精品解析：江苏徐州市第三十五中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

徐州市第三十五中学高一数学月考试卷 2026.05.27 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. i B. 1 C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，的斜二侧直观图为等腰直角，其中，则的面积为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 8. 一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ） A. 1m B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 10. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 11. 如图，在多边形ABPCD中（图1）.四边形为长方形，为正三角形，，，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）.若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则（ ） A. 平面PAD B. 平面平面 C. Q到平面的距离为2 D. 当时，三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知、为锐角，，，则_________. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则_____. 14. 如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）求的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 16. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 17. 已知为第四象限角且． （1）求的值； （2）求的值． 18. 在中，角所对的边，已知． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市第三十五中学高一数学月考试卷 2026.05.27 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. i B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算求得，进而确定正确答案. 【详解】依题意，，虚部为. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】由余弦的二倍角公式可得：. 故选：C 3. 已知m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行和线面垂直，面面垂直的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则或异面，故A选项错误； B选项，若，则或，故B选项错误； C选项，由直线与平面垂直的性质可得,故C选项正确； D选项，若，则或，故D选项错误. 故选：C 4. 如图，的斜二侧直观图为等腰直角，其中，则的面积为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可求得答案. 【详解】由于的直观图为等腰，其中，故, 故, 根据直观图面积和原图面积之间的关系式, 故. 故选：D 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】运用正弦定理即可求出，进而可求的值. 【详解】由正弦定理可得， 即， 因为，所以， 所以， 所以或， 故选：D 6. 《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面面垂直的性质得到平面，设的外接球的半径为，则，求出，即可求出外接球的表面积. 【详解】因为，，，所以， 又为直棱柱，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又矩形外接圆的直径为， 设的外接球的半径为，又，， 所以，所以， 所以阳马的外接球的表面积. 故选：C 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，，则， 由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：D 8. 一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ） A. 1m B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径. 【详解】将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从爬行一周后回到（记作），作，如下图所示： 由最短路径为，即， 由圆的性质可得，即扇形所对的圆心角为， 则圆锥底面圆的周长为， 则底面圆的半径为， 故选：B. 【点睛】本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数的模长公式，虚部、共轭复数概念及几何意义逐个判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 的虚部为，故B错误； ，所以，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 故选：AC 10. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若为钝角三角形，则 B. 若，则 C. 若，，，则有两解 D. ，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理来计算判断A；利用大角对大边以及正弦定理边化角判断B；将条件转化为角的直接关系判断C；利用正弦定理及二倍角公式得，进而转化为角的关系判断D. 【详解】对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得， 所以，A错误； 对于B，若，则，由正弦定理得，B正确； 对于C，若，，，由正弦定理得， 而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确； 对于D，因为，所以，所以， 即，则或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：BCD 11. 如图，在多边形ABPCD中（图1）.四边形为长方形，为正三角形，，，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）.若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则（ ） A. 平面PAD B. 平面平面 C. Q到平面的距离为2 D. 当时，三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取的中点，利用线面垂直得判定定理即可求证A选项；设平面平面，利用线面平行得判定定理和性质定理求证即可得出为二面角的平面角，再利用勾股定理求证即可判断B选项；利用即可判断C选项；利用即可判断D选项. 【详解】对于A，取的中点，连接，由题知平面， 因为平面，所以， 又四边形为长方形，则， 又，平面，所以平面，故A正确； 对于B，设平面平面， 因，平面，平面，则平面， 因平面，且平面平面，则， 由A选项可知，平面，结合平面， 有，则， 故为二面角的平面角， 因，为正三角形，则， 因，则在中，有，同理， 则，即， 故平面平面，则B正确； 对于C，由AB选项易得，设点到平面的距离为， 则由得，， 即， 故Q到平面的距离为，故C错误； 对于D，因， 则， 故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知、为锐角，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】因为的面积为， 所以， 于是有， 由余弦定理可知：， 故答案为： 14. 如图所示，在棱长为4的正方体中，点M是AD的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】若分别为的中点，连接，根据平面的基本性质及线线平行证共面，再由线面平行、面面平行的判定证明平面平面，结合已知确定P的轨迹，进而求长度. 【详解】若分别为的中点，连接，点M是AD的中点， 所以且，则为平行四边形，故， 由平行且相等，则为平行四边形， 所以，则，故共面， 由平行且相等，则为平行四边形，故， 由平面，平面，则平面， 由平面，平面，则平面， 又且都在平面内，故平面平面， 由平面，则在四边形上，而， 所以P的轨迹长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）求的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数意义及复数的乘法运算计算，再利用纯虚数的意义求得实数m的值； （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解. 【小问1详解】 依题意，，则， 由为纯虚数，得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，复数， 由复数在复平面对应的点在第一象限，得，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【答案】（1） 由底面，且底面，所以， 又因为，，且平面， 所以平面， 因为，所以． （2） 设与的交点为，连结， 因为是的中点，是的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）通过证得，且，证得平面，进而证得； （2）设与的交点为，连结，由三角形的中位线定理得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知为第四象限角且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用同角三角函数关系式联立方程组，解题即可；（2）运用二倍角公式求出二倍角正余弦，再用差角余弦公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得，且． 由，得 【小问2详解】 ． 18. 在中，角所对的边，已知． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得到求解； （2）由（1）知，再由，利用余弦定理结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 得， 即，又， 所以，所以，又，从而得； 【小问2详解】 由（1）得，又， 由余弦定理 ， 所以，当且仅当时取得等号， 故，当且仅当时取得等号， 所以面积的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1）证明：如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以， AI 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）只需证明，再结合平面平面以及面面垂直的性质即可得证； （2）由线面平行的性质得，所以，进一步即可求解； （3）由二面角的定义说明是二面角的平面角，设，结合的取值范围得，由线面角的定义说明为直线与平面所成的角，进一步得，结合的范围即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，则， 因为，，所以，故． 【小问3详解】 如图，取的中点， 因为平面，，平面，所以，． 又，分别是，的中点，所以， 由，得， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，则， 所以是二面角的平面角，即． 因为是边长为6的等边三角形，所以． 设，则，，得， 过作交于，连接，由平面，得平面， 所以为直线与平面所成的角，即． 由得，， 在中，． 在中，由余弦定理可得， 所以，所以 因为，所以， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $