专题强化01：三角恒等变换【十一大题型】训练-2025-2026学年高一下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

专题强化01：三角恒等变换 【题型归纳】 【题型探究】 题型一：两角和与差的三角函数 【例1】．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【举一反三】 1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）计算 (1)求的值. (2)； (3). 2．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知均为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)用表示，并求的值. 题型二：二倍角公式的应用 【例2】．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则_________. 【举一反三】 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则__________. 2．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，则______． 3．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则_______． 题型三：降幂公式 【例3】．（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则__________. 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)求的值． 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 题型四：辅助角公式应用 【例4】．（25-26高一上·江苏·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏苏州·月考）设的最大值为，则正数a的值是（    ） A．3 B． C． D． 题型五：已知角求三角函数值 【例5】．（21-22高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广西河池·期末）的值为________. 3．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）计算：__________ 题型六：已知三角函数值求函数值 【例6】．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则__________. 【举一反三】 1．（24-25高一下·上海宝山·月考）若，则___________． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）若，且是第二象限角，则的值为______． （2）已知，则的值为______． 3．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知，且，则__________. 题型七：已知三角函数值求角 【例7】．（25-26高一上·安徽六安·期末）若，，并且，，且，则的值为______. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知均为锐角，且，则______． （2）已知，则______． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，且． （1）则的值为______； （2）则的值为______． 3．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，，则__________． 题型八：和差化积与积化和差问题 【例8】．（25-26高一下·全国·课堂例题）证明 【举一反三】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，， (1)求的值； (2)求的值； 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型九：三角函数恒等式问题 【例9】．（22-23高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【举一反三】 1．（22-23高三上·四川广安·月考）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·上海·专题练习）在中，，下列各式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海普陀·月考）（1）求证： （2）在中，求证： 题型十：三角函数应用 【例10】．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）随着季节的交替，某城市的太阳高度角（太阳的光线与地平面的夹角）不断变化，冬至正午时太阳高度角最小，约为35°.如图1，朝南房间窗户高2m，在窗户上方外墙上安装了一个可调节的遮阳棚，遮阳棚一端与窗户顶端距离m，长度调节范围为mm，角度调节范围为. (1)如图2，冬至正午时，若m，，求窗户上的影长（精确到0.01m）； (2)画出图形，计算并判断冬至正午时遮阳棚能否完全遮住窗户上的阳光. （参考数据：，，） 【举一反三】 1．（25-26高一上·江苏常州·月考）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边． (1)设，求三角形铁皮的面积； (2)设为，请用函数表示铁皮三角形的面积，并求出面积的最大值． 参考公式： 2．（24-25高一下·上海·月考）如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值，并求此时的值． 3．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，已知扇形的圆心角为，半径为1，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．    (1)设，试用表示矩形的面积，并指出的取值范围； (2)点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由． 题型十一：三角恒等式的综合问题 【例11】．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值； (3)若的图象与直线在区间上恰有两个点，其横坐标分别为，求的取值范围以及的值. 【举一反三】 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数（），的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调增区间； (2)若函数在上有最大值，没有最小值，求实数的取值范围； (3)是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若，，求的值； (3)当时，函数的最大值为，求m的值. 3．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏常州·月考）（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 2．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·江苏常州·期末）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏南通·期中）下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏徐州·月考）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D．都是锐角，，则 三、填空题 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________. 12．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，，则________. 13．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则________. 四、解答题 14．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 15．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 16．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知函数． (1)求函数的值域； (2)若，求的值． 17．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知函数. (1)求的图象的对称轴、单调递增区间； (2)当时，求的最值，以及取得最值时的取值； (3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 18．（24-25高一下·广东肇庆·期末）某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，． (1)求的面积S的最大值； (2)已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化01：三角恒等变换 【题型归纳】 【题型探究】 题型一：两角和与差的三角函数 【例1】．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，是方程的两根，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理先计算出，再由正切和角公式计算出的值； （2）分析 的范围，得到的范围，结合求解出的值. 【详解】（1）因为，是方程的两根， 所以； 由正切和角公式：. （2）因为，，所以. 又因为，所以. 【举一反三】 1．（25-26高一上·江苏无锡·月考）计算 (1)求的值. (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)1 【详解】（1）因为，所以， ，所以原式． （2）原式 ； （3）原式 . 2．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知均为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 又为锐角，，则. （2）由题意知： . 3．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知. (1)求的值； (2)用表示，并求的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用商数关系和平方关系列式求解； （2）由，利用平方关系求出，再利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以，即， 又，所以. （2）. 因为，所以， 故. 因为，所以. 所以 题型二：二倍角公式的应用 【例2】．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则_________. 【答案】 【分析】由和差公式得，再由平方关系可求得，再由倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 又，所以，. 故答案为： 【举一反三】 1．（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则__________. 【答案】/ 【分析】根据，结合二倍角公式，诱导公式化简求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 2．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，则______． 【答案】/ 【分析】令，即，，代入利用二倍角公式即可求解. 【详解】令，即，， ， 故答案为：. 3．（2025·江苏·模拟预测）已知，，则_______． 【答案】 【分析】以为整体，根据同角三角关系求，结合倍角公式可得，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为，则，且， 可得， ， 则， 所以. 故答案为：. 题型三：降幂公式 【例3】．（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简题干中的两个等式，可得出、的关系，可得出的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故，所以， 即，故. 故选：A. 【举一反三】 1．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则__________. 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 2．（21-22高一·全国·课后作业）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，且， 得，，，，，从而． （2）． 3．（22-23高一·全国·课后作业）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，结合的范围可得的值； （2）利用降幂公式以及两角差的正弦公式将原式化简，然后用表示，代入即可得解． 【详解】（1）∵，即， ∴，解得或． ∵，∴，∴． （2）原式＝． 题型四：辅助角公式应用 【例4】．（25-26高一上·江苏·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和差公式辅助角公式，结合角的范围即可求解. 【详解】 ， 所以.又因为， ，所以，. 故选：B 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以． 故选：C 2．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得. 【详解】因为 所以， 所以. 故选：D 3．（24-25高一下·江苏苏州·月考）设的最大值为，则正数a的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式可得，结合函数的最大值可求正数的值. 【详解】 ，其中， 因为，则的最大值为，当且仅当时取最大值， 故，即， 故选：A. 题型五：已知角求三角函数值 【例5】．（21-22高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【详解】原式. 故选：A 【举一反三】 1．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 2．（25-26高一上·广西河池·期末）的值为________. 【答案】/0.5 【分析】利用和差角的正弦公式、诱导公式及二倍角的余弦公式化简求解. 【详解】. 故答案为： 3．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）计算：__________ 【答案】 【分析】根据两角差的余弦公式，展开化简，即可得答案. 【详解】原式 . 故答案为： 题型六：已知三角函数值求函数值 【例6】．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则__________. 【答案】 【详解】由，得，即 ① ， 又因为 ②， 由①②得：， 所以. 【举一反三】 1．（24-25高一下·上海宝山·月考）若，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故答案为： 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）若，且是第二象限角，则的值为______． （2）已知，则的值为______． 【答案】 【详解】（1）由，且是第二象限角，可得，所以， 所以， 所以． （2），．又，． ， ． 3．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知，且，则__________. 【答案】 【分析】由，求得，再由，即可求解. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以， 所以. 故答案为： 题型七：已知三角函数值求角 【例7】．（25-26高一上·安徽六安·期末）若，，并且，，且，则的值为______. 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. 【详解】由，，且，得 又，所以 因为，则，所以 所以 ， 且，且，所以. 故答案为：. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知均为锐角，且，则______． （2）已知，则______． 【答案】 【详解】（1）均为锐角，，． ． 又，． 故． （2）． ， ． ． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，且． （1）则的值为______； （2）则的值为______． 【答案】 【详解】（1）. （2）．因为，所以． 因为，所以．所以．而，所以． 所以．所以．故答案为：；. 3．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，，则__________． 【答案】 【分析】首先分别求出，，再利用两角和差的正弦和余弦公式即可得到答案. 【详解】由得， 因，则，则， 因为，，则，则， 则，则，则 ，， 则.故答案为：. 题型八：和差化积与积化和差问题 【例8】．（25-26高一下·全国·课堂例题）证明 【答案】答案见解析 【详解】右边 左边．故等式成立． 【举一反三】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，， (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【详解】（1），①又，．② ，由①②，得，即．． （2）由（1）知．． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由积化和差公式可求解（1）（2），由和差化积公式可求解（3） 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 题型九：三角函数恒等式问题 【例9】．（22-23高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）因为左边， 右边， 所以左边=右边，原等式成立. （2）因为左边右边， 所以，原等式成立. （3）因为左边右边， 所以，原等式成立. （4）因为左边右边， 所以，原等式成立. 【举一反三】 1．（22-23高三上·四川广安·月考）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 2．（2025高三·上海·专题练习）在中，，下列各式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据两角和的余切公式化简求解即可. 【详解】因为在中，，故，又，所以， 即，整理可得. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和、两角和的余切公式化简.需要根据选项判断公式的选择与计算，属于中档题. 3．（24-25高一下·上海普陀·月考）（1）求证： （2）在中，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式化简即可得证； （2）根据内角和定理得，代入两角和的正切公式，化简即可得证. 【详解】解：（1）证明：因为， 所以 . （2）在中，因为， 所以，即. 题型十：三角函数应用 【例10】．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）随着季节的交替，某城市的太阳高度角（太阳的光线与地平面的夹角）不断变化，冬至正午时太阳高度角最小，约为35°.如图1，朝南房间窗户高2m，在窗户上方外墙上安装了一个可调节的遮阳棚，遮阳棚一端与窗户顶端距离m，长度调节范围为mm，角度调节范围为. (1)如图2，冬至正午时，若m，，求窗户上的影长（精确到0.01m）； (2)画出图形，计算并判断冬至正午时遮阳棚能否完全遮住窗户上的阳光. （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)不能，图形，计算过程见解析； 【分析】（1）根据题意得，进而根据计算即可得答案； （2）过点作，垂足为，设太阳光线与窗户交于点，进而用与表示，，，再根据三角恒等变化，计算并与比较大小即可判断. 【详解】（1）如图，因为冬至正午时太阳高度角最小，约为35°所以， 因为m，， 所以，即 又因为， 所以（m） 所以窗户上的影长为米. （2）解：如图，过点作，垂足为，设太阳光线与窗户交于点， 记，则，由题知， 所以，在中，，即， 在中，，即， 所以，其中， 因为，mm， 所以 所以冬至正午时遮阳棚不能完全遮住窗户上的阳光 【举一反三】 1．（25-26高一上·江苏常州·月考）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边． (1)设，求三角形铁皮的面积； (2)设为，请用函数表示铁皮三角形的面积，并求出面积的最大值． 参考公式： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设交交于点由，利用锐角三角函数可求，，进而可求，，代入可求 （2）设，由，结合三角函数的定义可求，，代入三角形的面积公式展开利用换元法，令，转化为二次函数的最值求解. 【详解】（1）设，则， 则，， 故； （2）设，，， 则， ， 令，则， ，，则，所以 ， 即三角形面积的最大值为. 2．（24-25高一下·上海·月考）如图，有一块边长为50 m的正方形球场ABCD，其中阴影部分ATN是一个半径为30 m的扇形，由于天气原因，这个扇形内有积水，无法在上面踢球，但是球场的其余部分可以正常使用．一群热爱足球的正在准备“霸王杯”比赛的高一同学相在可以正常使用的球场上截取一块矩形场地PQCR进行训练，其中R，Q两点分别在边CD，BC上，点P落在弧TN上（包括T，N两点）．设，矩形PQCR的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)，此时或 【分析】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，根据边角关系得出，，再求即可； （2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F， 由四边形ABCD是正方形，四边形PQCR是矩形，可知，， 由，，，可得，， 所以，， 所以 故S关于θ的函数表达式为．    （2）令， 则，即， 而， 由，则， 即，即， 所以， 函数开口向上，对称轴为，所以当时，即， 解得或，此时S取得最大值，最大值为． 3．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，已知扇形的圆心角为，半径为1，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．    (1)设，试用表示矩形的面积，并指出的取值范围； (2)点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由． 【答案】(1)， (2)当点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大为 【分析】（1）将、用的代数式表示，利用三角恒等变换化简矩形面积的表达式即可； （2）利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值及其对应的值即可. 【详解】（1）由题意，则，，    在中，，则， 于是矩形的面积 ，其中； （2）由（1），， 由于，则， 当，即当时，矩形的面积最大，最大值为，此时点是弧的中点． 因此，当点是弧的中点时，矩形的面积最大，最大值为. 题型十一：三角恒等式的综合问题 【例11】．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值； (3)若的图象与直线在区间上恰有两个点，其横坐标分别为，求的取值范围以及的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）化简函数，根据正弦型函数性质列不等式计算即可； （2）由题意可得，根据同角三角函数基本关系及两角和的正弦公式化简即可求解； （3）作出函数在，根据图象可得的取值范围，根据对称性可得的值. 【详解】（1）， 当时，单调递增， 即时，单调递增， 则单调增区间为； （2），则， ，则， ，则， ； （3），则， 列表： 则图象如下图所示： 由图易知：关于对称，即. 【举一反三】 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数（），的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调增区间； (2)若函数在上有最大值，没有最小值，求实数的取值范围； (3)是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出函数的解析式，再由整体代换法即可求出函数的单调递增区间； （2）由可得，根据正弦函数图象性质可得，即可求得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，再根据换元法构造函数得出不等关系，结合二次函数最值及符号，解不等式可得结果. 【详解】（1）因为 ， ，，所以. 令（），解得（）. ，所以增区间为，. （2），， 由题意， . （3）当时，，得， 存在，使成立， 所以， 令（），得，且， 所以对恒成立， 设，则，即， 解得. 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若，，求的值； (3)当时，函数的最大值为，求m的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递减区间. （2）由（1）中函数求得，确定的范围求出，再利用和角的余弦公式计算得解. （3）利用二倍角公式，结合换元法，借助二次函数由最大值求出. 【详解】（1）依题意，函数， 由，得， 所以函数的单调减区间为. （2）由（1）得， 解得，由，得， 当时，，当时， ，因此，， 所以 . （3）由（1）得， 当时，，令， 函数， 依题意，函数在上的最大值为， 当时，，，不符合要求； 当时，，，不符合要求； 当时，，，则， 所以. 3．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数（其中常数）的最小正周期为． (1)求函数的表达式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，结合其最小正周期求出，即得答案； （2）根据，求出，求出，令，将原问题转化为在上有解问题，即可求得答案； （3）由题意可求出的表达式，结合题意推出关于等式的等式，即可求得答案. 【详解】（1）， 因为的最小正周期为，且， 所以即，所以． （2）因为，所以． 所以，令． 又在上有解， 所以在上有解， 而在上单调递减，故， 所以． （3）由题意可知：，， 因为， 所以中有一个为1，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是， 所以，所以，或， 因此的值为或． 另解求的方法：中有一个为1，另一个为，不妨设， 则，解得； ，则，解得， 那么，， 因为，且的最小值是， 所以，解得的值为或． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏常州·月考）（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【详解】， 因， 则， 故. 2．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将式子两边同时平方，然后将两式相加，结合同角三角函数关系及两角差的余弦公式即可求解. 【详解】， ， 则 ， 解得. 3．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用两角差的余弦公式求角. 【详解】为锐角,，则，所以，又， ，， ，， ，， ， ， 故选：C. 4．（25-26高一上·江苏·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式，将逐步转化到，利用倍角公式即可求解. 【详解】 ， 故选：A. 5．（24-25高一下·江苏·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦的倍角公式，结合条件，可得，再由三角函数的同角关系和商数关系，即可求解. 【详解】因为， 解得或，又，则， 所以，则． 6．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，通过平方得到，再结合通过三角函数关系得到，，进而逐项判断即可. 【详解】因为，两边平方，得，即，所以，故B错误． 由上及二倍角正弦公式，得，因为， 所以，，，又， 所以．结合，解得，，故A错误． 因为，所以，故C正确，，故D错误． 故选：C． 二、多选题 7．（25-26高一上·江苏常州·期末）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 8．（24-25高一下·江苏南通·期中）下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，利用正切的二倍角公式化简；对B，利用两角和的正切公式化简；对C和D，利用二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将原式平方即可判断A，由即可判断B，结合二倍角公式以及余弦的和差角公式化简即可判断C，由与的值代入计算，即可判断D. 【详解】由可得，则，故A正确； 且，则， 所以， 且，则，故B错误； ，故C正确； 因为， 由，可得，故D错误； 故选：AC 10．（24-25高一下·江苏徐州·月考）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D．都是锐角，，则 【答案】AD 【分析】对于A，利用商数关系和正弦的和差公式，即可求解；对于B和C，取特殊角，即可求解；对于D，根据条件，利用平方关系，求得，，再通过构角，利用余弦的差角公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，正确， 对于B，当时，，错误， 对于C，当时，，错误， 对于D，因为都是锐角，则，又，则，， 所以，正确， 故选：AD. 三、填空题 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）若，则____________________. 【答案】 / 【分析】将条件式两式平方相加，结合平方关系和两角差的余弦公式求得；再由条件式结合平方关系消去，化简求得. 【详解】因为，，两式平方相加得， ， 整理得，即. 由，得，由，得， 所以， 展开化简整理得，即. 故答案为：；. 12．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，，，，则________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再结合角的范围及同角公式求解. 【详解】由及，得， 由，得，而，则， 由，，得. 故答案为： 13．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则________. 【答案】/ 【分析】先利用两角和差的正弦公式化简得出，再利用诱导公式和倍角公式化简得出即可求出. 【详解】因为， 即， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 14．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)-8 (2) 【分析】（1）先由角的范围和已知正弦值求出余弦值，再通过二倍角公式或因式分解化简目标式，代入计算得到结果； （2）先由二倍角的正弦、余弦值求出正切值，再利用两角差的正切公式代入计算得到结果. 【详解】（1）因为，， 所以． 因为， ， 所以． 另解：因为，，所以． 因为， 所以． （2）因为，，所以． 所以． 15．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，结合，解一元二次方程即可得出答案； （2）由诱导公式、弦化切可化简为，可得答案； （3）将所求式子利用同角三角函数的平方关系恒等变形后除以化为，即可得出答案. 【详解】（1）由可得：， 即，解得：或. 因为，所以，所以. （2）. （3） . 16．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知函数． (1)求函数的值域； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切化弦与二倍角公式，以及辅助角公式，化为正弦型函数，根据x的取值范围求的范围即得； （2）根据三角恒等变换和二倍角公式，利用同角的三角函数关系，求解即可． 【详解】（1）＝ ＝＝＝， 因为，所以，所以， 即函数的值域为. （2）由，， 得， 所以 ＝. 17．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知函数. (1)求的图象的对称轴、单调递增区间； (2)当时，求的最值，以及取得最值时的取值； (3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)对称轴，增区间为； (2)当时，取最小值，当时，取最大值2； (3). 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质求解. （2）由，确定，结合正弦函数的最值求解. （3）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，， 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）当时，，则， 当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值2， 所以当时，取最小值；当时，取最大值2. （3）依题意，当时，有解， 而，即当时，有解， ，当时，令， 函数在上单调递减，当时，，即，而， 所以实数的取值范围是. 18．（24-25高一下·广东肇庆·期末）某人承包了一片长方形水域养殖水产，需要在四条边上建立三个饵料投放点，每个饵料投放点之间需要建一段浮桥．已知一个投放点M在的中点处，另外两个投放点N，P分别在，上，且要求与垂直，已知，． (1)求的面积S的最大值； (2)已知建造浮桥的费用为每米100元，预估造桥费用为Q元，求Q的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，根据已知可得、，再由三角形面积公式及二倍角正弦公式、正弦函数的性质求面积的最大值； （2）由（1）得三角形周长，再应用正余弦和差与积的关系及换元法、正弦函数性质求周长的范围，进而可得造桥费用的范围. 【详解】（1）设，由题意， ，，． 当N在D点时，θ最大，此时，， 当P在C点时，θ最小，此时，， ． ， ，， 当，即或时，． （2）记的周长为L，由（1）知， ， ， ，． 令，则， ． ，， ，， ， ， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $