第2章 相交线与平行线（提高） 单元检测 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2026年北师大版数学七年级下册 相交线与平行线 单元检测（提高卷） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列各图中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 根据对顶角的定义判断即可． 【详解】解：．的两边不是的两边的反向延长线，不是对顶角，故该选项不符合题意； ． 和没有公共点，不是对顶角，故该选项不符合题意； ．和，有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，符合对顶角的定义，故该选项符合题意； ．的两边不是的两边的反向延长线，不是对顶角，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知的直角条件，通过角的和差关系，找出、、之间的联系进而代入各项逐一判断即可．本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∴，故A项错误； ，故B项错误； ，故C项错误； ，故D项正确； 故选：D． 3．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的性质，对顶角的性质，根据反射定律和余角的性质可得，结合对顶角的性质可得，即可求解． 【详解】解：根据反射定律知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如果一个角的余角是，那么这个角的补角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了互余、互补的概念及计算，理解互余、互补的概念是解题的关键． 根据互余的概念及计算得到一个角的度数为，再根据互补的概念及计算得到补角的度数，由此即可求解． 【详解】解：一个角的余角是， ∴这个角是， ∴该角的补角为， 故选：D ． 5．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 6．学习小组利用平面镜的反射原理，将室外光线引入光线不够充足的室内．如图，光线与平面镜成的角射入，经过平面镜，反射后进入室内．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握光的反射的性质是本题的解题关键． 由反射角等于入射角得，，再由平行得，再由反射角等于入射角得，即可求解． 【详解】如图， 由反射角等于入射角得，， ∵， ， 由反射角等于入射角得，， ∴， 故选：D． 7．如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键．分别过点C、D作的平行线，即，根据平行线的性质得，，由，得，再由，即可得到． 【详解】如图，分别过点C、D作的平行线，即， 根据平行线的性质得，， ， ， 又， ， 即， 故选：A． 8．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是（　　） A．20° B．19° C．18° D．15° 【答案】C 【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，可得CF与GF重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数． 【详解】解：设∠DEF＝α，则∠EFG＝α， ∵折叠9次后CF与GF重合， ∴∠CFE＝9∠EFG＝9α， 如图（2），∵CFDE， ∴∠DEF+∠CFE＝180°， ∴α+9α＝180°， ∴α＝18°， 即∠DEF＝18°． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠DEF+∠CFE＝180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，将两个含角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边，依据是______． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】图中的两个30°的角是一对内错角，而内错角相等，两直线平行，据此可得答案． 【详解】解：因为∠BAD=∠ADC=30°， 所以，理由是：内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定方法是关键． 10．如图，直线，一块含角的直角三角板如图放置，若，则为________． 【答案】16° 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）以及三角板角度的运用，通过作辅助线，将所求角与已知角、三角板的固定角建立联系来求解，本题是平行线性质在实际图形（结合三角板）中的应用，能锻炼学生作辅助线构造平行关系、运用角度性质推理计算的能力，加深对平行线性质和三角板角度特征的理解，是平面几何中角度计算的典型题型． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， 又， ， ，， ， 又， ， ， ， 又， ， 故答案为． 11．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，，则的度数是________． 【答案】100° 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：延长BC至G，如下图所示， 由题意得，AF∥BE，AD∥BC， ∵AF∥BE， ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）， ∵AD∥BC， ∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）， ∴∠4=∠1=40°， ∵CD∥BE， ∴∠6=∠4=40°（两直线平行，同位角相等）， ∵这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD， ∴∠5=∠6=40°， ∴∠2=180°-∠5-∠6=180°-40°-40°=100°， 故答案为：100°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系． 12．如图，已知，M为平行线之间一点，连接，N为上方一点，连接，E为延长线上一点，若分别平分，，则________．    【答案】 【分析】如图所示，过点M作，过点N作，则，先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到；再证明，，即可得到，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点M作，过点N作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 13．观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．分别过作直线a的平行线，由平行线的性质可得出：于是得到，，，根据规律得到结果． 【详解】解：如图，过作， 同理可得，， 如图，分别过作直线a的平行线， ∵， ∴． 由平行线的性质可得出： ∴第1个图中：， 第2个图中：， 第3个图中：， 第4个图中：， ……， ∴第n个图中：． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，，，，将求的过程填写完整． 解：∵．（ 已知） ∴ ．（ ） 又∵（ 已知） ∴．（ ） ∴ ．（ ） ∴ ．（ ） 又∵．（ 已知） ∴ ．（等式的性质） 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由平行线的性质和已知条件证明，则可证明，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案． 【详解】解：∵．（ 已知） ∴．（两直线平行，同位角相等） 又∵（ 已知） ∴．（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，同旁内角互补） 又∵．（ 已知） ∴．（等式的性质） 15．如图，已知点分别在和上，，．    (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”和等腰三角形“等边对等角”的性质证明，，即可证明结论； （2）首先求得，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 16．如图，点为线段上的一点，点为线段外的一点，连接，平分．    (1)尺规作图：过点A作，交射线于点M（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了尺规作图-作角等于已知角、角平分线、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法是解题关键． （1）以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点；再以点为圆心，以为半径作弧，交直线于点，以点为圆心，以为半径作弧，与以点为圆心，以为半径所作弧交于点，作射线交于，即可完成所需图形； （2）结合角平分线的定义证明，易得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的图形；   ； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图，，平分，平分，的反向延长线交于点，过点作． (1)若，，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平行线和角平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意，可得，，再利用平行线的性质，可得，，进而求解； （2）设，，由（1）知：，分别求解和，进而求解； 【详解】（1）解：，， 平分，平分， ，， ， ，， （2）解：设，， ，， 由（1）知：， ， ， ， ； 18．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（① ）， ∵，（已知）， ∴（② ）， ∴，即：， ∴（③ ） (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行； (2)96，90 (3)当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得； （2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得； （3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等 ）， ∵，（已知）， ∴（②等量代换 ）， ∴，即：， ∴（③内错角相等，两直线平行 ） 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行； （2）解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：96，90． （3）当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下： 解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握平行线的判定与性质． 19．（1）【问题情境】如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图②，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下，当点P在线段上时，如图③；当点P在的延长线上时，如图④．请直接写出与，之间的数量关系，无需证明． 【答案】（1）.；（2），理由见解析；（3）点P在线段OB上时，；点P在BD的延长线上时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意、作出适合的辅助线是解题关键． （1）根据平行线的性质进行计算，即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质得、，即可求解； （3）点P在线段OB上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解；点P在BD的延长线上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ， ， ． （2）如图，过点作， ，，， ， ，， ． （3）点P在线段上时，如图， 过点作， ，，， ， ，， ． 点P在的延长线上时，如图， 过点P作， ，， ， ，， ． 20．如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分两种情况讨论：当平分时；当的反向延长线平分时；分别求出旋转的角度，再结合每秒的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是：， ， ； 如图，当的反向延长线平分时， ， ， 旋转的角度是：， ， ； 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，等式的性质，对顶角相等，等式的性质等知识点，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． 试卷第14页，共22页 试卷第13页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北师大版数学七年级下册 相交线与平行线 单元检测（提高卷） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．下列各图中，与是对顶角的是（　　） A．B．C．D． 2．如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 3．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　） A． B． C． D． 4．如果一个角的余角是，那么这个角的补角是（   ） A． B． C． D． 5．如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 6．学习小组利用平面镜的反射原理，将室外光线引入光线不够充足的室内．如图，光线与平面镜成的角射入，经过平面镜，反射后进入室内．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，则，，的关系是（   ） A． B． C． D． 8．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是（　　） A．20° B．19° C．18° D．15° 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．如图，将两个含角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边，依据是______． 10．如图，直线，一块含角的直角三角板如图放置，若，则为________． 11．如左下图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，，若，，则的度数是________． 12．如右上图，已知，M为平行线之间一点，连接，N为上方一点，连接，E为延长线上一点，若分别平分，，则________．    13．观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，，，，将求的过程填写完整． 解：∵．（ 已知） ∴ ．（ ） 又∵（ 已知） ∴．（ ） ∴ ．（ ） ∴ ．（ ） 又∵．（ 已知） ∴ ．（等式的性质） 15．如图，已知点分别在和上，，．    (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 16．如图，点为线段上的一点，点为线段外的一点，连接，平分．    (1)尺规作图：过点A作，交射线于点M（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 17．如图，，平分，平分，的反向延长线交于点，过点作． (1)若，，求的度数． (2)若，求的度数． 18．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（① ）， ∵，（已知）， ∴（② ）， ∴，即：， ∴（③ ） (2)显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°． (3)请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由． 19．（1）【问题情境】如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图②，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下，当点P在线段上时，如图③；当点P在的延长线上时，如图④．请直接写出与，之间的数量关系，无需证明． 20．如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 试卷第4页，共7页 试卷第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $