专题1.1 实数及其运算（题型归纳+知识梳理+常考题型）-2026年数学中考一轮复习

专题1.1实数及其运算 中考复习讲义 ☘ 考点分析 ◆ 常见考点：实数的相关概念（有理数与无理数、相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、立方根），二次根式有意义的条件，实数的大小比较与无理数估算，数轴与绝对值、根式的化简，非负数的性质应用，实数综合运算（含零指数幂、负整数指数幂、绝对值、根式），科学记数法。 ◆ 命题方向：侧重基础概念，考查严谨性与易错点，突出数形结合，常结合数轴判断符号、化简式子，强化运算能力，实数综合运算为必考解答题型，贴近生活，以实际背景考查科学记数法、估算、近似数，适度创新，以新定义运算考查理解与迁移能力。 ◆ 考查分值：实数及其运算涵盖选择、填空题3～6 分（通常 1～2 道），实数综合计算题4～6 分（必考解答题）整体属于基础必考、分值稳定的板块。 ✏题型归纳 题型1 实数的分类判断. 题型2 相反数、倒数、绝对值的计算. 题型3 平方根、算术平方根、立方根运算. 题型4 二次根式有意义的条件. 题型5 实数大小比较. 题型6 无理数的范围估算. 题型7 无理数的整数部分与小数部分. 题型8 数轴与实数的一一对应. 题型9 结合数轴化简绝对值与根式. 题型10 非负数性质应用. 题型11 实数基础混合运算. 题型12 零指数幂与负整数指数幂运算. 题型13 实数综合计算题. 题型14 科学记数法表示数. 题型15 新定义运算. 题型16 实数的实际应用. 💦 知识点梳理 一、实数的定义及分类 1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 有限小数和无限循环小数都称为有理数．无限不循环小数又叫无理数． 2.（1）按定义分类 有理数：整数和分数统称为有理数。可化为有限小数或无限循环小数。 整数：正整数（如1、2）、0、负整数（如-1、-2）； 分数：正分数、负分数 无理数：无限不循环小数叫做无理数。 （2）按正负性分类：正实数、0、负实数 二、与实数相关的概念 1.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 核心性质：实数与数轴上的点一一对应；数轴上，右边的数总比左边的数大。 中考应用：结合数轴判断实数的正负、绝对值大小，或求数轴上两点间的距离（两点间距离 = 右边点表示的数 - 左边点表示的数）。 2.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0，是唯一一个相反数等于本身的数）。 表示方法：数a的相反数是 -a（如2的相反数是-2，-的相反数是）。 核心性质：（1）互为相反数的两个数和为0，即a + (-a) = 0；反之，若a + b = 0，则a、b互为相反数； （2）数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称（到原点的距离相等）。 3.绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|（绝对值具有非负性，即|a|≥0，） 法则：当a > 0时，|a| = a； 当a = 0时，|a| = 0； 当a < 0时，|a| = -a. 4.倒数：乘积为1的两个数互为倒数（0没有倒数）。 核心性质：若a、b互为倒数，则a·b = 1；反之，若a·b = 1，则a、b互为倒数。 5. 平方根、算术平方根、立方根 平方根:如果，那么叫做的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算．  （≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根; 算术平方根:如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数． 立方根:如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根．求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 立方根的特征:正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【重点提醒】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同． 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数． 立方根的性质:；   ；   ． 三、实数的性质 1. 大小比较（1）数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大。 （2）差值比较法：若a - b > 0，则a > b；若a - b = 0，则a = b；若a - b < 0，则a < b（适合两个实数比较，尤其是含无理数的比较） （3）平方比较法：当a > 0、b > 0时，若a² > b²，则a > b（适合两个正数且含无理数的比较， 补充：负数比较大小，绝对值大的反而小. 2. 实数的运算法则 （1）加法：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，用较大绝对值减去较小绝对值；互为相反数的两数和为0；0加任何数得任何数。 （2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数（a - b = a + (-b)），转化为加法运算。 （3）乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；0乘任何数得0；互为倒数的两数积为1；多个非0实数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正，奇数时积为负。 （4）除法：除以一个非0数等于乘这个数的倒数（a ÷ b = a × ，b ≠ 0）；0除以任何非0数得0；同号得正，异号得负，绝对值相除。 四、实数的运算 1.运算顺序:先算乘方、开方（平方根、立方根）；再算乘除；最后算加减； 有括号的先算括号内（先小括号，再中括号，最后大括号）； 同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次进行。 2. 常见运算类型 （1）乘方运算:求n个相同因数a的积的运算，记作aⁿ（n是正整数），其中a是底数，n是指数。 重点：正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0（如0⁵ = 0）；1的任何次幂都是1，(-1)的奇次幂是-1，偶次幂是1 易错点：-2² = -4，注意底数是否带括号）； （2）开方运算 平方根运算：（a ≥ 0）表示算术平方根，±表示平方根（如 = 4，±= ±4）； 立方根运算：表示立方根；（如：=3，=­4） （3）无理数的近似运算 核心：记住常见无理数的近似值，用于估算和比较大小： ≈ 1.414， ≈ 1.732， ≈ 2.236， ≈ 2.449，π ≈ 3.14； 5、 中考考点总结、复习建议 1. 考点总结 （1）基础考点：实数的分类、相反数、绝对值、倒数、平方根、算术平方根、立方根； （2）核心考点：实数的大小比较、实数混合运算（含零指数幂、负整数指数幂）、算术平方根的非负性； （3）拓展考点：数轴与实数的对应关系、无理数的估算、结合实数运算求代数式的值。 2. 复习建议 （1）牢记基础概念，区分易混淆知识点（如平方根与算术平方根、零指数幂与负指数幂）； （2）熟练掌握实数运算顺序和运算律，多练基础计算题，避免步骤错误； （3）重点突破易错点，整理错题本，标注错误原因（如符号错误、概念混淆）； （4）结合中考真题练习，熟悉题型（选择题、填空题、计算题），提升解题速度和准确率。 ✍核心考点◆解析 题型1. 实数的分类判断 1．在，0，，，，，1，，，中，正数有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正数：大于0的数为正数，熟练掌握正数的定义是解题关键．根据正数的定义解答即可得． 【详解】解：，，，都小于0，都是负数， 0既不是正数，也不是负数， ，，1，，都大于0，都是正数，共有5个， 故选：C． 2．有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 【答案】，， 【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数是无理数即可判断． 【详解】解：， 、、、、、0、中，无理数有，，． 3．如图，四边形是网格中的格点正方形，网格中的每个小正方形的边长均为1． (1)求正方形的面积． (2)试判断正方形的边长是有理数还是无理数． 【答案】(1)17 (2)无理数 【分析】本题考查了网格中图形面积的计算和无理数的定义，掌握割补法求面积以及无理数的概念是解题的关键． （1）用割补法，将正方形置于边长为5的大正方形中，用大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积，得到正方形的面积 （2）由（1）的面积求出正方形的边长，再根据无理数的定义判断边长是否为无理数． 【详解】（1）解：正方形的面积可以通过计算一个边长为5的大正方形的面积减去四个直角三角形的面积得到． 大正方形面积为； 每个直角三角形的面积为 ； 四个直角三角形的总面积为 ； 所以，正方形的面积 ． （2）解：由（1）得正方形的边长为，是无理数， 所以正方形的边长是无理数． 4．实数大家族的成员在坐火车时依据自身特征乘坐不同车厢，在下列实数中，分别找出整数、负分数和无理数，并填入相应的横线上：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“1”之间依次多一个“2”）． (1)整数车厢______．（填序号） (2)负分数车厢______．（填序号） (3)无理数车厢______．（填序号） 【答案】(1)④⑤ (2)①⑦ (3)③⑥⑧ 【分析】本题考查实数的分类，明确实数的分类标准是解题关键． （1）整数包括正整数、负整数和零，判断各数是否为整数； （2）负分数是指负的有限小数或无限循环小数，判断各数是否满足； （3）无理数是无限不循环小数，判断各数是否属于此类． 【详解】（1）解：④是整数； ⑤是整数； 答：④⑤． （2）解：①是负分数； ⑦可化为，是负分数； 答：①⑦． （3）解：③是无理数； ⑥是无理数； ⑧是无限不循环小数，是无理数； 答：③⑥⑧． 题型2.相反数、倒数、绝对值的计算 1．我国是最早使用负数的国家，我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果水星最高地表温度零上记作，那么最低地表温度零下应记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】零上温度用正数表示，则意义相反的零下温度用负数表示，直接得出答案． 【详解】解：∵零上记作，即零上记为正， ∴与零上意义相反的零下应记为负， ∴零下应记作， 故选：B． 2．当_____________________时，代数式与的值互为相反数． 【答案】/ 【分析】本题考查了相反数的性质与一元一次方程的求解，解题的关键是根据相反数的性质列出关于的方程． 根据互为相反数的两数和为，列出方程，再通过去括号、移项、合并同类项、系数化为 求解的值． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 3．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了数轴以及绝对值的计算、整式的加减运算， （1）先根据数轴得出之间的关系，然后再确定所求代数式的正负； （2）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项； （3）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴得：， ，； 故答案为：；； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ． 4．若和互为相反数，和互为倒数，的绝对值为3． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)2或 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值以及代数式求值等知识， （1）根据相反数、倒数、绝对值的定义，即可获得答案； （2）结合（1），分和两种情况，分别代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，和互为相反数，和互为倒数，的绝对值为3， ∴； （2）解：由（1）可知，， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． 题型3. 平方根、算术平方根、立方根运算 1．的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 2．已知是的小数部分，则代数式的值是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 由的整数部分为1，可得小数部分，然后代入代数式运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 整数部分为1，小数部分． ∴ ． 故答案为：5． 3．(1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值． (2)已知是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)2 【分析】（1）根据平方根的性质以及立方根的概念，列出方程即可求解； （2）利用平方根、立方根的概念求出a、b的值，通过估算无理数，可得x的值，进而即可求解 【详解】解：（1）某正数的平方根分别是和， ∴，解得：， ∵的立方根为2， ∴，解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是2，小数部分为， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵4的算术平方根为2，即的算术平方根为2． 4．已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 【答案】或 【分析】本题考查了平分根与立方根，熟悉理解平分根与立方根是解题的关键． 根据平分根的概念分两种情况分析：当和互为相反数时，当和互为相等时，求出的值，根据立方根的概念求出的值，代入运算即可． 【详解】解：∵和是同一个正数的平方根， ∴当和互为相反数时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； 当和相等时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； ∴的平方根为或． 题型4. 二次根式有意义的条件 1．若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得． 2．若实数x，y满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴根据二次根式有意义可知，被开方数为非负数，即，解得：． 将代入，得， 即， 解得， ∴． 3．已知，且，为实数，试求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平方根为． 4．当取什么值时，代数式的取值最小？并求出这个最小值． 【答案】时，最小值是7 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件确定根式的最小值，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得， ， 当时，有最小值，此时， 的最小值是7． 题型5. 实数大小比较 1．下列实数中最小的是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用实数比较大小的规则：负数小于0，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可求解 【详解】解：∵ 正数大于0，0大于所有负数， ∴ 最小的数在负数，，中， ∵，，， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ 四个实数中最小的是 2．已知数，，则与的大小关系为______．（请用“或”号作答） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小．通过有理化将和转化为分式形式，比较分母大小即可判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 又，， ， ， 则， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是分子有理化、平方差公式、实数的大小比较，解题关键是通过有理化比较实数大小． 3．已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 4．已知 (1)当时，先化简，再任取一个满足条件的无理数，求该式子的值； (2)若点在坐标轴上，求点到原点的距离． 【答案】(1)，当时，原式 (2)2 【分析】本题主要考查了实数的性质，解一元一次不等式，实数比较大小，实数的运算，在坐标轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． （1）证明，据此化简绝对值，解不等式推出，则满足条件的a的值可以为，据此代值计算即可； （2）分两种情况：点A在x轴上和点A在y轴上，在x轴上的点的纵坐标为0，在y轴上的点的横坐标为0，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴满足条件的a的值可以为， ∴此时原式； （2）解：当点在x轴上时，则， ∴，符合题意 ∴， ∴， ∴，即点A到原点的距离为2； 当点在y轴上时，则， ∴，符合题意， ∴， ∴， ∴，即点A到原点的距离为2； 综上所述，点A到原点的距离为2． 题型6. 无理数的范围估算 1．已知整数m满足，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，只需确定介于哪两个连续整数之间，即可求出整数m的值． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴， ∵，m为整数， ∴， 故选：C． 2．已知，且m是整数，则m的值为________． 【答案】3 【分析】先估算无理数的取值范围，再结合已知不等式和为整数的条件，即可确定的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，即 ． ∵ ，且是整数， ∴ 满足条件的整数为． 3．先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先进行除法运算，再进行减法运算，再代入一个满足题意的的值，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵，且是整数，， ∴， ∴当时，原式． 4．若，请从嘉嘉和淇淇的对话中（如图）确定的值，并对进行化简求值． 【答案】；0 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，并化简到最简，然后确定a，b的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ． ∵b是的立方根，a是不大于的最大整数， ∴， ∴原式． 题型7. 无理数的整数部分与小数部分 1．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（    ） A．30 B． C． D． 【答案】B 【分析】先估算的大小，得到的范围，从而求出整数部分和小数部分，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴的整数部分，小数部分 ∵， ∴． 2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式性质，无理数的估算，先计算半周长，再代入海伦-秦九韶公式求面积S，然后估算S的整数部分，最后求小数部分即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ∵，即， ∴S的整数部分为， 小数部分为． 故答案为：． 3．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8，小数部分为． （2）解：∵即， ∴ ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 4．如图，在数轴上点是表示实数的点． (1)在数轴上用没有刻度的直尺和圆规画出点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)的整数部分为______，的小数部分为______． 【答案】(1)见解析； (2)；． 【分析】本题主要考查了实数与数轴的对应关系和勾股定理在几何作图中的应用，以及作垂直平分线． （1）根据勾股定理可知，在数轴上表示无理数，先在数轴中找到对应的长度，再以为圆心，一个单位长度为半径画弧，连接即可； （2）根据（1）中可知，即可知道的整数部分和小数部分． 【详解】（1）解：如图：点即为所求； 确定数轴上代表点，代表点，代表点，代表点； 第一步，以为圆心，长为半径画弧； 第二步，用圆规作的垂直平分线，与第一步画的弧线交于点，可知，，且知，根据勾股定理可知； 第三步：以为圆心，为半径画弧，交数轴于点. 综上所述，点即为所求． （2）解：根据无理数在数轴中表示的位置，可知，由此其整数部分为，小数部分为． 故答案为；． 题型8. 数轴与实数的一一对应 1．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B， ∴， 即， 解得． 即点C表示的数为． 2．把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小，确定出被覆盖数的范围并化为带根号的数是解题的关键． 根据被覆盖的数在到之间，化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解． 【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为， 由图可知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． (1)求； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用，掌握实数的定义是解题的关键． （1）由勾股定理得到，再结合顶点A表示的数是，求即可． （2）估算得到，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，根据勾股定理可知： ， ∴， ∴点对应的数， （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的整数部分， ∴， 又∵为的小数部分， ∴， ∴． 4．探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 【答案】(1)，，， (2)， (3) (4) 【分析】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． ()根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； ()结合()中计算可知不一定等于，并发现其中规律； ()运用()得出的规律进行运算即可； ()结合数轴可知，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：，，，； 故答案为：； （2）解：由()可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； ∴； 故答案为：； （3）解：若，则， ∴， 故答案为：； （4）解：由在数轴上的位置可知，，且，， ∴， ， ， ． 题型9. 结合数轴化简绝对值与根式 1．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】因为，， 所以原式． 2．若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值、二次根式的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得，即， ∴ ， ． 故答案为． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知 ． (1)求 的面积； (2)若与关于 x 轴对称，写出的坐标并画出 ； (3)已知 P 为 y 轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)；作图见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理； （1）利用割补法求解即可； （2）根据关于 x 轴对称的性质找出点的对称点的坐标的，连线即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交y轴于点P，根据轴对称求最短路径的方法可知的最小值为，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：的面积为； （2）解：∵与关于 x 轴对称，， ∴； 如图所示，为所求： （3）解：如上图，作点关于轴的对称点，连接交y轴于点P， ∵点B和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值为． 4．（1）把下列各数对应序号填在相应的集合内： ；；，，，，，． 正数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 有理数集合{ …}． （2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． ①； ②． 【答案】（1）②⑤⑥⑧；①⑦；④⑤；①②③④⑤⑥⑦；（2）①；②． 【详解】解：（1）正数集合{②⑤⑥⑧…}； 负分数集合{①⑦…}； 非负整数集合{④⑤…}； 有理数集合{①②③④⑤⑥⑦…}； （2）由数轴可知，，，， ① ； ② ． 题型10. 非负数和为0的求值问题 1．若，，且，则（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的性质，运用分类讨论思想是关键． 根据绝对值的定义得出和的可能取值，结合的取值范围，分类讨论即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 当时，无论或，都有，不符合题意，故舍去； 当，时， ，符合题意， 此时； 当，时， ，符合题意， 此时； 综上所述，或． 故选：B． 2．实数、满足，则以，为边的等腰三角形的周长为__________． 【答案】7或8 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质．先通过配方将原式转化为非负数和的形式，利用非负数的性质求出a、b的值，再分两种情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：将原式变形可得， 因为，，且它们的和为0， 所以，， 解得，， ①若腰长为3，底边长为2，则三角形三边为3、3、2， 因为，，满足三角形三边关系， 周长为； ②若腰长为2，底边长为3，则三角形三边为2、2、3， 因为，，满足三角形三边关系， 周长为， 故答案为：7或8． 3．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式得到点、点的距离为，可知点表示的数为，根据“左减右加”可求的值； （2）先得到，，再根据非负数的性质计算即可； （3）根据相反数的定义得到，根据非负数的性质求出，求出的值，再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1， ∴点、点的距离为， ∵点关于点的对称点为点， ∴点表示的数为， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为， ∴； （2）解：， ，， ． （3）解：与互为相反数， ， ， ， 解得 ， 的立方根是． 4．已知，． (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值与非负数的性质，熟练掌握整式的加减运算法则及非负数的性质是解题关键． （1）把给定的、代入，通过去括号、合并同类项进行化简即可求解； （2）依据非负数的性质求出和的取值，再代入（1）的化简结果计算数值即可解答． 【详解】（1）解：原式 （2）， ，， ，， 把，代入， 原式． 题型11. 实数基础混合运算 1．为了了解学生对“问题解决策略：直观分析”的理解情况，老师特意设计了一次随堂小测，共有两道题，七（1）班45名同学参加测试，答对第一题的有30人，答对第二题的有25人，两道题都答对的有20人，则两道题都答错的有（    ） A．6人 B．8人 C．10人 D．12人 【答案】C 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，求出只答对一道题的人数，用总人数减去只答对一道题的人数，减去都答对的人数，即可得出结果． 【详解】解：（人）； 故选C． 2．如果，那么“”内的运算符号为_____（从“，，，”四种运算符号中选择一种填入）． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，先计算出的结果，再根据题目中的式子，即可得到“□”内的运算符号． 【详解】解：∵ ， ， ∴“□”内的运算符号为， 故答案为：． 3．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 【答案】(1)1； (2)2或 (3) 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分或两种情况求解即可； （3）分类讨论求出的值，从而得出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则． 故答案为：；； （2）解：因为， 所以，异号． 当时，， 所以． 当时，， 所以． 综上可知，的值为2或； （3）解：a，b，c同正，原式； a，b，c同负，原式； a，b，c两正一负，不妨设， 原式； a，b，c两负一正，不妨设，原式． 因为的最大值是，最小值为， 所以， 所以． 4．若将正整数1，2，3，…，98写在一起，则可以构成一个新数：12345…91011…9798． (1)这个新数是一个几位数？ (2)这个新数各个数位上的数字之和为多少？ (3)在黑板上写上数，，，…，，每次擦去任意的两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作连续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，这个数是否可能为？请说明理由． 【答案】(1)187位 (2)882 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）前面到都是一位数，故有位，后面接下来从到每个数都是两位，总共有位数，所以到总共要位数； （2）前面到位数，是到的和，后面接下来是个的和，再接下来是到的和，再接下来是个的和，再接下来是到的和，…，最后是个的和以及到的和，所以各个位上的数字之间和为 （3）根据两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的，所以若干次后剩余数的差和个数的和的奇偶性相同，根据，，，…，的和是是奇数不是奇数，所以没有这种可能性． 【详解】（1）解： 所以，这个新数是一个位数； （2）解： （3）解：由于两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的， 所以若干次后剩余数的差和98个数的和的奇偶性相同， 因为是奇数， 不是奇数，所以没有这种可能性． 【点睛】本题考查了学生对数的构成、对大数的认识以及分析能力，两个数的和和两个数的差的奇偶性是相同的是解（3）的关键． 题型12. 实数综合计算题 1．学习了中国古代史后，小明将公元前221年~公元前202年我国的几件重大历史事件制作成了如图所示的时间轴，轴上的点的位置均按照事件之间相隔的年份长短比例来划分，若整个时间轴的长度（即）为，由于墨迹污染了处历史事件的年份，测量得知，则墨迹挡住的年份为（   ） A．公元209年 B．公元前208年 C．公元前209年 D．公元前207年 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例线段的应用和时间轴上的年份计算，熟练掌握线段比例关系和年份差的计算方法是解题的关键． 先根据线段比例关系求出的长度，再计算出时间轴上每厘米代表的年份，最后结合点年份推算出点的年份． 【详解】解：∵，， ∴． ∵时间轴上点为公元前221年，点为公元前202年， ∴时间跨度为年． ∵， ∴每厘米代表年． ∵， ∴到的时间跨度为年． ∵点为公元前221年， ∴点年份为年，即公元前209年． 故选：C． 2．如图所示，在容器中放入个圆柱形铁块和个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是 __立方厘米． 【答案】 【分析】先根据等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，将圆柱体积转化为等底等高圆锥体积的倍数，再结合溢出的水的体积，求出单个圆锥的体积。 【详解】解：毫升立方厘米 （立方厘米） 答：每个圆锥形零件的体积是立方厘米． 故答案为：． 3．观察：；；．…… 猜想：____________． 【答案】 【分析】本题考查了数字类变化规律，根据题中等式得出规律是解题的关键． 观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解． 【详解】解：； ； ， ∴， 故答案为：． 4．已知某个数的平方根为和，且的立方根为，则______. 【答案】 【分析】根据平方根的性质，得出，根据立方根的定义得出，继而求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵某个数的平方根为和， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根与立方根综合，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． 题型13. 科学记数法表示数 1．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，将用科学记数法应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将用科学记数法表示时，先确定的取值， ∵科学记数法要求， ∴， 原数的小数点向左移动位得到， 可得， ∴， 故选：D． 2．花粉大小因种类而不同，变化很大．最小的花粉是紫草科的勿忘草，直径约为米，用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】绝对值小于的正数可以用科学记数法表示，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可解答． 【详解】解：． 3．用小数表示下列各数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了科学记数法表示的数还原成原数，解题的关键是正确理解科学记数法表示的数中还原成小数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． （）把小数点向左移动位即可得出答案， （）把小数点向左移动位即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 4．我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【答案】 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原，根据亿，再将科学记数法表示的数还原，转化单位即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故答案为：． 题型14. 新定义运算 1．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“和谐方程”，如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若某“和谐方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． 【答案】(1)6 (2) (3)4或 【分析】本题主要考查了新定义“和谐方程”，正确理解题意是解题关键． （1）首先解方程，可得，根据“和谐方程”的定义可知方程的解为，然后将代入方程并求解即可； （2）分别解两个方程，根据相反数的定义，进一步求解即可； （3）根据题意，其中一个方程的解为，则另一个方程的解为，结合该“和谐方程”的两个解的差为8，分情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得，解得； （2）解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“和谐方程”， ∴， ∴； （3）根据题意，其中一个方程的解为， 则另一个方程的解为， ∵该“和谐方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或． 2．新定义：对于有理数a，将a的绝对值的各数位上的数字相乘，若结果大于等于10，则继续将结果的各数位上的数字相乘，直到得到一个个位数，这个数称为a的“数字积值”．定义运算：如果a是正数，则就是这个数字积值；如果a是负数，则就是这个数字积值的相反数；如果a是0，特别地，0的数字积值是0，则． 例：，所以； ，因为原数是负数，所以． (1)计算：_________；_________． (2)若a是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数a的值：_________； (3)猜想：对任意整数m，n是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 【答案】(1)2； (2)23（答案不唯一） (3)不一定成立，例子见解析 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题例即可求解； （2）根据数字积值为，可得为正数，再根据即可得到答案； （3）举出反例进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ， ∴， 故答案为：2，； （2）解：∵数字积值为， ∴为正数， ∵， ∴， 故答案为：23； （3）解：当，时，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴对任意整数m，n不一定成立． 3．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对2026逐步进行操作： ∵ ， ∴ ，可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果； ∵，可得第四次操作结果； 因此对2026只需进行4次操作后变为2． 4．我们定义：．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程解法，代数式求值，由题意得，，从而有，然后求出，的值，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，则， 由题意得，则， ∴ ， ∴，，， 代入得：，，， ∴或， 故选：． 题型15. 实数的实际应用 1．如图，已知点，将点绕点顺时针旋转得到点．此时我们就称点是点关于点的旋转点，记作．如，． (1)__________；，__________； (2)如果，那么__________； (3)点表示的数是，点表示的数为，如果（点在点右侧），，那么__________． 【答案】(1)；2 (2) (3)2或4 【分析】本题考查了旋转点的定义，数轴中点公式的应用，线段和与差的计算，以及一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解旋转点的本质是点 M 是线段的中点． （1）根据旋转点的定义求解即可； （2）根据旋转点的定义，可转化为点 M 是线段的中点，再由中点公式求解即可； （3）先根据表示出点D表示的数，再根据，再表示出点B表示的数，根据列式求解即可． 【详解】（1）解：点2绕点顺时针旋转得到点． ∴； 点绕点顺时针旋转得到点2． ∴； 故答案为：；2； （2）解：∵， 记作点A表示的数为，点M表示的数为x，点B表示的数为， 由中点公式可得，， 解得； 故答案为：； （3）解：∵点表示的数是，点表示的数为， 又∵， ∴点表示的数是， ∵，点在点右侧， ∴点表示的数是， ∵， ∴，化简可得， 当时，解得； 当时，解得； 综上，或． 故答案为：2或4． 2．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 3．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 4．2026年元旦假期期间，河南旅游收入再创新高，同时促进了文创产品的销售．某网红景点的超市购进一批文创商品，平均每天可售出20件，每件的销售利润44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降低1元，那么每天可多售5件． (1)若每件文创商品降价2元，则每天可售出___________件，每天的销售利润为___________元． (2)如果每天的销售利润是1600元，每件文创商品应降价多少元？ 【答案】(1)30，1260 (2)4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据“每件降低1元，每天可多售5件”，可计算出降价2元时每天多销售的件数，进而得到每天的销售量，再根据“销售利润=每件利润×销售量”计算出每天的销售利润； （2）设每件文创商品应降价x元，根据“销售利润=每件利润×销售量”列出方程，求解方程并结合“每件降价幅度不超过10元”的条件确定x的值． 【详解】（1）解：降价2元后的日销量：（件）， 每件利润：（元）， 日销售利润：（元）， 故答案为：30，1260． （2）解：设每件文创商品降价x元， 由题意得，， 解得，， ∵， ∴舍去， ∴每件文创商品应降价4元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1实数及其运算 中考复习讲义 ☘ 考点分析 ◆ 常见考点：实数的相关概念（有理数与无理数、相反数、倒数、绝对值、平方根、算术平方根、立方根），二次根式有意义的条件，实数的大小比较与无理数估算，数轴与绝对值、根式的化简，非负数的性质应用，实数综合运算（含零指数幂、负整数指数幂、绝对值、根式），科学记数法。 ◆ 命题方向：侧重基础概念，考查严谨性与易错点，突出数形结合，常结合数轴判断符号、化简式子，强化运算能力，实数综合运算为必考解答题型，贴近生活，以实际背景考查科学记数法、估算、近似数，适度创新，以新定义运算考查理解与迁移能力。 ◆ 考查分值：实数及其运算涵盖选择、填空题3～6 分（通常 1～2 道），实数综合计算题4～6 分（必考解答题）整体属于基础必考、分值稳定的板块。 ✏题型归纳 题型1 实数的分类判断. 题型2 相反数、倒数、绝对值的计算. 题型3 平方根、算术平方根、立方根运算. 题型4 二次根式有意义的条件. 题型5 实数大小比较. 题型6 无理数的范围估算. 题型7 无理数的整数部分与小数部分. 题型8 数轴与实数的一一对应. 题型9 结合数轴化简绝对值与根式. 题型10 非负数性质应用. 题型11 实数基础混合运算. 题型12 零指数幂与负整数指数幂运算. 题型13 实数综合计算题. 题型14 科学记数法表示数. 题型15 新定义运算. 题型16 实数的实际应用. 💦 知识点梳理 一、实数的定义及分类 1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 有限小数和无限循环小数都称为有理数．无限不循环小数又叫无理数． 2.（1）按定义分类 有理数：整数和分数统称为有理数。可化为有限小数或无限循环小数。 整数：正整数（如1、2）、0、负整数（如-1、-2）； 分数：正分数、负分数 无理数：无限不循环小数叫做无理数。 （2）按正负性分类：正实数、0、负实数 二、与实数相关的概念 1.数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 核心性质：实数与数轴上的点一一对应；数轴上，右边的数总比左边的数大。 中考应用：结合数轴判断实数的正负、绝对值大小，或求数轴上两点间的距离（两点间距离 = 右边点表示的数 - 左边点表示的数）。 2.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0，是唯一一个相反数等于本身的数）。 表示方法：数a的相反数是 -a（如2的相反数是-2，-的相反数是）。 核心性质：（1）互为相反数的两个数和为0，即a + (-a) = 0；反之，若a + b = 0，则a、b互为相反数； （2）数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称（到原点的距离相等）。 3.绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|（绝对值具有非负性，即|a|≥0，） 法则：当a > 0时，|a| = a； 当a = 0时，|a| = 0； 当a < 0时，|a| = -a. 4.倒数：乘积为1的两个数互为倒数（0没有倒数）。 核心性质：若a、b互为倒数，则a·b = 1；反之，若a·b = 1，则a、b互为倒数。 5. 平方根、算术平方根、立方根 平方根:如果，那么叫做的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算．  （≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根; 算术平方根:如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数． 立方根:如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根．求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 立方根的特征:正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【重点提醒】任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同． 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数． 立方根的性质:；   ；   ． 三、实数的性质 1. 大小比较（1）数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的数大。 （2）差值比较法：若a - b > 0，则a > b；若a - b = 0，则a = b；若a - b < 0，则a < b（适合两个实数比较，尤其是含无理数的比较） （3）平方比较法：当a > 0、b > 0时，若a² > b²，则a > b（适合两个正数且含无理数的比较， 补充：负数比较大小，绝对值大的反而小. 2. 实数的运算法则 （1）加法：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，用较大绝对值减去较小绝对值；互为相反数的两数和为0；0加任何数得任何数。 （2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数（a - b = a + (-b)），转化为加法运算。 （3）乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；0乘任何数得0；互为倒数的两数积为1；多个非0实数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正，奇数时积为负。 （4）除法：除以一个非0数等于乘这个数的倒数（a ÷ b = a × ，b ≠ 0）；0除以任何非0数得0；同号得正，异号得负，绝对值相除。 四、实数的运算 1.运算顺序:先算乘方、开方（平方根、立方根）；再算乘除；最后算加减； 有括号的先算括号内（先小括号，再中括号，最后大括号）； 同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次进行。 2. 常见运算类型 （1）乘方运算:求n个相同因数a的积的运算，记作aⁿ（n是正整数），其中a是底数，n是指数。 重点：正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0（如0⁵ = 0）；1的任何次幂都是1，(-1)的奇次幂是-1，偶次幂是1 易错点：-2² = -4，注意底数是否带括号）； （2）开方运算 平方根运算：（a ≥ 0）表示算术平方根，±表示平方根（如 = 4，±= ±4）； 立方根运算：表示立方根；（如：=3，=­4） （3）无理数的近似运算 核心：记住常见无理数的近似值，用于估算和比较大小： ≈ 1.414， ≈ 1.732， ≈ 2.236， ≈ 2.449，π ≈ 3.14； 5、 中考考点总结、复习建议 1. 考点总结 （1）基础考点：实数的分类、相反数、绝对值、倒数、平方根、算术平方根、立方根； （2）核心考点：实数的大小比较、实数混合运算（含零指数幂、负整数指数幂）、算术平方根的非负性； （3）拓展考点：数轴与实数的对应关系、无理数的估算、结合实数运算求代数式的值。 2. 复习建议 （1）牢记基础概念，区分易混淆知识点（如平方根与算术平方根、零指数幂与负指数幂）； （2）熟练掌握实数运算顺序和运算律，多练基础计算题，避免步骤错误； （3）重点突破易错点，整理错题本，标注错误原因（如符号错误、概念混淆）； （4）结合中考真题练习，熟悉题型（选择题、填空题、计算题），提升解题速度和准确率。 ✍核心考点◆解析 题型1. 实数的分类判断 1．在，0，，，，，1，，，中，正数有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．有下列各数：、、、、、0、，其中无理数有_______． 3．如图，四边形是网格中的格点正方形，网格中的每个小正方形的边长均为1． (1)求正方形的面积． (2)试判断正方形的边长是有理数还是无理数． 4．实数大家族的成员在坐火车时依据自身特征乘坐不同车厢，在下列实数中，分别找出整数、负分数和无理数，并填入相应的横线上：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（两个“1”之间依次多一个“2”）． (1)整数车厢______．（填序号） (2)负分数车厢______．（填序号） (3)无理数车厢______．（填序号） 题型2.相反数、倒数、绝对值的计算 1．我国是最早使用负数的国家，我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果水星最高地表温度零上记作，那么最低地表温度零下应记作（    ） A． B． C． D． 2．当_____________________时，代数式与的值互为相反数． 3．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：； (3)化简：． 4．若和互为相反数，和互为倒数，的绝对值为3． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 题型3. 平方根、算术平方根、立方根运算 1．的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．已知是的小数部分，则代数式的值是_____． 3．(1)已知某正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为2，求的值． (2)已知是的小数部分，求的算术平方根． 4．已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 题型4. 二次根式有意义的条件 1．若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若实数x，y满足，，则的值为________． 3．已知，且，为实数，试求的平方根． 4．当取什么值时，代数式的取值最小？并求出这个最小值． 题型5. 实数大小比较 1．下列实数中最小的是（　　） A． B．0 C． D． 2．已知数，，则与的大小关系为______．（请用“或”号作答） 3．已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 4．已知 (1)当时，先化简，再任取一个满足条件的无理数，求该式子的值； (2)若点在坐标轴上，求点到原点的距离． 题型6. 无理数的范围估算 1．已知整数m满足，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知，且m是整数，则m的值为________． 3．先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 4．若，请从嘉嘉和淇淇的对话中（如图）确定的值，并对进行化简求值． 题型7. 无理数的整数部分与小数部分 1．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（    ） A．30 B． C． D． 2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为___________． 3．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 4．如图，在数轴上点是表示实数的点． (1)在数轴上用没有刻度的直尺和圆规画出点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)的整数部分为______，的小数部分为______． 题型8. 数轴与实数的一一对应 1．如图，数轴上表示2，的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________． 3．如图，将边长均为1的三个正方形紧挨着放在数轴上，顶点A表示的数是．以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，记点C所表示的数为，已知a为的整数部分，b为的小数部分． (1)求； (2)求代数式的值． 4．探究发散： (1)填空：______，______，______，______； (2)归纳规律：； (3)利用上述规律，填空：若，则______； (4)有理数、、在数轴上对应点的位置如图，化简：． 题型9. 结合数轴化简绝对值与根式 1．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 2．若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果_____． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知 ． (1)求 的面积； (2)若与关于 x 轴对称，写出的坐标并画出 ； (3)已知 P 为 y 轴上一点，求的最小值． 4．（1）把下列各数对应序号填在相应的集合内： ；；，，，，，． 正数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 非负整数集合{ …}； 有理数集合{ …}． （2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简． ①； ②． 题型10. 非负数和为0的求值问题 1．若，，且，则（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 2．实数、满足，则以，为边的等腰三角形的周长为__________． 3．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 4．已知，． (1)化简：； (2)若，求的值． 题型11. 实数基础混合运算 1．为了了解学生对“问题解决策略：直观分析”的理解情况，老师特意设计了一次随堂小测，共有两道题，七（1）班45名同学参加测试，答对第一题的有30人，答对第二题的有25人，两道题都答对的有20人，则两道题都答错的有（    ） A．6人 B．8人 C．10人 D．12人 2．如果，那么“”内的运算符号为_____（从“，，，”四种运算符号中选择一种填入）． 3．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 4．若将正整数1，2，3，…，98写在一起，则可以构成一个新数：12345…91011…9798． (1)这个新数是一个几位数？ (2)这个新数各个数位上的数字之和为多少？ (3)在黑板上写上数，，，…，，每次擦去任意的两个数，换上这两个数的和或差，重复这样的操作连续若干次，直到黑板上仅留下一个数为止，这个数是否可能为？请说明理由． 题型12. 实数综合计算题 1．学习了中国古代史后，小明将公元前221年~公元前202年我国的几件重大历史事件制作成了如图所示的时间轴，轴上的点的位置均按照事件之间相隔的年份长短比例来划分，若整个时间轴的长度（即）为，由于墨迹污染了处历史事件的年份，测量得知，则墨迹挡住的年份为（   ） A．公元209年 B．公元前208年 C．公元前209年 D．公元前207年 2．如图所示，在容器中放入个圆柱形铁块和个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是 __立方厘米． 3．观察：；；．…… 猜想：____________． 4．已知某个数的平方根为和，且的立方根为，则______. 题型13. 科学记数法表示数 1．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，将用科学记数法应表示为（    ） A． B． C． D． 2．花粉大小因种类而不同，变化很大．最小的花粉是紫草科的勿忘草，直径约为米，用科学记数法表示为______． 3．用小数表示下列各数： (1)； (2)． 4．我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 题型14. 新定义运算 1．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“和谐方程”，如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (3)若某“和谐方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． 2．新定义：对于有理数a，将a的绝对值的各数位上的数字相乘，若结果大于等于10，则继续将结果的各数位上的数字相乘，直到得到一个个位数，这个数称为a的“数字积值”．定义运算：如果a是正数，则就是这个数字积值；如果a是负数，则就是这个数字积值的相反数；如果a是0，特别地，0的数字积值是0，则． 例：，所以； ，因为原数是负数，所以． (1)计算：_________；_________． (2)若a是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数a的值：_________； (3)猜想：对任意整数m，n是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 3．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：．现在对72进行如下操作：，即对72进行3次操作后变为2．类似地，要想让2026变为2，需进行的操作次数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．5 4．我们定义：．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 题型15. 实数的实际应用 1．如图，已知点，将点绕点顺时针旋转得到点．此时我们就称点是点关于点的旋转点，记作．如，． (1)__________；，__________； (2)如果，那么__________； (3)点表示的数是，点表示的数为，如果（点在点右侧），，那么__________． 2．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 4．2026年元旦假期期间，河南旅游收入再创新高，同时促进了文创产品的销售．某网红景点的超市购进一批文创商品，平均每天可售出20件，每件的销售利润44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降低1元，那么每天可多售5件． (1)若每件文创商品降价2元，则每天可售出___________件，每天的销售利润为___________元． (2)如果每天的销售利润是1600元，每件文创商品应降价多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $