2026年中考数学一轮复习学案 21 与圆有关的计算

中考数学一轮复习学案 21 与圆有关的计算 ​ ​​ ■考点一　正多边形与圆► 1）正多边形的相关概念 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。 正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 2）正多边形的常用公式 （Rn为正多边形外接圆的半径） 边长：；周长：；边心距： ；面积： ； 内角度数：；外角/中心角度数：；边长、半径、边心距的关系： 。 注意：正多边形的内切圆与外接圆为同心圆. ■考点二　弧长、扇形面积、圆锥的相关计算► 1)设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 （1）弧长公式： ；（2）扇形面积公式： 或 ． （3）圆锥侧面积公式：S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） （4）圆锥全面积公式：S圆锥全=πrl+πr2（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。 ■考点三　不规则图形的面积的计算► 求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：割补法、等积变换法、图形变换法等。 一、选择题 1．如图，内接于，．若弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（　　） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 2．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（　　） A．3 B． C． D． 5．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（　　） A． B． C． D． 6．如果圆锥的母线长为，高为，那么这个圆锥的侧面积为（　　） A． B．10 C．20 D． 7．如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面．若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，圆锥的高与母线夹角为，则它的侧面展开图的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ） A． B． C． D． 10．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　） A． B． C． D．2 二、填空题 11．已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是　 　cm2. 12．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，点是正六边形的中心，则的长为　 　． 13．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径，母线．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形围成圆锥时，，恰好重合，则的大小是　 　． 14．如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留） 15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为　 　． 16．如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为　 　． 三、解答题 17．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． （1）求证：是的角平分线； （2）若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 18．如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积． 19．如图①，圆锥的母线长l=16cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②所示的方式放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ=270°.求： （1）此圆锥的底面半径. （2）此圆锥的全面积. 20．如图，在中，，以腰为直径画半圆O，分别交于点D，E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分弓形的面积． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【分析】连接，，由题意可知：，根据正六边形性质可得∠BOC，根据等腰三角形三线合一性质可得∠BOM，再根据含30°角的直角三角形性质可得BM，再根据勾股定理即可求出答案. 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵如图是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面，且，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：B． 【分析】 根据扇形的面积公式 ，结合，计算即可． 8．【答案】C 【解析】【解答】解：设半径，圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， ∵在Rt△PBC中，∠BPC=30°， ， 根据题意得， 解得， 即它的侧面展开图的圆心角的度数为， 故答案为：C． 【分析】设半径，圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为，利用含30度的直角三角形的性质得到，利用圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合 扇形的半径等于圆锥的母线长及弧长公式“”建立方程，求解可得答案. 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】12π 【解析】【解答】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 【分析】根据圆锥的侧面积公式πrl进行计算即可． 12．【答案】 【解析】【解答】解：由题知，， ， ， 作于点， ，， ， ， ， 故答案为：． 【分析】根据正多边形性质求得的度数，，由等腰三角形的性质“等边对等角”和三角形内角和等于180°可求得∠ADB=∠ABF的度数，过点A作于点，根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据30度所对直角边等于斜边一半得=AF求得AM的值，再用勾股定理求得的值，再根据线段的和差BF=BM+FM即可求解． 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆直径， ∴底面周长为：， ∵母线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 【分析】求出底面周长，再根据弧长公式建立方程，解方程即可求出答案. 14．【答案】 【解析】【解答】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为，矩形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 故答案为； 【分析】连接，先根据矩形的性质结合圆周角定理得到是的直径，再根据勾股定理求出BD，从而即可得到半径，再根据圆的面积公式结合矩形的面积得到的面积为，矩形的面积为，进而相减即可求解。 15．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接， 正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ， ∴是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为4，， ， ， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的边长为4和位似比求出，然后利用勾股定理求出的长度，最后即可得出四边形的外接圆半径的长度。 16．【答案】6 【解析】【解答】解：如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接 ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为的长度 ∵是等边三角形，， ∴ ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用，代值计算即可求出答案. 17．【答案】（1）证明：连接， ∵直线与相切， ∴． ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：①设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得； ②在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴阴影总分的面积为． 【解析】【分析】(1)连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，进而证明OD//AC，得到∠CAD=∠ODA，根据等边对等角得到∠OAD=∠ODA，进而得到∠CAD=∠OAD，即可证明AD是∠BAC的角平分线； (2)①设OA=OD=r，根据30度角的性质得到OB=2r，AB=2AC=6，可得3r=6，求解即可； ②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积. 18．【答案】解：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D， ∵⊙O是正三角形ABC的外接圆， ∴∠AOB= =120°， ∵OA=OB， ∴∠AOD=∠BOD=60°， 在Rt△ADO中，AO=R，AD=R×sin60°= R，OD=Rcos60°= R， ∵OD⊥AB， ∴AB=2AD= R， ∴正△ABC的周长是3AB=3 R；面积是3× AB×OD=3× × R× R= R2； 如图2，连接OA、OB、OD， ∵⊙O是正方形ABCD的外接圆， ∴∠COD= =90°， ∵OD=OC=R，由勾股定理得；CD= = R， ∴正方形ABCD的周长为4× R=4 R，面积为 R× R=2R2． 【解析】【分析】 如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D， 利用正多边形和圆的性质，可得出∠AOD=60°，由OA=R，利用解直角三角形分别求出AD、OD，即可求出AB的长，继而可求出△ABC的周长，再由△ABC的面积=3×△AOB的面积，即可求解；如图2， 连接OA、OB、OD，利用正方形的性质，可知∠COD=90°，OC=OD=R，利用勾股定理求出CD，然后求出正方形ABCD的周长和面积。 19．【答案】（1）解：由 题 意， 得 3 × 2πr = ∴r=4cm. ∴ 此圆锥的底面半径为4 cm （2）解：此圆锥的全面积 2π×4×16=80π(cm2) 【解析】【分析】(1)根据题意可求出圆锥的底面周长，故可求出圆锥的底面半径； (2)根据圆锥的表面积等于侧面积与底面积的和即可求解. 20．【答案】（1）解：如图，连接 为直径， ， ， ， 弧弧， ； （2）解：如图，连接，过点作于点， ， ， ，， 为等边三角形， ， 又， 为等边三角形， ，，， ． ​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，再根据等边对等角可得，再根据弧与弦之间的关系即可求出答案. （2）连接，过点作于点，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，，再根据，结合三角形面积即可求出答案. （1）解：如图，连接， 为直径， ， ， ， 弧弧， ； （2）解：如图，连接，过点作于点， ， ， ，， 为等边三角形， ， 又， 为等边三角形， ，，， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $