专题 3.15 整式的乘除（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 3.15 整式的乘除（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 2 【知识点一】同底数幂的乘法与除法 2 ★【题型 1】同底数幂的乘法与除法基础计算 2 ★★【题型 2】同底数幂的乘法与除法混合运算 3 ★【题型 3】同底数幂的乘法与除法逆运算 3 【知识点二】单（多）项式的乘法 3 ★【题型 4】单（多）项式乘法基础运算 4 ★★【题型 5】化简求值：先化简整式，再代入数值计算 4 ★★【题型 6】几何应用：根据图形面积列出整式乘法表达式并化简。 4 【知识点三】乘法公式 6 ★★【题型 7】利用乘法公式进行运算 6 ★【题型 8】凑形应用：利用乘法公式简便计算。 6 ★【题型 9】变形求值：利用完全平方公式变形求值 6 ★【题型 10】几何背景：用图形面积解释乘法公式的几何意义 7 【知识点四】整式的除法 8 ★【题型 11】基础运算 8 ★【题型 12】化简求值：先化简再代入 9 二.综合培优题型精析 9 ★★【题型 13】乘法公式的综合运算 9 ★★【题型 14】整式运算与化求值综合 10 ★★【题型 15】整式运算与几何面积综合 10 ★★【题型 16】整式运算规律问题探究 12 三.中考模拟真题专练 14 （一）选择题（6题） 14 （二）填空题（6题） 15 （三）解答题（4题） 15 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】同底数幂的乘法与除法 运算法则 （1）同底数幂相乘法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （3）积的乘法运算法则：积的乘方等于乘方的积 （4）同底数幂相除运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 （5）零指数与负指数运算法则 ★【题型 1】同底数幂的乘法与除法基础计算 【例题1】（24-25七年级下·全国·单元测试）（）计算：； （）化简：． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东惠州·期末）计算：________． 【变式3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）计算： （1）； （2）． ★★【题型 2】同底数幂的乘法与除法混合运算 【例题2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知：，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·山东泰安·期末）已知，则下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南漯河·期末）若关于的方程组的解满足，则的值是___________． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． ★【题型 3】同底数幂的乘法与除法逆运算 【例题3】（25-26八年级上·河南开封·期中）已知，． （1）求的值． （2）求的值． 【变式1】（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知，，的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，，，则___________． 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【知识点二】单（多）项式的乘法 运算法则 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘； 单项式乘多项式：； 多项式乘多项式：。 ★【题型 4】单（多）项式乘法基础运算 【例题4】（25-26八年级上·广东江门·期中）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知多项式分解因式为，________，________． 【变式3】（25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 （1） （2） ★★【题型 5】化简求值：先化简整式，再代入数值计算 【例题5】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）若，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·月考）先化简，再求值： （1），其中，． （2）已知，求的值． ★★【题型 6】几何应用：根据图形面积列出整式乘法表达式并化简。 【例题6】（25-26七年级上·山西长治·期中）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． 【变式1】（25-26八年级上·天津西青·月考）下列各式，①；②；③；④能够表示图中阴影部分的面积的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是___________（用含x，y的代数式表示） 【变式3】（25-26八年级上·北京·月考）如图是某酒店的一层办公用房的平面结构示意图（长度单位：m），注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． （1）用含的式子分别表示会客室的面积为 ，会议厅的面积为 ． （2）如果，，会议厅比会客室大多少？ 【知识点三】乘法公式 ★★【题型 7】利用乘法公式进行运算 【例题7】（24-25六年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）计算： （1）____________． （2）____________． 【变式3】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）计算：． ★【题型 8】凑形应用：利用乘法公式简便计算。 【例题8】（25-26八年级上·吉林长春·期中）用简便算法计算 （1）； （2） 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·月考）运用简便方法计算正确的是（   ） A．103×103 B． C． D． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算的结果是__ ． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·月考）用简便算法计算： （1） （2） ★【题型 9】变形求值：利用完全平方公式变形求值 【例题9】（25-26八年级上·四川巴中·期中）已知，求下列式子的值： （1） （2） 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，则的值为（    ） A．31 B．25 C．19 D．15 【变式2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）一个长方形的长和宽分别为，若，则该长方形的面积为________． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）若已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． ★【题型 10】几何背景：用图形面积解释乘法公式的几何意义 【例题10】（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请用含a，b的代数式表示________，________； （2）写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； （3）利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【变式1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）一次综合实践课上，某同学用16张A类正方形卡片，9张B类正方形卡片和24张C类长方形卡片，无重叠无缝隙地拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期末）在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个． （1）请你补全完全平方公式的推导过程： ____________________________________； （2）如图，将边长为的正方形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分．请结合图形给出完全平方公式的几何解释． 【知识点四】整式的除法 运算法则 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除 多项式除以单项式：(ma+mb+mc)÷m=a+b+c ★【题型 11】基础运算 【例题11】（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算： （1） （2） 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）____________． （2）________________________． 【变式3】（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算：． ★【题型 12】化简求值：先化简再代入 【例题12】（25-26八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级上·云南昭通·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）若，代数式的值是____________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期中）（1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 13】乘法公式的综合运算 【例题13】（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． ★★【题型 14】整式运算与化求值综合 【例题14】（25-26八年级上·四川眉山·期末）先化简再求值：，其中 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．那么，在不超过2025的所有正整数中，最大的“和谐数”为__________． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·月考）若的积中不含x和项． （1）求的值； （2）先化简，再求值：． ★★【题型 15】整式运算与几何面积综合 【例题15】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图①是一个长为、宽为的长方形，其中，沿图中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形． （1）图①中大长方形的面积为_____； （2）观察图②，直接写出代数式之间的关系_____； （3）已知，，求的值； （4）两个正方形、如图③摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【变式1】（25-26八年级上·山西大同·月考）太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·月考）有两个正方形，将放在的内部得图1，将并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和54，则图2中大正方形的面积为______． 【变式3】（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． ★★【题型 16】整式运算规律问题探究 【例题16】（25-26八年级上·江苏南通·期中）【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下列两组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值），发现结果有个规律：两数和一定时．差的绝对值越小越大． ①，，，； ②，，，． 【验证】（1）设两个数分别为和，其中a为定值，．请用整式的乘法证明上述规律； 【运用】（2）请用上述规律解决问题： ①用20m长的绳子围成一个长方形，求这个长方形的最大面积； ②求的最大值． 【变式1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式2】（22-23七年级下·河北保定·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… （1）第5个等式是________； （2）根据上述规律猜想第n个等式是________（用含n的等式表示）． 【变式3】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n（，且n是整数），个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n（，且n是整数），其中一个两位数的个位数字为m（，且m是整数），则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 三.中考模拟真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东烟台·中考真题）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2016·山东泰安·一模）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川绵阳·三模）南宋杰出的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，摘录了如图所示的三角形数表，被称为杨辉三角，观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： …… 根据前面各式的规律，则的展开式中的系数是（   ） A．72 B．39 C． D． （2） 填空题（6题） 7．（2023·江苏·中考真题）计算：________． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）若，则______． 9．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是______（用含的代数式表示）． 10．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是_________． 11．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是______． 12．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则________． （3） 解答题（4题） 13．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，. 14．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 15．（2025·山西临汾·二模）计算： （1）； （2）． 16．（2025·河南郑州·三模）小伍提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． （1）举例验证：当，，则______；（请你补上空格所缺内容）； （2）推理证明：小陆同学做了如下的证明： 设， ，是连续的正整数， ． ， ______． 一定是正整数的平方数请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容； （3）类比探究： 小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方”，请证明该结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.15 整式的乘除（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】同底数幂的乘法与除法 1 ★【题型 1】同底数幂的乘法与除法基础计算 2 ★★【题型 2】同底数幂的乘法与除法混合运算 4 ★【题型 3】同底数幂的乘法与除法逆运算 6 【知识点二】单（多）项式的乘法 8 ★【题型 4】单（多）项式乘法基础运算 8 ★★【题型 5】化简求值：先化简整式，再代入数值计算 10 ★★【题型 6】几何应用：根据图形面积列出整式乘法表达式并化简。 12 【知识点三】乘法公式 15 ★★【题型 7】利用乘法公式进行运算 15 ★【题型 8】凑形应用：利用乘法公式简便计算。 17 ★【题型 9】变形求值：利用完全平方公式变形求值 19 ★【题型 10】几何背景：用图形面积解释乘法公式的几何意义 21 【知识点四】整式的除法 23 ★【题型 11】基础运算 24 ★【题型 12】化简求值：先化简再代入 25 二.综合培优题型精析 27 ★★【题型 13】乘法公式的综合运算 27 ★★【题型 14】整式运算与化求值综合 31 ★★【题型 15】整式运算与几何面积综合 33 ★★【题型 16】整式运算规律问题探究 38 三.中考模拟真题专练 43 （一）选择题（6题） 43 （二）填空题（6题） 46 （三）解答题（4题） 49 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】同底数幂的乘法与除法 运算法则 （1）同底数幂相乘法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 （3）积的乘法运算法则：积的乘方等于乘方的积 （4）同底数幂相除运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减 （5）零指数与负指数运算法则 ★【题型 1】同底数幂的乘法与除法基础计算 【例题1】（24-25七年级下·全国·单元测试）（）计算：； （）化简：． 【答案】（）；（） 【分析】（）先进行乘方运算，再进行加减运算即可； （）先进行同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再进行同底数幂的除法运算，最后合并同类项即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确计算是解题的关键． 解：（）原式 ； （）原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法法则逐一判断即可． 解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广东惠州·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算即可． 解：． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂，单项式乘以单项式运算，幂的乘方、积的乘方运算等知识点． （1）分别计算有理数乘方，负整数指数幂，零指数幂，再进行加减计算； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，再合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ★★【题型 2】同底数幂的乘法与除法混合运算 【例题2】（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知：，求的值． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆应用求出的值，利用幂的乘方，同底数幂的乘法以及同底数幂相除法则化简整式，最后代数求值． 解：∵ ， ∴， 解得， 将代入上式得， 原式． 【点拨】注意掌握幂的运算的法则． 【变式1】（25-26九年级上·山东泰安·期末）已知，则下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，需根据合并同类项、积的乘方、同底数幂乘除法的法则逐一判断选项正误． 解：∵合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变， ∴，选项A运算正确； ∵积的乘方需将每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，幂的乘方底数不变、指数相乘， ∴，选项B运算错误； ∵同底数幂相乘，底数不变、指数相加， ∴，选项C运算正确； ∵同底数幂相除，底数不变、指数相减， ∴，选项D运算正确． 故选：B 【变式2】（25-26八年级上·河南漯河·期末）若关于的方程组的解满足，则的值是___________． 【答案】 【分析】先由加减消元法解二元一次方程组，得到，代入确定，最后利用幂的运算法则化简后，将代入计算结果即可． 解： 由①②得； 将代入，得； ， ， 则， ． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查幂的运算，负指数幂，掌握好幂运算的法则是关键． （1）按照同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （2）先按照积的乘方的法则化简，再按照同底数幂的除法法则进行计算即可； （3）按照同底数幂的乘法运算法则进行计算即可； （4）先将底数化为相同的形式，再按照同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ★【题型 3】同底数幂的乘法与除法逆运算 【例题3】（25-26八年级上·河南开封·期中）已知，． （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）；（2）200 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方，逆用同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法运算法则计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则计算即可． 解：（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知，，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于幂的运算，利用已知条件 和 ，将所求表达式 分解为 ，再代入已知值计算． 解：，， ． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，，，则___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，求出的值，根据计算求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 解：（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 【知识点二】单（多）项式的乘法 运算法则 单项式乘单项式：系数相乘，同底数幂相乘； 单项式乘多项式：； 多项式乘多项式：。 ★【题型 4】单（多）项式乘法基础运算 【例题4】（25-26八年级上·广东江门·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据积的乘方计算，然后根据单项式乘单项式运算法则计算； （2）根据多项式乘多项式运算法则计算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、，原运算错误； B、，原运算错误； C、，原运算错误； D、，原运算正确. 【变式2】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知多项式分解因式为，________，________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开给定的因式分解形式，与原多项式比较系数，即可求出和的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：， ∵多项式分解因式为， ∴，， 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级上·重庆江北·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，最后合并同类项，即可作答． （2）先运算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． ★★【题型 5】化简求值：先化简整式，再代入数值计算 【例题5】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据多项式乘以多项式，多项式乘以单项式进行化简，再将字母的值代入，即可求解． 解： 当时，原式． 【变式1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用多项式乘多项式的运算法则将整式展开是解题的关键． 先利用多项式乘多项式的运算法则将整式展开，再将，代入计算即可． 解：，， ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，先化简，然后将化为，代入即可求解． 解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·月考）先化简，再求值： （1），其中，． （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确化简各式是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 解：（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， ∵， ∴原式． ★★【题型 6】几何应用：根据图形面积列出整式乘法表达式并化简。 【例题6】（25-26七年级上·山西长治·期中）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． 【答案】（平方米） 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可． 解： （平方米）， ∴扩建后的长方形的花园面积为（平方米）． 【变式1】（25-26八年级上·天津西青·月考）下列各式，①；②；③；④能够表示图中阴影部分的面积的是（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是弄清根据面积公式求阴影部分面积时各种数量之间的关系．根据题意可以画出相应的图形，从而求出阴影部分的面积，从而判断题目中的结论正确与否． 解：如图1，阴影部分的面积的是 如图2，阴影部分的面积的是， 如图3，阴影部分的面积的是 如图4，阴影部分的面积的是， 综上：①②③④都可以表示阴影部分的面积． 故选D． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是___________（用含x，y的代数式表示） 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式；根据大长方形的面积减去小长方形的面积列出代数式，利用多项式乘多项式法则，及去括号合并同类项即可得出结果． 解：由题意可得： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·北京·月考）如图是某酒店的一层办公用房的平面结构示意图（长度单位：m），注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． （1）用含的式子分别表示会客室的面积为 ，会议厅的面积为 ． （2）如果，，会议厅比会客室大多少？ 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，已知式子的值，求代数式的值等知识． （1）结合图形分别表示出会客室和会议厅的长宽，再利用面积公式即可求出面积； （2）利用（1）结论，列式并计算出，再根据得到，再将变形为整体代入即可求解． 解：（1）解：由图形得，会客室的长为，宽为， ∴会客室的面积为； 会议厅的长为，宽为， ∴会议厅的面积为； （2）解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ． 答：会议厅比会客室大． 【知识点三】乘法公式 ★★【题型 7】利用乘法公式进行运算 【例题7】（24-25六年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据多项式乘多项式运算法则，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式和多项式乘法运算法则进行计算即可； （3）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （4）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 解：（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，根据完全平方公式，平方差公式，逐一判断即可． 解：A选项：，故A错误． B选项：，故B正确． C选项：，故C错误． D选项：，故D错误． 故选B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）计算： （1）____________． （2）____________． 【答案】 【分析】（1）利用平方差公式计算； （2）利用完全平方公式计算． 本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握并运用是解决此题的关键． 解：（1）； （2）． 故答案为：；． 【变式3】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式、整式的加减，熟练掌握乘法公式是解题关键．先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减即可得． 解：原式 ． ★【题型 8】凑形应用：利用乘法公式简便计算。 【例题8】（25-26八年级上·吉林长春·期中）用简便算法计算 （1）； （2） 【答案】（1）1；（2）10392 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握这两个基本公式是解题的关键； （1）将原式变形为，再利用平方差公式求解； （2）将原式变形为，再结合完全平方公式求解即可. 解：（1）解： ； （2）解： . 【变式1】（25-26八年级上·河北唐山·月考）运用简便方法计算正确的是（   ） A．103×103 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．可以表示为，利用完全平方公式展开即可简便计算． 解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算的结果是__ ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的简便运算，熟记平方差公式是解题的关键． 先整理，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 解： ． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·月考）用简便算法计算： （1） （2） 【答案】（1）1；（2）40000 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． ★【题型 9】变形求值：利用完全平方公式变形求值 【例题9】（25-26八年级上·四川巴中·期中）已知，求下列式子的值： （1） （2） 【答案】（1）28；（2）22 【分析】本题考查代数式求值，利用完全平方公式变形计算，熟练掌握整体代入法，完全平方公式是解题的关键： （1）整体代入法进行计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可． 解：（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）已知，，则的值为（    ） A．31 B．25 C．19 D．15 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的运用． 由可得，整体代入计算即可． 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）一个长方形的长和宽分别为，若，则该长方形的面积为________． 【答案】9 【分析】本题考查了完全平方公式，根据该公式，由已知条件求出的值即可． 解：∵，且，， ∴， ∴． 故该长方形的面积为9． 故答案为：9． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）若已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）8；（2）． 【分析】本题考查了完全平方公式、熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案； （2）将两个已知等式相减求解即可得到答案． 解：（1）解：①，②， ①②得：， 则． （2）①②得：， 即． ★【题型 10】几何背景：用图形面积解释乘法公式的几何意义 【例题10】（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为． （1）请用含a，b的代数式表示________，________； （2）写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：________； （3）利用这个公式说明既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【答案】（1），；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查平方差公式和图形面积． （1）将图1看成大正方形减去小正方形，将图2看成一个长方形，即可解答； （2）根据即可解答； （3）根据（2）中得出的公式，将化为含有因数3、5、17的式子即可证明． 解：（1）解：，， （2）解：∵， ∴； （3）解： ， ， ∴既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【变式1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 解：由图形可得， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）一次综合实践课上，某同学用16张A类正方形卡片，9张B类正方形卡片和24张C类长方形卡片，无重叠无缝隙地拼成了一个大正方形，则拼成的大正方形的边长是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方式，完全平方式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．根据题意可得：拼成的大正方形的面积，即可解答． 解：由题意得：拼成的大正方形的面积， ∴拼成的大正方形的边长是， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期末）在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个． （1）请你补全完全平方公式的推导过程： ____________________________________； （2）如图，将边长为的正方形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分．请结合图形给出完全平方公式的几何解释． 【答案】（1），，；（2）见分析． 【分析】（1）依据多项式乘多项式法则，即可得到结果； （2）依据边长为的正方形分割成四部分，即可得到完全平方公式的几何解释． 解：（1）解：． 故答案为：,,； （2）解：边长为的正方形的面积，等于边长分别为和的两个小正方形的面积，再加上两个长为，宽为的长方形的面积的和． 【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，解决本题的关键是通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 【知识点四】整式的除法 运算法则 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除 多项式除以单项式：(ma+mb+mc)÷m=a+b+c ★【题型 11】基础运算 【例题11】（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算乘除即可； （2）利用多项式除以单项式运算法则和平方差公式分别把括号展开，然后再合并同类项即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查整式的计算，根据单项式除以单项式、积的乘方，多项式除以单项式法则分别计算即可判断． 解：A.，故原选项错误； B.，故原选项错误； C.，故原选项正确； D.，故原选项错误； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1）____________． （2）________________________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）（2）多项式除以单项式用多项式的每一项分别与单项式相除即可，根据法则计算即可． 解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·广东湛江·期末）计算：． 【答案】2a2 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和平方差公式． 根据平方差公式和多项式除以单项式法则计算乘除，最后合并同类项即可． 解： ． ★【题型 12】化简求值：先化简再代入 【例题12】（25-26八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式混合运算及求值；先在括号内利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再进行加减运算，然后进行除法运算，最后代值计算，即可求解． 解：原式 ； 当时， 原式． 【变式1】（25-26八年级上·云南昭通·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、等式的基本性质、分式的代入求值——整体换元思想．掌握完全平方公式的应用及整体换元思想是解题关键．由已知等式变形得到 ，进而求 的平方，再逐步计算 和 即可． 解：∵ 且 ， ∴ 等式两边除以 得 ． ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）若，代数式的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，掌握整体代入的方法，通过已知方程变形直接代入代数式，避免了复杂的解方程过程，是解题的关键． 由已知方程 变形得到 ，代入代数式化简，利用 求值． 解：由 ，得 ． 代入代数式 ． 又∵ ，即 ， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·期中）（1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）87；（2）8． 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，整式的化简求值，整体代入思想，掌握完全平方公式的变形，整式化简后结合已知条件整体代入求值是解题的关键． （1）利用完全平方公式的变形，代入已知数值计算； （2）先展开并化简代数式，得到含的式子，再结合已知条件整体代入求值． 解：（1）∵，， ∴， ∴； （2） ． ∵， ∴，即， ∴原式． 二.综合培优题型精析 ★★【题型 13】乘法公式的综合运算 【例题13】（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 解：∵， ∴ 则． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 解： ． 故答案为：2． 【变式3】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解答本题的关键． （1）先利用积的乘方化简，然后完全平方公式进行计算即可； （2）先对第二个括号利用完全平方公式进行化简，然后利用积的乘方化简，最后平方差公式及完全平方公式进行计算即可； （3）先对第一个括号利用完全平方公式进行计算，第二个括号利用平方差公式进行计算，最后合并同类项即可； （4）先利用完全平方公式及合并同类项对中括号进行化简，再利用平方差公式进行计算即可； （5）先利用完全平方公式及合并同类项对中括号进行化简，再利用平方差公式进行计算即可； （6）先利用平方差公式以及完全平方公式对括号进行化简，最后合并同类项即可． 解：（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解： （6）解：． ★★【题型 14】整式运算与化求值综合 【例题14】（25-26八年级上·四川眉山·期末）先化简再求值：，其中 【答案】； 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用整式的混合运算法则化简，再代入求值即可． 解：原式 ∵， ∴， 当时，原式． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·月考）若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由条件推导出，得到，通过求的最小值，代入计算即可得到答案．本题考查完全平方公式的性质与应用． 解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．那么，在不超过2025的所有正整数中，最大的“和谐数”为__________． 【答案】1946 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，根据“和谐数”的定义，设两个连续奇数为和，其中为整数，则和谐数为，化简得，要求不超过2025的最大和谐数，即求最大使得，熟练掌握“和谐数”的定义是解此题的关键． 解：设两个连续奇数为和，其中为整数， 则“和谐数”为 ， 由于的值仅与有关，故只需考虑为非负整数的情况即可， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴，且为整数， ∴当时，和谐数为，此时最大， 故最大和谐数为1946， 故答案为：1946． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·月考）若的积中不含x和项． （1）求的值； （2）先化简，再求值：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了多项式乘法法则，合并同类项，完全平方公式的应用，幂的运算法则及方程的求解． （1）先将式子展开计算，再根据积中不含x和项求出m、n的值，最后代入式子求值； （2）先将式子化简，再将（1）中的m、n值代入求得． 解：（1）解：， 由积中不含x和项，得，， 解得：，， ∴原式． （2）解：原式 ， 由（1）知，， ∴原式． ★★【题型 15】整式运算与几何面积综合 【例题15】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图①是一个长为、宽为的长方形，其中，沿图中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形． （1）图①中大长方形的面积为_____； （2）观察图②，直接写出代数式之间的关系_____； （3）已知，，求的值； （4）两个正方形、如图③摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）9 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，正方形和长方形的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征，正方形和长方形的性质是解决问题的关键． （1）根据图①中大长方形的长为、宽为，即可得出大长方形的面积； （2）根据图②中“大正方形的面积﹣小正方形的面积4个长方形的面积和”得，由此即可得出答案； （3）由（2）的结论得，进而得，再将，，代入计算即可得出的值； （4）依题意得，，根据得，，由三角形面积公式得，由（2）的结论得，进而得，将，代入计算得，继而得，据此即可得出图中③阴影部分面积和． 解：（1）解：∵图①中大长方形的长为、宽为， ∴图①中大长方形的面积为：， 故答案为：； （2）解：∵图②中大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图②中大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∵图②四个长方形的长均为m，宽均为n， ∴图②四个长方形的面积均为， 又∵图②中“大正方形的面积小正方形的面积4个长方形的面积和”， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）的结论得：， ∴， ∵，， ∴； （4）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵正方形的边长为y， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）的结论得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∴图中③阴影部分面积和为9． 【变式1】（25-26八年级上·山西大同·月考）太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查根据板材的数量和形状列代数式及因式分解，用代数式表示出正方形墙壁的总面积，再通过因式分解求出边长． 解：由图可得：板材的面积为，板材的面积为，板材的面积为。 ∵用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务， ∴总面积为： 即： ∴边长为． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·月考）有两个正方形，将放在的内部得图1，将并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为6和54，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】114 【分析】设正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握性质和公式的变形是解题的关键． 解：设正方形的边长分别为x，y， 图1可得，， ∴， 图2可得，， ∴，即， 故， 故， 故图2中大正方形的面积为114， 故答案为：114． 【变式3】（24-25六年级下·全国·单元测试）推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． ★★【题型 16】整式运算规律问题探究 【例题16】（25-26八年级上·江苏南通·期中）【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下列两组乘法算式的结果（每组算式中两个因数的和为定值），发现结果有个规律：两数和一定时．差的绝对值越小越大． ①，，，； ②，，，． 【验证】（1）设两个数分别为和，其中a为定值，．请用整式的乘法证明上述规律； 【运用】（2）请用上述规律解决问题： ①用20m长的绳子围成一个长方形，求这个长方形的最大面积； ②求的最大值． 【答案】（1）见详解；（2）①，② 【分析】本题考查了整式的乘法，不等式的应用及实际问题与数学建模的思想． （1）设两数为和为定值的对称形式、，用整式乘法展开乘积，分析参数b对乘积的影响：b越大，乘积越小，b越小，乘积越大，得出规律：两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大； （2）①长方形周长固定，长+宽为定值，应用规律：长=宽（差为0）时面积最大，计算可得出最大面积；②将目标式子调整为两数乘积，通过乘以系数使两数和为定值，找到两数和为定值时的相等情况（差为0），解得变量值，最终通过计算得出最大值． 解：（1）设两个数分别为和，其中a为定值，， ∴两数之和（定值），两数之积， 当时，随b增大而增大， ∴随b增大而减小， ∴b越小乘积越大； 当时，乘积最大（两数相等）， 即两数和一定时，差的绝对值越小，乘积越大． （2）①∵长方形的周长为20m， ∴长+宽，此时为定值， 根据规律，当长和宽相等时，此时差的绝对值为0，面积最大， ∴长=宽，此时最大面积为：； ②设两数为，， ∴，此时为定值， 根据规律可得，当时，最大， 由得，，解得， 此时， ∴，即， ∴的最大值为． 【变式1】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余数确定个位． 利用给定的乘法规律，将原算式转化为 ，再通过 的个位数字循环规律（周期为4）求 的个位数，进而得到最终结果的个位数字． 解：∵ 根据规律，， ∴ ， 令 ，，则： ∵ 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4）， 计算 余 2， ∴ 的个位数字与 相同，为 4， ∴ 的个位数字为 ． 故算式值的个位数字为 3． 故选B. 【变式2】（22-23七年级下·河北保定·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… （1）第5个等式是________； （2）根据上述规律猜想第n个等式是________（用含n的等式表示）． 【答案】 【分析】（1）结合题意，发现数字规律即可求解； （2）由变化规律可知，第n个等式左边的被减数为，减数为，右边均为，即可求解． 解：（1）依据规律可知， 第5个等式：， 故答案为：； （2）由变化规律可知，第n个等式左边的被减数为，减数为，右边均为， 猜想第n个等式：， ， 故猜想成立， 故答案为：． 【点拨】本题考查了数字规律的探索，完全平方公式和多项式的乘法；解题的关键是通过示例归纳出数字变化规律． 【变式3】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n（，且n是整数），个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n（，且n是整数），其中一个两位数的个位数字为m（，且m是整数），则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 【答案】课本再现：见分析；（1），；（2），；证明见分析；（3）见分析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 课本再现：根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）根据题目给出的等式，即可发现规律； （3）由题意得，，运用（2）中的规律得出计算结果即可． 解：课本再现： ； （1）∵， ， ， ……， ∴， 故答案为：，； （2）∵其中一个两位数的个位数字为m（，且m是整数）， ∴另外一个两位数的个位数字为， 一般规律是； 证明： ； 故答案为：，； （3）由题意得，， ∴． 三.中考模拟真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解：， 故选：C． 2．（2025·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数，负整数指数幂，零指数幂，根据相反数，负整数指数幂，零指数幂的运算法则计算，再判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·山东烟台·中考真题）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂相乘、相除，幂的乘方以及合并同类项．需逐一计算各选项，判断结果是否为即可． 解：A、根据同底数幂相乘法则，指数相加：，故A不符合题意； B、根据同底数幂相除法则，指数相减：，故B不符合题意； C、合并同类项，系数相加：，故C不符合题意； D、根据幂的乘方法则，指数相乘：，故D符合题意； 故选：D． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方、同底数幂的除法运算、单项式乘单项式运算、完全平方公式逐项计算，即可判断． 解：A.，故选项计算正确，符合题意； B. ，故选项计算错误，不符合题意； C. ，故选项计算错误，不符合题意； D. ，故选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 5．（2016·山东泰安·一模）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．将表示为 ，再代入已知条件计算． 解：∵，， ∴， 故选：A． 6．（2025·四川绵阳·三模）南宋杰出的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，摘录了如图所示的三角形数表，被称为杨辉三角，观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： …… 根据前面各式的规律，则的展开式中的系数是（   ） A．72 B．39 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了规律探究，熟练掌握相关知识是解题的关键． 观察所给展开式的系数和杨辉三角中各数的关系，先写出所求展开式中的系数，根据发现的规律得出每个展开式中的系数，进行相加求解即可． 解：依据规律可得到的展开式的系数是杨辉三角第6行的数， 第6行的数分别为， ∴展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 展开式中的系数为， ∴原式展开式中的系数为． 故选：D． （2） 填空题（6题） 7．（2023·江苏·中考真题）计算：________． 【答案】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的加减混合运算进行计算即可． 解：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加减混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，将原式根据完全平方公式变形，再将值代入计算即可得出答案． 解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 9．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是______（用含的代数式表示）． 【答案】 解：根据圆柱的体积圆柱的底面积圆柱的高，可得 ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键． 10．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点拨】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 11．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）已知，则的值是______． 【答案】25 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．利用平方差公式分解，结合已知，推出，再将式子变形为，据此可得答案． 解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 12．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可． 解： 故答案为：． 【点拨】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键． （3） 解答题（4题） 13．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，. 【答案】， 【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可． 解： 当，时，原式． 【点拨】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开． 14．（2023·山西·中考真题）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）分别计算绝对值、乘方、加法及负整数指数幂，再计算有理数的乘法与减法即可； （2）分别利用单项式乘多项式、完全平方公式展开后，再合并同类项即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点拨】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及负整数指数幂、绝对值、多项式的乘法、完全平方公式等知识，掌握运算顺序、多项式的乘法法则是解题的关键． 15．（2025·山西临汾·二模）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查整式的运算，正确掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）原式计算乘方的绝对值，再计算乘法，最后进行加减运算即可； （2）直接利用平方差公式以及整式的除法运算法则计算，进而合并同类项可得出答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 16．（2025·河南郑州·三模）小伍提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． （1）举例验证：当，，则______；（请你补上空格所缺内容）； （2）推理证明：小陆同学做了如下的证明： 设， ，是连续的正整数， ． ， ______． 一定是正整数的平方数请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容； （3）类比探究： 小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方”，请证明该结论． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见分析 【分析】本题考查利用完全平方公式，整式的乘法等知识，掌握完全平方公式和整式乘法是解题的关键． （1）代入计算，求算术平方根即可； （2）将整体代入消元即可得解； （3）将整体代换消元即可得解． 解：（1）解：当，时， ， 故答案为：； （2）设， ，是连续的正整数， ， ， ， 一定是正整数的平方数， 故答案为：； （3）证明：设，是连续的正整数，且， ， ， ， 一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $