2026年中考数学一轮复习学案 20 与圆有关的位置关系

中考数学一轮复习学案 20 与圆有关的位置关系 ​​ ​​ ■考点一　点、直线与圆的位置关系类► 1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则： 图1 图2 (1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3． 解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。 2）直线和圆的位置关系： 设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下： 图1 图2 图3 (1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。 3）圆和圆之间的位置关系（了解） 设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下： 图1 图2 图3 图4 图5 （1）d>R+r⇔两圆外离；（2）d=R+r⇔两圆外切；（3）R-r<d<R+r⇔两圆相交； （4）d=R-r⇔两圆内切；（5）0≤d<R-r⇔两圆内含。 两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. ■考点二　切线的性质与判定► 1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。 解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。 2）切线的判定 （1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）； （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）； （3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。 切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。 3）切线长定理 定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 解题技巧：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解。 ■考点三　三角形的外接圆与内切圆► 1）三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 2）三角形内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 3）三角形的外心：三角形三边中垂线的交点，叫该三角形的外心。 4）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，叫该三角形的内心。 5）常见结论 （1）三角形内切圆半径：，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长； （2）直角三角形内切圆半径：，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长。 ■易错提示► 1. 由于圆是轴对称和中心对称图形，当题目中未给出具体图形时，要结合题意画出符合题意的图形，并进行分类讨论，否则比较容易漏解。 2. 一个三角形有且只有一个内切圆和一个外接圆，而一个圆有无数个外切三角形和内接三角形。 一、选择题 1．已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，是的切线，切点分别为点A、B，点C为上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，以△的边为直径作交于点，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若，则∠AOB的度数为（　　）. A．120° B．125° C．135° D．140° 5．如图，，，是的切线，切点分别为，，.若，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 6．如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 7．如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为5，小圆的半径为3.若大圆的弦AB 与小圆有公共 点，则弦AB 长的取值范围是(　　) A．8≤AB≤10 B．8<AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4<AB≤5 9．如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（　　） A．14 B．24 C．28 D． 10．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（　　） A．6 B．8 C． D． 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过，，的半径为2，（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 12．如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．的直径为8，圆心到直线的距离为3，则直线与的位置关系是　 　． 14．如图，是的直径，是延长线上一点；与相切于点，若，则　 　． 15．如图，，分别切于点A，B，点C是上一点，过C作的切线，交，于点D，E，若，则的周长是　 　． 16．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为　 　． 17．如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为　 　． 18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为，⊙C半径为4，P是⊙C上一动点，Q是线段PB的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是　 　． 三、解答题 19．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． （1）求的长． （2）已知，求的长． 20．如图，以正方形 ABCD的边 AB 为直径作⊙O，E 是⊙O 上一点， AB 于点 F，AF>BF，作直线 DE 交 BC 于点 G，CD=10，EF=4. （1）　 　. （2）求证：DG 是⊙O 的切线. 21．如图，以四边形 ABCD的对角线 BD 为直径作圆，圆心为O，过点 A 作AE⊥CD，交 CD 的延长线于点 E，已知 DA 平分∠BDE. （1）求证：AE 是⊙O 的切线； （2）若 ，求⊙O 的半径和AD的长. 22． 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CA=3，CB=4，以点 C 为圆心，r 为半径作⊙C.根据下列条件，写出半径r的值或取值范围： （1）直线 AB 与⊙C 相离； （2）直线AB 与⊙C 相切； （3）直线AB 与⊙C 相交. 23．如图，在△ABD 中，AB=BD，⊙O为△ABD 的外接圆，BE 为⊙O的切线，AC 为⊙O的直径，连结 DC 并延长，交 BE 于点E. （1） 求证：DE⊥BE. （2） 若AB=5 ，BE=5，求⊙O的半径. 24．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°． （1）若AB＝4，BC＝3， ①求Rt△ABC外接圆的半径； ②求Rt△ABC内切圆的半径； （2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径． 25．如图，AB是的直径，点C是外一点，点D在上，且，连接CD交于点E．过点E作于点H，交BD于点G，交于点F，且． （1）求证：CB是的切线； （2）连接BE，若，，求BE的长和的半径． 26．已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）点为直线上任意一动点，连接交于点，连接． 当时，求的长； 求的最大值． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 【分析】根据直线和相交即d<r，即可判断. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：C． 【分析】由切线的性质得到，再由四边形内角和为360度求出，则由圆周角定理即可得到． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：、，， 是△的中位线， ， ， ， 是的切线，故本选项不符合题意； B、由选项可知：是的切线，故本选项不符合题意； C、， ， ， ， ， ， ， 是的切线，故本选项不符合题意； D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 【分析】根据三角形中位线定理、平行线的性质、切线的判定定理证明，判断即可. 4．【答案】D 【解析】【解答】∵点O是△ABC的外心， ∴∠AOB=2∠C. ∵点I是△ABC的内心， ∵∠AOB=2∠C， ∵∠AIB=125°，∴∠AOB=140°. 故答案为：D. 【分析】由三角形内心的性质可得AI平分BI平分 可求 的度数，由圆周角定理可求解. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：A． 【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵O为的内心， ∴点O是三条角平分线的交点， ∴点O到，的距离相等， ∴、面积的比． ∵的面积为25， ∴的面积为15． 故选：C． 【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△ABO、△BCO、△ACO面积的比实际为AB，BC，AC三边的比. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：是的内切圆， 、、 是的切线， 又切于点K， 、、、、， 的周长为： 设，，， 则、、， 解得， 的周长为：． 故答案为：D． 【分析】根据切线性质可得、、、、，根据三角形周长可得的周长为：，设，，，则、、，解方程即可求出答案. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：当弦AB 与小圆有唯一公共点，即弦 AB 与小圆相切时，弦AB长的取值最小.此时过点 O 作OC⊥AB 于点C，连结OA，则AB=2AC.在Rt△AOC中，由勾股定理，得 ∴ AB=2AC=8.当弦AB 为大圆的直径时，弦AB 长的取值最大，此时AB=10.综上所述，弦AB 长的取值范围是8≤AB≤10. 故答案为：A . 【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长.连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8.若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则可得到AB取值范围即可 9．【答案】B 【解析】【解答】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 【分析】根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 【分析】先根据切线长定理得到PA=PB，MA=MC，NC=NB，然后利用等线段代换得到△PMN的周长=2PA. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：连接， ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理， ∴最短时，取得最小值， ∵当时，线段最短， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【分析】连接OP，OQ，根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，当时PO⊥AB，线段OP最短，即线段PQ最短，利用直角三角形的面积公式即可求得OP的值，进而得到PQ的值. 12．【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故答案为：C． 【分析】把点B的坐标代入y=ax2+bx+c，可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，代入a+3b+2c结合抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，由两点间的距离公式求出，，再分当时， 当时，两种情况根据勾股定理求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证明，由相似三角形的对应边成比例可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 13．【答案】相交 【解析】【解答】解：∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵圆心到直线的距离为3，， ∴直线与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【分析】求出⊙O的半径，进而根据直线与圆的位置关系作答即可. 14．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：连接，如图所示， ∵与相切于点， ∴， ∴∠PCO=90°， ∵， ∴， ∴（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）， 故答案为：． 【分析】连接，由切线的性质可得∠PCO=90°，由直角三角形两锐角互余可求得的度数，最后由圆周角定理即可得解. 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵，分别切于点A，B， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴的周长为：， 故答案为：． 【分析】 本题考查了切线长定理。根据切线长定理可得，，，求出的周长为即可． 16．【答案】12 【解析】【解答】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 【分析】根据切线长定理，得到AD=AE，CE=CF，BD=BF，进而推出△ABC的周长等于2(AD+BC)，即可得出结果. 17．【答案】 【解析】【解答】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点， ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 【分析】本题考查圆的基本性质（圆心是弦的垂直平分线的交点）及勾股定理的应用。在网格图中，要确定圆弧所在圆的半径，需先找到圆心——圆的圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。因此先分别作出弦和弦的垂直平分线，两条线的交点即为圆心。以为圆心，为半径（为圆心到圆上点的距离），利用网格边长为1，通过勾股定理计算，化简后可得圆的半径。 18．【答案】7 【解析】【解答】解：连接AP，如图， 当y＝0时，，解得A（−8，0），B（8，0）， ∵Q是线段PB的中点， ∴OQ为△ABP的中位线， ∴OQ＝AP， 当AP最大时，OQ最大， 连接AC，延长AC交圆于P时，PA最大， ∵， ∴AP的最大值＝10+4＝14， ∴线段OQ的最大值为7． 故答案为7． 【分析】连接AP，先求出A、B坐标，易得OQ为△ABP的中位线，可得OQ＝AP，当AP最大时，OQ最大，连接AC，延长AC交圆于P时，PA最大，由勾股定理求出AC=10，可得AP的最大值＝AC+ ⊙C半径 ，继而得解. 19．【答案】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． 【解析】【分析】(1)由切线长定理可知：AF=AE，BF=BD，CD=CE，设AF=AE=x，则BF=BD=5-x，EC=DC=6-x，根据BD+DC=BC=7，列方程求解即可； (2)先计算三角形的半周长s，再利用S△ABC=s·r，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出OD的长. 20．【答案】（1）8 （2）证明：如图，连结OD，过点 E 作 EH⊥AD于点H，则∠EHA=∠EHD=90°. ∵四边形ABCD 是正方形，EF⊥AB， ∴∠FAH=90°，∠EFA=90°， ∴四边形 AFEH 是矩形， ∴EH=AF=8，AH=EF=4， ∴HD=AD-AH=6. 在 Rt△EHD 中，由勾股定理，得 ED = ∴AD=ED. 又∵OA=OE，OD=OD， ∴△OAD≌△OED(SSS)， ∴∠OED=∠OAD=90°. 又∵OE 是⊙O的半径， ∴DG 是⊙O的切线 【解析】【解答】解：(1)如图，连结OE. ∵四边形ABCD 是正方形，CD=10， ∴AB=AD=CD=10. ∵AB为⊙O 的直径，∴OA=OE=5. ∵EF⊥AB，EF=4， ∴AF=OA+OF=8. 故答案为：8. 【分析】（1）连结OE，根据正方形的性质，利用勾股定理求出OF长，然后根据线段的和差解答即可； （2）连结OD，过点 E 作 EH⊥AD于点H，则∠EHA=∠EHD=90°，即可得到AFEH 是矩形，然后根据勾股定理求出ED长，然后根据SSS得到△OAD≌△OED，即可得到∠OED=∠OAD=90°，证明结论即可. 21．【答案】（1）证明：如图， 连接OA， ∵AE⊥CD， ∴∠DAE+∠ADE=90°. ∵DA平分∠BDE， ∴∠ADE=∠ADO， 又∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ADO， ∴∠DAE+∠OAD=90°， ∴OA⊥AE， ∴ AE是⊙O切线 （2）解：如图， 取CD中点F， 连接OF， ∴OF⊥CD于点F. ∴四边形AEFO是矩形， ∵CD=8， ∴DF = FC = 4. 在Rt△OFD中， 在Rt△AED中，AE=2 ， ED=EF﹣DF =OA-DF=OD-DF=6-4=2， ∴AD的长是 【解析】【分析】(1)连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题； (2)取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果. 22．【答案】（1）解：在 Rt△ABC 中，∵∠ACB =90°，CA=3，CB=4， ∴AB 边上的高为 ∵直线 AB 与⊙C 相离， ∴0<r<2.4， （2）解：∵直线 AB 与⊙C 相切，∴r=2.4， （3）解：∵直线 AB 与⊙C 相交，∴r>2.4. 【解析】【分析】(1)先根据勾股定理求出AB=5，再利用三角形的面积公式求出圆心C到直线AB的距离，最后根据直线与圆的位置关系，即可得出结论； (2)根据直线与圆的位置关系，即可得出结论； (3)根据直线与圆的位置关系，即可得出结论. 23．【答案】（1）证明：如图，连结 BO 并延长，交AD 于点 H，连结OD. ∵AB=BD，OA=OD， ∴ BO 垂直平分AD. ∴∠BHD=90°. ∵ BE 为⊙O 的切线，OB 为⊙O 的半径， ∴OB⊥BE. ∴∠OBE=90°. ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC=90°. ∴ ∠EBH =∠BHD =∠HDE =90°. ∴ 四边形 BEDH 为矩形. ∴∠E=90°. ∴ DE⊥BE. （2）解：∵ 四边形BEDH 为矩形， ∴DH=BE=5. 在Rt△BDH 中， ∵∠BHD=90°，BD=AB=5 DH=5， 设⊙O 的半径为r，则 OD=r. 在 Rt△ODH 中，由勾股定理，得 即 解得 ∴ ⊙O的半径为3 【解析】【分析】 (1)首先利用切线性质及圆内接四边形的性质，结合AB=BD的条件，通过构造辅助线证明四边形BHDE为矩形，从而得到垂直关系； (2) 首先根据矩形的性质得到DH的长，然后在Rt△BDH中利用勾股定理和圆的性质建立方程求解半径，结合AB的长度求出BH，再通过圆心O的位置建立方程求解半径. 24．【答案】（1）解：（1）①如图1，取AC的中点H， ∵， ∴点H是的外接圆圆心． ∵，，， ∴ ， ∴的外接圆半径为； ②如图2，过点O作于点E，于点F，于点G， 则． ， ∴四边形OEBF是正方形， 设半径为r，则， 是的内切圆，，， ∴，， ∴.， 在中，， ， 解得或(不符合题意舍去)， 内切圆的半径为l； （2）解：如图2，设半径为r，则，． 是的内切圆， . ， ， ， 解得， 的半径为． 【解析】【分析】（1）①取AC的中点H，根据三角形外接圆性质可得点H是的外接圆圆心，根据勾股定理可得AC，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案. ②过点O作于点E，于点F，于点G，则，根据正方形判定定理可得四边形OEBF是正方形，设半径为r，则，根据边之间的关系可得，，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. （2）设半径为r，则，，根据三角形内切圆性质可得，再根据正切定义建立方程，解方程即可求出答案. 25．【答案】（1）证明：如图所示： ∵，，∴，∴， 在中，，∴，∴，∴， ∴，∵于点H， ∴，∴，又∵AB是的直径，∴CB是的切线； （2）解：连接AE，DF， 在中，， 又∵，∴， ∴（AAS），∴，则， 在中于点H，∴弧BE=弧BF，，C ∴，∵， ∴，∴，∴，∵，∴， 在中，， ∵AB是的直径，∴， ∴，∴， ∴，∴． ∴， 半径为． 【解析】【分析】本题考查切线证明，全等三角形性质与判定，三角形相似性质与判定． （1）根据，，利用角的运算可推出，根据可得，利用等量代换可得：，再结合可求出 ，进而证明结论； （2）连接，，利用已知条件可证明，结合可得，，进而证明，利用相似三角形的性质可得：，代入数据可求出，在中利用勾股定理可求出，最后根据，代入数据可求出答案． 26．【答案】（1）证明：如图，连接，， 是的直径， ， ， 点为边的中点， ， ， ， ， ，即， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； （2）当点在线段上时，如图，过点作于点， 在中，， 设， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ，即， ； 当点在的延长线上时，如图，过点作于点， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，舍去， ，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，舍去， ； 综上所述，的长为或； 设，则， 如图，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 【解析】【分析】（1）连接OD，CD，由AC是⊙O的直径，可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质说明MC=MD，根据等腰三角形性质可得∠MDC=∠MCD，进而可得∠ODM=90°，再利用切线的判定定理证明； （2）①分点P在线段BC上和点P在CB的延长线上两种情况讨论；②设CP=n，含n的式子表示AP，利用面积法可得CQ•AP=AC•CP，求得CQ，再运用乘法公式和不等式性质可得64+n2≥16n，即可得出答案． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $