第16章 二次根式单元测试卷 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

2025-2026学年沪科版数学八下二次根式单元测试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）若与是同类二次根式，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）若成立，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 3．（本题4分）如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）计算：（ ） A． B． C． D． 5．（本题4分）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 11．（本题5分）已知，，则的值为__________． 12．（本题5分）计算的结果是______． 13．（本题5分）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则______． 14．（本题5分）若对实数，，，规定，则____________． 三、解答题（共90分） 15．（本题8分）计算： (1)． (2)． 16．（本题8分）已知，求的值 17．（本题8分）阅读下面的解题过程，判断其是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简：． 解：原式． 18．（本题8分）一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为，宽为的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为的圆柱形玻璃容器中，玻璃容器水面高度上升了，求长方体塑料容器中的水下降的高度．（注意：取3）． 19．（本题10分）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 20．（本题10分）实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简：． 21．（本题12分）观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； ，验证：； (1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数，且）表示的等式，不需要证明． 22．（本题12分）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 23．（本题14分）（1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年沪科版数学八下二次根式单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A B A D A A C 1．C 【分析】本题考查同类二次根式的判断，将各选项中的二次根式化为最简形式，判断被开方数是否与的被开方数相同即可．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 【详解】解：A．已是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式，故的值不可以是； B．已是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式，故的值不可以是； C．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，故的值可以是； D．已是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式，故的值不可以是． 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查二次根式除法法则的成立条件，二次根式有意义的条件，需根据被开方数的非负性及分母不为0确定x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵等式成立 ∴根据二次根式除法法则的成立条件，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴x的取值范围是， 结合选项，只有1在此范围内， 故选：C． 3．C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求不等式组的解集，根据二次根式性质与分式的符号性质求解，先确定分母的取值范围，再根据分式小于0的条件确定分子的范围，最后取两者交集得到x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数需大于等于0，且分母不能为0， ∴， 解得， ∵分式，且， ∴分子， 解得， ∴综合两个不等式的解，x的取值范围是． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了二次根式的化简． 先化简二次根式，再计算减法即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式性质． 根据二次根式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】解： A、 ，计算错误，不符合题意； B、 ，计算正确，符合题意； C、 ，计算错误，不符合题意； D 、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 6．A 【分析】本题考查最简二次根式的定义．被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，根据定义逐一判断各选项是否符合要求． 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 对于选项A：的被开方数是质数，不含能开得尽方的因数，也不含分母，符合最简二次根式的定义． 对于选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 对于选项C：，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式． 对于选项D：的被开方数含分母，不是最简二次根式． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 8．A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 9．A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值．根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴； 故选：C． 11．或 【分析】本题考查了二次根式的性质． 根据二次根式的性质求出a、b的值，进而求的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴或． 故答案为：或． 12． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，由二次根式的被开方数非负，得出 ，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数， ， 解得： ， ． 故答案为： 13． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，化简后，令被开方数相等求解． 【详解】解：，所以被开方数为 3； 因为是最简二次根式，且与是同类二次根式， 所以， 解得， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键； 根据题干给出的运算规则，先算乘法再进行减法计算． 【详解】解：由题可知： ∴ 故答案为： ． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，二次根式的除法计算，再算加减法即可； （2）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式计算，再算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 16．3 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，整理得，，，再把化简得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 17．不正确，正解过程见详解 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的非负性．先确定m的取值范围，再化简原式即可得出最终化简结果． 【详解】解：不正确； 正确解答：由题意得：，， ∴， ∴原式， ， ， ． 18． 【分析】本题主要考查了长方体和圆柱体的体积公式以及二次根式的运算，解题的关键是根据倒出的水的体积相等列出方程． 设长方体塑料容器中的水下降的高度为，根据体积列出方程求解即可． 【详解】解：设长方体塑料容器中的水下降的高度为， 根据题意，得， 解得． 当取3时，， 长方体塑料容器中的水下降的高度是． 19． 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ． 20． 【分析】本题考查数轴的运用和二次根式的化简，掌握好二次根式的性质是关键． 根据数轴判断的大小，并化简代数式． 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 21．(1)，验证见解析 (2)（为自然数，且） 【分析】本题考查了二次根式的化简． （1）仿照题干计算即可； （2）根据已知等式找出规律即可． 【详解】（1）解：，验证如下： ； （2）解：由题干和（1）可知，（为自然数，且）． 证明：． 22．(1) (2)元 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【详解】（1）长方形的周长 ， 答：长方形的周长是； （2）蔬菜地的面积 ， （元）， 答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为元． 23．（1），，；（2） ，见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）理由如下： 当，时，， ， ， ． （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $