广东华侨港澳台2026届高三第一次联合模拟数学试卷

机密★启用前 2025-2026学年全国华侨港澳台 第一次模拟联合考试 数学 一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。) 1.三表示复数z的共轭复数，若-=3+4i,则=+三=() A.2-4i B.8-4i C.22-4i D.28-4i 2.集合A={x<,B={r2-2x<0},则4UB=() A.{0<x<1B.{x-1<x<0} C.{x-1<x<2} D.{x0<x<2} 3.已知x是第三象限角，cosa=- ,则tam2a=（） 6 A.7 B.17 C.、7 D.V7 9 9 4.己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为圆x2-3x+y2-1=0的圆心，则p=（) A.3 B.2 C.1 D.3 5.三棱柱ABC一ABC,的体积为1，P为侧棱BB上的点，则四棱锥P一ACCA,的体积为 ( R C.2 D.1 24 6。甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为？7密码被成功破译的概率为（） A.9 B C. 21 D.21 7.下列函数中既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递减的是() A.y=-(x-1)2 B.y=2- C.y D.y=x+I 8.已知{a}为等比数列，若a2+4a,=4a,则{an}的公比9=() A.-2 B.2 c. D. ),不等式》F-5x+6≥0的解集为 a片 B. C.[3,+) p.} 2a 10.已知函数f(x)=hx+1,若存在x,使得2f(ax)=f(x+3)+f(x+5)a>0),则a的取值 范围() A.0<a≤1 B.1<a<2 C.0<a<1或a>2D.a>1 二、填空题：（本题共5小题，每小题6分，共30分。） 1.在〔x+)的展开式中，二项式系数的和为64，则辰开式巾项的系数是 12.己知二次多项式ax2+bx+c除以x-1的余式是1，除以x-2的余式是2，除以x-3的余 式是4，则该二次多项式除以x-4的余式是 3.双曲线。片1C2>0,b>0)的左、有焦点为，月，P为双曲线上一点，且满园 PR上x轴，∠PRR=石，则双曲线的离心率为 14.某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去， 甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有种. 15.函数f(x)=-cos2x-2 a sin x+2的最大值为3，则a= 2 三、解答题：（本大题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。) 16.己知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,C,设其面积为S,+办-C S √3 4 (1)求角c: (2)若c=214,点D在边AB上，若CD是∠C的平分线，且CD=1,求S. 17.在数列{an}中，a,=2,a2=8,且对任意的n∈N,都有a+2=4am+1-4aa. (1)证明：{a1-2an}是等比数列，并求出{a}的通项公式： (2求数列{an}的前n项和T. 18.已知函数f(x)=(x2-1)nx+a(x-1)] (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)当a≥0时，判断函数f(x)的单调性： (3)讨论函数f(x)的零点个数. 19已u椭顺c导茶-a6>0的将心率行，点4月 在C上. (1)求椭圆c的方程： (2)过点T(4,0)的直线1交椭圆C于P,2两点（异于点A),过点P作x轴的垂线与直线A2 交于点M,设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2.证明： (i)k+k2为定值： (ii)直线AT过线段PM的中点.绝密★启用前 2025-2026学年全国华侨港澳台 第一次模拟联合考试 数学参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的) 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 C A A A B 0 D D 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分) 11.13512.713.V5 14.60015. 三、解答题（本大题共4小题，每小题15分，共60分) c 16.已知48C中角4，B,c所对的边分别为a,b,C,设其面积为S,。S 4 (1)求角C: (2)若c=2W14,点D在边AB上，若CD是∠C的平分线，且CD=1,求S. 解(1)依题意，absinc sinc tanc3, --4分 a+b2-c24cosC 4 4 tC=5.因为Ce(Q.网，所以c-牙.--7分 (2)ABC中，c2=a2+b2-2 abcos C,a2+b2+ab=56.① -9分 又SAcn+SacD=S.4c, kbB号-地sa±b=:®卫分 2+21 2 联立①②得a2b2-ab=56,∴ab=8.- --14分 8sm-25.15分 3 17.在数列{an}中，a=2,a2=8,且对任意的neN,都有aa2=4a+1-4an. (1)证明：{a1-2a}是等比数列，并求出{a}的通项公式： (2求数列{an}的前n项和T. 解(1)证明：因为4=2,42=8，所以4，-24=8-2×2=4.---1分 因为an+2=4a+1-4a,所以a+2-2an1=2(a+1-2an), ---2分 又a2-2a=4≠0，则有a1-2an≠0(n∈N), 所以4120=2. a+1-2g -3分 所以{a+1-2a,}是以4为首项，2为公比的等比数列. -4分 所以a1-2a,=4×20-1=21, ---5分 所以出-=1， 2+12” 又号-1，所以是 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以号=1+(-11=n,所以a,=n2 -7分 (2)设Sn=12+222+323+.+n2n 两边乘2： 2Sn=122+2-23+.+(n-1)2n+n-2n*1 -9分 两式相减： Sn=n2n1-(2n*1-2) -13分 Sn=(n-1)2n1+2 --15分 18.已知函数f(x)=(x2-1[nx+a(x-1]. (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点1，f()处的切线方程： (2)当a≥0时，判断函数f(x)的单调性： (3)讨论函数(x)的零点个数. 解(1)当a=0时，f(x)=(-1nr,f')=2xnx+-1 ------1分 f)=0,∫'(1)=0，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=0.-3分 1 (2)定义域为(0，+o),f'(x)=2xnx+32-2ax+x---a, 整理得f)=2xnx+2ax-+a-, --5分 当x>1时，2xnx>0,-1>0,因为a≥0，所以2a(k-1)≥0，a(x2-)≥0， 所以f'(x)>0,f(x)为增函数. 当x<1时，2xnx<0,1<0,因为a≥0，所以2ax-1)s0,ax-1)s0, 所以∫'(x)<0,f(x)为减函数. ---7分 综上可得，当x∈(0,1)时，f(x)为减函数，当x∈(1，+o)时，f(x)为增函数.----8分 (3)设g(x)=nr+a(x-1),由f(x)=0得x=1或g(x)=0: -9分 当a≥0时，g'(x)=+a>0,g(x)为增函数，又g)=0,此时f()仅有一个零点： 当a<0所，goa-1,a-司，g四0,6国为5数 e-合时，g<0,&(为减适数，g(创的最大位为8月-n(-oa-a-l: 若a=-1,g(x)的最大值为g(1)=0,此时f(x)仅有一个零点： 若-1长a<0,则1，局g0=0且x趋近于+时，g趋近于-m, 故在区间(1，+o)内，g(x)有且仅有一个零点，此时f(x)有两个零点： 若a<-1,则-0)，8（日g@0=0且x趋近于0时，g)趋近丁-m, 故在区间(0,1)内，g(x)有且仅有一个零点，此时∫(x)有两个零点： -14分 综上可得，当a≥0或a=-1时，f(x)有一个零点，当-1<a<0或a<-1时，f(x)有两个零点.--15分 已国C若1a0的离6*，点4〔 19. 在c上 (1)求椭圆c的方程： (2)过点T(4,0)的直线1交椭圆C于P,2两点（异于点A),过点P作x轴的垂线与直线AQ交于点M, 设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k,证明： (i)k+k2为定值： (i)直线AT过线段PM的中点. c I 「a=2 解 (1)由题可知： a2=b2+c2,解得 3)2 b=5 1 2 =1 a b2 所以精圆c的方程为+片-1. ----3分 43 (2)(i)①当直线1的斜率为0时，则不妨设P(2,0),2(-2,0), 33 所以k+k,=1-21+2 212 -1为定值 -----4分 ②当直线1的斜率不为0时，设直线1：x=y+4(m≠0)，P(,乃)，2(x2,y2), x=y+4 联立直线l与椭圆C的方程x2,y2 /+=1消去整理得(3m+4v+24mw+36=0, 则A>0,月+男，3初4所以m=多+)， -247 36 - y2+ 所以+k子+ (x-1)(x2-1) 2my+3-2m0y+g）-9-3m0+g）-9 3 2 y+3mg+均)+9 m(+)+9 3 =1 综上，k+k2=-1为定值. -8分 NM YA XN=X (i)设线段PM的中点为N(xw,yw),M(s,yw),易得 w=+4, 2 可得直线40的方程为=k-)+房则。-（化-）+ 直线A的方程为y-(x-1+子则%=（6-+ 所以w=产-()+（引+(） 由0如，+=1，所以以出-多方 2 2+2, 1 又直线AT的方程为y=- r+2,所以点N(c,x)在直线Ar上， 即直线AT过线段PM的中点. -15分 5