2025-2026学年北师大版数学九年级下学期三月学情自检试题

2025-2026学年北师大版数学九年级下学期三月学情自检试题 一、单选题 1．在东西走向的马路上，若把向东走记做，则向西走应记做（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（　　） A． B． C． D．6 3．如图，在中，F，E分别是和的中点，连接，点G是的中点，连接并延长，交的延长线于点D．若，则的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．6 4．一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（    ） A． B． C．x（x+1）=30 D．x（x−1）=30 5．如图，在正方形中，点M，N是的三等分点，分别以，为边作正方形．正方形被分为如图所示的三个区域．小明同学在正方形内进行撒豆子试验，以下说法正确的是（    ） A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 8．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．关于x的一元二次方程k-4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A．k>4 B．k≤4 C．k<4且k≠0 D．k≤4且k≠0 二、填空题 11．因式分解：______． 12．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是________． 13．已知二次函数的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x 0 2 4 5 m 则m______0（填“”或“”）. 14．周末，小亮打算在“甘坑古镇”、“大芬油画村”、“龙城公园”、“鹤湖新居”、“园山风景区”这五个景点中随机选择一个去游玩，恰好选中“龙城公园”的概率是________． 15．赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径，拱高，则拱桥的半径为______m． 16．如图，正方形中，，点为中点，点在延长线上，且，连接并延长，交于点，则______． 三、解答题 17．计算：． 18．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．    (1)求直线和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积． 19．为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： (1)本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 ； (2)若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？ (3)某班有2名男生和1名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 20．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 21．如图，中，是对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的垂直平分线分别交于点E，F，连接，求证：四边形是菱形． 22．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最值． 23．定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是 ；  （填序号） ①平行四边形         ②矩形           ③菱形           ④正方形 （2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， 连接，． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则的长为 ． （直接写出结果） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年北师大版数学九年级下学期三月学情自检试题》参考答案 题号 6 7 8 9 10 答案 B C A D D 1．B 【分析】本题考查相反意义的量，熟练掌握正负的意义是解题的关键，根据题意得到向东走为正，则可得到向西走为负，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：向东走记做， 则向西走向西走，应记作． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则，先将两个根号内的数相乘，再化简结果，并注意符号的处理． 【详解】解：， 故选：B． 3．B 【分析】由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质可得，证明，可得，从而得到的长度． 【详解】解：分别是和的中点， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 4．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有件礼物，根据：共有礼物30件，列出方程即可． 【详解】解：有x人参加这次聚会，每两人都互赠了一件礼物，则每人有件礼物， 根据题意，得． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是掌握概率公式．计算出三个区域的面积，面积最小的概率最小，进而即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为3，则，， 正方形的面积为：， 区域Ⅰ的面积为：， 区域Ⅱ的面积为：， 区域Ⅲ的面积为：， ∵Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积比为：， ∴豆子落在区域Ⅰ的概率最小， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查合并同类项．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：不能计算，故A选项不正确； ，故B选项正确； ，故C选项不正确； ，故D选项不正确， 故选：B． 7．C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：3370万． 故选：． 8．A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．D 【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据折叠得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正方形的性质求解即可. 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 10．D 【分析】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个实数根得到 ，求出k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴ ， 解得， 又∵k≠0， ∴k≤4且k≠0， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 11． 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．且 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，解题的关键是同时满足“二次项系数不为”和“判别式”两个条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数的限制，再利用判别式求出的取值范围，综合得到最终结果． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不能为0，即， 又方程有实数根， 判别式，其中， 代入得：， 令， 解得， 综合以上两个条件，实数的取值范围是且． 故答案为：且． 13． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据找出对称轴，进而根据增减性判断m的值． 【详解】解：由表可知，和时对应的函数值相等， 二次函数图象的对称轴为：直线， 时，，时，，， 在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行求解即可，掌握概率公式所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 【详解】解：共5种等可能的结果，其中恰好选中“龙城公园”的结果只有1种， ∴； 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，设弧所在圆的圆心为，连接，，圆的半径为，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设所在圆的圆心为O，半径为，如图，由已知得，．在中，由勾股定理得， 即，解得， ∴拱桥的半径为． 16． 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．作于点，证明，求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形中，，点为中点， ∴，， 作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 17．3 【分析】先求出算术平方根、去绝对值、计算零次幂和负整数次幂，再进行加减运算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、去绝对值、零次幂、负整数次幂等知识点，属于基础题，解题的关键是熟记各项运算法则并正确计算． 18．(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)6 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴，，即， ∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：∵直线的图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C， ∴点C的纵坐标为1， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 19．(1)100，25 (2)150 (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率，解题的关键是： （1）用“体育类”人数除以所占百分比求出被调查人数，用总人数乘以“艺术类”所占百分比即可； （2）用1000乘以“阅读类”所占百分比即可； （3）画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：本次共调查学生人数为， 喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是， 故答案为：100，25； （2）解：， 答：大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动； （3）解：画树状图，如下 共有6种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为4， ∴抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为． 20．(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线、菱形的判定和全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键； （1）根据尺规作线段垂直平分线的作法解答即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质证明，可得，即可证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，直线为所求作． （2）证明：垂直平分， ． 四边形为平行四边形， ． ． 在和中， ， ． ． ∴四边形是平行四边形． ∵ 平行四边形是菱形． 22．(1) (2)，理由见解析 (3)最大值为 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把拆成两个整数的平方即可； （2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）由题意得：； （2）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为． 23．（1）④；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）或或或． 【分析】（1）根据新定义逐一分析判断即可； （2）证明，，求解，证明为等边三角形，可得，，再证明，可得，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，可得，证明，设，，可得，证明，再进一步证明即可； （4）分四种情况讨论：①证明，而，当时，可得，此时满足条件； ②如图，当时，满足条件，③如图，当时，④如图，当时（与③中的位置不同），过作于，而，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）根据新定义可得： 正方形一定是等直四边形． 故选：④ （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵将线段绕点D 顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等直四边形． （3）如图，连接， ∵线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）①如图，，射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上， ，且四边形是等直四边形， ∴，而， 当时， ∴， ∴，此时满足条件； ②如图，当时，满足条件， 由①同理可得：， 过作于， ∴，设， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时， ∴， ③如图，当时， ∴，， 由②同理可得：， ∴， ④如图，当时， 同理可得：，， 过作于，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为：或或或． 【点睛】本题考查的是新定义题，涉及全等三角形的判定与性质，特殊四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $