2026年中考一轮复习 专题23菱形 突破讲义(全国通用)

专题23菱形突破讲义 【模块一 菱形的性质与判定】......................................3 【题型01 菱形的性质理解】........................................3 【题型02 利用菱形的性质求角】....................................4 【题型03 利用菱形的性质求线段长度】..............................5 【题型04 利用菱形的性质证明】...................................6 【题型05 添条件使四边形成为菱形】...............................7 【题型06 证明四边形是菱形】.....................................7 【题型07 菱形性质和判定的实际应用】.............................8 【模块二 菱形的综合问题】.......................................9 【题型08 菱形与勾股定理综合计算】...............................9 【题型09 菱形面积双解法综合应用】...............................10 【题型10 菱形多结论问题的判断】.................................11 【题型11 菱形与坐标系综合问题】.................................13 【题型12 菱形与翻折问题】.......................................14 【题型13 菱形与旋转问题】.......................................15 【题型14 菱形与存在性问题】.....................................16 【题型15 菱形与动点问题】.......................................17 【题型16 菱形与最值问题】.......................................18 【题型17 菱形与函数综合】.......................................19 分值占比：菱形是中考四边形核心考点，总分值约 6–12 分，覆盖选择、填空、解答（几何证明 / 计算）三种题型，是几何中档题与压轴题的高频载体，属于必须重点突破的板块。 常考考点：聚焦菱形的性质与判定、对角线垂直平分特性、面积两种计算方法（底 × 高 / 对角线乘积一半）、特殊角（60°/120°）下的边长与角度计算，以及与勾股定理、全等 / 相似三角形、坐标系、动点、折叠、旋转等知识的综合应用。 命题趋势：基础题侧重性质辨析与判定证明，直接考查四边相等、对角线垂直等核心性质；中档题侧重几何计算与变换，常结合折叠、旋转、动点等情境考查线段长度、面积、角度；难题多以函数综合、存在性探究、最值问题为主，且与坐标系、二次函数结合的题型占比逐年提升，对数形结合能力要求较高。 ★知识梳理★. 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键：菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，额外增加 “一组邻边相等” 的条件。 知识点02:菱形的性质（中考高频考点） 项目 文字语言 几何语言 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（解答题证明必考） 判定 方法 文字语言 几何语言 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 【模块一 菱形的性质与判定】 【题型1.菱形的性质理解】 【典例】如图，在菱形中，，，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．60 B．78 C．120 D．240 【题型2.利用菱形的性质求角】 【典例】如图，在菱形中，，点E在对角线上，且，那么的度数是_____________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，若，，则的周长是___________． 【跟踪专练3】菱形的周长是它的高的4倍，则菱形中较大的一个角是(　　) A．100° B．120° C．135° D．150° 【题型3利用菱形的性质求线段长度】 【典例】如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线、交于点O，于点E，连接，，，则菱形的边长为 _________ ． 【跟踪专练3】如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为_______． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【跟踪专练2】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【跟踪专练3】已知如图在菱形中，，点E、F分别是、上的动点（不与端点重合），且，连接、交于点G，则四边形的面积的最大值为（   ） A． B．6 C． D． E．9 【题型5.添条件使四边形成为菱形】 【典例】如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 【跟踪专练2】如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图所示，在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成一个菱形，这个条件是__________．    【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是_________． 【跟踪专练1】如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点，分别以点，为起点，以的速度沿，方向运动．设点M，N运动的时间为，连接，．当的值为______时，四边形为菱形． 【跟踪专练3】如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【题型7.菱形性质和判定的实际应用】 【典例】如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则________． 【跟踪专练1】如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 【跟踪专练2】两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（   ） A．5 B． C． D． 【跟踪专练3】将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，，转动这个四边形，使它的形状改变．如图，当时，测得；则当时，四边形的面积为________． 【模块二 菱形的综合问题】 【题型8.菱形与勾股定理综合计算.】 【典例】.有两张相同大小的矩形纸片和，将其按如图所示的方式交叉叠放，重叠部分构成一个四边形，连接，，若，则的长是_____． 【跟踪专练1】如图，四边形的四边相等，面积为120，，则四边形的周长为（   ） A．52 B．40 C．39 D．26 【跟踪专练2】如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为___________． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，对角线和交于点O，E为对角线上一动点，将绕点D逆时针旋转至，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【题型9.菱形面积双解法综合应用】 【典例】如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_______． 【跟踪专练1】将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 【跟踪专练2】如图，有两张矩形纸片和，，，把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合，当两张纸片交叉所成的角最小时，重叠部分的面积等于（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，点，分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求四边形的面积． 【题型10.菱形多结论问题的判断】 【典例】如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是______把你认为正确的结论的序号都填上． 【跟踪专练1】如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（   ） ①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是__________． 【跟踪专练3】在中，为对角线的交点，动点沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为y，y与的函数图象如图所示，则下列两个命题中说法正确的是（   ） 命题①：为菱形． 命题②：当点运动到中点时，的长为2． A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【题型11.菱形与坐标系综合问题.】 【典例】如图，在平行四边形中，，顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，中，，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在第二象限交于点M，连接．点C在上，连接，，且．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型12.菱形与翻折问题】 【典例】如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则______． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，点E为边上一点，，点F为边上的一动点，将沿EF翻折，使点C落在点G处，当点G在菱形的对角线上时，的长度为______________． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【题型13.菱形与旋转问题】 【典例】如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为______．    【跟踪专练1】雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶。美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2025次得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，再将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，依次规律，多次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上的一动点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【题型14.菱形与存在性问题】 【典例】在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别是、、．如果存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则m的值等于（任写三个即可）_____ 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，，，，，若以点为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ____________________． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【跟踪专练3】如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【题型15.菱形与动点问题】 【典例】如图1，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．当时， D．当时， 【跟踪专练1】如图1，菱形的对角线，相交于点，点P，Q同时从点出发，以1cm/s的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为，P，Q两点间的距离为，y与x的关系图象大致如图2所示，M为图象中曲线部分的最低点，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，菱形中，对角线，交于点，点.，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，、关于原点O对称的点分别为C、D，点M从点B出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点N从点A出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点M的速度是点N的速度的2倍，则点M和点N第2025次相遇时，点M的坐标为______． 【题型16.菱形与最值我呢提】 【典例】如图所示，在四边形中，于点O，，，点H为线段上的一个动点，过点H分别作于点M，作于点N，连接，在点H运动的过程中，的最小值为（    ） A．6 B．7.8 C．8 D．9.8 【跟踪专练1】如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 【跟踪专练2】如图，O是对角线的交点，分别过点D、C作和的平行线相交于点E，若，，F是的中点，P是四边形边上的动点，则的最小值是___________． 【跟踪专练3】如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于____． 【题型17.菱形与函数综合】 【典例】如图①，菱形的对角线与相交于点两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示．有以下四个结论： ①；②；③当点在段上运动，点在段上运动时，不断增大；④当点在段上运动且两点间的距离最短时，两点的运动路程之和为．其中正确结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图2所示，则的长为________． 【跟踪专练2】如图，点A在x轴的正半轴上，点B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交该函数图象于另一点C，BC=3AB，点D也在该函数的图象上，BD=BC，以BC，BD为边构造▱CBDE，若点O，B，E在同一条直线上，且▱CBDE的周长为k，则AB的长为_____． 【跟踪专练3】.含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…，和点B1，B2，B3，B4，…，分别在直线y=kx和x轴上．已知B1（2，0），B2（4，0），则点A1的坐标是_____；点A3的坐标是_____；点An的坐标是____（n为正整数）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23菱形突破讲义 【模块一 菱形的性质与判定】......................................3 【题型01 菱形的性质理解】........................................3 【题型02 利用菱形的性质求角】....................................6 【题型03 利用菱形的性质求线段长度】..............................8 【题型04 利用菱形的性质证明】...................................11 【题型05 添条件使四边形成为菱形】...............................15 【题型06 证明四边形是菱形】.....................................18 【题型07 菱形性质和判定的实际应用】.............................23 【模块二 菱形的综合问题】.......................................26 【题型08 菱形与勾股定理综合计算】...............................26 【题型09 菱形面积双解法综合应用】...............................31 【题型10 菱形多结论问题的判断】.................................36 【题型11 菱形与坐标系综合问题】.................................42 【题型12 菱形与翻折问题】.......................................47 【题型13 菱形与旋转问题】.......................................52 【题型14 菱形与存在性问题】.....................................57 【题型15 菱形与动点问题】.......................................64 【题型16 菱形与最值问题】.......................................72 【题型17 菱形与函数综合】.......................................79 分值占比：菱形是中考四边形核心考点，总分值约 6–12 分，覆盖选择、填空、解答（几何证明 / 计算）三种题型，是几何中档题与压轴题的高频载体，属于必须重点突破的板块。 常考考点：聚焦菱形的性质与判定、对角线垂直平分特性、面积两种计算方法（底 × 高 / 对角线乘积一半）、特殊角（60°/120°）下的边长与角度计算，以及与勾股定理、全等 / 相似三角形、坐标系、动点、折叠、旋转等知识的综合应用。 命题趋势：基础题侧重性质辨析与判定证明，直接考查四边相等、对角线垂直等核心性质；中档题侧重几何计算与变换，常结合折叠、旋转、动点等情境考查线段长度、面积、角度；难题多以函数综合、存在性探究、最值问题为主，且与坐标系、二次函数结合的题型占比逐年提升，对数形结合能力要求较高。 ★知识梳理★. 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键：菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，额外增加 “一组邻边相等” 的条件。 知识点02:菱形的性质（中考高频考点） 项目 文字语言 几何语言 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（解答题证明必考） 判定 方法 文字语言 几何语言 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 【模块一 菱形的性质与判定】 【题型1.菱形的性质理解】 【典例】如图，在菱形中，，，则的长为______． 【答案】12 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可知，，作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上，可证得四边形是平行四边形，则，可知，当点在上时取等号，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， 作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上， ∵分别是的中点， ∴，， 由轴对称可知，， 则， ∴四边形是平行四边形，则， ∴，当点在上时取等号， 故的最小值为． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．60 B．78 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质．根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得，利用勾股定理求得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是边的中点，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 【题型2,利用菱形的性质求角】 【典例】如图，在菱形中，，点E在对角线上，且，那么的度数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，点在对角线上，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，若，，则的周长是___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形周长，解题的关键是证明是等边三角形．根据菱形的性质以及得出，即可得出是等边三角形，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵在菱形中， ∴，，则， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长是， 故答案为：． 【跟踪专练3】菱形的周长是它的高的4倍，则菱形中较大的一个角是(　　) A．100° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【详解】根据菱形周长等于它高的4倍,则边长等于它高的倍. 因此若作出此菱形的一条高，所得的三角形为等腰直角三角形. 所以它的两个角分别为45°和135°. 故答案为C. 【题型3.利用菱形的性质求线段长度】 【典例】如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形，菱形的性质，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线、交于点O，于点E，连接，，，则菱形的边长为 _________ ． 【答案】10 【分析】设，则，根据勾股定理，得，，整理，得，求解即可． 本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】解：∵， ∴， 由菱形的性质可知，O为的中点，， ∴， 设， 则， 根据勾股定理，得，， 故， 整理，得， 解得，（边长不能为负，舍去） ∴菱形的边长为10． 【跟踪专练3】如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 【题型4.利用菱形的性质证明】 【典例】如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为_______． 【答案】1 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】先证明四边形、、、是平行四边形，得到，，再证明四边形为矩形，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，，得出，，最后求出矩形的面积即可． 【详解】解：连接，，与相交于点，如图所示：   ，， 四边形、、、是平行四边形， 四边形是菱形 ，，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ， ，， 四边形的面积为：． 【跟踪专练2】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知如图在菱形中，，点E、F分别是、上的动点（不与端点重合），且，连接、交于点G，则四边形的面积的最大值为（   ） A． B．6 C． D． E．9 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由“”可证，可得，求得，由，四点共圆，连接，过G作于N，过作于，，由，当为圆的直径时，取得最大值，此时取得最大值，此时四边形的面积最大，接着证明，求得，然后利用勾股定理求得，然后利用四边形的面积等于求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴△ABD和△BDC都是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 四点共圆， 如图，连接，过G作于N，过作于， 则，其中，的长度都是不变的， 那么当最大时，四边形的面积最大， 那么当重合时，此时点在的中点，最大， 即为圆的直径时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故选：C． 【题型5.添条件使四边形成为菱形】 【典例】如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，顺次连接四边形各中点得四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形和菱形的判定，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接、，根据三角形中位线定理，推出，，四边形是平行四边形，要使四边形为菱形，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 顺次连接四边形各中点得四边形， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形是平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， ， 故选：D． 【跟踪专练3】如图所示，在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD添加一个条件，使四边形EFGH成一个菱形，这个条件是__________．    【答案】答案不唯一，例AC=BD 等 【分析】连接AC、BD，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的特点添加条件即可. 【详解】连接AC， ∵点E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC, ∴EF∥HG，EF=HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 连接BD,同理EH=FG,EF∥FG， 当AC=BD时，四边形EFGH是平行四边形， 故答案为：答案不唯一，例AC=BD 等.    【点睛】此题考查三角形中位线性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定. 【题型6.证明四边形是菱形】 【典例】如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是_________． 【答案】四边相等的四边形是菱形 【分析】本题考查的是菱形的判定，作一条线段等于已知线段，根据作图可得，结合菱形的判定可得结论. 【详解】解：由作图可知， ∴四边形是菱形（四边相等的四边形是菱形）． 故答案为：四边相等的四边形是菱形 【跟踪专练1】如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，证得四边形是平行四边形是解题的关键． 当平分时，四边形是菱形，可先证明四边形是平行四边形，再证明即可解决问题． 【详解】解：当平分时，四边形是菱形， 理由：， ， 平分， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 其余选项均无法判断四边形是菱形， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点，分别以点，为起点，以的速度沿，方向运动．设点M，N运动的时间为，连接，．当的值为______时，四边形为菱形． 【答案】 【详解】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，再证四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，然后由勾股定理得出方程求解即可． 如图，过点作于点． 四边形是平行四边形， ． 在中，，， 是等腰直角三角形， ． 由题意，得， ， ． 由题意，得，， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ， 解得， 当时，四边形为菱形． 【跟踪专练3】如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； 【分析】（1）在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，结合的性质和是角平分线的条件，推出，进而得到，由此证得且，先判定四边形是平行四边形，再结合邻边相等，证得平行四边形是菱形； （2）在中，由求出，进而得到，，结合证得是等边三角形，求出，再由角平分线的性质得，结合菱形的性质，证得是等边三角形，得到、，再结合、求出，由三角形内角和定理证得是直角三角形，最后利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵在中，，， ∴， ∴，， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 由（1）知四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴为直角三角形， ∵在中，，， ∴， 由勾股定理得． 【题型7.菱形性质与判定的实际应用】 【典例】如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放在一起，，．若，，则图中阴影部分的面积（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设相交于点G，相交于点H，易证四边形是平行四边形，再证明可得，则平行四边形是菱形可得，设，则，再根据勾股定理列方程求得x，进而求得，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：设相交于点G，相交于点H， ∵两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起， ∴， ∴四边形是平行四边形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得： ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 【跟踪专练3】将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，用拉紧的橡皮筋连接，，转动这个四边形，使它的形状改变．如图，当时，测得；则当时，四边形的面积为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质．先根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质、勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出即可求解． 【详解】解：由题意，当时， ∵， ∴四边形是正方形， 又∵，， ∴； 当时， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴，则， ∴，则， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【模块二 菱形的综合问题】 【题型8.菱形与勾股定理综计算】 【典例】有两张相同大小的矩形纸片和，将其按如图所示的方式交叉叠放，重叠部分构成一个四边形，连接，，若，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理．先证明四边形是菱形，菱形的性质结合勾股定理求得，再利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形纸片和， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张相同大小的矩形纸片和， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形的四边相等，面积为120，，则四边形的周长为（   ） A．52 B．40 C．39 D．26 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，根据题意易证四边形是菱形，连接交于点，根据菱形的面积公式求出，由菱形的性质得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形的四边相等， ∴四边形为菱形， 连接交于点， ∴， ∵四边形的面积为120，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴四边形的周长为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，已知线段，分别以点为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，连接，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了无刻度直尺作图、勾股定理、菱形的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，对角线和交于点O，E为对角线上一动点，将绕点D逆时针旋转至，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查图形旋转的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、菱形的性质、含有的直角三角形的性质．连接，过点作于点，证明，求出的大小，根据直角三角形边长关系求得的最小值为． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴，， ∵将绕点D逆时针旋转至， ∴， ，即， 连接，在和中，， ， ， ， ∴． 过点作于点， 则， ∴当点与点重合时，取最小值， 在中，，， ，， ， 在中，，， ， ∴最小值为． 故选：B． 【题型9.菱形面积双解法综合应用】 【典例】如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定、勾股定理以及含有的直角三角形，先证明是菱形，过点作的垂线，交于点，利用勾股定理求出的长度，最后代入菱形面积公式即可． 【详解】纸条对边平行 平行于，平行于 是平行四边形 两条纸条宽度都为 是菱形 过点作的垂线，交于点，即 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为______． 【答案】 【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积． 【详解】解：如图： 由题意得：，， 由折叠得：， 四边形是菱形， ． 【跟踪专练2】如图，有两张矩形纸片和，，，把纸片交叉叠放在纸片上，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合，当两张纸片交叉所成的角最小时，重叠部分的面积等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，设交于，由 “”可证，可证，即可证四边形是菱形，当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，由勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可得出答案，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设交于，如图所示： ∵四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵将两纸片按如图所示叠放，使点与点重合，且重叠部分为平行四边形， ∴当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴重叠部分的面积， 故选：． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，点，分别是的中点，点，在对角线上，且． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2)24 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定解答即可； （2）根据菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）解：平行四边形； 证明：在菱形中，， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）解：连接，交于点， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴，即为中点， 同理可得， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 【题型10.菱形多结论问题判断】 【典例】如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是______把你认为正确的结论的序号都填上． 【答案】 【分析】此题考查轴对称以及菱形的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．根据轴对称的基本性质可知． 【详解】解：因为是四边形的对称轴，， 则，，， 则， ， ， 所以四边形是菱形． 根据菱形的性质，可以得出以下结论： ，故正确； ，故正确； ，故错误； ，故正确． 故正确的有：． 【跟踪专练1】如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（   ） ①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，求得，根据作图过程可知：是的垂直平分线，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形；在中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得；根据菱形的面积可得；根据是的垂直平分线，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设交于点 四边形是矩形， ，， ， 由作法得：是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故①正确； 在中，， ∴， ∴，故②正确； ，故③错误； 是的垂直平分线， ∴， ∴， 即的最小值是9，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是掌握基本作图方法． 【跟踪专练2】如图，矩形纸片，，，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点与点重合时，；③的面积的取值范围是．其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题． 先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确； 点与点重合时，设表示出利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出②错误； 当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值，即可判断③正确． 【详解】∵， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形，故①正确； ， ， 点与点重合时，如图1所示： 设则， 在中， 即， 解得 ， ， ， ，故②错误； 当过点时，如图所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ∴故③正确． 故答案为： ①③． 【跟踪专练3】在中，为对角线的交点，动点沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为的长为y，y与的函数图象如图所示，则下列两个命题中说法正确的是（   ） 命题①：为菱形． 命题②：当点运动到中点时，的长为2． A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】A 【分析】根据题意得当P在上时，的最小值是O到的距离的平方；当P在上时，的最小值是O到的距离的平方，且，据此作出图像，证明可得，根据平行四边形的性质结合等腰三角形的性质可得，则为菱形，根据勾股定理求出的值，再在通过面积法表示出，最后通过勾股定理和直角三角形中斜边的中线的性质即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，当P在上时，的最小值是O到的距离的平方；当P在上时，的最小值是O到的距离的平方，且， ∴当时，此时，如下图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确， ∵四边形是菱形， ∴对角线，即． 在中，，， 由勾股定理得：， ∵在菱形中，且， 设，则的面积可表示为：， ∴， ∴， 又由勾股定理，，代入得， ， ， ， 解得（舍去）， ∴， ∵是中点，且， ∴，故②正确． 综上所述，命题①和②都正确， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、菱形的判定和性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，作出正确的图形是解决本题的关键． 【题型11.菱形与坐标系综合问题】 【典例】如图，在平行四边形中，，顶点O，A的坐标分别为，，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先由勾股定理求出，证明平行四边形是菱形得出，，则点B的横坐标等于点A的横坐标加上AB的长度，点B的纵坐标等于点A的纵坐标． 【详解】∵顶点O，A的坐标分别为， ∴ ∵在平行四边形中， ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ 故答案为： 【跟踪专练1】.如图，中，，顶点在轴的负半轴上，，，将绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，坐标规律探索，旋转性质，先证明为菱形，得出，根据勾股定理得出，根据旋转得出第1秒点C的坐标为，第2秒点C的坐标为，第3秒点C的坐标为，第4秒点C的坐标为，得出每4秒中点C循环一周，根据，得出第2025秒旋转结束时，点C的坐标与第1秒旋转后的坐标相同，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵中，， ∴为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，每秒旋转， ∴第1秒点C的坐标为， 第2秒点C的坐标为， 第3秒点C的坐标为， 第4秒点C的坐标为， 第5秒点C的坐标为， … ∴每4秒中点C循环一周， ∵， ∴第2025秒旋转结束时，点C的坐标与第1秒旋转后的坐标相同， ∴第2025秒旋转结束时，点C的坐标， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，菱形的顶点，，若菱形绕点逆时针旋转每秒旋转，则第秒时，菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、图形的旋转，探索图形的规律，根据点的坐标可知是平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线，根据点的坐标和菱形的性质可知点的坐标是，根据每秒旋转可知每秒旋转一圈，秒时菱形旋转了圈又秒，根据秒菱形旋转的角度，判断点所在的象限，根据象限求出坐标． 【详解】解：设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 是平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线， 四边形是菱形， 点是的中点， 点的坐标是， ， 旋转秒时点回到初始位置， ， 第秒时，点旋转了圈又秒， ， 点旋转到第四象限， 点的坐标是． 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交x轴负半轴于点B，连接．分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧在第二象限交于点M，连接．点C在上，连接，，且．现将线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运用勾股定理得，根据，则，由作图过程可得，射线为的平分线，证明，是等边三角形，即四边形是菱形，所以点的纵坐标与点相同，即点的坐标为．因为线段绕原点逆时针旋转，每次旋转，所以旋转4次为一个循环．然后进行列式计算，即可作答． 【详解】如图，过点C作轴于D，过，点A作轴于H， ， ，， ． 由作图过程可得，射线为的平分线， ， ． ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴ ∴四边形是菱形， ， 点的纵坐标与点相同， 即． 在中，， 点的坐标为． 线段绕原点逆时针旋转，每次旋转， 旋转4次为一个循环． ， 线段绕原点逆时针旋转2025次与旋转1次的点重合，第一次旋转得到点的对应点为， 第2025次旋转结束时，点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转性质，点的坐标规律，菱形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，等边三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型12.菱形与翻折问题】 【典例】如图，在边长为2的菱形中，，点M是边的中点，点N是边上一点，沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，相交于点O，设与相交于点求出，证明与重合，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 相交于点O，设与相交于点 ∵沿所在的直线翻折得到，使点A的对应点落在对角线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与重合， ∴． 【跟踪专练1】在菱形中，边长为，，点是的中点，连接是上一动点，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形中的折叠，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的性质及折叠的性质，用勾股定理列方程解决问题． 过作于，由四边形是菱形，可得是等边三角形，又，即得，在中，，，从而，设，则，，在中，由勾股定理即可得答案． 【详解】解：过作于，如图： 四边形是菱形，边长为， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，点E为边上一点，，点F为边上的一动点，将沿EF翻折，使点C落在点G处，当点G在菱形的对角线上时，的长度为______________． 【答案】1或 【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定及性质，折叠的性质，分情况讨论是解题的关键．（1）当点G在菱形对角线上时，由折叠的性质得，证出，得出，从而得到．（2）当点P在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得 ，，从而证明，再由相似三角形的性质可得出，则从而求出，，最后利用列方程求解即可． 【详解】解：分两种情况：（1）当点G在菱形对角线上时，如图 由折叠的性质得， ∴垂直平分， ∵四边形是菱形， ， 又∵在菱形中，， ∴； （2）当点P在菱形对角线上时，如图 ∵，， ∴， 设， 由折叠的性质得 ，， 又∵在菱形中，， ∴ ，， 即 ，， 又∵ ， 解得或(不符合题意，舍去) ∴， 综上所述，的长为1或 故答案为：1或． 【跟踪专练3】如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：菱形中，， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 【题型13.菱形与旋转问题.】 【典例】如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为______．    【答案】 【分析】本题考查旋转及菱形的性质．根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ， ∵四边形是菱形， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶。美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2025次得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．先求得旋转第2025次得到的菱形与第三次得到的菱形相同，再可得旋转3次，则相当于将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，即可求解，即可求解点的坐标． 【详解】解：∵， ∴旋转周期为6个， ， ∴旋转第2025次得到的菱形与第三次得到的菱形相同， 如图，旋转第三次得到菱形， 旋转3次，则相当于将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转， ∵点B的坐标为， 的坐标是． 点的坐标是． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，再将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，依次规律，多次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转、菱形的性质、勾股定理，根据旋转角是可知菱形绕点旋转，每旋转次，菱形就会回到开始的位置，所以旋转次就是旋转了个循环后，又旋转了次，根据旋转角和旋转方向画出图形，延长交轴于点，过作轴的垂线交轴于点，利用勾股定理求出，再根据点所在的象限确定点的坐标． 【详解】解：， 菱形绕点旋转，每旋转次，菱形就会回到开始的位置， ， 绕点旋转次后，菱形的位置如下图所示： 延长交轴于点，过作y轴的垂线交y轴于点， 根据题意可知，， 轴，， 是等腰直角三角形， 设， 则有， ， 解得：， ， 则， 点在第二象限， 点的坐标为， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上的一动点，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，连接，如图，先根据菱形的性质得到，则为等边三角形，所以，，再根据旋转的性质得到，，接着证明得到，所以，于是可判断点在过的中点且与平行的定直线上，过点作于，于点，如图，接着求出，从而得到的长，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：取的中点，连接，连接，如图， ∵菱形的边长为2，点为边的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点在过的中点且与平行的定直线上， 过点作于，于点，如图， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂线段最短、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质． 【题型14.菱形与存在性问题】 【典例】在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别是、、．如果存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则m的值等于（任写三个即可）_____ 【答案】3或或2或（任写3个即可） 【分析】根据题意分为菱形的边和为菱形的对角线两种情况讨论，然后利用菱形的性质和坐标系的特点，结合勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，当为菱形的边时，    ∵四边形是菱形 ∴点B与点C关于对称，在y轴上 ∵ ∴点C的坐标为 ∴m的值等于3； 如图所示，当为菱形的边时，当点C在x轴的负半轴时，    ∵， ∴， ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵ ∴C点坐标为 ∴m的值等于； 如图所示，当为菱形的边时，当点C在x轴的正半轴时，    ∵四边形是菱形 ∴ ∵ ∴C点坐标为 ∴m的值等于2； 如图所示，当为菱形的对角线时，    ∵，， ∵四边形是菱形 ∴，即 ∴ 解得； 综上所述，m的值等于3或或2或． 故答案为：3或或2或（任写3个即可）． 【点睛】此题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，，，，，若以点为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ____________________． 【答案】或或或 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形、勾股定理，分两种情况：①点在点的右边，过作于；②点在点的左边时，过作于，分别求出和的长即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：①点在点的右边，过作于，如图1所示： ∵，，，，且， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②点在点的左边时，过作于，如图2所示： ∵，，，，且，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； 故答案为：或或或． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【答案】或或或或或或（只需写出一个条件即可） 【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，通过添加条件证得，由一组对边相互平行且相等，从而证得四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 同理，添加或，则，即四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，． 在和中， ． ． ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 【跟踪专练3】如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项条件，结合菱形判定依据，逐一分析能否判定平行四边形为菱形． 【详解】解：A、∵是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，是平行四边形． ∴． ∵， ∴是菱形，不符合题意． B、∵， ∴． ∵， ∴只能说明是的角平分线，无法推出的邻边相等或对角线垂直，不能判定其为菱形，符合题意． C、，直接根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定是菱形，不符合题意． D、由三角形外角性质，， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴是菱形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定定理、三角形外角性质，解题关键是准确区分 “能判定菱形的条件” 和 “不能判定菱形的条件”，熟练将角的关系转化为边的关系． 【题型15.菱形与动点问题】 【典例】如图1，在菱形与菱形中，，且，点在射线上，点在直线上．菱形沿射线平移，设点与点的距离为，菱形与菱形重叠部分的图形面积为．若关于的函数图象如图2所示，则下列选项正确的是（　　） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查由图象获取信息，菱形的判定及性质，锐角三角形函数，掌握相关知识是解题的关键． 由题意可得，菱形的面积为12，，根据菱形的面积公式即可求出，从而判断A选项；连接，根据菱形的对角线互相垂直平分可求出，，再由勾股定理求出，根据正弦的定义即可判断B选项；当时，，可得点O与点E重合，设与相交于点M，与相交于点N，连接，交于点H，证明重合部分四边形是菱形，求出，的长，进而求出菱形的面积，即可判断C选项；由图象可得，当时，，即可判断D选项． 【详解】解：由题意可得，当菱形与菱形重合时，重叠部分的面积y最大，此时点P与点C重合时，点E与点A重合，，重合部分的面积y是菱形的面积， 由图象可得，此时，， ∴，， ∵，即， ∴，故A选项错误． 连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴在中，， ∴，故选项B错误； 当时，， ∵在菱形与菱形中，，且， ∴菱形与菱形全等， ∴， ∴， ∴， ∴点O与点E重合，如图所示， 设与相交于点M，与相交于点N，连接，交于点H， ∵在菱形和菱形中，，， 又， ∴，， ∴，， ∵在菱形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴ ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴， 即，故选项C正确． 由图象可得，当时，，故选项D错误． 故选：C． 【跟踪专练1】如图1，菱形的对角线，相交于点，点P，Q同时从点出发，以1cm/s的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为，P，Q两点间的距离为，y与x的关系图象大致如图2所示，M为图象中曲线部分的最低点，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、动点问题的函数图象及解直角三角形，根据图象可知整个过程分为三个过程，第一，当点P运动到点A，点Q运动到点C时；第二，点P运动到点D，点Q运动到点B时；第三，当点P运动到边上，点Q运动到边上，P，，Q三点共线，再根据图象即可求解． 【详解】解：由题意，可知当点P运动到点A，点Q运动到点C时，y最大，，即，∴． 当点P运动到点D，点Q运动到点B时，y为的长，此时，即， ∴． ∴在中，． 当点P运动到边上，点Q运动到边上，P，，Q三点共线．当时，的长最小，即此时y最小． 如解图，易得，， 即的值为， 故选C． 【跟踪专练2】如图1，菱形中，对角线，交于点，点，点同时从点出发，点以的速度沿折线运动到点停止，点以的速度沿方向运动，点随点的运动停止而停止．连接，的面积()与点的运动时间)之间的函数图象如图2所示，则菱形的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质以及解直角三角形．利用的正弦值得到的长，的正切值得到菱形对角线的一半的长是解决本题的难点．当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，即可得到的长，易得，则，当时，点在线段上，作于点，根据的面积为可得的长，进而可得的长，则可得的长，根据的正切值可得和的长，则可菱形对角线的长，那么可得菱形的面积． 【详解】解：当时，，，如图： 作于点，则， ， ， ， 解得：， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 当时，点在上，运动的路程长，，如图： 作于点，则， ， ， 解得：， ， 解得：， ， 设为 ，则， ， 解得：， ， ，， ，， 菱形的面积为， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，、关于原点O对称的点分别为C、D，点M从点B出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点N从点A出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点M的速度是点N的速度的2倍，则点M和点N第2025次相遇时，点M的坐标为______． 【答案】 【分析】先证明四边形是菱形，利用勾股定理求出菱形边长为，利用行程问题中的相遇问题，根据两个点的速度，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵、关于原点O对称的点分别为C、D， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 根据题意设点N的速度为x，则点M的速度为， ∴点M和点N第1次相遇时，经过时间为，此时点M运动的路程为，则点M在点上，坐标为； 点M和点N第2次相遇时，经过时间为，此时点M运动的路程为， ∵， ∴点M在点的三等分点上，且靠近点C， 如图，设相遇点为，过点作轴的垂线，垂足为，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 点M和点N第3次相遇时，同理得经过时间为，此时点M运动的路程为，点M在点的三等分点上，且靠近点A， 如图，设相遇点为，同理得， 点M和点N第4次相遇时，同理得经过时间为，此时点M运动的路程为，点M在点上， ； 则点M和点N相遇点依次为， ∵， ∴点M和点N第2025次相遇时，相遇位置为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质及菱形的判定与性质，找到规律是解题的关键． 【题型16.菱形与最值问题】 【典例】.如图所示，在四边形中，于点O，，，点H为线段上的一个动点，过点H分别作于点M，作于点N，连接，在点H运动的过程中，的最小值为（    ） A．6 B．7.8 C．8 D．9.8 【答案】B 【分析】证四边形是菱形，可得，连接，由三角形面积关系求出为定值，由垂线段最短可知，当时，最短，即可求解． 【详解】∵，， ∴，四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形， ∴ 连接，如图， ∵ ∴，即 ∴ ∴为定值 ∴当最短时，有最小值 由垂线段最短可知，当时，最短， 当点H与点O重合时，有最小值 最小值 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于______． 【答案】 【分析】证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，O是对角线的交点，分别过点D、C作和的平行线相交于点E，若，，F是的中点，P是四边形边上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线，找准有最小值时的点位置是解题的关键．先判定四边形为菱形，找出当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于，过点作于，则，利用平行四边形的面积求解的长，再利用三角形的中位线定理可求解的长，进而可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ， ，， 四边形为菱形， 点是的中点，点是四边形边上的动点， 当垂直于菱形的一边时，有最小值． 过点作于，过点作于，则， ，， ， 即， 解得， 为的中点，， 为的中位线， ， 故的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于____． 【答案】15.6 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，将求的最小值问题转化为求的最小值问题是解题的关键． 先根据题目条件，证明四边形是菱形，然后利用，推出， 再利用垂线段最短求的最小值，综合可得的最小值． 【详解】解：， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 于点O， 平行四边形是菱形， ， 连接PD，如图所示： ， ， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短，此时， 当点P与点O重合时，有最小值，最小值为． 故答案为：15.6． 【题型17.菱形与函数综合】 【典例】如图①，菱形的对角线与相交于点两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为．设运动的时间为秒，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示．有以下四个结论： ①；②；③当点在段上运动，点在段上运动时，不断增大；④当点在段上运动且两点间的距离最短时，两点的运动路程之和为．其中正确结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形以及菱形的基本性质．当点运动到点，点运动到点，结合图象，可得此时，当点在上时，在上，距离最短时，连线过点且垂直于，此时，两点运动路程之和，求出的长，即可得出答案． 【详解】解：由图分析可得： 当点从运动时，点从运动时，不断增大，③正确； 当点运动到点，点运动到点时，由图象知此时， ，①正确； 四边形为菱形， ，， 当点运动到点，点运动到点，结合图象，可得此时， ， 在中，， ，②正确； 当点在上时，在上，距离最短时，连线过点且垂直于，此时，两点运动路程之和， ， ，④正确； 故选：D． 【跟踪专练1】如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图2所示，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．先证明四边形是菱形，根据图1和图2判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ， 为等边三角形， 设，由图可知，当两点重合时，的面积为， ∴的面积， 解得：(负值已舍)， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点A在x轴的正半轴上，点B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交该函数图象于另一点C，BC=3AB，点D也在该函数的图象上，BD=BC，以BC，BD为边构造▱CBDE，若点O，B，E在同一条直线上，且▱CBDE的周长为k，则AB的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵四边形CBDE是平行四边形，BD=BC， ∴四边形CBDE是菱形， ∵▱CBDE的周长为k， ∴BC=k， ∵BC=3AB， ∴AB=k， 设点C的坐标为（a，）， ∵BC=3AB， ∴点B的坐标为（4a，）， ∵BD=BC，点O、B、E在同一条直线上， ∴点B在直线y=x上， ∴4a=，得k=16a2， ∴点C（a，16a），点B（4a，4a）， ∴BC2=（4a﹣a）2+（4a﹣16a）2=9a2+144a2=153a2， 又∵菱形CBDE的周长为k， ∴BC2===16a4， ∴16a4=153a2，得a2=， ∴k=16a2=16×=153， ∴AB=k =， 故答案为． 【跟踪专练3】含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…，和点B1，B2，B3，B4，…，分别在直线y=kx和x轴上．已知B1（2，0），B2（4，0），则点A1的坐标是_____；点A3的坐标是_____；点An的坐标是____（n为正整数）． 【答案】 （3，）， （12，4）， （ ，n）． 【分析】利用菱形的性质得出△A1B1B2是等边三角形，进而得出A1坐标，进而得出OB2=A2B2=4，即可得出A3，An的坐标． 【详解】解： 过点A1作A1D⊥x轴于点D， ∵含60°角的菱形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…， ∴∠A1B1D=60°，A1B1=A1B2， ∴△A1B1B2是等边三角形， ∵B1（2，0），B2（4，0）， ∴A1B1=B1B2=OB1=2， ∴∠A1OD=∠OA1B1=30°， ∠A1OD=∠OA2B2=30°， ∴OB2=A2B2=4， 同理可得出：A2（6，2），则A3（12，4）， 则点An的坐标是：（ ，n）． 故答案为：①（3，），②（12，4），③（ ，n）． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、正比例函数图象上点的坐标特征等． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $