2026年中考数学一轮复习 学案 23 图形的相似

中考数学一轮复习学案 23 图形的相似 ​​ ​​ ■考点一　相似的有关概念► 1）线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比。 2）比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项。 3）比例的性质 性质 内容 性质1 =⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）。 性质2 如果=，那么。 性质3 如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）。 4）黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比。 5）平行线分线段成比例（定理）：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 即： 。 ■考点二　相似三角形的性质与判定► 1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比。 2）性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 3）判定：（1）有两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。 4）相似多边形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。 5）相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应边成比例；（2）相似多边形的对应角相等；（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方。 ■考点三　图形的位似► 1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比。 2）位似图形的性质：（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比。 3）找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心。 4）画位似图形的步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点；（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；（4）作出原图形中各关键点的对应点；（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点。 ■考点四　相似三角形的应用► 1）利用影长测量物体的高度 ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决。 ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度。 2）利用相似测量河的宽度（测量距离） ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上。必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形。 ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度。 3）借助标杆或直尺测量物体的高度． 利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度。 ■易错提示► 1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系。 2. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形。 3. 两个位似图形的位似中心只有一个，它可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上。 一、单选题 1．下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（　　） A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4 2．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．若点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，点D是线段AC的黄金分割点，AD>CD，则（　　） A．AD=BC B．AD>BC C．AB=3CD D．AB<3CD 4．如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（　　） A．8 B．10 C．16 D． 5．如图，在中，点在边上，连接，交于点．则下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 6． 若△ABC∽△DEF 且S△ABC： S△DEF=3： 4，则△ABC与△DEF的周长比为(　　) A．3： 4 B．9： 16 C． D．2： 7．如图，D是的边上一点，添加一个条件后，仍不能判定的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，点、分别在边、上，且，，，则的边长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 9．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（　　） A． B． C． D． 10． 如图， 在平面直角坐标系中， 点O（0， 0)， A（6， 0)， B（0， 8)， 以点P为位似中心，作与△AOB 的位似比为k的位似图形△CDE，则点 P的坐标和k的值分别为（　　) A．（0， 0)， 2 B．（2， 2)， C．（2， 2)， 2 D．（1， 1)， 11．如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（　　） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 12．如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知线段，，则a、b的比例中项线段等于　 　． 14．若，则的值为　 　。 15．如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则　 　． 16．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OB＝BE，若S△ABC＝2，则S△DEF＝ 　 　 ． 17．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm， EF=20cm， 测得边DF离地面的高度AC=1.5m， CD=8m， 则树高AB =　 　m. 18．如图，在中，，D是上一点，且，连接．若，则的长为　 　． 三、解答题 19．在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法并利用灯光下的影子长来测量一路灯高度；如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是；已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 四、作图题 20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，以点O为原点建立平面直角坐标系，点B的坐标为． （1）将向左平移5个单位长度，得到，画出； （2）以点O为位似中心，将放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），得到，在所给的方格纸中画出； （3）若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点M2的坐标是 ． 五、实践探究题 21．如图1，已知，，，连接，． （1）当绕点A旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 （2）如图2，点B在内部，延长交的延长线于F，交于G，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，点B在内部，连接，延长交于H，若，，且，求的长． 22．【初步探究】 （1）如图1，四边形是矩形，点P是平面内任一点，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． （2）【深入探究】 如图2，正方形的边长为4，的半径为2，点P是上一动点，连接，，，设，．（如有需要，可直接使用（1）中你所得的结论） ①求的最小值； ②直接写出的最大值，并直接写出此时的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】对于选项：，不符合题意； 对于选项：，不符合题意； 对于选项：，符合题意； 对于选项：，不符合题意； 只有选项是成比例线段； 故选． 【分析】根据比例线段的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴=， 故答案为：A 【分析】先根据平行线段成比例即可得到，进而结合题意即可求解。 3．【答案】A 【解析】【解答】解：设AB=a， ∵ 点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC， ∴，即，， 又∵ 点D是线段AC的黄金分割点， ∴， ∴， ∴AD=BC， 故答案为：A. 【分析】根据黄金分割比计算AC，BC和AD的长解答即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， ， ，EF＝4， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：B． 【分析】先证出，可得，再将数据代入求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得，从而得解. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ∴ ，，故B错误，不符合题意； ，故A正确，符合题意； 如果，则有， 和不平行， ，故C错误，不符合题意； 如果，则有 ∴， 和不平行， ，故D错误，不符合题意； 故答案为：A 【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，再根据线段比例线段逐项进行判断即可求出答案. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：设△ABC与△DEF的相似比为k，则△ABC与△DEF面积比k2=. ∴△ABC与△DEF的周长比为 故答案为：C . 【分析】需先根据相似三角形面积比与相似比的关系求出相似比，再由相似三角形周长比等于相似比得出结果。 7．【答案】C 【解析】【解答】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 【分析】本题考查相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），根据判定定理判断即可． 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示：位似中心F的坐标为：(2，2)， k的值为： 故答案为：B. 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 11．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴， ∴， ∴此选项不符合题意； B、∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴， ∴此选项不符合题意； C、∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴点、、三点在同一条直线上， ∴此选项不符合题意； D、∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴， ∴， ∴≠， ∴此选项符合题意. 故答案为：D． 【分析】A、根据位似图形的性质“位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比“可求解； B、根据位似图形的性质“位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）“可求解； C、根据位似图形的性质“位似图形对应点连线交于一点，位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）“可求解； D、根据位似图形的性质“位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比“并结合“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可求解． 12．【答案】C 【解析】【解答】解：点、、分别为等边的边的中点， ，，， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 【分析】根据等边三角形性质可得，，，再根据相似三角形性质即可求出答案. 13．【答案】6 【解析】【解答】解：设线段x是线段a，b的比例中项， ∵，， ∴， ∴， ∴，（舍去）． 故答案为：6． 【分析】根据比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可． 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【分析】根据题意得到，然后代入约分计算即可． 15．【答案】 【解析】【解答】解：连接AD，过D作DG⊥AC于点G， ∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD， ∴AC=CD，∠ACD=60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴AG=CG=AC. 设AB=AC=2a，则AC=AD=CD=2a，AG=CG=a， ∴DG==a. ∵∠BAE=∠DGE=90°，∠AEB=∠GED， ∴△ABE∽△GDE， ∴， ∴， ∴AE=GE. ∵AE+GE=AG=a， ∴GE+GE=a， ∴GE=(-3)a， ∴AE=(4-)a. ∵DE2=DG2+EG2， ∴DE=， ∴==. 故答案为：. 【分析】连接AD，过D作DG⊥AC于点G，由旋转的性质可得AC=CD，∠ACD=60°，推出△ACD为等边三角形，得到AG=CG=AC，设AB=AC=2a，则AC=AD=CD=2a，AG=CG=a，DG=a，由两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△GDE，根据相似三角形的性质可得AE=GE，结合AE+GE=AG=a可得GE=(-3)a，然后表示出AE，由勾股定理可得DE，据此求解. 16．【答案】8 【解析】【解答】解：由题意知位似比这OB：OE=1：2，即相似比为1：2，得，故. 故答案：8. 【分析】相似线段比可得相似比，由此可得面积比，即可得△DEF的面积. 17．【答案】5.5 【解析】【解答】解：∵∠D=∠D，∠DEF=∠DCB， ∴△DEF∽△DBC， ∴，即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m， 故答案为：5.5m. 【分析】根据两角对应相等得到△DEF∽△DBC，根据对应边成比例求出AC长，然后根据线段的和差解答即可. 18．【答案】 19．【答案】解：设， 由题意得：，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，，， ∴，即， 解得：， ∴， 解得：． 答：路灯离地面的高度为米． 【解析】【分析】设，由题意得，，，进而根据平行线的判定证明，再根据相似三角形的判定与性质证明，得到，，进而代入数值解分式方程即可求解。 20．【答案】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求​​ （3） 【解析】【解答】（3）解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为， 故答案为：． 【分析】（1） 将向左平移5个单位长度， A（3，2），B（1，0），C（5，1）对应点（-2，2），（-4，0），（0，1）描点连线． （2）由（1）知（-2，2），（-4，0），（0，1）将 以点O为位似中心 ，放大到两倍对应点横纵坐标乘以-2得（4，-4），（8，0），（0，-2），描点连线． （3） 点M是的中点， M(2，1)向左平移5个单位长度得（-3，1）以点O为位似中心 ，放大到两倍对应点横纵坐标乘以-2得点（6，-2）． （1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：若点M是的中点，经过（1）、（2）两次变换，M的对应点的坐标为， 故答案为：． 21．【答案】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过B点作于K， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）由相似三角形对应边成比例、对应角相等得出，，由角的构成及等式性质推出∠EAC=∠DAB，进而根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似求出，利用相似三角形的对应边成比例即可求得 的值； （2）由相似三角形对应角相等得∠ADB=∠AEC，结合对顶角相等，由“8”字形图可推出；由相似三角形对应边成比例及AB=BC可推出AD=DE，由等边对等角得出∠DAE=∠AED，由等量代换得到，从而由有两组角相等的两个三角形相似证明出，利用相似的对应边成比例建立方程求出后，即可求解； （3）首先由有两组角相等得三角形相似证明，利用相似的对应边成比例建立方程求出；过B点作于K，由等腰三角形的三线合一求出，再利用勾股定理求出，即可求解． 22．【答案】（1）D （2）解：①的最小值为．理由如下： 如图所示，连接、，则， 由（1）知，， 当最小时，的最小， 而（等号成立时，点P位于上）， 的最小为； ②如图所示，在、上分别截取， ，，， ， ， 同理可得 （等号成立时，点P在直线与的交点处，如下图） 的最大值为 连接、，交于点F，则， ， ， ，， ，， ， ． 【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点P作于点F，交的延长线于点E，交的延长线于点G，则四边形、四边形、四边形都是矩形， ，，，， ，，，， ， 故答案为：D； 【分析】（1）过点P作于点F，交的延长线于点E，交的延长线于点G，则四边形、四边形、四边形都是矩形，则，，，，再根据勾股定理即可求出答案. （2）①连接、，根据勾股定理可得BD，由（1）知，，当最小时，的最小，根据边之间的关系即可求出答案. ②在、上分别截取，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，同理可得，再根据边之间的关系可得的最大值为，连接、，交于点F，则，根据直线平行性质可得，则，，再根据勾股定理即可求出答案. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $