第16章二次根式综合专练 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第16章 二次根式综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解得：． 2．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A： ，∴ A错误； B： ，∴ B正确； C：，∴ C错误； D：，∴ D错误． 3．计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用积的乘方逆运算将原式变形再结合平方差公式进行计算． 【详解】解：原式 ． 4．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的大小，即可得到结果． 【详解】先对原式化简： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 不等式同乘正数得 ， ∴ 原式的值在和之间． 5．已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合的条件去掉绝对值符号，即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足． ∵， ∴，因此可得， ． ∵， ∴， ∴． 6．已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．7 【答案】D 【分析】先由得出，再两边平方可得，进而得出，整体代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 7．计算的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方逆用及二次根式的混合运算．把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 8．已知n为整数，且满足，则n的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先化简原式的二次根式，再估算无理数的取值范围，即可得到满足条件的最大整数n． 【详解】解：， ∵ ，，且 ∴ ， ∵ ，且n为整数， ∴ n的最大值为6． 9．已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（  ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式M之和为； ③若，则满足条件的整式M有10个； ④所有满足条件的整式M共有17个； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用分类讨论思想，根据题目条件逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：由题意得，，则化为 ① 当时： 又， ∴， 若，不满足，故，即，①正确； ② 当时： ∴ ∴ ∵， ∴所有符合条件的整式为：，，， 求和得，故②错误； ③ 当时： ， ， ∵， 分类列举得： 当，符合条件的有共3个； 当，符合条件的有共4个； 当，符合条件的有共2个； 当，无符合条件的；总共有个，不是10个，故③错误； ④ 计算所有满足条件的整式个数：有1个，有4个，有9个；时， ，无符合条件的整式；总共有个，不是17个，故④错误， 综上，只有1个结论正确． 10．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式．直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 可设，，其中和都是正整数， 则， 又，∴， ∴只有满足条件的一组数，，， 此时，， 故只存在一组解，选项①正确； ②由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足条件的正整数对有和， 当时，，； 当时，，； 故存在两组解．故选项②正确； ③由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足的正整数对只有，， 但这不满足的条件， 故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确； 故选：C． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________． 【答案】/平方米 【分析】根据正方形的面积公式分别求出两个正方形的边长，结合图形确定原长方形的长和宽，最后利用长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，两个花圃均为正方形， 大正方形花圃的面积为， 大正方形的边长为， 小正方形花圃的面积为， 小正方形的边长为， 由图可知，原长方形花园的宽等于大正方形的边长，长等于大正方形的边长与小正方形的边长之和， 原长方形花园的长为，宽为， 原长方形花园的面积为． 12．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 13．已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，代数式求值，根据题意可得，得出，进而得出，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 当时， ∴， 故答案为：． 14．已知非零实数、满足等式，则的值为_________． 【答案】 【分析】先通分，再化简，然后由完全平方公式恒等变形，根据非负数和为零的条件求出、，最后代入代数式，由二次根式混合运算计算即可得到答案． 【详解】解：非零实数、满足等式， ， 则， ， 即， ， ， 则． 15．已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的运算、完全平方公式等知识点，熟知分式混合运算的法则和换元法是解题的关键． 由已知条件，设，则，代入得，再利用完全平方公式求的值，结合确定符号即可解答． 【详解】解：设，则，且，代入得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即. 故答案为：． 16．计算_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律，二次根式的性质，发现数字规律并裂项是解题的关键． 通过观察一般项，发现每一项可化为 的形式，然后利用裂项法裂项，然后求和即可． 【详解】解：设一般项为 ，其中 从 1 到 2019， ∵ ∴原式． 故答案为：． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．先化简，再求值：，其中， 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简与求值，以及平方差公式、完全平方公式的应用．熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及合并同类项的技巧是解题的关键． 利用平方差公式、完全平方公式以及合并同类项进行化简．化简完成后，再将给定的和的值代入化简后的式子中，求出最终的结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 19．已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若，且，为正整数，，求证：一定是偶数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据题意，由，从而，进而可以判断得解； （2）依据题意，由，，从而，又由m为正整数，从而，故可判断得解． 【详解】（1）证明：∵实数满足 ∴ ． ∵对于任意实数a，b都有， ∴． ∴为非负数． （2）证明：∵，， ∴ ． 又∵m为正整数， ∴． ∴c一定是偶数． 20．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 或 【分析】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 且，故，． （2）解：根据题意，得 ， 故； （3）解：， ， 或， 或， 故或． 21．已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可． 本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 22．已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得． 【详解】解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 23．观察下列各式： ； ； ； 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)　　　． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：　　　；并验证该等式的正确性． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了实数的运算规律探究．分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． （1）根据计算即可； （2）类比可得，根据分式及二次根式的运算法则即可验证； （3）根据计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：． 验证： ， 故该等式成立． （3）解：． 24．已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第16章二次根式综合专练 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.使式子√3-x有意义的x的取值范围是() A.x≥3 B.x≤3 C.x>3 2.下列计算中，正确的是() A.35-25=1 B.（1-21+2)=- C.(22-2)(22+2)=4 D.(5+5=8 3.计算(2-)(2+)的结果是（) A.1 B.-1 C.√2+5 4.估计V18x√6-√2)的值在() A.2和3之间B.3和4之间 C.4和5之间 5.已知a<0,则二次根式√ab化简后的结果为() A.ab B.a√-b C.-a√b 6.已知x=√5+1，则x3+x2-8x+1的值为() A.0 B.1 C.3 7.计算(10+3(0-3”的结果是() A.10-3 B.V10+3 C.-3 8。已知n为整数，且满足m<2+6V行，则n的最大值为（） A.4 B.5 C.6 9.已知整式M=anx”+an-x"-+…+ax+a,其中n为正整数，an≠ 均为整数，且满足an≥am-≥…≥a,≥a。,且a1<3,且满足 n+Va+Va+V匠+√匠≤4，下列结论中正确的个数是() ①若n=3,则M=x3; ②若n=2,则满足条件的整式M之和为4x2+x; 试卷第1页，共3页 0.x<3 .-√2-V5 .5和6之间 -av-b 0.7 0.3 0.7 0，a,an-1’,0 ③若n=1,则满足条件的整式M有10个： ④所有满足条件的整式M共有17个： A.0 B.1 C.2 D.3 10.若Q和b都是正整数且a<b,√a和√b是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个 数为() ①只存在一组a和b使得√a+√6=√18； ②只存在两组a和b使得√ā+√b=√75； ③不存在a和b使得√a+√b=√260. A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为24m2和 54m的正方形花圃，则原长方形花园的面积为 54m2 24m2 12.形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个数a、b,使a+b=m,ab=n,使得 (a+('=m,a万=vn,那么m±2-a±6=a±(a>b创. 例如：V7+4万=V7+22=4+=2+5.根据上述材料中例题的方法，化简： V13-2√30=」 13.己知y=Vx-2+V6-3x+4,则x= 14.已知非零实数a、b满足等式+9+5_4,2 则 b+a 的值为 a b ab b a 3b+2√a 15.已知0<x<1,且x+=7,则G-的值为 x 16.计算导+1+层+字1++209+2m0+1 11 1 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 试卷第1页，共3页 17.先化简，再求值：[(x+y)2-(x+2(x-y+(x-y(y-x)-2y(y+x÷x,其中x=1, y=√5 18.已知最简二次根式√4a-5与√13-2a是同类二次根式. (1)求a的值； (2)若a≤x≤2a,化简：3-x+√4-4x+x2. 19.已知实数a,b,m,n满足a-b=mn. (1)求证：a2-b2-2mnb为非负数： (2)若m<n,且n=m+2,m为正整数，c=√a-2m-b+√a+2n-b,求证：c一定是偶数. 20.小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 5+26=(3+2)+23×2=(5+(2°+2×)xV2)=(5+V2): 7-45=(4+3)-2×2×3=22+(⑤°-2×2×V5)=(2-V5. 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将7+20化成(a+b)2,其中a>b,则a=，b=一 (2)请你仿照上面的方法化简：√6-4√2； (3)若a+25=(Vm+Vn,其中m>n,且a,m,n均为正整数，求a+m+n的值. 21.已知x+y=-5,y=1,判断x和y的正负并求 x 22.已知最简二次根式V5a-5b与√2a+4可以合并，且(a-3c)2+Vb-√5c=0,求代数式 √5a+b-√45c的值. 23.观察下列各式： ，.11 V+2=1+ 1+ 11,1 +片2吃 11 11,1 V2+3=1+ 1+ =1- 236 11 11,1 V+3+4=1+3 1+ .=1 3412 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： 试卷第1页，共3页 (②)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n(n为正整数)表示的等式：一；并验 证该等式的正确性， (3)利用上述规律计算： 50,1 (仿照上式写出过程) V49 64 24.已知a= 2+V5,求2a2-8a+1的值， 小明是这样解答的： 2-5 解：因为a=2+5(2+32- =2-5,所以a-2=-5 所以(a-22=3,即a2-4a+4=3,所以a2-4a=-1 所以2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×(-1）+1=-1. 请根据小明的解答过程，解决下列问题： 化简：2+1 1 (2)比较大小：√100-√99 √99-√98（填“>”，“<”或“=”） 1 1 计第：2+5+万+4+5++ 2026+√2025 1 (4若a 3+2V2’求3a2-18a+1的值， 试卷第1页，共3页