专题03 二元一次方程组含参问题专训8大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级下册

专题03 二元一次方程组含参问题专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、忽略二元一次方程组中的系数不为0 1 题型二、已知二元一次方程组的解求参数的值 2 题型三、解二元一次方程组中符号或数字看错问题 3 题型四、二元一次方程组中同解方程组 5 题型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 6 题型六、已知二元一次方程组的解之间的情况求参数或代数式的值 8 题型七、与二元一次方程组有关的新定义参数问题 9 题型八、二元一次方程组特殊解法中的参数问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、忽略二元一次方程组中的系数不为0 1．若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 2．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 3．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 4．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 5．方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 题型二、已知二元一次方程组的解求参数的值 6．若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 8．如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值是______________． 9．若关于的方程组的解满足，则的值为_____ 10．已知是二元一次方程组的解，求的值． 题型三、解二元一次方程组中符号或数字看错问题 11．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 13．方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 14．方程组的解为，、代表两个常数，则_________，_________ 15．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 题型四、二元一次方程组中同解方程组 16．若两个关于的方程组和的解相同，求的值． 17．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 18．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 19．已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 20．已知方程组与方程组的解相同，求这个解和a、b的值． 题型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 21．已知关于x、y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 22．已知关于的方程组，其中为整数．若方程组有无穷多组解，求实数与的值． 23．m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求的值． 24．已知关于x，y的方程组． (1)当时，的值为________； (2)若x和y互为相反数，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为________． 25．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 题型六、已知二元一次方程组的解之间的情况求参数或代数式的值 26．若方程组的解满足，则 27．已知关于的二元一次方程组（为常数）． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 28．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 29．若关于、的二元一次方程组的解、互为相反数，求的值． 30．已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论： (1)当时，方程组的解为__________； (2)当时，请求出的值； (3)请说明不论取什么有理数，的值始终不变． 题型七、与二元一次方程组有关的新定义参数问题 31．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 32．定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 33．定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 34．定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 35．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 36．关于，的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足＝，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③④． (2)若关于，的方程组是“美好”方程组，求的值． 题型八、二元一次方程组特殊解法中的参数问题 37．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 38．已知方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 39．关于x、y的方程组，则的值为______． 40．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______． 41．（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 42．在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 1．已知和都是方程的解，求与的值． 2．小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求的值． 4．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 5．嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为． (1)求m和n的值； (2)求方程组的正确的解． 6．关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 7．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 8．李想准备完成作业：“解二元一次方程组”发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成2，请你解二元一次方程组； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是对相反数”．求“”的值． 9．二元一次方程组的解满足． (1)求k的值； (2)求原方程组的解． 10．已知关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解． (1)分别用含的式子表示； (2)求的值和方程组的解． 11．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．    (1)按照小云的方法，的值为_________，的值为_________； (2)请按照小辉的思路求出的值． 12．已知关于x、y的方程组 (1)直接写出方程所有的正整数解___； (2)如果方程组的解满足，求k的值； (3)当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，请直接写出这个公共解． 13．已知关于x ，y 的方程组． (1)请写出方程 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求 m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组含参问题专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、忽略二元一次方程组中的系数不为0 1 题型二、已知二元一次方程组的解求参数的值 2 题型三、解二元一次方程组中符号或数字看错问题 3 题型四、二元一次方程组中同解方程组 5 题型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 6 题型六、已知二元一次方程组的解之间的情况求参数或代数式的值 8 题型七、与二元一次方程组有关的新定义参数问题 9 题型八、二元一次方程组特殊解法中的参数问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、忽略二元一次方程组中的系数不为0 1．若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 【详解】解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 2．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 3．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 4．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 【答案】1 【分析】二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 【详解】解：因为方程是关于，的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为1． 5．方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得，，即或， 又∵， ∴， ∴． 题型二、已知二元一次方程组的解求参数的值 6．若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 7．若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程解代入方程即可． 本题考查二元一次方程的解，将解代入方程是解题关键． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 8．如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值是______________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法及方程解的定义，关键是先求出方程组用含的代数式表示的解，再代入已知方程构建关于的一元一次方程求解．首先利用加减消元法解二元一次方程组，得到、关于的表达式；再根据方程解的定义，将、代入，得到关于的一元一次方程，最后解该方程求出的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解， ∴代入方程得：，解得； 故答案为：． 9．若关于的方程组的解满足，则的值为_____ 【答案】7 【分析】本题考查二元一次方程组的解与整体代入法．解题的关键是将两个方程相加， 得到与的关系式， 再代入求解． 【详解】解：将两个方程相加： 简化得： 即： 代入： 移项得： 解得： 故答案为：7． 10．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求代数式的值，二元一次方程组的解；将代入方程组得，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ， 整理，得， ，得． 故的值为1． 题型三、解二元一次方程组中符号或数字看错问题 11．如果方程组的解为，那么被“”“”遮住的两个数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由方程组的解为，得，然后解方程组即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴， 解得：， ∴被“”“”遮住的两个数分别是，． 12．若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【详解】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 13．方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，关键是利用方程组的解满足每个方程的性质，通过设未知数建立等式求解．观察题目结构，假设第二个方程右边的被遮盖数与解中的被遮盖数为同一个数，先代入第二个方程求出的值，再将和代入第一个方程即可求出■表示的数． 【详解】解：设第二个方程右边的数和解中的值均为， ∵方程组的解为， ∴将，代入第二个方程， 得，解得； 将，代入第一个方程， 得； 故答案为：． 14．方程组的解为，、代表两个常数，则_________，_________ 【答案】 8 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键，将 代入方程 可求得 的值，再将 和 的值代入方程 可求得 的值。 【详解】解：把 代入，得，即 ， 解得 ， ∴； 把 代入，得 ， ∴， 故答案为 ：8，． 15．甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 题型四、二元一次方程组中同解方程组 16．若两个关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】a的值为6，b的值为 【分析】把方程组中不含a、b的两个方程联立方程组，求出，再将代入含a、b的两个方程，解得，即可解答． 【详解】解：把方程组中不含a、b的两个方程联立方程组，得 ， 解得， 将代入，得 ， 解得， 答：a的值为6，b的值为． 17．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 18．已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出a与b的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， 把代入，得， ， 解得：， ∴． 即的值为1． 19．已知关于，的方程组和的解相同． (1)求这两个方程组的解； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是理解同解方程组的定义． （1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程组 和 的解相同， ∴， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． （2）∵由（1）得， ∴将代入得， 由得：， ， ， 将代入①中得：，解得：， 综上，． ∴． 20．已知方程组与方程组的解相同，求这个解和a、b的值． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值． 【详解】解：由题意可得这两个方程组的解也是方程组的解， ①②得，， ∴， 把代入①得，， ∴这个解为， 把代入，得③， 把，代入，得④， 解③④组成的方程组， 得． 题型五、已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 21．已知关于x、y的方程组 (1)求这个方程组的解； (2)当a取什么整数时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，不等式组的整数解和解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解题的关键．先求出方程组的解，再得出关于的不等式组，求出不等式组的解集，即可求出答案． 【详解】（1）在方程组中， 得：， 解得：， 把代入②可得，， 解得：， 方程组的解为； （2）x为负数，y为非正数， ，即， 解得， a为整数， a的值为或时，这个方程组的解中x为负数，y为非正数． 22．已知关于的方程组，其中为整数．若方程组有无穷多组解，求实数与的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先根据方程组中的第一个方程可得，代入第二个方程可得，再根据方程组有无穷多组解可得，，据此求解即可得． 【详解】解：， 由①得：③， 将③代入②得：，即， ∵这个方程组有无穷多组解， ∴，， 由得：， 将代入得：，解得， 将代入得：， ∴． 23．m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及整数解问题．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 通过消元法求出方程组的解，再根据方程组的解为整数可求出的值. 【详解】解：解方程组得 因为方程组有整数解， 所以和是整数．又因为m为正整数， 所以为10和15的公约数，且是正整数， 所以， 解得， 所以． 24．已知关于x，y的方程组． (1)当时，的值为________； (2)若x和y互为相反数，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程组，整理可得：，利用加减消元法解方程组求出，的值，然后代入计算即可； （2）由题意可知，和互为相反数，由此可得，即，把代入方程，可得，则，把的值代入方程，进而得出的值； （3）将方程整理为关于的等式，令的系数为，从而确定和的值即可． 【详解】（1）解：把代入方程组，可得 ， ，得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵和互为相反数， ，即， 把代入方程，得：， 解得：， ∴， 把，代入方程，得：， 解得：； （3）解：， ， ， 解得：， ∴无论取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为， 故答案为：． 25．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 题型六、已知二元一次方程组的解之间的情况求参数或代数式的值 26．若方程组的解满足，则 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，掌握加减消元法是关键，根据加减消元法得到的值，再结合题意列式求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 得，， 解得，， ∵， ∴， 解得，． 27．已知关于的二元一次方程组（为常数）． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握相关的知识． （1）让二元一次方程组的两个式子相加，得到含有的式子，即可求解； （2）让二元一次方程组的两个式子相减，得到含有的式子，即可求解． 【详解】（1）解：， ①②得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， ①②得：， ∵， ∴， 解得：． 28．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，二元一次方程组的解法，同解方程组的含义，掌握“二元一次方程组的解法” 是解本题的关键． （1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把 代入， 得： ， 解得． 29．若关于、的二元一次方程组的解、互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了相反数和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握同解方程的应用．根据相反数的定义得出，和，联立方程组，利用加减消元法解二元一次方程组，最后将解代入方程，即可求出m的值． 【详解】解：依题意可联立方程组 解得： 代入方程中，得： 30．已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论： (1)当时，方程组的解为__________； (2)当时，请求出的值； (3)请说明不论取什么有理数，的值始终不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将代入，通过加减消元法进行计算即可； （2）先求出关于的表达式，再进行计算即可； （3）通过化简即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入，得：， ①②得：， 解得， 将代入①，得， 故； （2）解：， ①②得：， 解得， 将代入①，得， 故， ， ， 解得； （3）解：由（2）得， ， 故的值始终不变． 题型七、与二元一次方程组有关的新定义参数问题 31．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 32．定义：若两个实数x、y满足，则称这两个实数x与y具有“友好关系”．已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y具有“友好关系”，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．根据“友好关系”的定义可得这个方程组的解满足，与方程组中的第一个方程联立可得一个关于的方程组，利用加减消元法解方程组求出的值，然后代入方程组中的第二个方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 联立， 解得， 将代入方程得：， 解得：． 33．定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)具有友好关系．理由见解析 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值： （1）用，得到，即可得出结论； （2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可． 【详解】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下： 由方程组， 得， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴③ 联立， 解得， 把代入中得， 则a，b的正整数值为或． 34．定义：对于关于的二元一次方程（其中），将其的系数与常数互换．得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)方程的“对称方程”为_____，它们组成的方程组的解为_____； (2)若关于的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求，的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出对称方程，加减消元法求方程组的解即可； （2）根据新定义，列出方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，方程的“对称方程”为， 解，得：； （2）由题意，可得方程组为：， ∴，得：， ∴， ∵方程组的解为， ∴， 把，，代入①，得：，解得：， ∴． 35．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组． (1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）； ①②③． (2)若关于的方程组是“郡一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于的方程组都是“郡一”方程组，求的值． 【答案】(1)②③/③② (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； 【详解】（1）解：①， 解得， 此时， 不是“郡一”方程组； ②， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； ③， 解得， 此时， 是“郡一”方程组； 故答案为：②③； （2）， ①，得③， ②-③，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是， 关于的方程组是“郡一”方程组， ， 即， 解得或； （3）若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组， 则， 联立得：， 解得或， 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 把代入中， 得， ， 为任意无理数， ， 解得：， ； 综上所述，的值为或． 36．关于，的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足＝，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③④． (2)若关于，的方程组是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解“美好”方程组的定义是解题的关键； （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：． 题型八、二元一次方程组特殊解法中的参数问题 37．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的消元法应用，熟练掌握通过方程组相减直接表示出的方法是解题的关键．先通过方程组消元，用表示出，再结合列方程求解． 【详解】解： 用得，整理得， ∵ ， ∴ ， 解得， 故选：． 38．已知方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，通过消元法将方程组中的变量关系转化为已知条件，从而直接求解参数k的值． 【详解】解：已知方程组：， 用②减去①，得：， 化简左边得：， 根据题目条件，代入上式得：， 解得：， 故选：A． 39．关于x、y的方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是掌握二元一次方程组的特殊解法． 通过将两个方程相加，消去参数a，直接求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得，即， 故答案为：． 40．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组，通过整体代换，将新方程组中的表达式转化为原方程组的形式，利用已知解求解． 【详解】解：整理方程组， 可得： 令 ，， 则新方程组化为：， 方程组的解为， 方程组的解为， ， 解得：． 41．（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组． （1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x即可； （2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可； （3）解方程组求出，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 由得， 把代入得， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）， 由得， 把代入得， 把代入，得， 方程组的解为； （3）， 得， ∴， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的的所有正整数值为，，． 42．在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；；（2）相同；相同；（3） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法． （1）用加减消元法求出方程组的解即可； （2）根据方程组的解得出规律即可； （3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； ， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足：， 解得：； 1．已知和都是方程的解，求与的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，注意利用方程的解满足方程得出关于的方程组是解题的关键.由题意根据方程的解满足方程，代入方程，可得关于的方程组，进而解方程组即可得答案. 【详解】解：由和都是方程的解， 可得：， 解得：， ∴的值是，的值是. 2．小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 【答案】●为5，▲为1 【分析】本题考查二元一次方程组的解的含义．先将变形得，再将代入中得，再将代入与中即可计算出▲，●的值． 【详解】解：∵， ∴整理为：， ∴将代入中得：， ∵， ∴，， ∴●为5，▲为1； 3．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，先把代入，得，然后解得。最后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， 得， 再把代入，得， 解得， ∴， ∴， 4．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3 (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． （1）把代入①，能求出，把代入②，能求出； （2）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （3）加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：（1）把代入①，得， 解得：； 把代入②，得， 解得， 所以甲把看成了1，乙把看成了3； （2）解：把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； ∴，； （3）解：原方程组为，解得原方程组的正确解为：． 5．嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为． (1)求m和n的值； (2)求方程组的正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键． （1）由于嘉嘉把方程①抄错，求得解满足方程②，淇淇把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值， （2）将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案． 【详解】（1）嘉嘉把方程①抄错，求得解为， 满足方程②， 即； 又淇淇把方程②抄错，求得的解为， 满足方程①， 即； 因此有， 解得； （2）所以原方程组可变为， 即， ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 原方程组的正确的解为． 6．关于的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”，请说明理由； (2)方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)与具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【分析】本题主要考查二元一次方程组的计算，理解“邻好关系”的计算，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用代入法解二元一次方程组得到，根据“邻好关系”的定义即可求解； （2）根据题意，运用得，，再根据“邻好关系”的定义即可求解． 【详解】（1）解：与具有“邻好关系”，理由如下； ，将①代入②得，， 解得，，将代入①得，， ， ， 与具有“邻好关系”； （2）解：，得，， 与具有“邻好关系”， ， 解得，， k的值为2． 7．已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或3或或5 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟练掌握求方程组的解是本题的关键． （1）用含的代数式表示，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：． （2）解：， ， 当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是3的约数， 或，或3，或． 故或3或，或5. 8．李想准备完成作业：“解二元一次方程组”发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成2，请你解二元一次方程组； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是对相反数”．求“”的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值： （1）加减消元法解方程组即可； （2）设“”为a，根据x、y是一对相反数，得到，结合求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， 所以方程组的解是：； （2） 设“”为a，因为x、y是一对相反数， 所以③， 得：，解得：，则， 把代入得：，解得：， 即原题中“”是． 9．二元一次方程组的解满足． (1)求k的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握整体代入法是解题的关键． （1）将方程组中的两个方程相加，再利用整体代入法得到方程，然后解关于k的一元一次方程即可． （2）把k代入原方程组，利用加减消元法解方程组即可； 【详解】（1） 得，， ， 二元一次方程组的解满足， ， 解得：； （2）将代入原方程组得 得， ， 将代入得， ， 解得：， 原方程组的解为． 10．已知关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解． (1)分别用含的式子表示； (2)求的值和方程组的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由同解方程的定义可求的值，再求方程组的解即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， 将代入①得，， 方程组的解为； （2）二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ， ， 方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 11．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．    (1)按照小云的方法，的值为_________，的值为_________； (2)请按照小辉的思路求出的值． 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）将①③联立得到，得，，解得，把代入①求得即可； （2）得，则，得到，即可得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：将①③联立得到 得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴， 故答案为：5； （2），得， 即, ∴， ∵，   ∴， 解得． 即的值为1． 【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 12．已知关于x、y的方程组 (1)直接写出方程所有的正整数解___； (2)如果方程组的解满足，求k的值； (3)当k每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，请直接写出这个公共解． 【答案】(1)或 (2)7 (3) 【分析】（1）根据采用“给一个，求一个”的方法，求解方程的所有正整数解即可； （2）先解，再将解代入，求解即可； （3）可化为，当时，即可求出公共解． 【详解】（1）解：时，， ； 时，， ， 方程的所有正整数解为或， 故答案为：或； （2）根据题意，解， 解得， 将代入， 得， 解得； （3）可化为， 当时，即时，， ， 这个公共解为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，公共解，熟练掌握这些含义是解题的关键． 13．已知关于x ，y 的方程组． (1)请写出方程 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求 m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或2 【分析】（1）对x、y分别赋值讨论即可； （2）用代入法求二元一次方程组的解即可； （3）用加减消元法求出方程组的解，由题意可得或或，再将满足条件的m的值进行验证即可． 【详解】（1）解：方程 的所有正整数解为：或； （2）解：， ，即， 将③代入①得，，， 将，代入②得，； （3）解；， 由得：，得， 将代入①得，， ∵方程组有正整数解，则或或， 或或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，m的值为或2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过讨论求二元一次方程组的正整数解是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $