精品解析：广东省广州市天河区华侨港澳台2026届高三联考第一次模拟考试试卷（全国联考）数学试题

绝密★启用前 2026届华侨港澳台联考第一次模拟考试试卷（全国联考） 科目：数学 时间：120分钟 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 8. 以直线与为渐近线的双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 或 9. 已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知点满足，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分．） 11. 在的展开式中项的系数为______（用数字作答） 12. 设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______． 13. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________． 14. 圆与圆的公共弦长为________. 15. 若是函数的极值点，则______． 三、解答题（本题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 在中，已知． （1）求； （2）若边上的高等于，求． 17. “村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 18. 设数列的前项和为，且． （1）证明：为等比数列； （2）求数列的前项和． 19. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026届华侨港澳台联考第一次模拟考试试卷（全国联考） 科目：数学 时间：120分钟 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据指数函数的单调性求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算进行化简，再根据复数的几何意义即可判断. 【详解】， 故复数对应的点为，在第四象限， 故选：D 3. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为向量，则， 若，则，解得. 故选：C. 4. 已知定义在上的奇函数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，通过赋值进行求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为，所以． 故选：A 5. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象平移法则求出解析式，再整理化简即可得解. 【详解】由题意，的图象向右平移个单位长度， 得到函数图像的，则D选项正确. 故选：D. 6. 节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可. 【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为、、、、， 则样本空间， 记事件表示“其中一个节气是立春”，则， 由古典概型可知． 故选：B 7. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 8. 以直线与为渐近线的双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，分双曲线的焦点在轴和轴两种情况，求出间的关系，再利用，即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线为与， 若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为， 则，所以双曲线的离心率为， 若双曲线焦点在轴，双曲线的标准方程为，渐近线为， 则，所以双曲线的离心率为， 综上所述，双曲线的离心率为或， 故选：D. 9. 已知等差数列的公差不为0，成等比数列，且，则公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据成等比数列可得，进而结合等差数列的基本量计算求解即可. 【详解】由成等比数列，则，又， 则，解得. 故选：B． 10. 已知点满足，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分．） 11. 在的展开式中项的系数为______（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的通项为， 令，则， 故项的系数为. 故答案为：80 12. 设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题可设，再化简解方程即可求解得到. 【详解】因为多项式除以所得的余式为， 所以可以设， 整理得到， 所以，则. 故答案为：2. 13. 已知各顶点都在同一球面上的正四棱锥高为3，体积为6，则这个球的表面积是________． 【答案】16 【解析】 【详解】试题分析：正四棱锥的高为3，体积为6，易知底面面积为6，边长为． 正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上， 记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3-R， 在Rt△AO1O中，AO1=，由勾股定理R2=3+（3-R）2得R=2， ∴球的表面积S=16π． 考点：本题主要考查正四棱锥的几何特征，球的表面面积计算． 点评：中档题，关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径． 14. 圆与圆的公共弦长为________. 【答案】 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 15. 若是函数的极值点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求导得解析式，根据条件，可得，即可求出a值，进而可得解析式，代入，即可得答案. 【详解】由题意， 因为是的极值点， 所以，解得， 则，所以. 故答案为： 三、解答题（本题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 在中，已知． （1）求； （2）若边上的高等于，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角化简求角B； （2）由已知得，，再用余弦定理求值. 【小问1详解】 由，根据正弦定理可得， 即，因为，所以，所以，即， 所以. 【小问2详解】 设角对应的边分别为，则，即， 由余弦定理，， 所以， 所以. 17. “村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 【答案】（1） （2） X 1 5 9 P . 【解析】 【分析】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【小问1详解】 设B＝“甲同学所选的题目回答正确”， “所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3）， 根据题意得， ； 所以 【小问2详解】 由题意可知，X的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 1 5 9 P 所以. 18. 设数列的前项和为，且． （1）证明：为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由与间关系结合题意可得，，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法，分组求和法可得答案. 【小问1详解】 由题，， 当时，， ，又， 所以， 所以是以为首项，公比为3的等比数列； 【小问2详解】 由（1），， 则. 设数列，且，其前n项和为， 则， ， 两式相减可得， ， 则； 再设数列，且，其前n项和为， 则， 从而. 19. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求解的值，即可求得椭圆C的标准方程； （2）根据题意设，直线：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合，求出的值，再根据弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意可得：， 解得：， 椭圆C的标准方程为：； （2）， 由题意可设：直线：，， 联立： 得：， 则， ， ， 又， ， 解得：， 故， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $