福建省厦门第一中学2025-2026学年高三下学期周练二数学试卷

福建省厦门第一中学2025—2026学年高三（下）周练二 数学试卷 满分为150分，考试时间120分钟 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．“”是“为第一、二象限角”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为 A． B． C． D． 4．化简 A． B． C．3 D．5 5．国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线图（两条折线）：观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是 A．实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B．这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C．模型对所有“价格下跌时段”（如第5－6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际变化） D．模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 6．已知，则 A． B． C． D． 7．已知圆与直线相切于点，圆上的点到直线的距离的最大值为，则圆的半径为 A． B． C． D． 8．已知中，，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则 A．4 B．8 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．已知是复数，为的共轭复数，则下列计算结果一定为实数的是 A． B． C． D． 10．已知，下列结论正确的是 A. 若的最小正周期为，则 B. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象一定关于轴对称 C. 若在上恰有4个极值点，则的取值范围为 D. 存，使得在上单调递减 11．已知点，，曲线，则下列说法中，正确的有 A．曲线C上存在点P，使得 B．直线与曲线C有且只有一个交点 C．若过点的直线l与曲线C有两个不同的交点，则直线l的斜率的取值范围是 D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向直线与直线作垂线，垂足分別为M，N，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中，含项系数为 ▲ ． 13．已知四边形中，，，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为 ▲ ． 14．已知长方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，，若顶点到平面的距离分别为，则长方体外接球的表面积 为 ▲ ． 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． （13分）已知是递增的等比数列，其前n项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 16． （15分）如图，在五棱锥中，平面，，，，，，. (1)证明：； (2)若点与直线上一点的最小距离为3，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）已知椭圆，、为椭圆上异于的两点，且直线，与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （1）求证：直线的斜率为定值； （2）求面积的最大值． 18．（17分）某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为，该值越高表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中（，且）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即人中还未被成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播． （1）求第一天结束时，被影响的人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率； （3）对于任意一位“非感染者”，若某天有位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为，当，，时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播． 19．（17分）已知． （1）若，求的最小值． （2）令，且，有唯一的正零点． （i）求的取值范围； （ii）已知，当时，证明：． 厦门一中2025-2026学年高三（下）周考二数学 第4页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2025—2026学年高三（下）周练二 数学试题参考解答 一、单项选择题：1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7. B 8.D 8．D 【解析】由，，三点共线可知，， 不妨设，由，，三点共线可知； 设，所以，与比较可得； 所以在方向的投影向量模长为， 由可知，所以． 二、多项选择题： 9.AC 10. AC 11.ABD 11．ABD【详解】当，时，曲线；当，时，曲线；当，时，曲线（不存在）；当，时，曲线，画出图形如图所示：对于A：满足条件的曲线是双曲线的右支，所以存在曲线C上的点P，使得成立，A正确； 对于B：一三象限曲线的渐近线方程为，则直线与曲线C有且只有一个交点，故B正确； 对于C：设过点的直线，与曲线C有两个交点，显然，故C错误； 对于D：设，由点到直线距离公式得：，，所以.因为点是曲线C上在第三象限内的一点，则有，即，所以，故D正确.故选：ABD. 三、填空题： 12. 13. 14. 13． 【解析】设，则，，在中，由余弦定理得 ， 当，即时，，所以的最大值为． 14. 【解析】如图建系，，，设， 设的法向量为，则，所以，， 又到距离为，所以，， 所以，外接球半径为，所以，外接球表面积为. 4、 解答题： 15. （1），则 2分 而，解得， 4分 所以的通项公式是. 5分 （2）由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时， 7分 所以当为偶数时， . 10分 所以当为奇数时 13分 16. （1）证明：如图，延长交的延长线于点，因为，，所以四边形为平行四边形. 1分 因为，所以，所以. 因为，则，故，所以. 3分 又，所以. 又平面，平面，所以. 又，，平面， 所以平面，又平面，所以. 5分 （2）当取最小值时，，由（1）知， 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以，从而，，三点共线， 即线段，的延长线交于点. 连接，.由（1）知，分别是，的中点，所以，所以. 7分 又，所以四边形是矩形所以， 又，故. 8分 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，. 9分 设平面的法向量为， 则即 令，得，，则平面的一个法向量为. 11分 设平面的法向量为，则即 令，得，，则平面的一个法向量为. 13分 14分 故平面与平面夹角的余弦值为. 15分 17．【解析】（1）法一：设直线的方程为（由对称性知存在）， 联立得， 化简得， 1分 由知， 2分 则 3分 因为，所以， 即， 化简得， 6分 因为直线不过点，所以， 故． 8分 法二：设直线的方程为， 联立，得， 化简， 得， 1分 由知，即， 2分 则，又， 所以，6分 因为直线，与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 同理可得， 5分 由此可知：，， 则直线的斜率， 故直线的斜率为定值． 8分 法三：因为直线，与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 1分 因为，为椭圆上异于的两点， 所以可设直线为，，不同时为0， 2分 联立与， 得， 4分 等式两边同时除以，记， 化简得， 6分 由于， 所以，说明直线的斜率为定值． 8分 （2）设直线为， 联立与， 得， 因为，所以， 由韦达定理知 11分 法一：过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为， ，12分 即， 化简得， 14分 当且仅当时，的面积取最大值2． 15分 法二：， 12分 点到直线的距离， 13分 所以， 14分 当且仅当时，的面积取最大值2． 15分 18．【解析】（1）设表示第一天结束时被影响的人数，则，由二项分布的期望公式， ． 3分 （2）由（1）可知，考虑二项展开： ， ， 6分 当为偶数时，；当为奇数时，， 7分 故（为偶数）， 故． 9分 （3）情形一：若甲是初始选中的两人之一，其概率为，甲在两天后被成功影响有两种情形： ①第一天被影响，概率为； ②第一天未被影响，概率为，且第二天被影响， 若甲第二天被影响，则第一天另一位初始被选中者乙一定被影响，乙作为感染者尝试影响甲，甲被影响的概率为， 故甲在第一天未被影响，第二天被成功影响的概率为， 因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：． 11分 情形二：若甲不是初始选中的两人，其概率为，甲在两天后被成功影响有两种情形： ①第一天有1人被成功影响，再由此人成功感染甲，概率为： ； ②第一天有2人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为： ， 因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：． 13分 综上，甲在两天后被成功影响的概率为： ． 15分 “爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，每天尝试影响非感染者的感染者人数增大，使得非感染者被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 17分 19． 【解析】（1），， 1分 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 3分 所以有，即的最小值为． 4分 （2）（i）由题意有有唯一的正零点， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 5分 当时，；，， 当时，， 由零点存在性定理可知，在有唯一零点， 6分 当时，，则满足题意； 7分 当时，要保证，则只要， 即，恒成立，所以， 综合可得． 9分 （ii）由题意可知， 因为，则，即，且， 因此有， 即， 12分 所以有， 故， 13分 又因为，所以有， 根据题意有， 从而有， 即， 14分 又，所以，所以，故， 所以， 15分 由可得， 令得， 所以， 16分 故， 综上有． 17分 厦门一中2025-2026学年高三（下）周考二数学参考解答 第3页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 x y y=2x O N M Q -3 $