第10章《三角恒等变换》单元达标高分突破必刷卷 基础卷-2025-2026学年高一下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第10章《三角恒等变换》单元达标高分突破必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．3倍 C．倍 D．7倍 4．（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 5．已知，均为锐角，，，则（    ） A． B．或 C． D． 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知的部分图象如图所示，当时，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 8．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．点为图象的一个对称中心 C．函数在区间上的值域为 D．若的图象在区间上只有一条对称轴和一个对称中心，则 11．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知，且，则______. 13．若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为__________. 14．已知，.则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知角的始边在轴正半轴上，终边过点． (1)求，，的值； (2)求的值． 16．（1）已知是第四象限角，是第二象限角，求的值. （2）已知，且，求的值. 17．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值． 18．已知函数． （1）求的值； （2）当时，求的最大值和最小值． 19．已知函数图象的一条对称轴为． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，若，，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章《三角恒等变换》单元达标高分突破必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】.， 因为，所以，因为，所以，所以. 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，由 ， 所以. 3．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．3倍 C．倍 D．7倍 【答案】D 【详解】由题意得，则；又，所以，故第二次的“晷影长”是“表高”的7倍. 故选：D. 4．（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【详解】， 因， 则， 故. 5．已知，均为锐角，，，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】先利用同角的三角函数的基本关系式可求的值，再利用两角差的正弦可求的值. 【详解】因为，均为锐角，故， 因为，， 所以，， 所以 . 故选：A. 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 7．已知的部分图象如图所示，当时，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为， 设， 由图可知，函数的最小正周期为，则，又因为，则， 因为，可得， 所以，，则，则， 当时，，故． 8．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二倍角公式求解. 【详解】因为， 化简得， 即，又，， 所以. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确： 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误； 故选：ABC 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．点为图象的一个对称中心 C．函数在区间上的值域为 D．若的图象在区间上只有一条对称轴和一个对称中心，则 【答案】BC 【详解】， ，故A错； ，所以是的一个对称中心，故B正确； 由得，所以，，故C正确； 令，解得，所以是的对称轴， 令，解得，所以是的对称中心， 因为在区间上只有一条对称轴和一个对称中心，所以，解得，故D错. 故选：BC. 11．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABD 【详解】如图，作 ，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系， 则 ，设 ，则，由可得 ，且 ， 若，则， 解得 ，（负值舍去），故，A正确； 若，则，，故B正确； ， 由于，故，故，故C错误； 由于， 故 ，而， 故（取等号），故D正确， 故选：ABD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知，且，则______. 【答案】 【分析】先切化弦，再结合两角和的正弦公式可得. 【详解】因为，且，所以，， ，所以. 故答案为：. 13．若函数在区间有且仅有两个零点，则实数的最大值为__________. 【答案】 【详解】 ， 当时，， 由题意可得，即， 故实数的最大值为. 故答案为：. 14．已知，.则__________. 【答案】 【详解】由函数 ， 因为，可得， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知角的始边在轴正半轴上，终边过点． (1)求，，的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用三角函数定义直接求解. （2）由（1）的结论，利用二倍角的余弦公式及和角的正弦公式求解. 【详解】（1）依题意，. （2）， . 16．（1）已知是第四象限角，是第二象限角，求的值. （2）已知，且，求的值. 【答案】；. 【分析】（1）利用角的范围、同角三角函数的平方关系及三角恒等变换计算即可； （2）利用角的范围、同角三角函数的平方关系及三角恒等变换计算即可. 【详解】（1）由题意可知，， 所以； （2）由题意可知， 且， 所以 . 17．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期为. （2）因为的单调递增区间为， 令，得， 所以的单调递增区间为. （3）因为，所以， 所以，故，即，因为恒成立，所以，解得， 故实数的最小值为． 18．已知函数． （1）求的值； （2）当时，求的最大值和最小值． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）根据正弦、余弦的二倍角公式，以及诱导公式进行三角恒等变换，化简函数，代入计算可得答案； （2）由（1）得，代入根据辅助角公式化简，由正弦函数的性质可求得的最值. 【详解】解：（1） ．所以． （2）由（1）知，． 因为，所以，所以，所以， 所以． 19．已知函数图象的一条对称轴为． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，若，，求的值． 【答案】（1）1（2） 【分析】（1）由题意得，又函数图象的一条对称轴为，所以，根据条件可得所求；（2）由（1）知，可得，根据同角关系可得，最后利用求解可得所求的结果． 【详解】（1）由题意得 ． 因为函数的一条对称轴为， 所以， 所以， 又， 所以的最小值为1． （2）由（1）知． ∴．     ∵， ∴      ∴ ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $