精品解析：广西壮族自治区桂林市阳朔县阳朔中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试题

高二年级阶段测试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（ ） A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 4. 若方程表示圆，则的取值范围是 A. B. C. D. 5. 如图，、分别是四面体的边、的中点，是靠近的三等分点.若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法不正确的是（ ） A. 点关于轴对称点的坐标是 B. 点关于平面对称点的坐标是 C. 点关于轴的对称点坐标是 D. 点关于原点的对称点坐标是 10. 与圆：相切，且在，轴上的截距相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若两圆内切，则r＝9 B. 若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2 C. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3 D. 若两圆有三条公切线，则r＝2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点，，，则点A到直线的距离是________． 13. 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则直线与平面所成的角的余弦值为______． 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定值，则点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC⊥AD； （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值； （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，的中点分别为D，E，F． （1）证明：平面平面． （2）若，且与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. （1）求圆的标准方程； （2）若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 18. 如图，四棱锥中，底面，，，，且，，分别为，的中点. （1）若，求证：平面； （2）若四棱锥的体积为2，求二面角的余弦值. 19. 已知空间四点． （1）求以OA，OB为邻边的平行四边形的面积； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级阶段测试 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量加法运算的坐标表示计算，再用空间向量的模长公式计算模长. 【详解】 故 故选：C 2. 若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的性质可知，圆心为直线与线段垂直平分线的交点，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则线段的垂直平分线所在直线方程为，即， 则圆心为直线与线段的垂直平分线的交点， 联立方程组：，解得，则圆心为，半径， 所以圆的方程为：. 故选：A 3. 在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（ ） A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 【答案】C 【解析】 【分析】根据三垂线定理可得平面的夹角，结合题意得，即可根据锐角三解函数得，由内心的性质即可求解. 【详解】若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面三角形的斜高， 由三垂线定理，得，，， 则、、分别是三侧面与底面所成角的平面角， ， ，，， ， 是的内心． 故选：C． 4. 若方程表示圆，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出关于实数的不等式，解出即可. 【详解】方程表示圆，则，即， 解得或，因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 5. 如图，、分别是四面体的边、的中点，是靠近的三等分点.若向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的加法和减法可得出在基底下的表达式. 【详解】因为是靠近的三等分点，则， 所以，，所以，，则， 因为为的中点，则， 因为为的中点，则， 因此，. 故选：A. 6. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直得出结论. 【详解】因为， 所以，则或. 故选：D 7. 如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角大小. 【详解】在直三棱柱中，平面，且， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以，，， 所以，，则，所以，异面直线与所成角为. 故选：A. 8. 已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，可知当OP最小时，最大，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法不正确的是（ ） A. 点关于轴对称点的坐标是 B. 点关于平面对称点的坐标是 C. 点关于轴的对称点坐标是 D. 点关于原点的对称点坐标是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称关系，直接判断选项. 【详解】A.点关于轴的对称点是，所以A不正确； B.点关于平面对称点的坐标是，所以B不正确； C.点关于轴的对称点坐标是，所以C不正确； D.点关于原点的对称点坐标是，所以D正确. 故选：ABC 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点关于坐标轴，坐标平面以及原点的对称情况，属于基础题型. 10. 与圆：相切，且在，轴上的截距相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论所求直线过原点和不过原点两种情况，设出对应的直线方程，根据直线与圆相切列出方程求解，即可得出结果. 【详解】圆：化为标准方程为，即圆是圆心为，半径为的圆. 若所求直线过原点，可设所求直线为，因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以； 若所求直线不过原点，因为该直线在两坐标轴上的截距相等，所以可设该直线方程为，因为该直线与圆相切，所以，解得或（舍），所以. 综上，满足条件的直线的方程为，，. 故选：ABD. 11. 已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若两圆内切，则r＝9 B. 若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2 C. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3 D. 若两圆有三条公切线，则r＝2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据两圆内，外切切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D. 【详解】圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距． 对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确； 对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心， （圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心） 分别设两圆的圆心为,则 如图，所以，解得r＝3，故C正确； 对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误． 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点，，，则点A到直线的距离是________． 【答案】． 【解析】 【分析】由数量积求出的余弦值，由平方关系得其正弦值，再由计算出距离． 【详解】，，，， ，又， 所以， 所以到直线的距离为． 故答案为：． 13. 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则直线与平面所成的角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由题中条件可得出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用向量法求出直线与平面所成的角的正弦值，再利用同角三角函数的平方关系可求出答案. 【详解】设，平面，与平面所成的角为，则， 同理可知，直线与底面所成的角为，. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、、、. 设平面的一个法向量为，，. 由，得，令，可得，， 所以，平面的一个法向量为， ，设直线与平面所成的角为， 则，. 因此，直线与平面所成的角的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与平面所成角的余弦值的计算，同时也涉及了直线与平面所成角的定义，考查计算能力，属于中等题. 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定值，则点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面轨迹的求法求得动点的轨迹方程曲线为圆，作出图象，根据题意可知点到直线距离的最大值为，从而利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】设，由，得， 即，化简整理得， 则此圆心为，半径为， 因为是曲线上的两点， 当都与圆相切，可使最大， 又，， 此时四边形为正方形，， 显然，当时，为锐角，不满足题意， 当时，才能取得直角，故， 所以点到直线距离要满足， 所以，化简得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC⊥AD； （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值； （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【详解】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）. （1）证明：易得，于是,所以 (2) ,设平面PCD的法向量， 则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而. 所以二面角A-PC-D的正弦值为. （3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得. 由，故 所以，，解得，即. 解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以. (2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得. 因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中， 因此所以二面角的正弦值为. （3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故 在中，由,, 可得.由余弦定理，, 所以. 【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好 16. 如图，在直三棱柱中，，，，的中点分别为D，E，F． （1）证明：平面平面． （2）若，且与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在直三棱柱中，E，F分别为矩形的边，的中点， 则，， 又，所以． 因为，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，从而平面，根据面面垂直的判定定理可证得结论； （2）因为平面，所以是与平面所成的角，即，设，求出，，．建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角公式求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直三棱柱中，平面， 由（1）知，，则平面， 因为平面，所以． 因为平面，所以是与平面所成的角，即． 又，设， 则，，． 以E为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，取，得． 设平面的法向量为， 则，取，得． 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值是． 17. 已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. （1）求圆的标准方程； （2）若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程. （2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 18. 如图，四棱锥中，底面，，，，且，，分别为，的中点. （1）若，求证：平面； （2）若四棱锥的体积为2，求二面角的余弦值. 【答案】 （1）当时，，点是的中点， ， 又平面，，且，， 平面，平面，， 又， 平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）依据线面垂直的判定定理，可证明和；（2）首先求的长度，再建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，再求二面角的余弦值 【详解】（1）略 （2）， 解得：， 如图，以为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， ， 显然平面，设平面的法向量， ， 二面角是锐二面角， 二面角的余弦值是. 19. 已知空间四点． （1）求以OA，OB为邻边的平行四边形的面积； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助向量先求出,.再得到，进而得到，再用三角形面积公式计算即可； （2）先求出平面与平面的法向量，再根据向量点积公式求出两个法向量夹角的余弦值，这个余弦值的绝对值就是平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 ，，,. ，得到. 平行四边形面积. 【小问2详解】 先求平面的法向量，设，因为且， 则，令，解得，，所以. 再求平面的法向量，，， 设，因为且，则， 令，解得， ，所以. ，，，设与的夹角为， 则. 平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $