6.1平方根、立方根 同步达标测试题 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

2025-2026学年沪科版七年级数学下册《6.1平方根、立方根》同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．“6的平方根”可用数学式子表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．5的算术平方根是25 D．是9的一个平方根 3．已知，那么的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．体积为立方分米的正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 5．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．给出下列各式：，，，．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 8．用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．36的平方根__________，的算术平方根是__________，的立方根是__________． 10．一个数的立方等于，那么这个数是_____． 11．计算： （1）________； （2）________． 12．一个正数的两个平方根分别是和，这个正数的立方根是____． 13．当时，的值是__________________． 14．的平方根是，的立方根是2，则_______． 15．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 16．如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是__________． 三、解答题（满分72分） 17．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．计算： (1) (2) 20．已知与互为相反数，求a的值． 21．已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 22．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 23．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 24．如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 参考答案 1．A 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：6的平方根表示为， 故选：A． 2．D 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 的立方根是，故A选项错误； ∵ 表示的算术平方根， ∴ ，故B选项错误； ∵ 正数的平方等于时，是的算术平方根， ∴ 的算术平方根是，故C选项错误； ∵ ， ∴ 是的一个平方根，故D选项说法正确． 3．D 【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为0是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零则每个部分均为零． 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， 由得， ∴， 代入得，即， ∴， ∴． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：体积为27立方分米的正方体的棱长为． 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根的定义等知识点，掌握算术平方根、平方根的区别与联系是解题的关键． 根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A选项错误，不符合题意； B． ，故B选项正确，符合题意； C． ，故C选项错误，不符合题意； D． ，则，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 6．B 【分析】本题考查了立方根的定义与计算，掌握通过计算立方值来验证立方根的正确性是解题的关键． 逐一验证每个立方根表达式是否正确． 【详解】解：对于第一个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第二个：∵ ，且 ，∴ 正确； 对于第三个：∵ ，∴ ，错误； 对于第四个：∵ ，∴ ，∴ 错误； 综上，正确的个数为． 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 8．A 【分析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根和立方根，根据计算器求算术平方根和立方根的按键方法求解即可． 【详解】解：用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是 故选：A． 9． 3 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根等知识点，掌握算术平方根和平方根的关系是解题的关键． 直接根据平方根、算术平方根、立方根的定义求解即可． 【详解】解：36的平方根，的算术平方根是，的立方根是． 故答案为：，3，． 10． 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 11． 9 【分析】本题考查了立方根的定义和计算，掌握立方根的计算方法，尤其是分数立方根的拆分计算是解题的关键． 计算立方根时，需找到使立方等于被开方数的数；分数立方根可分解为分子分母分别开立方；负号表示取相反数． 【详解】解：（1） ， ． 故答案为：； （2），首先计算 ， ，， ， ， 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查了平方根与立方根，熟记平方根与立方根的定义是解题关键． 一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求解a的值，再求正数，最后求立方根． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：． 当时，平方根为和， 故正数为，立方根为． 故答案为：4． 13．或或 【分析】设，将原方程转化为，通过解方程求出的值，再代回求出，最后计算的值． 【详解】解：设 ，则原方程化为 . 两边立方得 ，即 ， 因式分解得 ， 解得 或 或 . 当 时，，则 ; 当 时，，则 ; 当 时，，则 . 验证均满足原方程，故 的值为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了换元法解方程和立方根的性质，解题关键是通过换元将复杂方程转化为简单的一元三次方程，注意不要漏解． 14．13 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得， 则． 故答案为：13． 15．± 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”是解答此题的关键．根据小正方形的面积，求出正方形的面积，再根据算术平方根定义，求出结果即可． 【详解】解：分割图形如下： 这个正方形的面积为：， 故这个正方形的边长是：． 故答案为：． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵，且， ，即； （3）解：∵，且， ，即； （4）解：∵， ， ． 18．(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据立方根和平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或 ， 或． （2）解：， ， ， ． 19．(1) (2)0 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别化简立方根，算术平方根，再运算加减法，即可作答． （2）先分别化简立方根，算术平方根，以及运算乘方，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20． 【分析】本题考查了相反数、立方根、解一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． 根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解． 【详解】解：与互为相反数， ， ，即， 解得． 21．(1)， (2) 【分析】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）由算术平方根的定义和立方根的定义列方程组即可求解； （2）把、的值代入求得代数式的值，最后再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：，， ， 的平方根是， 的平方根是． 22．(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 23．(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 24．(1)拼成的正方形的面积为5，边长为 (2)边长为 (3)面积为10，边长为 【分析】本题主要考查了图形的剪拼以及算术平方根的应用，正确利用算术得出边长是解题关键． （1）根据五个边长为1的小正方形组成的图形直接得出图形面积和边长即可； （2）利用勾股定理直接得出即可； （3）仿照图1的做法得出边长和面积即可． 【详解】（1）解：5个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，所以拼成的正方形的面积是：， 边长； （2）解：如图所示；边长为； （3）解：能，如图所示：边长为：． 学科网（北京）股份有限公司 $