点即为所求（理由：两点之间线段最短）． 针对训练 12．点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 针对训练 解：（1）∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2），， ∵，∴， ∴ ∵平分，∴． 针对训练 （3）①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． 针对训练 ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分，∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分，∴， 即．综上分析可知， 或或或． 针对训练 ✅ 知识构建：基本平面图形 基础图形概念→图形要素→表示方法→基本事实与性质→度量与作图 ✅ 思想方法： 抽象建模思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、逻辑推理与证明、从特殊到一般思想 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $