专题10 分式方程相关计算（计算题专项训练）数学北师大版新教材八年级下册

专题10 分式方程相关计算（计算题专项训练） 【适用版本：北师大版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 解分式方程 解分式方程的核心是“去分母转化为整式方程”，关键在于验根（避免增根），以下是步骤： 1. 找最简公分母：先对所有分母因式分解，最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积（含常数项）。 2. 去分母，化整式方程：方程两边同时乘以最简公分母（每一项都要乘，不含分母的项也需乘），消去分母。 3. 解整式方程：按一元一次方程（或二次方程）的解法求解，去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 4. 验根：将解得的根代入最简公分母，若公分母为0，则是增根（舍去）；若不为0，则是原方程的解。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．解分式方程： （1）； （2）． 2．解分式方程： （1）； （2）． 3．解分式方程： （1）； （2）． 4．解方程： （1）； （2）． 5．解分式方程： （1）； （2）． 6．解分式方程： （1）； （2）． 7．解方程 （1）； （2）． 8．解方程： （1）； （2）． 9．解方程： （1）； （2）． 10．解方程： （1）； （2）． 训练2 已知分式方程的增根求值 1. 确定增根的可能值：先对原方程分母因式分解，令最简公分母为0，解出的根即为增根的可能值（注意：增根需满足原方程分母为0，而非仅公分母为0）。 2. 将增根代入整式方程：把原方程两边乘最简公分母，转化为整式方程，再将第一步求出的增根代入整式方程，得到关于参数的一元一次方程。 3. 解参数方程，得出结果：解关于参数的方程，即可求出参数的值（注意：需验证参数值是否使原方程有增根，避免多解或无解情况）。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的方程有增根，试求k的值． 2．若关于x的方程的解是增根，求a的值． 3．已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值． 4．解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． 5．已知关于x的分式方程有增根，求m的值． 6．已知关于x的方程． （1）当此方程的解为x＝1时，求k的值； （2）当此方程会产生增根时，求k的值． 7．已知关于x的分式方程． （1）当a＝1时，求该方程的解； （2）若该方程有增根，求a的值． 8．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是x＝2，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值． 9．已知关于x的方程． （1）当m取何值时，此方程的解为x＝3？ （2）当m取何值时，此方程会产生增根？ 10．已知关于x的分式方程． （1）若方程的根为x＝4，求m的值； （2）若方程有增根，求m的值． 训练3 已知分式方程无解求值 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 已知分式方程无解求参数值，核心是抓住“无解的两种核心情况”，按以下步骤逐步分析： 首先，把分式方程两边同时乘最简公分母，转化为整式方程（注意每一项都要乘，不含分母的项也不能漏）；然后，令最简公分母为0，求出可能的增根（这些根会让原分式方程分母为0，必须排除）。 接下来分两种情况讨论：第一种是“整式方程有解，但所有解都是增根”——把求出的增根代入整式方程，解出参数值，再验证这些参数值是否让整式方程的所有解都成为增根；第二种是“整式方程本身无解”——如果整式方程是一次方程，当x的系数为0且常数项不为0时无解；如果是二次方程，当判别式小于0时无解。 最后，把两种情况求出的参数值汇总，代入原分式方程验证，确保确实无解，最终确定参数的取值。 方法指导 1．若关于x的分式方程无解，求m的值． 2．已知关于x的分式方程无解，求a的值． 3．若关于x的方程无解，求m的值． 4．求当a为何值时，关于x的方程无解． 5．若关于x的方程无解，求n的值． 6．已知关于x的分式方程，回答下列问题： （1）原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得　 ． （2）若原分式方程无解，求a的值． 7．已知关于x的分式方程． （1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求m的值． 8．关于x的方程． （1）当k＝3时，求该方程的解； （2）若该方程无解，求k的值． 9．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 10．已知关于x的分式方程． （1）已知m＝2，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求m的值． 训练4 已知分式方程的解正负情况求取值范围 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1. 去分母，转化为整式方程：方程两边乘最简公分母（每一项都要乘），消去分母，得到关于 x 的整式方程（含参数），标注最简公分母。 2. 求整式方程的解：解整式方程，用参数表示出 x（注意：若整式方程是一次方程，需保证系数不为0，否则可能无解）。 3. 根据“解的正负”列不等式：若要求解为正数，则 x > 0；若要求解为负数，则 x < 0，列出关于参数的不等式。 4. 结合“分母不为0”补全条件：分式方程的解必须使原方程所有分母不为0，即解不能是增根，补充不等式，最终组成不等式组求解。 1．已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围． 2．关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围是什么？ 3．若分式方程的解是正数，求m的取值范围． 4．关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 5．若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围． 6．关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 7．已知分式方程1的解为非负数，求m的取值范围． 8．若关于x的分式方程2的解是非负数，求a的取值范围． 9．已知关于x的分式方程1的解为负数，求k的取值范围． 10．当m为何值时，关于x的方程的解为非正数？ 训练5 根据分式方程的整数解求值 1. 去分母，转化为整式方程：方程两边乘最简公分母（每一项都要乘），消去分母，得到关于 x 的整式方程（含参数），标注最简公分母。 2. 用参数表示整式方程的解：解整式方程，将 x 用参数表示（注意：若整式方程是一次方程，需保证系数不为0，否则可能无解或无数解）。 3. 根据“解为整数”分析参数的可能值：由 x 是整数，推导出参数的取值范围，再结合参数的隐含条件（如整数、实数等），列出参数的可能值。 4. 结合“分母不为0”排除无效参数：分式方程的解不能使原方程分母为0，即解不能是增根，补充条件排除不符合的参数值。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若分式方程的解为正整数，求整数m的值． 2．已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 3．若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，求所有满足条件的整数m的值之和． 4．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 5．若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，求符合条件的所有整数a的和． 6．已知关于x的方程． （1）若m＝4，解这个分式方程； （2）若原分式方程的解为整数，求整数m的值． 7．若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值为多少？ 8．若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和． 9．若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 10．关于x的一元一次不等式组的解集为x＞m，关于y的分式方程1有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 分式方程相关计算（计算题专项训练） 【适用版本：北师大版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 解分式方程 解分式方程的核心是“去分母转化为整式方程”，关键在于验根（避免增根），以下是步骤： 1. 找最简公分母：先对所有分母因式分解，最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积（含常数项）。 2. 去分母，化整式方程：方程两边同时乘以最简公分母（每一项都要乘，不含分母的项也需乘），消去分母。 3. 解整式方程：按一元一次方程（或二次方程）的解法求解，去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 4. 验根：将解得的根代入最简公分母，若公分母为0，则是增根（舍去）；若不为0，则是原方程的解。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．解分式方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 2x＝3（x+1）， 解得：x＝﹣3， 检验：当x＝﹣3时，x（x+1）＝﹣3×（﹣3+1）＝6≠0， ∴原分式方程的解为x＝﹣3； （2）， x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，（x﹣2）（x+2）＝（2﹣2）（2+2）＝0， ∴原分式方程无解． 2．解分式方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原方程去分母得2（x+3）+x2＝x（x+3）， 解得x＝6， 检验：当x＝6时，x（x+3）≠0， ∴x＝6是分式方程的解； （2）原方程去分母得x﹣2﹣（x+2）（x﹣2）＝﹣x2， 解得x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0， ∴x＝﹣2是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 3．解分式方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 方程两边同时乘（x+3）（x﹣3），得4x＝x﹣3， 解得：x＝﹣1， 检验：把x＝﹣1代入（x+3）（x﹣3）≠0， ∴分式方程的解为x＝﹣1； （2）， 方程两边同时乘（2x﹣3），得6﹣x＝4（2x﹣3）， 去括号，得6﹣x＝8x﹣12， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入2x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 4．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 方程可变形为， 方程两边同乘2﹣x，得x2﹣2+x＝（1﹣x）（2﹣x）， 解得x＝1， 检验：当x＝1时2﹣x≠0， 所以原分式方程的解是x＝1； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘x（x﹣1），得5＝4x﹣3（x﹣1）， 解得x＝2， 检验：当x＝2时x（x﹣1）≠0， 所以原分式方程的解是x＝2． 5．解分式方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 去分母得：3﹣2x＝﹣x﹣2（x﹣2）， 去括号得：3﹣2x＝﹣x﹣2x+4， 移项合并同类项得：x＝1， 检验：把x＝1代入x﹣2得：1﹣2＝﹣1≠0， ∴x＝1是原方程的解； （2）， 去分母得：7（x﹣1）﹣6x＝﹣3（x+1）， 去括号得：7x﹣7﹣6x＝﹣3x﹣3， 移项合并同类项得：4x＝4， 系数化为1得：x＝1， 检验：把x＝1代入x（x+1）（x﹣1）得：1×（1+1）×（1﹣1）＝0， ∴x＝1是原方程的增根， ∴原方程无解． 6．解分式方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 方程两边同时乘2x（x﹣2），得4（x﹣2）+2＝5（x﹣2）， 去括号，得4x﹣8+2＝5x﹣10， 解得：x＝4， 检验：把x＝4代入2x（x﹣2）≠0， ∴分式方程的解为x＝4； （2）， 方程两边同时乘（x﹣1），得（x+1）（x﹣1）﹣（x2﹣x+3）＝4（x﹣1）， 去括号，得x2﹣1﹣x2+x﹣3＝4x﹣4， 解得：x＝0， 检验：把x＝0代入x﹣1≠0， ∴分式方程的解为x＝0． 7．解方程 （1）； （2）． 【解答】解：（1）原分式方程去分母得：2（x+1）＝6（2x﹣1）﹣4（2x+1）， 去括号得：2x+2＝12x﹣6﹣8x﹣4， 移项、合并同类项得：﹣2x＝﹣12， 解得：x＝6， 检验：把x＝6代入得：2（2x+1）（2x﹣1）≠0， 所以x＝6是分式方程的解； （2）原分式方程去分母得：x﹣3+2（x+3）＝12， 去括号得：x﹣3+2x+6＝12， 移项，合并同类项得：3x＝9， 系数化为1得：x＝3， 经检验：x＝3不是原方程的解， ∴原分式方程无解． 8．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， x﹣5＝4（2x﹣3）， x﹣5＝8x﹣12， ﹣7x＝﹣7， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解； （2）， （x+2）（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝16， x2+4x+4﹣x2+4＝16， 4x＝8， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0， ∴x＝2是增根， ∴原方程无解． 9．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣4＝x2﹣1，即x2+2x+1﹣4＝x2﹣1， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入（x+1）（x﹣1）＝0， ∴x＝1是分式方程的增根， ∴分式方程无解； （2），即， 方程两边同时乘（x﹣2）2，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4， 去括号，得x2﹣2x﹣x2+4x﹣4＝4， 解得：x＝4， 检验：把x＝4代入（x﹣2）2≠0， ∴分式方程的解为x＝4． 10．解方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 去分母得：（2x﹣1）﹣3x＝﹣2， 去括号得：2x﹣1﹣3x＝﹣2， 移项合并得：x＝1， 经检验x＝1是原分式方程的解； （2）， 去分母得：4x﹣3（x﹣1）＝2（x+1）， 去括号得：4x﹣3x+3＝2x+2， 移项合并得：﹣x＝﹣1， 解得：x＝1， 经检验x＝1是原分式方程的增根， 所以方程无解． 训练2 已知分式方程的增根求值 1. 确定增根的可能值：先对原方程分母因式分解，令最简公分母为0，解出的根即为增根的可能值（注意：增根需满足原方程分母为0，而非仅公分母为0）。 2. 将增根代入整式方程：把原方程两边乘最简公分母，转化为整式方程，再将第一步求出的增根代入整式方程，得到关于参数的一元一次方程。 3. 解参数方程，得出结果：解关于参数的方程，即可求出参数的值（注意：需验证参数值是否使原方程有增根，避免多解或无解情况）。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若关于x的方程有增根，试求k的值． 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值． 【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得 k+2（x﹣3）＝4﹣x， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0，即增根为x＝3， 把x＝3代入整式方程，得k＝1． 2．若关于x的方程的解是增根，求a的值． 【分析】解决分式方程增根问题的步骤①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．据此解答即可． 【解答】解：， 在方程两边同乘以（x﹣3）得：x﹣2a﹣2a＝2（x﹣3）， ∵分式方程的解是增根， ∴x﹣3＝0， 解得：x＝3， 把x＝3代入x﹣2a﹣2a＝2（x﹣3）得：3﹣2a﹣2a＝2×（3﹣3）， 解得：， ∴a的值为． 3．已知关于x的分式方程，若方程有增根，求k的值． 【分析】按解分式方程的步骤把分式方程化为整式方程，整理得，根据分式方程有增根，得出x＝1或x＝﹣1，并把x＝1，x＝﹣1分别代入中，进行计算，即可求得k的值． 【解答】解：分式方程两边同时乘上x2﹣1，得4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 4x﹣4+3x+3＝k， 解得， 由题知，该分式方程有增根，即x2﹣1＝0， 解得x＝1或x＝﹣1， 当x＝1时，得，解得k＝6， 当x＝﹣1时，得，解得k＝﹣8， 综上所述，k的值为6或﹣8． 4．解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【解答】解：， 去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2）， ∵分式方程会产生增根， ∴（x+2）（x﹣2）＝0， 解得：x＝﹣2或x＝2， 把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12， 解得：m＝6； 把x＝2代入整式方程得：8+2m＝0， 解得：m＝﹣4， 则m的值是﹣4或6． 5．已知关于x的分式方程有增根，求m的值． 【分析】将原方程去分母得3（x﹣1）+6（x+1）＝mx，然后将增根x＝1或x＝﹣1代入解得m的值即可． 【解答】解：原方程去分母得：3（x﹣1）+6（x+1）＝mx， 去括号得：3x﹣3+6x+6＝mx， 整理得得：（m﹣9）x＝3， 由题意得，当x＝1或x＝﹣1时，该分式方程有增根， 当x＝1时， m﹣9＝3， 解得：m＝12， 当x＝﹣1时， 9﹣m＝3， 解得：m＝6， 综上，m的值为6或12． 6．已知关于x的方程． （1）当此方程的解为x＝1时，求k的值； （2）当此方程会产生增根时，求k的值． 【分析】（1）把x＝1代入方程计算即可求出解； （2）由分式方程有增根求出x的值，分式方程去分母后代入计算即可求出k的值． 【解答】解：（1）∵方程的解为x＝1， ∴1， 解得k； （2）分式方程去分母得：x（x+2）﹣2（x2﹣4）＝2k， 由分式方程有增根，得到2（x2﹣4）＝0，即x＝±2， 把x＝2代入方程得：8＝2k，解得：k＝4， 把x＝﹣2代入方程得：k＝0， 故k的值为0或4． 7．已知关于x的分式方程． （1）当a＝1时，求该方程的解； （2）若该方程有增根，求a的值． 【分析】（1）将a＝1代入方程，可得方程为，然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，检验x是否是增根； （2）因为方程有增根，所以x＝1，去分母、去括号、移项、合并同类项得﹣x﹣a＝﹣4，即x＝4﹣a，即4﹣a＝1，得a＝3． 【解答】解：（1）当a＝1时，原方程化为， 去分母得：2x﹣1+1＝3（x﹣1）， 解这个整式方程，得x＝3， 检验：把x＝3代入x﹣1得：3﹣1≠0， 所以，x＝3是原方程的解； （2）原方程去分母，得2x﹣a+1＝3x﹣3， 即﹣x﹣a＝﹣4， 因为该方程有增根， 所以增根为x＝1， 所以﹣1﹣a＝﹣4， 所以a＝3． 8．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是x＝2，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值． 【分析】（1）把x＝2代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到x＝0或2，代入整式方程计算即可求出a的值． 【解答】解：（1）∵分式方程的根是x＝2， ∴1， 解得a＝18， ∴a的值为18； （2）去分母得x（x+a）﹣6（x+3）＝x（x+3）， ∵分式方程有增根， ∴x＝0或﹣3， 当x＝0时，0﹣18＝0， 此时不存在a的值， 当x＝﹣3时，﹣3（﹣3+a）﹣0＝0， ∴a＝3， ∴a的值为3． 9．已知关于x的方程． （1）当m取何值时，此方程的解为x＝3？ （2）当m取何值时，此方程会产生增根？ 【分析】（1）将x＝3代入分式方程计算即可； （2）将分式方程去分母转化成整式方程，将x＝2代入整式方程解出m值即可． 【解答】解：（1）将x＝3代入分式方程得：5， 解得m＝6； （2）去分母得x+2m＝5（3x﹣6）， 将x＝2代入整式方程得2+2m＝0， 即m＝﹣1． 所以当m＝﹣1时，此方程会产生增根． 10．已知关于x的分式方程． （1）若方程的根为x＝4，求m的值； （2）若方程有增根，求m的值． 【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案； （2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为x＝﹣2 或 x＝2，再通过计算即可得到答案． 【解答】解：（1）原方程整理得mx＝﹣8． 当方程的根为x＝4，则4m＝﹣8．得m＝﹣2； （2）若原分式方程有增根，则（x+2）（x﹣2）＝0．所以 x＝﹣2 或 x＝2． 当 x＝﹣2 时，﹣2m＝﹣8．得m＝4． 当 x＝2 时，2m＝﹣8．得m＝﹣4． 所以若原分式方程有增根，则m＝±4． 训练3 已知分式方程无解求值 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 已知分式方程无解求参数值，核心是抓住“无解的两种核心情况”，按以下步骤逐步分析： 首先，把分式方程两边同时乘最简公分母，转化为整式方程（注意每一项都要乘，不含分母的项也不能漏）；然后，令最简公分母为0，求出可能的增根（这些根会让原分式方程分母为0，必须排除）。 接下来分两种情况讨论：第一种是“整式方程有解，但所有解都是增根”——把求出的增根代入整式方程，解出参数值，再验证这些参数值是否让整式方程的所有解都成为增根；第二种是“整式方程本身无解”——如果整式方程是一次方程，当x的系数为0且常数项不为0时无解；如果是二次方程，当判别式小于0时无解。 最后，把两种情况求出的参数值汇总，代入原分式方程验证，确保确实无解，最终确定参数的取值。 方法指导 1．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程的解求出m的值即可． 【解答】解：解分式方程得，x， ∵上述分式方程无解， ∴x2﹣1＝0，即x＝1或x＝﹣1， ∴1或1， 解得m＝2或m＝﹣4． 2．已知关于x的分式方程无解，求a的值． 【分析】根据题意得出方程无解时x的值，注意多种情况，依次代入得出a的值． 【解答】解：去分母得ax﹣2a+x+1＝0， ∵关于x的分式方程0无解， ①x（x+1）＝0， 解得：x＝﹣1，或x＝0， 当x＝﹣1时，ax﹣2a+x+1＝0，即﹣a﹣2a﹣1+1＝0， 解得：a＝0， 当x＝0时，﹣2a+1＝0， 解得：a； ②方程ax﹣2a+x+1＝0无解， 即（a+1）x＝2a﹣1无解， ∴a+1＝0，a＝﹣1． 故答案为：0、或﹣1． 3．若关于x的方程无解，求m的值． 【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得﹣1﹣m＝0或将x＝3代入整式方程即可求出m的值． 【解答】解：去分母得：3﹣2x﹣2﹣mx＝3﹣x， 整理得：（﹣1﹣m）x＝2， 当﹣1﹣m＝0，整式方程无解； 解得：m＝﹣1， 将x＝3代入整式方程得：3﹣6﹣2﹣3m＝0， 解得：m， 综上，m＝﹣1或． 4．求当a为何值时，关于x的方程无解． 【分析】将分式方程转化为整式方程后，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况，进行讨论求解即可． 【解答】解：， 去分母得：3（x+2）+ax＝3（x﹣2）， 整理得：ax＝﹣12， 当整式方程无解时：a＝0； 当分式方程有增根时：x+2＝0或x﹣2＝0， ∴x＝±2， 当x＝2时，a＝﹣6， 当x＝﹣2时，a＝6， 综上：a＝0或a＝±6． 5．若关于x的方程无解，求n的值． 【分析】解分式方程得出x（n﹣1）＝2，再分两种情况：当整式方程无解时，和增根两种情况求解即可． 【解答】解：原分式方程变形可得， ， ， 故﹣x＝﹣nx+2， x（n﹣1）＝2， 当整式方程无解时，n﹣1＝0，解得：n＝1， 当产生增根时，即x＝3时，3（n﹣1）＝2，解得：， ∴当方程无解时，n＝1或． 6．已知关于x的分式方程，回答下列问题： （1）原分式方程去分母后，整理成关于x的整式方程，得　（1﹣a）x＝a ． （2）若原分式方程无解，求a的值． 【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母，切记不要漏乘即可； （2）分式方程无解有两种情况：一是其化简成的整式方程（设为 Ax＝B）本身无解，即 A＝0 且 B≠0；二是整式方程的解是原分式方程的增根． 【解答】解：（1）， 整理得：（1﹣a）x＝a． 故答案为：（1﹣a）x＝a； （2）当1﹣a＝0， 即a＝1时，原分式方程无解； 当1﹣a≠0时，由原分式方程无解， 得x﹣1＝0， 解得：x＝1， 把x＝1代入（1﹣a）x＝a， 解得：， 综上所述，若原分式方程无解，a的值为1或． 7．已知关于x的分式方程． （1）当m＝﹣1时，求这个分式方程的解； （2）若此分式方程无解，求m的值． 【分析】（1）把m＝﹣1代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【解答】解：（1）把m＝﹣1代入分式方程得：2， 整理得：2， 去分母得：2＝x﹣2（1﹣x）， 去括号得：2＝x﹣2+2x， 移项、合并同类项得：3x＝4， 解得：x， 检验：把x代入得：1﹣x0， ∴x是分式方程的解； （2）分式方程变形得：2， 去分母得：﹣2＝mx﹣2（x﹣1），即（m﹣2）x＝﹣4， 若m﹣2＝0，即m＝2时，此方程无解，即分式方程无解； 若m﹣2≠0，即m≠2时， ∵分式方程无解， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：m＝﹣2， 综上所述，m＝2或﹣2． 8．关于x的方程． （1）当k＝3时，求该方程的解； （2）若该方程无解，求k的值． 【分析】（1）把k＝3代入关于x的方程，然后按照解分式方程的一般步骤解方程，求出x，再进行检验即可； （2）先根据解分式方程的一般步骤，把方程化成整式方程，再根据该方程无解求出x，然后把x的值代入整式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）当k＝3时，该方程为：， 1+2（x﹣2）＝﹣（1﹣3x）， 1+2x﹣4＝﹣1+3x， 2x﹣3x＝﹣1+4﹣1， ﹣x＝2， x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，x﹣2≠0， ∴原方程的解为：x＝﹣2； （2）， 1+2（x﹣2）＝﹣（1﹣kx）， 1+2x﹣4＝﹣1+kx， 2x﹣kx＝4﹣1﹣1， （2﹣k）x＝2， ∵该方程无解， ∴x﹣2＝0，2﹣k＝0， 解得：x＝2，k＝2， ∴2（2﹣k）＝2， 2﹣k＝1， k＝1， ∴若该方程无解，k＝1或2 9．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． （1）他把“◆”猜成5，请你解方程：； （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【分析】（1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x＝3，代入整式方程计算即可求出a的值． 【解答】解：（1）方程整理得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+5， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入得：x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝1； （2）设原题中“◆”是a， 方程变形得：2， 去分母得：x＝2（x﹣3）+a， 由分式方程无解，得到x＝3， 把x＝3代入整式方程得：a＝3． 10．已知关于x的分式方程． （1）已知m＝2，求方程的解； （2）若该分式方程无解，试求m的值． 【分析】（1）先把m＝2代入分式方程，再方程两边都乘（x+2）（x﹣1）得出（x+2）+2x＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘（x+2）（x﹣1）得出（x+2）+mx＝2（x﹣1）①，整理后得出（m﹣1）x＝﹣4②，再分别把x＝﹣2，x＝1，代入①求出m，由②得出当m﹣1＝0时，方程无解，最后代入答案即可． 【解答】解：（1）把m＝2代入方程得： ． 方程两边都乘（x+2）（x﹣1），得 （x+2）+2x＝2（x﹣1）， 解得：x＝﹣4， 检验：当x＝﹣4时，（x+2）（x﹣1）≠0， 所以x＝﹣4是分式方程的解， 即当m＝2时，方程的解是x＝﹣4； （2）， 方程两边都乘（x+2）（x﹣1），得 （x+2）+mx＝2（x﹣1）①， 整理得：（m﹣1）x＝﹣4②， 有三种情况： 第一种情况：当x+2＝0，即x＝﹣2时，分式方程无解， 把x＝﹣2代入①，得﹣2m＝﹣6， 解得：m＝3； 第二种情况：当x﹣1＝0，即x＝1时，分式方程无解， 把x＝1代入①，得3+m＝0， 解得：m＝﹣3； 第三种情况：②（m﹣1）x＝﹣4， 当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是3或﹣3或1． 训练4 已知分式方程的解正负情况求取值范围 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1. 去分母，转化为整式方程：方程两边乘最简公分母（每一项都要乘），消去分母，得到关于 x 的整式方程（含参数），标注最简公分母。 2. 求整式方程的解：解整式方程，用参数表示出 x（注意：若整式方程是一次方程，需保证系数不为0，否则可能无解）。 3. 根据“解的正负”列不等式：若要求解为正数，则 x > 0；若要求解为负数，则 x < 0，列出关于参数的不等式。 4. 结合“分母不为0”补全条件：分式方程的解必须使原方程所有分母不为0，即解不能是增根，补充不等式，最终组成不等式组求解。 1．已知关于x的分式方程的解是正数，求m的取值范围． 【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可． 【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）＝﹣2， 解得x＝4﹣m． ∵x为正数， ∴4﹣m＞0，解得m＜4， ∵x≠1， ∴4﹣m≠1，即m≠3， ∴m的取值范围是m＜4且m≠3． 2．关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围是什么？ 【分析】根据分式方程的解法求出x的表达式，然后利用题意列出关于a的不等式即可求出答案． 【解答】解：∵， ∴1﹣ax+27＝﹣8（x﹣4）， ∴， ∵且， 解得：a＜8且a≠7． 3．若分式方程的解是正数，求m的取值范围． 【分析】先把方程化为整式方程，解整式方程得到x，再利用原方程的解为正数得到0且1，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：去分母得2（x﹣1）+3（x+1）＝m， 解得x， ∵原方程的解为正数， ∴x＞0且x≠1， 即0且1， ∴m＞1且m≠6． 4．关于x的方程的解大于，求m的取值范围． 【分析】先化简分式方程，得出用含m的代数式表示x，再结合关于x的方程的解大于，进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵， ∴x+m＝2﹣x， 则， ∵关于x的方程的解大于， ∴， ∵x≠2， ∴， ∴m≠﹣2， 解得m＜﹣1且m≠﹣2， ∴m的取值范围为m＜﹣1且m≠﹣2 5．若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，令解大于1求出m的范围即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2）， 得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m， 去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m， 解方程，得x＝m+1， 检验：当m+1≠2，m+1≠﹣2， 即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解， 根据题意可得，m+1＞1， ∴m＞0且m≠1． 故m的取值范围为：m＞0且m≠1． 6．关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【分析】根据题意解分式方程，根据分式有意义的条件以及解为非负数，列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【解答】解：去分母，得x+m＝4x﹣2， 移项、合并同类项，得3x＝m+2， 解得． ∵x为非负数且要保证分式方程成立，则2x﹣1≠0， ∴且， 解得m≥﹣2且， ∴m的取值范围为m≥﹣2且． 7．已知分式方程1的解为非负数，求m的取值范围． 【分析】根据解分式方程的步骤，用含m的式子表示出x，根据x为非负数，求出m的取值范围即可． 【解答】解：去分母，得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m， 解得：x＝m﹣2， ∵x为非负数， ∴m﹣2≥0， 即m≥2， ∵x≠1，m﹣2≠1，m≠3， x≠﹣2，m﹣2≠﹣2，m≠0， ∴m的取值范围为m≥2且m≠3． 8．若关于x的分式方程2的解是非负数，求a的取值范围． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据x为非负数求出a的范围即可． 【解答】解：分式方程去分母得：2x＝3a﹣4x+4， 解得：x， 根据题意得：0，且1， 解得：a，且a． 9．已知关于x的分式方程1的解为负数，求k的取值范围． 【分析】通过去分母将分式方程化为整式方程，解一元一次不等式即可求k的取值范围． 【解答】解：去分母，得 k（x﹣1）+（x+k）（x+1）＝（x+1）（x﹣1）， 整理，得（2k+1）x＝﹣1， ∵方程1的解为负数， ∴2k+1＞0且x≠±1， 即2k+1≠1且2k+1≠﹣1， 解得k且k≠0， 即k的取值范围为k且k≠0． 10．当m为何值时，关于x的方程的解为非正数？ 【分析】根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据解整式方程，可得方程的解，根据方程的解是非正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【解答】解：方程得两边都乘以（x﹣2）（x+1），得 m＝x（x﹣2）﹣（x﹣1）（x+1）． 化简，得 m＝﹣2x+1．解得x， 由方程的解为非正数，得 0．解得m≤1． ∵x≠﹣1，x≠2， ∴m≠﹣3，m≠0 ∴当m≤1且m≠﹣3，m≠0时，关于x的方程的解为非正数． 训练5 根据分式方程的整数解求值 1. 去分母，转化为整式方程：方程两边乘最简公分母（每一项都要乘），消去分母，得到关于 x 的整式方程（含参数），标注最简公分母。 2. 用参数表示整式方程的解：解整式方程，将 x 用参数表示（注意：若整式方程是一次方程，需保证系数不为0，否则可能无解或无数解）。 3. 根据“解为整数”分析参数的可能值：由 x 是整数，推导出参数的取值范围，再结合参数的隐含条件（如整数、实数等），列出参数的可能值。 4. 结合“分母不为0”排除无效参数：分式方程的解不能使原方程分母为0，即解不能是增根，补充条件排除不符合的参数值。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．若分式方程的解为正整数，求整数m的值． 【分析】先解含有字母参数m的分式方程，求出x，再根据分式方程的解为正整数，列出关于m的方程，解方程求出m，再判断m＝1时分式方程有无意义，从而求出答案即可． 【解答】解：， ﹣mx＝3（x﹣1）﹣x， ﹣mx＝3x﹣3﹣x， ﹣mx＝2x﹣3， 2x+mx＝3， （2+m）x＝3， ， ∵分式方程的解为正整数， ∴2+m＝1或3， 解得：m＝﹣1或1， ∵当m＝1时，x﹣1＝0，分式无意义， ∴m≠1， ∴整数m的值为﹣1． 2．已知a是正整数，关于y的分式方程有非负整数解．求满足条件的所有正整数a的和． 【分析】先解关于y的分式方程，再根据分式方程有非负整数解，列出关于a的方程，解方程求出a，然后根据a是正整数，求出满足条件的所有正整数a的值，再求出它们的和即可． 【解答】解：， 1＝a+2（y﹣2）， 1＝a+2y﹣4， 2y＝4﹣a+1＝5﹣a， ， ∵分式方程有非负整数解， ∴且， ∴a≤5且a≠1， ∵a是正整数， ∴a＝5或3， ∴满足条件的所有正整数a的和为：5+3＝8． 3．若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，求所有满足条件的整数m的值之和． 【分析】先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【解答】解：分式方程可化为：m﹣x+3（x﹣3）＝﹣8， 解得：x， 由题意得：1﹣m为2的倍数， 不等式组可化为：， 由题意得不等式组的偶数解为：2，0， ∴﹣20， 解得：﹣11＜m≤﹣5， 满足条件的整数m的值为﹣9、﹣7、﹣5， 当m＝﹣5时，x＝3不合题意， ∴﹣7﹣9＝﹣16． 4．若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【分析】先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【解答】解：关于x的一元一次不等式组的解集为x≤5， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴4≤a＜10 ∴a＝4或5或6或7或8或9， 关于y的分式方程的解为， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为整数，即8﹣a＝0或2或4或6或8， ∴a＝8或6或4或2或0， ∵y﹣1≠0， ∴ ∴8﹣a≠2， ∴a≠6， ∴a＝8或4或2或0． ∵4≤a＜10， ∴符合条件的整数a有4，8． ∴4+8＝12． 5．若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，求符合条件的所有整数a的和． 【分析】解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出﹣3＜a≤1，解分式方程得出y，结合关于y的分式方程有整数解，得出a＝1，即可得解． 【解答】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解，小于4的连续3个整数时3、2、1， ∴04， 解得：﹣3＜a＜13， 解关于y的分式方程3得y， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴y≠1（分母不为0），即，解得a≠﹣2， ∴符合条件的a为1，4，7，10， ∴所有整数a的和为22． 6．已知关于x的方程． （1）若m＝4，解这个分式方程； （2）若原分式方程的解为整数，求整数m的值． 【分析】（1）把m＝4代入原方程进行计算即可解答； （2）先解分式方程，然后根据原分式方程的解为整数，以及分母不能为0进行计算即可． 【解答】解：（1）把m＝4代入方程中可得： ， 4（x﹣3）+x+3＝8， 解得：x， 检验：当x时，x2﹣9≠0， ∴x是原方程的根； （2）， m（x﹣3）+x+3＝m+4， 解得：x， ∴x4， ∵原分式方程的解为整数， ∴m+1＝±3或±1，且±3， ∴m＝2，﹣4，0或﹣2且m≠2，m， ∴整数m的值为：﹣4，0或﹣2． 7．若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值为多少？ 【分析】解分式方程，得xm+4，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值，注意当x≠3时，m≠3． 【解答】解：解分式方程，得xm+4， ∵x≠3， ∴m≠3， ∵分式方程有正整数解， ∴正数m的值是6或9． 8．若关于x的不等式组，有且仅有五个整数解，且关于x的分式方程3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和． 【分析】不等式组整理后，由题意确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，检验即可． 【解答】解：不等式组整理得：， 由不等式组有且仅有五个整数解，得到﹣10， 解得：﹣4≤a＜3，即整数a＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2， 分式方程去分母得：x+a﹣2＝3x﹣3， 解得：x， 当a＝﹣3时，x＝﹣1；a＝﹣1时，x＝0， 则满足题意a的值之和为﹣3﹣1＝﹣4． 9．若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【分析】先通过解不等式组和分式方程确定a的取值范围，再求得符合条件的a的值，最后求得此题的结果． 【解答】解：由题意得 解①得x≤5， 解②得x， ∴该不等式组的解集为x≤5， ∵该不等式组至少有2个整数解， ∴4， ∴解得a≤6， 解分式方程得， y， ∴0且2， ∴a≥1且a≠5， ∴a的取值范围为1≤a≤6且a≠5 ∴a可取整数为1，2，3，4，6， ∵是整数， ∴a＝1或a＝3， ∴1+3＝4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是4． 10．关于x的一元一次不等式组的解集为x＞m，关于y的分式方程1有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值． 【分析】先解关于x的一元一次不等式组的解集是x＞m，可得m≥﹣7．再解关于y的分式方程，可得y，因为该分式方程有非负整数解，所以可推断出整数m的值． 【解答】解：由x+2，得x＞﹣7， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＞m， ∴m≥﹣7， 分式方程1， ∴3y+4﹣y﹣2＝m﹣y， ∴y， 又∵关于y的分式方程1有负整数解且m为整数， ∴0且2， ∴m＜2且m≠﹣4， ∴﹣7≤m＜2且m≠﹣4， ∴符合条件的m的值为﹣7或﹣1． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $