2026年中考数学一轮复习 专题17等腰三角形 突破讲义(全国通用)

专题17等腰三角形突破讲义 ▶ 分值占比：等腰三角形是中考几何核心必考板块，总分值约 8-15 分，覆盖选择、填空、解答（证明与计算）三种题型，在中档题与压轴题中均有重要地位。 ▶ 常考考点：聚焦等腰三角形的定义与性质（等边对等角、三线合一）、判定定理（等角对等边）、分类讨论思想、存在性问题、折叠与动点综合五大核心方向。 ▶ 命题趋势：基础题侧重性质直接应用与概念辨析，中档题侧重证明与计算规范，难题多以动点、存在性、分类讨论、最值为背景，与全等、相似、函数、坐标系结合的综合压轴题占比逐年提升。 【模块一 等腰三角形的定义及性质】..........................................3 【题型01 等腰三角形的定义】................................................3 【题型02 等边对等角】......................................................5 【题型03 三线合一】........................................................9 【模块二 等腰三角形的判定】...............................................13 【题型04 格点中画等腰三角形】.............................................13 【题型05 根据等角对等边证明边相等】.......................................16 【题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】.............................19 【题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】...........................23 【题型08 找出图中的等腰三角形】...........................................26 【模块三 等腰三角形的综合应用】...........................................32 【题型09 等腰三角形与折叠(翻折)问题】......................................32 【题型10 等腰三角形与旋转综合问题】.......................................37 【题型11 等腰三角形中的动点问题】.........................................40 【题型12 等腰三角形中的分类讨论问题】.....................................45 【题型13 等腰三角形与最值问题】...........................................47 【模块四 等边三角形】.....................................................53 【题型14 等边三角形的性质】...............................................53 【题型15 等边三角形的判定】...............................................58 【题型16 等边三角形的判定和性质】.........................................61 ★知识梳理★ 知识点01:核心定义与基本概念 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边。 两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 2.等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 知识点02:核心性质（高频考点） 性质 内容 几何语言 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 高频易错点 1.忽略三角形三边关系：分类讨论后必须验证 “两边之和大于第三边”。 2.混淆 “三线合一” 适用范围：仅适用于等腰三角形顶角对应的线段。 3.漏解：存在性问题中未按 “已知线段为腰 / 底边” 完整分类。 4等边三角形性质误用：只有等边三角形才满足 “每个角都是 60°”。 【模块一等腰三角形的定义及性质】 【题型1.等腰三角形的定义】 【典例】等腰的周长是，腰长，则底边_____． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，理解等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 根据等腰三角形的定义和周长公式即可求解． 【详解】解：∵等腰的周长是，腰长， ∴底边． 此时等腰的三边长为、、，满足三角形三边关系，符合题意； ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练1】设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，根据矩形的性质可知，根据等腰直角三角形的性质可知，由折叠的性质可知，设，由勾股定理可知，列出方程即可求出，根据即可求出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠可知，，， 设， 则， ， 解得 ， ． 【跟踪专练3】如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．利用勾股定理求出的长，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 【题型2.等边对等角】 【典例】如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是的切线，则有，根据等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和是，掌握了以上知识是解答本题的关键；先根据角平分线得到，再利用三角形内角和可得，根据垂直平分线的性质可得，然后即可求解的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 故选：B 【跟踪专练2】如图，在中，，，分别以点，为圆心、的长为半径画弧，与，的延长线分别交于点，．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，勾股定理，等边对等角，求出，，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，连接，，由题意可知平分，可得，由圆周角定理可推出，从而得到，可判定选项A；利用证明，即可推出，可判断选项B；根据圆内接四边形对角互补即可推出，可判断选项C；利用反证法，假设，可得，再根据，但无法根据已知条件推出，可判断选项D． 【详解】解：如图所示，连接，， 由题意可知平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； B、∵内接于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故此选项成立，不符合题意； C、∵点，，，四点共圆， ∴四边形为圆内接四边形， ∵圆内接四边形对角互补， ∴， 故此选项成立，不符合题意； D、假设， ∴， ∵， ∴， 而根据已知条件无法推出， ∴假设不成立， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接三角形和圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的尺规作图等，根据题意作辅助线是解题的关键． 【题型3.三线合一】 【典例】如图，在中，，若，则 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了求正切，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，根据等腰三角形的性质，可得，再由，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形三线合一，灵活运用相关知识是解题的关键；根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴. 故选：A ． 【跟踪专练2】如图，在中，是高，，，点E是的中点，连接，将绕点E逆时针旋转得到线段，连接．若，则______，______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握手拉手模型，构造出对应的相似三角形是解题关键． 根据等腰直角三角形的性质，通过线段关系与勾股定理求出即可； 连接，借助等腰直角三角形的边之间的比例关系得到相似三角形，从而求出． 【详解】解：∵，，是高， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又是高， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 如图，连接， 由旋转的性质，可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：①；② ． 【跟踪专练3】如图，中，，，点为中点，以为斜边作，使得，，交于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，过作于，求解，证明，，再证明，可得，证明，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵，，点为中点， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【模块二 等腰三角形的判定】 【题型4.格点中画等腰三角形】 【典例】如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据网格结构，分别以A、B为圆心，为半径作圆与网格线的交点即为点C，即可得到点C的个数． 【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有5个． 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 【跟踪专练2】点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则_____．    【答案】45 【分析】连接，设小正方形的边长为x，根据勾股定理得，，，再根据勾股定理的逆定理，得，从而，由，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    设图中每个小正方形的边长为x． ，，， ，， ， ， 由题意得， ， ， ， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质是解决本题的关键． 【跟踪专练3】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（  ）    A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【详解】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置；以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点． 故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．    故选B． 点睛：本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出点C的位置．掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 【题型5.根据等角对等边证明边相等】 【典例】如图，为了测量某大树的高度，现选取两个测量点A和B（点A，B，C在一条水平直线上），测得，．如果测得A，B两点的距离为m，那么大树高________．    【答案】m 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半；根据题意推出，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：m 【跟踪专练1】如图，在中，平分交边于，且．若，，则的周长为（    ） A．21 B．18 C．15 D．13 【答案】D 【分析】根据角平分线性质，以及三角形内角和定理推出，结合等腰三角形性质，以及三角形周长公式求解，即可解题． 【详解】解：平分， ， ，， ， ， ， ， ，， 的周长为． 【跟踪专练2】.如图，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船从以每小时70海里的速度沿南偏东方向匀速航行，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与处的距离是____________海里． 【答案】 【分析】本题考查了方位角的计算，等腰三角形的性质与判定．根据已知条件得出为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，， ∵， ∴， ∵，则 ∴为等腰直角三角形， ∵（海里）， ∴（海里）． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质，得到，平行线的性质，推出，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：C 【题型6.直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【典例】如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有_____个. 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】如果为等腰三角形的腰，有两种可能，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；如果为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点；符合条件的点一共4个． 【详解】解：分情况进行讨论： 当为等腰三角形的腰时，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 符合条件的点一共4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与轴的交点，比较形象易懂． 【跟踪专练2】矩形中，，，点E在边上，．若点F是矩形边上一点，且与点A，E构成以为腰的等腰三角形，则等腰的底边长是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，对点F的位置分两种情况讨论是解题的关键．当点F在上时，，根据勾股定理即可求得的长；当点F在上时，，连结，，则，根据勾股定理即可求得和的长． 【详解】四边形是矩形， ，， 当点F在上时，， ； 当点F在上时，， 连接，， ， ， ． 综上所述，等腰的底边长是或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，∠AOB=60°，点M在边OA上，OM=x，点N在边OB上，ON=x+4，点P是∠AOB边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有5个，则x的取值范围是 (       ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点N为圆心，MN为半径画圆，以点M为圆心，MN为半径画圆，作MN的垂直平分线，根据题目条件分三种情况讨论，即可得到结论． 【详解】解：以点N为圆心，MN为半径画圆，以点M为圆心，MN为半径画圆，作MN的垂直平分线， 当MN⊥OA时，如图1所示：          图1 此时使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有4个， ∵∠AOB=60°， ∴ON=2OM，即：x+4=2x，解得：x=4， 当x＞4时，如图2所示：                 图2 此时使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有5个， 当x＜4时，如图3所示：              图3 此时使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有6个， 综上所述：当时，此时使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有5个， 故选：C 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形，正确的根据题目意思找出所有满足条件的点是解题的关键． 【题型7.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点.】 【典例】如图，已知正方形ABCD的边长为8,点O是AD上一个定点，A0=5,点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度，按照A-B-C-D的方向，在正方形的边上运动，设运动的时间为1 (秒),当t的值为________时， △AOP是等腰三角形. 【答案】12s或21.5s或27s 【分析】根据题意分P在CD,BC,AB的边上分别讨论即可求解. 【详解】如图，①点P1在BC上，AO=P1O=5，∵BO=3，∴BP1=,故运动了8+4=12s； ②点P2在DC上，AP2=OP2，P2C=AB-AO=5.5，故运动了8+8+5.5=21.5s; ③P3在AD上，AP3=AO=5,DP3=AD-AP3=3，故运动了8+8+8+3=27s， 故填12s或21.5s或27s 【点睛】此题主要考查正方形的动点问题，解题的关键是熟知等腰三角形的性质. 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定得出可能为底，可能为腰两种情况，依此即可得出答案． 【详解】解：如图：①以A为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（除外）； ②以O为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于四个点； ③作线段的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点， 共有：， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论． 【跟踪专练2】如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有______个． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的判定和正方形的性质，分别以、、、为边作等边三角形，即可得到点的位置，另外，正方形的中心也是符合条件的点． 【详解】解：如图所示，符合性质的点共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正方形的性质，考虑利用等边三角形的性质求解是解题的关键，要注意正方形的中心也是符合条件的点． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论：作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【详解】作AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，此时AP=BP； 以A为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P2和P6，此时AB=AP； 以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3和P4，此时BP=BA； 综上所述：符合条件的点P共有6个． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键． 【题型8.找出图中的等腰三角形】 【典例】在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个． 【答案】7 【分析】①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时；③当APB，PB=BQ，PQ=CQ时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】 解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°． ①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时； ②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时， ③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时． ④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时， ⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时， ⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时； ⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时． ⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时． ⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（    ） A．    B．   C．  D．   【答案】D 【分析】分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否又等腰三角形即可． 【详解】A．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，A不符合题意； B．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，B不符合题意； C．根据作图痕迹可知，令的角平分线与交于点，如图，则，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形；根据作图痕迹可知，以点为圆心，画弧，与边交于两点，分别以该两点为圆心，画弧交于一点，连接该点与点，延长交于点，故为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，C不符合题意；    D．作图痕迹没有依据，D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断． 【跟踪专练2.】如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 【跟踪专练3】如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，于点E，于点F，连接AP，给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为；其中正确结论的序号为（ ） A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】①据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2＋PF2＝EC2＋EC2＝2EC2，求得DP＝EC．②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP＝EF；⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于2． 【详解】解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H， ∵GF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠DBC＝45° ∴∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC＝DF， ∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2＋PF2＝EC2＋EC2＝2EC2， ∴DP＝EC． 故①正确； ②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴四边形PECF的周长＝2CE＋2PE＝2CE＋2BE＝2BC＝8， 故②正确； ③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°， ∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形， 除此之外，△APD不是等腰三角形， 故③错误． ④∵四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， 由正方形为轴对称图形， ∴AP＝PC， ∴AP＝EF， 故④正确； ⑤由EF＝PC＝AP， ∴当AP最小时，EF最小， 则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝×4＝2时，EF的最小值等于2， 故⑤正确； 综上所述，①②④⑤正确， 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题． 【模块三等腰三角形的综合应用】 【题型9.等腰三角形与折叠(翻折)问题.】 【典例】如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形面积，先求解的面积为，的面积为，进一步可得答案． 【详解】解：∵的面积为8，的面积为5， ∴的面积为， 由折叠可得：的面积为， ∴的面积为， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边对等角求出，再由折叠得到，从而根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 _______________°． 【答案】15或30或60 【分析】设，当点E在线段上时， 由折叠的性质可求，分当时，当时，当时，三种情况讨论；当点在线段的延长线上时，，是钝角等腰三角形，只能．由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】解：设， 当点在线段上时， ∵将沿翻折至处， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∴不存在； 当时，则， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 由折叠可知，， ∴， ∴是钝角等腰三角形， ∴只能， ∴， 在中，， ∴． 综上，的度数或或． 故答案为：15或30或60． 【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，分类讨论，是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在等腰直角三角形纸片中，分别是边上的动点，将沿着翻折，使点的对应点F落在内（包括边上），对于结论I和II，下列判断正确的是（   ） 结论I：当时，； 结论II：当与相似时，的值为或． A．结论I和II都对 B．结论I和II都不对 C．结论I不对，II对 D．结论I对，II不对 【答案】D 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，翻折变换，平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 结论I先由折叠得到，再由平行线的性质和判定即可得出结论；结论II分两种情形：若，如图1中，若，如图2中，分别求解即可． 【详解】解：是等腰直角三角形，且， ， ∵折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ，故结论I正确； ∵点F在内部或边上， ∴， ∵与相似， ∴，即F在上， 若，且由折叠可知， ∴点F在点C处，如图1中， ∵， ∴； 若，如图2中， ∵折叠得到， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 综上所述，当与相似时，的值为或，故结论II不对， 故选：D ． 【题型10.等腰三角形与旋转综合问题】 【典例】如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为 _______． 【答案】70 【分析】首先根据旋转的性质可得，，由全等三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理确定的度数即可． 【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：70． 【跟踪专练1】如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，由旋转的性质可得，，利用等边对等角可得，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上， ∴，， ∴， ∴． 【跟踪专练2】.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，若点C的对应点E落在上，连接，则的大小为 ______． 【答案】/31度 【分析】由旋转的性质得、，，根据等边对等角求得，据此计算即可求解． 【详解】解：中，，， ∴． 由旋转的性质得、，，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可知，从而得到对应边、对应角相等．利用得出为等腰三角形，结合，求出等腰三角形的顶角．由旋转角相等，，从而得到答案． 【详解】解：∵将绕点旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 【题型11.等腰三角形中的动点问题】 【典例】如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图1，点D为等边三角形的边上一点，且，点E为边上一点，作，交边于点F，设的长度为x，的值为y，在点E的移动过程中，y与x的函数图象如图2所示，则函数图象顶点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，先根据函数图象得出当B、E重合时，F和C重合，此时，即，然后证明，求出，进而求出，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由图2知：当时，， ∴当B、E重合时，F和C重合，此时， ∴， ∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，是等边三角形，是上的动点，是上一点，，若，则的最小值为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形，二次函数的知识，解题的关键是根据题意，则，，根据三角形的内角和，则，根据，得，根据等量代换，相似三角形的判定和性质，则，得，设，则，推出，当最小时，最大，则，当时，最大，求出，根据，即可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴（点，，在同一条直线上）， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵，要使最小，则有最大值， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，最大，， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，在点D运动的过程中始终保持． （1）当时，________； （2）当点D在上运动时，线段的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，利用二次函数的性质求解最值． （1）证明即可求解； （2）设，利用相似三角形的性质得到，然后用表示出，再根据二次函数的性质求解最值． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． （2）设，由（1）得， ∴， ∴， ∵ ∴当时，取得最大值， 故答案为：． 【题型12.等腰三角形中的分类讨论问题】 【典例】等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为______ ． 【答案】4或 【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义．题中给出的边长可能是腰或底边，需分两种情况讨论，并验证是否满足三角形三边关系，即可作答． 【详解】解：依题意，当为腰时，底边为， 此时，符合三边关系； 当为底边时，腰长为， 此时，符合三边关系， 故答案为：4或 【跟踪专练1】已知一个等腰三角形的周长为13，一边长为5，则其腰长为_____． 【答案】5或4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论：当已知边为腰时和当已知边为底边时，利用等腰三角形性质和三角形三边关系求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当边长为5的边为腰时，则另一腰也为5，底边为，此时三边为5，5，3，满足三角形三边关系，故腰长为5； 当边长为5的边为底边时，则腰长为，此时三边为5，4，4，满足三角形三边关系，故腰长为4， 故答案为：5或4． 【跟踪专练2】等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是_________． 【答案】7或8 【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，分情况讨论等腰三角形的腰与底，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算三角形周长即可． 【详解】解： 解得，， 当腰长为，底边长为时， ，满足三角形三边关系， 该三角形的周长为； 当腰长为，底边长为时， ，满足三角形三边关系， 该三角形的周长为． 【跟踪专练3】定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形，熟知以上知识是解题的关键． 设等腰的底角为x，分类讨论当顶角为时和当顶角为时两种情况即可求解． 【详解】解：设等腰的底角为x， 当顶角为时，有，解得：； 此时，底角的余弦值为； 当顶角为时，有，解得：； 如图所示：作，平分， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴； 综上所述：底角的余弦值为或． 故选：D． 【题型13.等腰三角形与最值问题】 【典例】如图，，的顶点A在射线上，顶点B在射线上，已知，，连接．则的最大值是_______． 【答案】7 【分析】过点C作于点D，连接，则，在中，有，当O，D，C三点共线时，的值最大． 【详解】解：如图，过点C作于点D，连接， ， ， ∴，点是的中点， ∵， ∴， ∵在中，， 当O，D，C三点共线时，值最大， ∴的最大值为． 【跟踪专练1】已知是的直径，，是的弦，点D在内运动且满足，当，，连接，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，取的中点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边得一半可得，即可得到当点在同一条直线上时，线段的值最小，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵是的直径， ， ， ， ， 点为的中点， ， 当点在同一条直线上时，线段的值最小， 在中，由勾股定理，得， ，   故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在等边中，，点，分别是，边上的动点．且，以为边向上作等边，与交于点，连接，．下列结论： ①若，则； ②； ③当点为中点时，； ④当点，分别在，边上的运动时，长度的最小值为．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】对于①，根据等边三角形与直角三角形的性质即可解答；对于②，证明，可得到，再利用，即可得到答案；对于③，连结，以点F为圆心，长为半径作，根据圆周角定理，即可证明点C在上，从而可得结论；对于④，过点D作于点H，设，根据勾股定理可计算得出，当时，即可求出的最小值． 【详解】解：对于①， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 所以①正确； 对于②， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 所以②正确； 对于③， 如图，连结，以点F为圆心，长为半径作， 点为中点，是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 点C在上， ， 所以③正确；    对于④， 如图，过点D作于点H， 设，则， ， ， ，， ， ， 当时，取最小值， 所以④正确．    故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定于性质，等边三角形的性质，圆周角定理，二次函数的最值，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上的一动点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，连接，如图，先根据菱形的性质得到，则为等边三角形，所以，，再根据旋转的性质得到，，接着证明得到，所以，于是可判断点在过的中点且与平行的定直线上，过点作于，于点，如图，接着求出，从而得到的长，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：取的中点，连接，连接，如图， ∵菱形的边长为2，点为边的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点在过的中点且与平行的定直线上， 过点作于，于点，如图， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂线段最短、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质． 【模块四 等边三角形】 【题型14.等边三角形的性质】 【典例】如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半． 首先求出，，然后得到，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵为等边三角形，的周长是24， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形面积公式．根据等边三角形的性质，三角形中位线定理，三角形面积公式等知识，对每个选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：是等边三角形，是的中点，是的中线，根据等边三角形三线合一性质，则是的高，，故选项正确； 、分别是、的中点，，，，故选项错误； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 、分别是、的中点，根据三角形中位线定理，是的中位线，，故选项正确； 故选：． 【跟踪专练2】如图，边长为8的等边三角形中，是高上的任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则的长度是_____． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证，推出，利用含的直角三角形的性质定理可求的值． 【详解】解：为等边三角形，，， ，，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角形的性质可得，列方程求解，当为直角三角形时，的值；证得，根据全等三角形的性质得到、，再列式计算；根据，结合面积关系列出方程求解即可． 【详解】解：是等边三角形 ，为直角三角形 ， 故①正确； 过点Q作于点H，如图： 、、 ， 、、 、 即， 故②③正确； 解得或（舍去） 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：D． 【题型15.等边三角形的判定】 【典例】如图，点在直线上，以为顶点，在直线的上方作菱形．若，，则点到直线的最大距离是______． 【答案】6 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形．如图，连接，由菱形的性质推出，，得到，求出，判定是等边三角形，推出．当时，点到直线的距离最大，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 过点作， ∴在菱形变化过程中，， ∴当时，点到直线的距离最大，最大值为6． 故答案为：6． 【跟踪专练1】已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式进行等式的变形，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解： ∴．则为等边三角形 故答案为：D． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______． 【答案】. 【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G， ∵∠B=60°，BE=BD=4， ∴△BDE是等边三角形， ∵△B′DE≌△BDE， ∴B′F=B′E=BE=2，DF==2, ∴GD=B′F=2， ∴B′G=DF=2， ∵AB=10， ∴AG=10﹣6=4， ∴AB′=2． 【点睛】考点：1轴对称；2等边三角形. 【跟踪专练3】如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN，则下列结论:①PM=PN;②△PMN为等边三角形.下面判断正确的是(    ) A．①正确 B．②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】C 【详解】试题解析：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点， ∴PM=BC，PN=BC， ∴PM=PN，正确； ②∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N， ∴∠ABM=∠ACN=30°， 在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°-60°-30°×2=60°， ∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB， ∴PM=PN=PB=PC， ∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM， ∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°， ∴∠MPN=60°， ∴△PMN是等边三角形，正确； 所以①②都正确． 故选C． 【题型16.等边三角形的判定和性质】 【典例】小强在参观土家民居建筑时，被其中的菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图）．若的长度为2，则菱形的周长为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，据此根据菱形的周长计算公式可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：8． 【跟踪专练1】如图，等边纸片的边长为，，是边的三等分点，分别过点，沿着平行于，的方向各剪一刀，则剪下的的周长是(　　) A．6 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质，关键在于利用平行线的性质推导出为等边三角形，再结合三等分点求出边长，进而计算周长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∵，是边的三等分点， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接、，与交于点F，过点B作于点G．若，则的度数为___． 【答案】/30度 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由全等三角形的性质推出，，由三角形外角的性质得到． 由全等三角形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，由三角形外角的性质得到，由直角三角形的性质求出． 【详解】解：， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，，以为圆心，为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，则下列结论正确的是（   ）\ A． B．长为 C．的面积为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ∴在中，，故D正确，符合题意； 无法证明，故A错误； 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17等腰三角形突破讲义 ▶ 分值占比：等腰三角形是中考几何核心必考板块，总分值约 8-15 分，覆盖选择、填空、解答（证明与计算）三种题型，在中档题与压轴题中均有重要地位。 ▶ 常考考点：聚焦等腰三角形的定义与性质（等边对等角、三线合一）、判定定理（等角对等边）、分类讨论思想、存在性问题、折叠与动点综合五大核心方向。 ▶ 命题趋势：基础题侧重性质直接应用与概念辨析，中档题侧重证明与计算规范，难题多以动点、存在性、分类讨论、最值为背景，与全等、相似、函数、坐标系结合的综合压轴题占比逐年提升。 【模块一 等腰三角形的定义及性质】..........................................3 【题型01 等腰三角形的定义】................................................3 【题型02 等边对等角】......................................................3 【题型03 三线合一】........................................................4 【模块二 等腰三角形的判定】................................................5 【题型04 格点中画等腰三角形】..............................................5 【题型05 根据等角对等边证明边相等】........................................6 【题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】..............................7 【题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】............................8 【题型08 找出图中的等腰三角形】............................................9 【模块三 等腰三角形的综合应用】...........................................10 【题型09 等腰三角形与折叠(翻折)问题】......................................10 【题型10 等腰三角形与旋转综合问题】.......................................11 【题型11 等腰三角形中的动点问题】.........................................12 【题型12 等腰三角形中的分类讨论问题】.....................................13 【题型13 等腰三角形与最值问题】...........................................13 【模块四 等边三角形】.....................................................15 【题型14 等边三角形的性质】...............................................15 【题型15 等边三角形的判定】...............................................16 【题型16 等边三角形的判定和性质】.........................................17 ★知识梳理★ 知识点01:核心定义与基本概念 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边。 两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 2.等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 知识点02:核心性质（高频考点） 性质 内容 几何语言 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边中线、底边高）所在直线 沿对称轴折叠，两边完全重合 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 知识点03:核心判定（高频考点） 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 高频易错点 1.忽略三角形三边关系：分类讨论后必须验证 “两边之和大于第三边”。 2.混淆 “三线合一” 适用范围：仅适用于等腰三角形顶角对应的线段。 3.漏解：存在性问题中未按 “已知线段为腰 / 底边” 完整分类。 4等边三角形性质误用：只有等边三角形才满足 “每个角都是 60°”。 【模块一等腰三角形的定义及性质】 【题型1.等腰三角形的定义】 【典例】等腰的周长是，腰长，则底边_____． 【跟踪专练1】设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【跟踪专练2】如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为__________． 【跟踪专练3】如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 【题型2.等边对等角】 【典例】如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，分别以点，为圆心、的长为半径画弧，与，的延长线分别交于点，．若，则图中阴影部分的面积为________． 【跟踪专练3】如图，内接于，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交内于点，连接，并延长交于点，连接，，连接，与交于点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.三线合一】 【典例】如图，在中，，若，则 ___________． 【跟踪专练1】某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，是高，，，点E是的中点，连接，将绕点E逆时针旋转得到线段，连接．若，则______，______． 【跟踪专练3】如图，中，，，点为中点，以为斜边作，使得，，交于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【模块二 等腰三角形的判定】 【题型4.格点中画等腰三角形】 【典例】如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有________个． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则_____．    【跟踪专练3】如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（  ）    A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【题型5.根据等角对等边证明边相等】 【典例】如图，为了测量某大树的高度，现选取两个测量点A和B（点A，B，C在一条水平直线上），测得，．如果测得A，B两点的距离为m，那么大树高________．    【跟踪专练1】如图，在中，平分交边于，且．若，，则的周长为（    ） A．21 B．18 C．15 D．13 【跟踪专练2】.如图，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船从以每小时70海里的速度沿南偏东方向匀速航行，轮船航行半小时到达处，在处观测灯塔位于北偏东方向上，则处与处的距离是____________海里． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【题型6.直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【典例】如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有_____个. 【跟踪专练1】在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练2】矩形中，，，点E在边上，．若点F是矩形边上一点，且与点A，E构成以为腰的等腰三角形，则等腰的底边长是_______． 【跟踪专练3】如图，∠AOB=60°，点M在边OA上，OM=x，点N在边OB上，ON=x+4，点P是∠AOB边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有5个，则x的取值范围是 (       ) A． B． C． D． 【题型7.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点.】 【典例】如图，已知正方形ABCD的边长为8,点O是AD上一个定点，A0=5,点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度，按照A-B-C-D的方向，在正方形的边上运动，设运动的时间为1 (秒),当t的值为________时， △AOP是等腰三角形. 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【跟踪专练2】如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有______个． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A． B． C． D． 【题型8.找出图中的等腰三角形】 【典例】在如图所示的三角形中，∠A＝30°，点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点，分别连接BP和PQ，把△ABC分割成三个三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C有可能的值有________个． 【跟踪专练1】四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（    ） A．    B．   C．  D．   【跟踪专练2.】如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【跟踪专练3】如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，于点E，于点F，连接AP，给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为；其中正确结论的序号为（ ） A．①②④ B．①③⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 【模块三 等腰三角形的综合应用】 【题型9.等腰三角形与折叠(翻折)问题.】 【典例】如图，将三角形纸片折叠，使点A落在边上的点D处，折痕为．若的面积为8，的面积为5，则_______． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则（） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 _______________°． 【跟踪专练3】如图，在等腰直角三角形纸片中，分别是边上的动点，将沿着翻折，使点的对应点F落在内（包括边上），对于结论I和II，下列判断正确的是（   ） 结论I：当时，； 结论II：当与相似时，的值为或． A．结论I和II都对 B．结论I和II都不对 C．结论I不对，II对 D．结论I对，II不对 【题型10.等腰三角形与旋转综合问题】 【典例】如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为 _______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，若点C的对应点E落在上，连接，则的大小为 ______． 【跟踪专练3】如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型11.等腰三角形中的动点问题】 【典例】如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为___________． 【跟踪专练1】如图1，点D为等边三角形的边上一点，且，点E为边上一点，作，交边于点F，设的长度为x，的值为y，在点E的移动过程中，y与x的函数图象如图2所示，则函数图象顶点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是等边三角形，是上的动点，是上一点，，若，则的最小值为(     ) A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，在点D运动的过程中始终保持． （1）当时，________； （2）当点D在上运动时，线段的最大值为________． 【题型12.等腰三角形中的分类讨论问题】 【典例】等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的腰长为______ ． 【跟踪专练1】已知一个等腰三角形的周长为13，一边长为5，则其腰长为_____． 【跟踪专练2】等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是_________． 【跟踪专练3】定义：如果一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么这样的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰是“妙角三角形”，且腰长为1，则其底角的余弦值为（　　） A． B． C．或 D．或 【题型13.等腰三角形与最值问题】 【典例】如图，，的顶点A在射线上，顶点B在射线上，已知，，连接．则的最大值是_______． 【跟踪专练1】已知是的直径，，是的弦，点D在内运动且满足，当，，连接，则线段长度的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，在等边中，，点，分别是，边上的动点．且，以为边向上作等边，与交于点，连接，．下列结论： ①若，则； ②； ③当点为中点时，； ④当点，分别在，边上的运动时，长度的最小值为．其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上的一动点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【模块四 等边三角形】 【题型14.等边三角形的性质】 【典例】如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为_______． 【跟踪专练1】如图，是等边三角形，、、分别是、、的中点，连接、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，边长为8的等边三角形中，是高上的任意一点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则的长度是_____． 【跟踪专练3】如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型15.等边三角形的判定】 【典例】如图，点在直线上，以为顶点，在直线的上方作菱形．若，，则点到直线的最大距离是______． 【跟踪专练1】已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______． 【跟踪专练3】如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN，则下列结论:①PM=PN;②△PMN为等边三角形.下面判断正确的是(    ) A．①正确 B．②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【题型16.等边三角形的判定和性质】 【典例】小强在参观土家民居建筑时，被其中的菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图）．若的长度为2，则菱形的周长为______． 【跟踪专练1】如图，等边纸片的边长为，，是边的三等分点，分别过点，沿着平行于，的方向各剪一刀，则剪下的的周长是(　　) A．6 B．9 C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接、，与交于点F，过点B作于点G．若，则的度数为___． 【跟踪专练3】如图，，以为圆心，为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，则下列结论正确的是（   ）\ A． B．长为 C．的面积为 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $