专题 3.5 图形的平移与旋转（全章知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 3.5 图形的平移与旋转（全章知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 2 【知识点一】平移及其性质 2 ★【题型 1】直接用平移性质求线段长、角度、面积 2 ★【题型 2】已知点坐标，求平移后坐标 5 ★【题型 3】已知原坐标与新坐标，判断平移方式 7 ★【题型 4】坐标系中画平移后的图形 10 ★★【题型 5】一次函数图像平移求解析式口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 15 ★★【题型 6】平移综合题：坐标 + 几何 + 面积 + 平行 19 【知识点二】旋转及其性质 24 ★【题型 7】找旋转中心、旋转角、旋转方向 24 ★★【题型 8】用旋转性质求线段长、角度 27 ★★【题型 9】旋转作图题 30 ★★【题型 10】平面直角坐标系中的旋转（求坐标、画图） 33 ★★【题型 11】旋转综合题：求线段关系、角度、面积、最值 39 【知识点三】中心对称 44 ★【题型 12】】判断是否为中心对称图形 44 ★【题型 13】利用中心对称求线段、角度 47 【知识点四】图形的平移与旋转综合题 49 ★★★【题型 14】平移、坐标、一次函数综合 50 ★★★【题型 15】旋转、三角形全等综合求角度与线段值 55 ★★★【题型 16】平移与旋转综合求面积 62 ★★【题型 17】作图题：平移作图、旋转作图 67 ★★★【题型 18】几何综合大题：平移或旋转构造全等，求最值、证明线段关系 71 二.中考模拟真题 78 （一）单选题（6题） 78 （二）填空题（6题） 83 （二）解答题（4题） 87 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】平移及其性质 1、平移定义：在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移; 2、平移二要素：平移方向、平移距离; 3、平移性质：（1）对应线段平行（或共线）且相等；（2）对应角相等；（3）对应点所连线段平行（或共线）且相等；（4）图形形状、大小、周长、面积都不变; 4、平面直角坐标系中点的平移规律：设点的坐标为（） （1）左右平移（只改变横坐标）：向右平移个单位（）；向左平移个单位（）. （2）上下平移（只改变纵坐标）：向右平移个单位（）；向左平移个单位（）. ★【题型 1】直接用平移性质求线段长、角度、面积 【例题1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，在直角三角形中，，，将三角形沿方向平移得到三角形． （1）求的度数． （2）若，求出的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据三角形内角和定理求出，然后根据平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质得出，然后根据线段的和差关系求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵平移， ∴； （2）解：∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，由平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质，逐项进行判断即可． 解：∵由平移得到， ∴，，， ∴，， 因此，选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式2】（2025·陕西延安·一模）如图，将沿直线方向平移到的位置（点A、B、C的对应点分别是点、、），延长、相交于点D．若，则的度数为______． 【答案】70 【分析】本题考查了平移的性质（平移前后对应线段平行）及平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），解题的关键是根据平移性质得出对应线段平行，再利用平行线性质结合已知角度求的度数． 由平移性质可知,平移后对应线段；与平行，故与组成内错角，根据两直线平行内错角相等，即可求出． 解：∵沿直线方向平移得到， ∴（平移的性质：平移前后对应线段平行）． 即， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，平移后得到 （1），，求的度数； （2）若，，求平移的距离． 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题考查了平移的性质． （1）根据平移的性质得到，，根据三角形内角和计算即可； （2）根据平移的性质得到，进而计算即可． 解：（1）解：将平移得到， ，， ， ； （2）沿方向平移得到， ， ，， ． 平移的距离为7． ★【题型 2】已知点坐标，求平移后坐标 【例题2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）（1）点向下平移2个单位后的坐标是______； （2）直线向右平移2个单位后的解析式是_______； （3）已知直线交y轴于点A，交x轴于B，将直线沿x轴翻折，求翻折后的直线的解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查点的平移，一次函数图象的平移，熟练掌握相关平移规则，是解题的关键： （1）根据点的平移规则，上加下减横不变，进行求解即可； （2）根据直线的平移规则左加右减，进行求解即可； （3）求出的坐标，求出点关于x轴的对称点，待定系数法求出函数解析式即可． 解：（1）由题意：点向下平移2个单位后的坐标是，即：； （2）直线向右平移2个单位后的解析式是； 故答案为：； （3）∵， ∴当时，，当，， ∴，， ∴点关于x轴的对称点为， ∵翻折， ∴翻折后的直线经过，， 设直线的解析式为：，把代入，得：，解得：； ∴． 【变式1】（24-25九年级下·广东佛山·期中）把平面直角坐标系上一点向上平移个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点坐标平移的规律，坐标轴上的点坐标特征．解题的关键是掌握：点坐标平移的规律：左减右加，上加下减；轴上的点的纵坐标为零． 解：∵将点向上平移个单位后的点的坐标为， 此时它恰好在轴的正半轴上， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是．将点向右平移3个单位长度，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，关于轴对称的点的坐标特征． 点A向右平移3个单位长度，得到点，其横坐标增加3，纵坐标不变；点关于x轴对称，得到点，其横坐标不变，纵坐标变为相反数． 解：将点向右平移3个单位长度，得到点，横坐标变为，纵坐标不变，即； 作点关于轴的对称点，得到点，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中点A的坐标为． （1）若点A在x轴上，求点A的坐标； （2）若点A在过点B且与x轴平行的直线上，求点A的坐标； （3）若将点A沿与x轴平行的直线上运动，平移2个单位后得到的点A恰好落在y轴上，求x的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了点的坐标特征以及点的平移等知识． （1）根据点A在x轴上，则点A的纵坐标为0，进而可求出x的值以及点A的坐标． （2）点A在过点B且与x轴平行的直线上，则点A的纵坐标为，进而可求出x的值以及点A的坐标． （3）根据平移得特点，分两种情况当点A在x轴负半轴时以及当点A在x轴正半轴时，分别解出x即可． 解：（1）解：∵若点A在x轴上， ∴， 解得：， ∴， 故． （2）∵点A在过点B且与x轴平行的直线上， ∴， 解得：， ∴， 故． （3）当点A在x轴负半轴时，， 解得：． 当点A在x轴正半轴时，， 解得：． 故x的值为：或． ★【题型 3】已知原坐标与新坐标，判断平移方式 【例题3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，有三个点，是的边上一点，经平移后得到，点P的对应点为． （1）写出点的坐标． （2）写出A点关于x轴对称的点的坐标 ；写出B点关于y轴对称的点的坐标 ． （3）求三角形的面积． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，关于x轴、y轴对称点的坐标，三角形的面积，掌握坐标与图形变化规律是解题的关键． （1）由平移之后点P的对应点为的坐标即可知平移的方式，即可得出点的坐标； （2）根据关于坐标轴对称的点的坐标特征即可解答； （3）利用矩形面积减去三个三角形的面积进行计算即可解答． 解：（1）解：由平移之后点P的对应点为的坐标即可知， 先向右平移5个单位，又向上平移2个单位， ∴，，； （2）解：A点关于x轴对称的点的坐标为，B点关于y轴对称的点的坐标为， 故答案为：，； （3）解：由题意得： 的面积， ∴的面积为． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【分析】根据 “左减右加、上加下减”的平移规律，结合平移前后点的坐标变化确定平移方向与距离． 解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 【变式2】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，利用坐标平移的变化规律即可解决问题．根据点 平移到点，纵坐标的变化规律，可得：；根据点平移到点，横坐标的变化规律，可得：；把字母的值代入代数式计算求值即可． 解：点 平移到点，向上平移了个单位长度， ， 解得：， 点平移到点，向左平移了个单位长度， ， 解得：， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，是由经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点和点的坐标；（___，___）；（___，___） （2）若点是内一点，它随按如图方式平移后得到的对应点为，求和的值． 【答案】（1）2；1；；；（2） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化轴对称，正确根据点B和点的坐标判断出平移方式是解题的关键． （1）根据坐标系中点的位置即可得到答案； （2）根据点B和点的坐标可得平移方式，再由平移方式可得，据此求解即可． 解：（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴平移到的平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度； ∵点是内一点，它随按如图方式平移后得到的对应点为， ∴， ∴． ★【题型 4】坐标系中画平移后的图形 【例题4】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． 则 （1）点的坐标为 ； （2）在图中画出； （3）的面积为 ． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查图形的平移，利用网格求面积，掌握在平面直角坐标系中点平移的特点是解题的关键． （1）根据点的平移，可得平移的方向和距离，即可求解； （2）根据平移的方向和距离，分别求得平移后三个顶点的坐标，顺次连接即可； （3）利用网格，根据分割法即可求解． 解：（1）解：点的对应点为， 平移的方向和距离为：向右平移个单位，向下平移个单位， 又， 的坐标为． 故答案为； （2）解：如图所示，即为所作， （3）解：由图可得， 的面积为：． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，平移线段，使点M落在点处，则点N对应的点的坐标为___________． 【答案】 【分析】利用平移的性质画出图形，可得结论． 解：观察图象可知，N′（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点拨】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）画出向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的； （2）作出点关于轴的对称点．若把点向右平移个单位长度后落在的内部（不包括顶点和边界），请写出满足条件的的取值范围______； （3）在轴上画出点，使的值最小． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形平移、关于轴对称的点的坐标特征、平移后点的位置范围以及最短路径问题． （1）根据“上加下减纵坐标，右加左减横坐标”的平移规则，计算出各顶点平移后的坐标，再顺次连接即可得到平移后的图形； （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征求出的坐标，再写出平移后点的坐标，结合的顶点坐标分析该点在内部时横坐标的范围，进而求解的取值范围； （3）利用将军饮马模型，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点，此时的值最小，依据是两点之间线段最短． 解：（1）解：根据平移规则：向上平移4个单位则纵坐标加4，向右平移5个单位则横坐标加5． 点，平移后的坐标为； 点，平移后的坐标为； 点，平移后的坐标为； 顺次连接、、，得到如图所示： （2）解：点关于轴的对称点； 将向右平移个单位长度后得到的点坐标为； 要使该点落在的内部（不包括顶点和边界），观察的顶点坐标、、： 当纵坐标为2时，内部的点横坐标需满足，解得； 故答案为：． （3）解：作点关于轴的对称点；连接，与轴交于点，点即为所求． ★★【题型 5】一次函数图像平移求解析式口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 【例题5】（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． （1）若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． （2）当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质； （1）把点，代入，再求解即可；②先得到平移后的，再代入即可得到答案； （2）先求解一次函数为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再进一步求解即可． 解：（1）解：①一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数为； ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后为， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴一次函数为， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当，函数最小值为：， 当，函数最大值为：， ∴，解得：， ∴， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，函数最大值为：， 当，函数最小值为：， ∴，解得：， ∴， 综上：． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则b的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数的图象上，利用待定系数法求出b的值即可． 解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，即， 由题意，得：在一次函数的图象上， ∴， ∴； 故选B． 【点拨】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式，是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，得到点，点在直线上．如果一次函数的图象与线段有公共点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】此题考查了坐标与图形变化-平移，一次函数图象上点的坐标特征．先求得的坐标，代入即可求得m的值；分别求出一次函数的图象过点、点时的值，再结合函数图象即可求出的取值范围． 解：点向左平移个单位长度，得到点， 点的坐标为：， 点在直线上， ， 解得：， ，， 一次函数的图象与线段有公共点， 将点代入中得：， 将点代入中得：， ． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中， （1）点和点在一次函数的图象上．求该一次函数的解析式，并画出它的图象； （2）点向左平移3个单位长度，得到点D．若一次函数的图象与线段有公共点，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，再用描点法作图即可； （2）由平移方式得，分别把、代入求解即可． 解：（1）解：将点和点代入一次函数中， 得， 解得， ∴该一次函数的解析式为， 该一次函数图象如图： （2）解：由点向左平移3个单位长度，得到点， 当直线经过点时，， 解得， 当直线经过点时，， 解得， 综上所述，m的取值范围是． 【点拨】本题考查用描点法作函数图象、用待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形变化−平移、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． ★★【题型 6】平移综合题：坐标 + 几何 + 面积 + 平行 【例题6】（24-25七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点． （1）如图①，三角形的面积为___________； （2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，求三角形的面积； （3）在（2）条件下，点是平面内一动点，若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求点的坐标． 【答案】（1）6；（2）9；（3）点P的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）求出，，，利用三角形面积公式可得结论． （2）连接，根据，求解即可． （3）根据面积关系构建方程，求出即可． 解：（1）解：点，，， ，，， ， 故答案为：． （2）解：连接． ∵，点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D， ∴， ∴； （3）解：由题意，， 解得， 点的坐标为或． 【变式1】（2023·天津南开·三模）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【答案】B 【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果． 解：A．∵直角三角形沿斜边的方向平移到三角形的位置， ∴，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．平移距离应该是的长度，由，可知，故B错误，符合题意； C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，，故C正确，不符合题意； D．∵的面积是4，， ∴， ∵由平移知：， ∴， 四边形的面积：，故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点拨】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______． 【答案】6 【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 解：∵平移折线AEB，得到折线CFD， ∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形， ∴折线AEB在平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD =AO•EF+BO•EF =EF（AO+BO） =EF•AB =[2-（-1）]×[1-（-1）] =6． 故答案为：6． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形-平移，熟练掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． （1）若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） （2）若，求的值； （3）若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见分析 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度． （1）先通过点与点、点与点的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点平移后对应点的坐标； （2）当时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值； （3）由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，．根据点与点是对应点，得出，求出． 解：（1）已知平移后得到，的坐标的变化为，即向右平移个单位；纵坐标的变化为，即向下平移个单位， 同理，平移后得到，从到的坐标变化为，纵坐标变化为，结合到的平移规律，可知整体平移是向右个单位，向下个单位， 点，按照上述平移规律，向右平移个单位，的坐标变为；向下平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为； （2）解：当时， 由三角形平移得到三角形， 的对应点分别为 ， 可得， 解得． ∴的值为6； （3）由三角形平移得到三角形， ，的对应点分别为 ，． 可得， 由②得③， 把③代入①，得， ∴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴轴， ∴点， ∴三角形的面积， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴，，． 又∵在平移中，点与点是对应点， ∴， ∴ ， ∴． 【知识点二】旋转及其性质 1、旋转定义：在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，叫作旋转； 2、旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。旋转角对应点与旋转中心连线的夹角； 3、旋转性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等，（2）对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，（3）对应线段相等，对应角相等，（4）图形形状、大小不变； 4、旋转作图步骤：（1）确定旋转中心、方向、角度（2）连接关键点与旋转中心（3）作等角，截取等长线段（4）得到所有对应点（5）顺次连接对应点。 ★【题型 7】找旋转中心、旋转角、旋转方向 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将绕点O顺时针旋转得到，E，F分别是，的中点． （1）在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）与的长有什么关系？与呢？ （3）与的度数大小有什么关系？ 【答案】（1）旋转中心是点O，旋转角是；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义即可求解； （2）根据旋转的定义和线段中点的定义即可求解； （3）根据旋转的性质即可求解． 解：（1）解：根据题意，得旋转中心是点O，旋转角是； （2）解：由旋转知：，， ∵E，F分别是，的中点 ∴，， ∴； （3）解：由旋转知：， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 解：将绕点旋转，得到， ， 当旋转方向为顺时针时，旋转角度为； 当旋转方向为逆时针时，旋转角度为． 故选：A． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是______． 【答案】/90度 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点B，与旋转中心O连线的夹角是旋转角，据此解答． 解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在等边中，点D是边上的点，以为边作等边，连结． （1）填空：可以看成△________以点________为旋转中心，________时针旋转________度得到； （2）若，求的度数． 【答案】（1）,,逆，；（2） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及选择的相关知识点，证是解题关键． （1）由题意可证，即可求解； （2）根据，即可求解； 解：（1）解：由题意得： ∴ 即： ∴ 故：可以看成以点为旋转中心，逆时针旋转度得到， 故答案为：，，逆， （2）解：∵ ∴， ∴ ★【题型 8】用旋转性质求线段长、角度 【例题8】（24-25九年级上·广东湛江·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将绕着点旋转后得到． （1）在图中画出； （2）点的对用点的坐标是______；和的位置关系是______． 【答案】（1）见分析；（2）， 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，得到点的坐标，再顺次连接即可； （2）根据题意直接写出点的坐标，再根据旋转的性质得出，即可得到结论． 解：（1）解：如图，即为所求， （2）解：的坐标是， 由题意得， ． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形中的对应角相等． 利用旋转的性质得到，再利用三角形的内角和定理计算即可． 解：∵绕着点顺时针旋转后得到， ， ，， ． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点逆时针旋转到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据垂直得出直角，根据直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据旋转的性质得出对应边相等和对应角相等，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 解：∵， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B的对应点为点D，点C的对应点F落在边上，连接． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，再根据等腰直角三角形的性质即可证明； （2）根据，，再结合，即可求出．，由旋转可知，则利用勾股定理即可求解． 解：（1）解：将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴根据旋转可知：， ∴在中，， ∴， 由旋转可知， ∴． 【点拨】本题考查了旋转的性质、勾股定理等知识，充分利用勾股定理是解答本题的关键． ★【题型 9】旋转作图题 【例题9】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见分析，；（2）图见分析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，正确找到对应点的位置是解题的关键． （1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，描出点，再顺次连接点即可． 解：（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为． 【变式1】（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 【变式2】（2025·山东淄博·一模）如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的旋转，图形与坐标，根据题意画出图形即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 解：如图，点的坐标是， 故答案为：． 【变式3】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点），已知点A和点B的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出点B关于原点对称的点，并写出点的坐标． （2）在所给的网格图中画出绕点O顺时针旋转后的． 【答案】（1）见详解；；（2）见详解 解：（1）解：如图，点即为所求，． （2）解：如图，即为所求． ★★【题型 10】平面直角坐标系中的旋转（求坐标、画图） 【例题10】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）点C关于原点对称点的坐标为___________； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； （3）若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）作图见分析，；（3） 【分析】本题考查了点的中心对称、作图旋转变换、轴对称最短路线问题、勾股定理，掌握相关知识及“将军饮马”问题是解答本题的关键． （1）根据点C关于原点对称，横纵坐标互为相反数可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为，再由勾股定理计算可得答案． 解：（1）解：∵点， ∴点C关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：； （2）解：∵绕点A逆时针旋转得到的，， ∴的点的坐标分别为． ∴如图1所示； （3）解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为． 由勾股定理，得． 故答案为：． 【变式1】（2025·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，过点作轴，根据原点O是等边三角形的中心，得出，即可得重合，，求出，，得出点的坐标，即可解答． 解：连接，过点作轴， ∵原点O是等边三角形的中心， ∴， ∴重合，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】该题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形综合，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出m的取值范围，然后根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质求出点P的坐标，得出，即可求解．． 解：由图可知：，， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 若在直线上，则， 解得， ∵点位于内， ∴， 如图，连接，，过作轴于，过作轴于，则， ∵旋转， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又 ∴． 【变式3】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； （2）求的面积． 【答案】（1）画图见分析；（2）． 【分析】（）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形． 解：（1）解：如图，以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到； ∴即为所求； （2）解：的面积 ． ★★【题型 11】旋转综合题：求线段关系、角度、面积、最值 【例题11】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） （1）当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； （2）当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】（1）图2成立，，证明见分析；（2）图3不成立，、、的关系是，证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证是关键． （1）将顺时针旋转，可得，证，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，证，即可求解． 解：（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得，即可得，根据勾股定理可得，根据旋转的性质得，，根据勾股定理即可得． 解：在中，，，， 则， ∴， ∴， ∵绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴, 故选：B． 【点拨】本题考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和旋转的性质． 【变式2】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解． 解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒． （1）射线和重合时，求的值． （2）射线与重合时，求的值． （3）求为何值时，． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了角度的和差，旋转的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）用除以射线的旋转速度求解即可； （2）用除以射线和的旋转速度和求解即可； （3）分两种情况讨论：①射线与重合前；②射线与重合后，根据角度的和差关系列方程求解即可． 解：（1）解：（秒）； （2）解：（秒）； （3）解：由题意可知，，，， ， ， ①如图，射线与重合前， ， ， 解得：； ②如图，射线与重合后， ， ， 解得：，此时射线和重合， 综上可知，当时，的值为或． 【知识点三】中心对称 1、定义：中心对称把一个图形绕某一点旋转 180°，能与另一个图形重合，叫作中心对称。中心对称图形一个图形绕自身某点旋转 180° 能与自身重合； 2、中心对称性质：（1）对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分，（2）对应线段平行（或共线）且相等，（3）成中心对称的两个图形全等； 3、坐标系中点关于原点对称：点（）关于原点对称（） ★【题型 12】】判断是否为中心对称图形 【例题12】（24-25九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，与关于点C成中心对称，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查中心对称的性质和勾股定理，由中心对称的性质可得出三点共线，由勾股定理求出，从而可得出结论． 解：与关于点C成中心对称， ， 三点共线．                           ， ，                    【变式1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·月考）如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【答案】/五 【分析】本题考查了中心对称的性质、平行四边形的判定与性质，由题意可得，，从而可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得点就是平行四边形的对称中心，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是平行四边形的对称中心， ∴（1）点和点；点和点是关于点的对称点，说法正确； （2）直线必经过点，说法正确； （3）四边形是中心对称图形，说法正确； （4）四边形和四边形的面积相等，说法正确； （5）和成中心对称，说法正确； 综上所述，正确的个数为个， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的四张扑克牌中，哪一张的牌面是中心对称图形？是中心对称图形的，请画出它的对称中心． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查中心对称图形的概念，即图形绕某一点旋转后能与原图形重合．理解中心对称图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形的定义回答即可． 解：第1张和第3张能找到一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形重合，所以是中心对称图形，它们的对称中心在对角线的交点． 如图，点即为所求的点． ★【题型 13】利用中心对称求线段、角度 【例题13】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． （1）图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ （2）若的面积为4，求的面积． 【答案】（1）与关于点D成中心对称；（2）8 【分析】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小． （1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据等底等高确定的面积，根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形的面积，从而确定的面积． 解：（1）解：与关于点成中心对称． （2）解：∵是的边的中点， ∴， ∴与为等底等高的三角形， ∴． 又∵与关于点成中心对称， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【答案】 92° 3 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 解：四边形与四边形关于点O成中心对称， ， 故答案为：，3． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，根据中心对称图形的性质可得，，求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长． 解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【知识点四】图形的平移与旋转综合题 解决图形的平移与旋转综合题，先确定平移距离、方向和旋转中心、角度、方向，抓住对应点、对应线段、对应角相等的核心性质；再通过作辅助线、构造直角三角形，利用勾股定理或特殊三角形求边长、角度；最后结合全等、相似、坐标运算验证结论，按 “找变换要素→定对应关系→算边长角度→证结论” 的思路逐步求解。 ★★★【题型 14】平移、坐标、一次函数综合 【例题14】（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在直角坐标系中，一次函数的图像l1与y轴交于点A（0，2），与一次函数y＝x﹣3的图像l2交于点E（m，﹣5）． （1）求m的值及l1的表达式． （2）直线l1与x轴交于点B，直线l2与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积． （3）如图，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l1或l2有交点，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）m=-2，；（2）；（3）或3≤a≤6 【分析】（1）根据点E在一次函数图象上，求出m的值，利用待定系数法即可求出直线l1的函数解析式； （2）由（1）求出点B、C的坐标，利用S四边形OBEC=S△OBE+S△OCE即可得解； （3）分别求出矩形MNPQ在平移过程中，当点Q在l1上、点N在l1上、点Q在l2上、点N在l2上时a的值，即可得解． 解：（1）点在一次函数图象上， ， ； 设直线的表达式为， 直线过点和， ，解得． 直线的表达式为． （2）由（1）可知：点坐标为，点坐标为， ． （3）或． 当矩形的顶点在上时，的值为， 矩形向右平移，当点在上时， ，解得，即点，， 的值为， 矩形继续向右平移，当点在上时，的值为3， 矩形继续向右平移，当点在上时， ，解得，即点， 的值， 综上所述，当或时，矩形与直线或有交点． 【点拨】本题主要考查两条直线相交或平行、图形的平移等知识的综合应用，在解决第（3）小题时，只有求出各临界点时的值，就可以得到的取值范围． 【变式1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别与轴交于点，，则关于，的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象平移问题，坐标与图形变化——平移，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，利用一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律推出“一次函数的图象与轴交于点”是解题的关键． 由一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律可得，一次函数的图象与轴交于点，而一次函数的图象与轴也交于点，于是可得一次函数与一次函数图象的交点为，进而可得关于，的二元一次方程组的解． 解：一次函数的图象与轴交于点， 将一次函数的图象向下平移个单位得到一次函数的图象， 一次函数的图象与轴交于点， 而一次函数的图象与轴也交于点， 一次函数与一次函数图象的交点为， 关于，的二元一次方程组的解为， 故选：． 【变式2】（2025·河南驻马店·三模）如图，将置于第一象限内，一次函数的图象经过中点，将沿射线平移，当点的对应点与点M重合时，则点A的对应点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的规律，点的坐标，线段的中点，先理解题意，把代入，得，即，再结合，且是的中点，得出点A的坐标为，因为将沿射线平移，当点的对应点与点重合，得出平移规律，运用平移规律得出点A的对应点坐标，即可作答． 解：∵一次函数的图象经过中点， ∴把代入， 得， ∴， ∵，且是的中点， ∴， ∴， ∴点A的坐标为 ∵将沿射线平移，点的对应点与点重合， ∴平移规律是向左平移个单位，向下平移个单位， ∵点A的坐标为 故， 即点A的对应点坐标为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·北京门头沟·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，得到点B，点B在直线上． （1）求m的值和点B的坐标； （2）如果一次函数的图象与线段有公共点，求k的取值范围． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系、坐标与图形的变化﹣平移，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求出点B的坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可； （2）分别将点A、B的坐标代入解析式求出k值即可得到取值范围． 解：（1）解：∵将点向上平移3个单位长度，得到点B， ∴， ∵点B在直线上， ∴， 解得：， ∴； （2）解：如图： 当一次函数的图象过点时，，解得； 当一次函数的图象过点时，，解得； ∴一次函数的图象与线段有公共点k的取值范围为：． ★★★【题型 15】旋转、三角形全等综合求角度与线段值 【例题15】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． （1）如图1，当点M落在边上时，求线段的长； （2）如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】（1）7；（2）①，理由见分析；②；③ 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点拨】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题为利用旋转求最短距离问题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据题意得到， ，根据等边三角形性质得到，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接﹒证明是等边三角形，得到﹒证明，得到，进而得到，从而得到点Q在经过定点R且的定直线上运动，即可得到当，线段的值最小，结合，求出，得到的最小值为1． 解：∵，点D是边的中点，点P是边上一个动点， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， 如图，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在经过定点R且的定直线上运动， ∴当，即时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，绕点A 顺时针旋转某个角度得到．已知，，、相交于点，、相交于点，则的度数为________．    【答案】20 【分析】由旋转知，，得，，可证，于是．可证． 解：由旋转知，，得，， ∴． ∴ ∴． ∵， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查旋转的性质，全等的性质，三角形内角和定理；理解旋转的性质是解题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 【答案】（1），，证明见分析；（2），，证明见分析；（3） 【分析】（1）根据等腰三角形性质证，得，，延长交于点F，由垂直定义得． （2）根据等腰三角形性质证，，，由垂直定义得，； （3）作，使得，则易证，，当P、E、B共线时，最小，最小值；当P、E、B共线时，最大，最大值，故，即可求解． 解：（1）结论：，． 证明：如图1中， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， 在和中 ∴， ∴，， 延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∴，； （2）结论：，． 证明：如图2中，设交于H，交于O． ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3）如图3，作，使得，由（1）（2）可得， ∴， 图4中，当P、E、B共线时，最小，最小值， 图5中，当P、E、B共线时，最大，最大值， ∴， 即． 【点拨】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． ★★★【题型 16】平移与旋转综合求面积 【例题16】（23-24七年级下·广东韶关·期中）如图1，已知平面直角坐标系上有点，，，连接，，，三角形记为“”． （1）把先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的； 【思维启迪】 （2）若点C的坐标是，D的坐标为，则 ①的面积是 ，的面积是 ； ②的面积 的面积（填“＞，＝，＜”） ③A、C、D三点所在的直线与x轴的位置关系是 ． 请你利用你发现的结论，尝试解决以下问题 【学以致用】 （3）如图2，E是x轴上方一点，点M的坐标是，若的面积与的面积相等，且点E到点A的距离是长度的2倍，求点E的坐标． 【答案】（1）见分析；（2）①4，4；②＝；③平行；（3） 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质，分别作出A，O，B的对应点，，即可； （2）①②利用三角形的面积公式计算，可得结论； ③利用图象法判断即可； （3）根据要求作出符合条件点点E即可． 解：（1）如图1中，即为所求； （2）①的面积是，的面积是； ②的面积 的面积=的面积； ③由图知，A、C、D三点的纵坐标相同 A、C、D三点所在的直线与x轴的位置关系是平行． 故答案为：①4，4；②=；③平行； （3）点E，点即为所求， ，． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，，，，点C、D均在边上，且，若的面积等于面积的，则直线的解析式为__________．    【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转，使得和重合，构造出直角三角，利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，利用旋转的性质证明全等，通过勾股定理设出未知数列方程求解，得到点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可. 解：将绕点A逆时针旋转，使得和重合，旋转后点C到点的位置，连接，则，过点A作于点H，    ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点的坐标是， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积等于面积的，， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中， ，即， 解得：， 即， ∵， 所以， ∴， 设直线的解析式为，把点A和点D的坐标代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 故答案为： 【点拨】此题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数解析式等知识， 用旋转构造直角三角形是本题的关键. 【变式3】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，在三角形中，已知是上的高，，点E是的一点，，． （1）求阴影部分的面积（用含a、b的式子表示）． （2）当，时，求阴影部分的面积的值． （3）三角形可以通过一种运动与三角形完全重合，请写出具体的运动方法：________． 【答案】（1）；（2）44；（3）绕点A顺时针旋转 【分析】本题考查旋转的性质，列代数式，代数式求值，解决本题的关键的掌握旋转的性质． （1）根据阴影部分的面积=三角形的面积-三角形的面积，代入a，b计算即可； （2）结合（1）代入值计算即可； （3）根据旋转的性质即可解决问题． 解：（1）解：阴影部分的面积=三角形的面积-三角形的面积 ； （2）解：当时， 阴影部分的面积 ； （3）解：三角形可以通过一种旋转运动与三角形完全重合， 具体的运动方法：三角形可以绕着点A顺时针旋转90度与三角形完全重合． 故答案为：三角形可以绕着点A顺时针旋转90度与三角形完全重合． ★★【题型 17】作图题：平移作图、旋转作图、对称中心作图 【例题17】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． （1）请在图中找出旋转中心O； （2）以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； （3）连接，求的长度． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】（1）根据题意可得和成中心对称，则点O即为线段与线段的交点，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点作图即可； （3）根据网格的特点和勾股定理求解即可． 解：（1）解：如图所示，点O即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，由网格的特点和勾股定理可得． 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的图形，轴对称的图形．根据旋转的图形，轴对称的图形的性质判断即可． 解：A、线段①与线段关于轴对称，正确，该选项不符合题意； B、线段①与线段关于轴对称，不是旋转得到的，原说法错误，，该选项符合题意； C、线段④与线段②关于点成中心对称，正确，该选项不符合题意； D、线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④，正确，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． （1）线段的长等于 ； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】（1）；（2）见分析． 【分析】（）根据网格特征即勾股定理即可求解； （）先作，再作即可； 本题考查了作图，勾股定理，格点图形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）由网格可知：， 故答案为：； （2）如图， 取格点，连接； 取格点，，连接与相交，得交点， ∴点即为所求： 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）平移得到，若的坐标为，则的坐标为 ； （2）若和关于原点O成中心对称，则的坐标分别为 ； （3）的面积为 ； （4）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见详解 【分析】（1）根据点平移可知平移情况； （2）根据中心对称的性质可得答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可； （4）根据旋转的性质作图即可． 解：（1）解：∵，， 向左移动3个单位，向下移动2个单位得到， ∵， ∴， （2）解：∵和关于原点O成中心对称，， ∴； （3）解：为：， （4）解：根据题意得 ★★★【题型 18】几何综合大题：平移或旋转构造全等，求最值、证明线段关系 【例题18】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，等腰中，，，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点位于第三象限，交x轴于点D，交y轴于点E． （1）求点A的坐标； （2）若，求线段的长； （3）在（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（与点C不重合），使得以P，B，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点P的坐标为或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式求解及图形的对称和平移． （1）通过构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点A的坐标； （2）先根据已知条件求出点B、C的坐标，进而求出直线的解析式，得到点E的坐标，从而求出的长； （3）根据全等三角形的性质，通过图形的对称和平移来找出符合条件的点P的坐标． 解：（1）解：如图，作轴，垂足为F， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点． （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 设线段的函数表达式为， 将，分别代入， 得，解得， ∴， 当时，， 即， ∴， ∴． （3）解：存在， 如图，作关于x轴对称的， ∴点C与点关于x轴对称，即， 设线段的函数表达式为， 将点和点代入， 得：，解得， ∴线段的函数表达式为，与x轴交点为， 即， 将线段平移得到线段，设线段的函数表达式为， 将点代入得：，解得， ∴线段的函数表达式为， 当时，则有，解得， ∴， ∴关于x轴的对称点， 综上所述，点P的坐标为或或． 【变式1】（25-26八年级上·福建莆田·期末）如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，平移，作辅助线如解析图，可得，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，进而问题可求解． 解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，由平移可知：， ∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当取最小值时，的度数为； 故选D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式的求解、全等三角形的判定与性质以及坐标平移的应用，先利用点的坐标求出直线的解析式，再通过全等三角形确定点的坐标，最后根据平移后点在直线上建立方程求解． 解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，过点作轴于点，过点作于点，则，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，则， 同理，证明， ∴，， ∴， ∴点的坐标为. 将正方形沿轴向下平移个单位后，点的对应点坐标为， ∵该点在直线上， ∴， 解得； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现规划修建一座过街人行天桥． （1）天桥应建在何处才能使由单位经过天桥走到单位的路程最短？在图②中作出此时桥的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）． （2）根据图①中提供的数据计算由单位经过天桥走到单位的最短路线的长（单位：）． 【答案】（1）画图见分析   作法见分析；（2） 【分析】（1）由经过天桥走到的最短路程为，由于是定值，因此只需要考虑使最短．因为它们是分散的两条线段，故先将其中一条平移，如图平移到，此时连接交于，即可得桥的位置； （2）过点作的垂线，垂足为，则由经过天桥走到的最短路线的长：，在中，运用勾股定理求出的长，即可求出最短路线的长． 解：（1）解：作法：①将点竖直向下平移到点，使（长度如题图①）， ②连接，与交于点， ③过点作于点， ④连接，． 天桥建在处能使由单位经过天桥走到单位的路程最短，如图①． （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图②． 由（1）得，，， 连接， ， 在和中 ， ， ． 在中，，， ， 则， ． 故由单位经过天桥走到单位的最短路线的长为． 【点拨】本题主要考查了平移最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，有一定难度，根据“两点之间，线段最短”找到桥址的位置是解题的关键． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·山东·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．（2024·四川资阳·中考真题）在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 解：点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为 故选：B． 3．（2025·湖南邵阳·三模）如图，点A的坐标是，B的坐标是，将绕点O顺时针旋转得到，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换——旋转，画出旋转后图形，根据旋转的性质可得，，由此可解． 解：点A的坐标是，B的坐标是， 轴，，， 将绕点O顺时针旋转得到，如图： 轴，，， 点的坐标是， 故选：B． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据y轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 解：∵直线（为常数）与y轴交于点A， 当时，， ∴， 将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到， ∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故选：A． 5．（2025·浙江台州·三模）在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了等边三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线（旋转三角形）将分散的角和线段关系集中，利用等边三角形和直角三角形的性质建立等量关系求解． 将绕点A顺时针旋转得到利用旋转性质得到结合等边三角形性质证为等边三角形，得通过角度计算推出；在中用勾股定理求出的长，进而得到的长． 解：将绕点A顺时针旋转，得到连接． ∵是等边三角形， ∴． 由旋转性质得：． ∴ ，即． 又∵ ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵ 是等边三角形，故． ∴． 在中，，， ∴斜边． 由勾股定理得：即 解得，． 故选：A． 6．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键． 先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为． 解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． （2） 填空题（6题） 7．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标． 解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为，即． 故答案为：． 8．（2023·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 【答案】1 【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可． 解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数． 9．（2025·四川凉山·中考真题）如图，将周长为20的沿方向平移2个单位长度得，连接，则四边形的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的不变性是解题的关键． 根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与、的和，再求解即可． 解：沿方向平移个单位长度得到， ，， 四边形的周长 的周长 ． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·四川泸州·三模）已知点关于原点的对称点为，且在直线上，把直线的图象向下平移2个单位后得到的直线解析式为_______． 【答案】/ 解：本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．先求出点的坐标，再求出k的值，最后根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 解：由题知， 点和点P关于原点对称，且点P的坐标为， 点的坐标为． 将点代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 将直线的图象向下平移2个单位后，所得直线的解析式为． 故答案为：． 11．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点，，，且．将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的纵坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的知识，熟练根据旋转的知识确定旋转后的位置是解题的关键． 作出旋转后的图形，再根据三角函数求出旋转后点的坐标即可． 解：由题意知，将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，每旋转4次则回到原位置， ∵， ∴第2025次旋转结束时，图形旋转了． 过点作于点E，过点作于点D，如图 有 ∵点，，，且． ∴，， ∴，， ∴，即，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为． 故答案为． 12．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是_______．    【答案】 【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可． 解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕O点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕C点顺时针旋转所得， ∴， 由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1， 又∵， 故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键． （3） 解答题（4题） 13．（2025·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点成中心对称的； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的； （3）内一点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查中心对称和旋转的作图，涉及中心对称点、旋转点的坐标变换规律； （1）根据中心对称点的坐标特征求出的对称点，再顺次连接； （2）根据旋转坐标变换规律求出旋转后点的坐标，再顺次连接即可； （3）根据关于原点中心对称的点的坐标特征是横、纵坐标都互为相反数，即可求解． 解：（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图所示，即为所求 （3）内一点关于原点的对称点的坐标为 故答案为：． 14．（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点C，过点C且与平行的直线交y轴于点D． （1）______；点C的坐标是______；直线的表达式是______； （2）直线与交于点E，在直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】（1）；；；（2）存在，或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用，一次函数的交点问题，坐标与图形变化—平移； （1）根据一次函数图象上点的坐标特征先求出m，可得点A的坐标，再根据平移求得点C的坐标，由直线与平行，可设直线的解析式为，代入点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）先求出点E坐标，根据可得点P到y轴的距离是点E到y轴的距离的2倍，然后分情况代入计算即可． 解：（1）解：点在直线上， ， ∴， 把点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， ， 直线与平行， 设直线的解析式为， 又直线过点， ∴， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：；；； （2）存在； 联立，解得， ． ， ∴点P到y轴的距离是点E到y轴的距离的2倍， 或， 把代入，得； 把代入，得； 或． 15．（2025·江西新余·三模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到 ．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作线段绕点顺时针旋转的得到的线段． （2）如图2，作关于直线的对称图形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了画旋转图形和画轴对称图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，延长交于点F，则线段即为所求；可证明，再证明可得； （2）延长交于点F，延长交于P，则即为所求；可证明，则可证明． 解：（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 16．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 （1）如图1，在中，，，，求点B到边的距离； 问题探究 （2）如图2，在中，，，以为斜边作等腰，连接，求的最大值； 问题解决 （3）如图3是某试验田的示意图，其中，，且，A、C之间的距离为．现要求从点A处修建一条笔直的水渠（点P在四边形的任意一条边上），且平分该试验田的面积，请问小王能否找到满足条件的点P？如果能，求出点P到的距离；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能， 【分析】（1）先利用勾股定理求得,再根据三角形面积公式，得到，求出即可； （2）将绕点顺时针旋转得到，使点与点重合，根据旋转的性质可得，再根据，可得出当点三点重合时，得出的最大值为8，再利用等腰直角三角形的性质求得即可； （3）先判断为能，再说理，先将绕点顺时针旋转得到，使得与重合，根据旋转的性质可得，再说明三点共线，然后利用三角形面积公式求得，再说明，从而可得，接着利用旋转的性质，得出，从而可得，再证明，列出，求得即可． 解：（1）解：如解图1，过点作于点， ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴点到边的距离为； （2）如解图2，将绕点顺时针旋转得到，使点与点重合． ∴． ∵， ∴当点三点重合时，有最大值， ∴的最大值为8． ∵， ∴． ∴的最大值为； （3）能． 如解图3，将绕点顺时针旋转得到，使得与重合， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴三点共线． ∵， ∴， ∴． 过点作交的延长线于点，连接． ∵与均是以为底边的三角形，且高相等， ∴． ∴． ∵由旋转性质可得，． ∴． 取的中点，连接，过点作于点，则即为所求． ∴． ∴． 解得． ∴点到的距离为． 【点拨】本题考查了利用旋转的性质求面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是利用旋转的性质说明相关线段相等． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.5 图形的平移与旋转（全章知识梳理+题型精析+中考模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平移及其性质 1 ★【题型 1】直接用平移性质求线段长、角度、面积 2 ★【题型 2】已知点坐标，求平移后坐标 3 ★【题型 3】已知原坐标与新坐标，判断平移方式 3 ★【题型 4】坐标系中画平移后的图形 5 ★★【题型 5】一次函数图像平移求解析式口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 7 ★★【题型 6】平移综合题：坐标 + 几何 + 面积 + 平行 8 【知识点二】旋转及其性质 9 ★【题型 7】找旋转中心、旋转角、旋转方向 9 ★★【题型 8】用旋转性质求线段长、角度 11 ★★【题型 9】旋转作图题 12 ★★【题型 10】平面直角坐标系中的旋转（求坐标、画图） 13 ★★【题型 11】旋转综合题：求线段关系、角度、面积、最值 15 【知识点三】中心对称 16 ★【题型 12】】判断是否为中心对称图形 17 ★【题型 13】利用中心对称求线段、角度 18 【知识点四】图形的平移与旋转综合题 19 ★★★【题型 14】平移、坐标、一次函数综合 19 ★★★【题型 15】旋转、三角形全等综合求角度与线段值 20 ★★★【题型 16】平移与旋转综合求面积 22 ★★【题型 17】作图题：平移作图、旋转作图 24 ★★★【题型 18】几何综合大题：平移或旋转构造全等，求最值、证明线段关系 25 二.中考模拟真题 27 （一）单选题（6题） 27 （二）填空题（6题） 28 （二）解答题（4题） 29 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】平移及其性质 1、平移定义：在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形运动叫平移; 2、平移二要素：平移方向、平移距离; 3、平移性质：（1）对应线段平行（或共线）且相等；（2）对应角相等；（3）对应点所连线段平行（或共线）且相等；（4）图形形状、大小、周长、面积都不变; 4、平面直角坐标系中点的平移规律：设点的坐标为（） （1）左右平移（只改变横坐标）：向右平移个单位（）；向左平移个单位（）. （2）上下平移（只改变纵坐标）：向右平移个单位（）；向左平移个单位（）. ★【题型 1】直接用平移性质求线段长、角度、面积 【例题1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，在直角三角形中，，，将三角形沿方向平移得到三角形． （1）求的度数． （2）若，求出的长． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，由平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西延安·一模）如图，将沿直线方向平移到的位置（点A、B、C的对应点分别是点、、），延长、相交于点D．若，则的度数为______． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，平移后得到 （1），，求的度数； （2）若，，求平移的距离． ★【题型 2】已知点坐标，求平移后坐标 【例题2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）（1）点向下平移2个单位后的坐标是______； （2）直线向右平移2个单位后的解析式是_______； （3）已知直线交y轴于点A，交x轴于B，将直线沿x轴翻折，求翻折后的直线的解析式． 【变式1】（24-25九年级下·广东佛山·期中）把平面直角坐标系上一点向上平移个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是．将点向右平移3个单位长度，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是_____． 【变式3】（23-24七年级下·河北保定·期中）在平面直角坐标系中点A的坐标为． （1）若点A在x轴上，求点A的坐标； （2）若点A在过点B且与x轴平行的直线上，求点A的坐标； （3）若将点A沿与x轴平行的直线上运动，平移2个单位后得到的点A恰好落在y轴上，求x的值． ★【题型 3】已知原坐标与新坐标，判断平移方式 【例题3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，有三个点，是的边上一点，经平移后得到，点P的对应点为． （1）写出点的坐标． （2）写出A点关于x轴对称的点的坐标 ；写出B点关于y轴对称的点的坐标 ． （3）求三角形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【变式2】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则______． 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，是由经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点和点的坐标；（___，___）；（___，___） （2）若点是内一点，它随按如图方式平移后得到的对应点为，求和的值． ★【题型 4】坐标系中画平移后的图形 【例题4】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． 则 （1）点的坐标为 ； （2）在图中画出； （3）的面积为 ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式2】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，平移线段，使点M落在点处，则点N对应的点的坐标为___________． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）画出向上平移4个单位，再向右平移5个单位得到的； （2）作出点关于轴的对称点．若把点向右平移个单位长度后落在的内部（不包括顶点和边界），请写出满足条件的的取值范围______； （3）在轴上画出点，使的值最小． ★★【题型 5】一次函数图像平移求解析式口诀：左加右减自变量，上加下减常数项 【例题5】（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． （1）若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． （2）当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则b的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（24-25八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，得到点，点在直线上．如果一次函数的图象与线段有公共点，则的取值范围为______． 【变式3】（23-24八年级下·广西河池·期末）在平面直角坐标系中， （1）点和点在一次函数的图象上．求该一次函数的解析式，并画出它的图象； （2）点向左平移3个单位长度，得到点D．若一次函数的图象与线段有公共点，求m的取值范围． ★★【题型 6】平移综合题：坐标 + 几何 + 面积 + 平行 【例题6】（24-25七年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点． （1）如图①，三角形的面积为___________； （2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，求三角形的面积； （3）在（2）条件下，点是平面内一动点，若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求点的坐标． 【变式1】（2023·天津南开·三模）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点G，，，的面积为4，下列结论错误的是（    ）    A． B．平移的距离是4 C． D．四边形的面积为16 【变式2】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______． 【变式3】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． （1）若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） （2）若，求的值； （3）若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【知识点二】旋转及其性质 1、旋转定义：在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，叫作旋转； 2、旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。旋转角对应点与旋转中心连线的夹角； 3、旋转性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等，（2）对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，（3）对应线段相等，对应角相等，（4）图形形状、大小不变； 4、旋转作图步骤：（1）确定旋转中心、方向、角度（2）连接关键点与旋转中心（3）作等角，截取等长线段（4）得到所有对应点（5）顺次连接对应点。 ★【题型 7】找旋转中心、旋转角、旋转方向 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将绕点O顺时针旋转得到，E，F分别是，的中点． （1）在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）与的长有什么关系？与呢？ （3）与的度数大小有什么关系？ 【变式1】（25-26七年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是______． 【变式3】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在等边中，点D是边上的点，以为边作等边，连结． （1）填空：可以看成△________以点________为旋转中心，________时针旋转________度得到； （2）若，求的度数． ★【题型 8】用旋转性质求线段长、角度 【例题8】（24-25九年级上·广东湛江·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将绕着点旋转后得到． （1）在图中画出； （2）点的对用点的坐标是______；和的位置关系是______． 【变式1】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，将绕点逆时针旋转到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为_____． 【变式3】（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B的对应点为点D，点C的对应点F落在边上，连接． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． ★【题型 9】旋转作图题 【例题9】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）将绕点A顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【变式1】（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【变式2】（2025·山东淄博·一模）如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是______． 【变式3】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点），已知点A和点B的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出点B关于原点对称的点，并写出点的坐标． （2）在所给的网格图中画出绕点O顺时针旋转后的． ★★【题型 10】平面直角坐标系中的旋转（求坐标、画图） 【例题10】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）点C关于原点对称点的坐标为___________； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； （3）若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 【变式1】（2025·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，原点O是等边三角形的中心．若点A的坐标为，将绕着点O逆时针旋转 ，使点A落在点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 【变式3】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； （2）求的面积． ★★【题型 11】旋转综合题：求线段关系、角度、面积、最值 【例题11】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） （1）当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； （2）当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【变式2】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 【变式3】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒． （1）射线和重合时，求的值． （2）射线与重合时，求的值． （3）求为何值时，． 【知识点三】中心对称 1、定义：中心对称把一个图形绕某一点旋转 180°，能与另一个图形重合，叫作中心对称。中心对称图形一个图形绕自身某点旋转 180° 能与自身重合； 2、中心对称性质：（1）对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分，（2）对应线段平行（或共线）且相等，（3）成中心对称的两个图形全等； 3、坐标系中点关于原点对称：点（）关于原点对称（） ★【题型 12】】判断是否为中心对称图形 【例题12】（24-25九年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，与关于点C成中心对称，若，求的长． 【变式1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·月考）如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的四张扑克牌中，哪一张的牌面是中心对称图形？是中心对称图形的，请画出它的对称中心． ★【题型 13】利用中心对称求线段、角度 【例题13】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． （1）图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ （2）若的面积为4，求的面积． 【变式1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形关于点成中心对称，，则的度数为_____，的长度为_____． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 【知识点四】图形的平移与旋转综合题 解决图形的平移与旋转综合题，先确定平移距离、方向和旋转中心、角度、方向，抓住对应点、对应线段、对应角相等的核心性质；再通过作辅助线、构造直角三角形，利用勾股定理或特殊三角形求边长、角度；最后结合全等、相似、坐标运算验证结论，按 “找变换要素→定对应关系→算边长角度→证结论” 的思路逐步求解。 ★★★【题型 14】平移、坐标、一次函数综合 【例题14】（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在直角坐标系中，一次函数的图像l1与y轴交于点A（0，2），与一次函数y＝x﹣3的图像l2交于点E（m，﹣5）． （1）求m的值及l1的表达式． （2）直线l1与x轴交于点B，直线l2与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积． （3）如图，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l1或l2有交点，直接写出a的取值范围． 【变式1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别与轴交于点，，则关于，的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南驻马店·三模）如图，将置于第一象限内，一次函数的图象经过中点，将沿射线平移，当点的对应点与点M重合时，则点A的对应点坐标为___________． 【变式3】（24-25八年级下·北京门头沟·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，得到点B，点B在直线上． （1）求m的值和点B的坐标； （2）如果一次函数的图象与线段有公共点，求k的取值范围． ★★★【题型 15】旋转、三角形全等综合求角度与线段值 【例题15】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． （1）如图1，当点M落在边上时，求线段的长； （2）如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【变式2】（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，绕点A 顺时针旋转某个角度得到．已知，，、相交于点，、相交于点，则的度数为________．    【变式3】（23-24九年级上·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． ★★★【题型 16】平移与旋转综合求面积 【例题16】（23-24七年级下·广东韶关·期中）如图1，已知平面直角坐标系上有点，，，连接，，，三角形记为“”． （1）把先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的； 【思维启迪】 （2）若点C的坐标是，D的坐标为，则 ①的面积是 ，的面积是 ； ②的面积 的面积（填“＞，＝，＜”） ③A、C、D三点所在的直线与x轴的位置关系是 ． 请你利用你发现的结论，尝试解决以下问题 【学以致用】 （3）如图2，E是x轴上方一点，点M的坐标是，若的面积与的面积相等，且点E到点A的距离是长度的2倍，求点E的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·月考）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴的正半轴上，，，，点C、D均在边上，且，若的面积等于面积的，则直线的解析式为__________．    【变式3】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，在三角形中，已知是上的高，，点E是的一点，，． （1）求阴影部分的面积（用含a、b的式子表示）． （2）当，时，求阴影部分的面积的值． （3）三角形可以通过一种运动与三角形完全重合，请写出具体的运动方法：________． ★★【题型 17】作图题：平移作图、旋转作图、对称中心作图 【例题17】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． （1）请在图中找出旋转中心O； （2）以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； （3）连接，求的长度． 【变式1】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 【变式2】（23-24八年级下·天津和平·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均在格点上． （1）线段的长等于 ； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点关于直线的对称点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）平移得到，若的坐标为，则的坐标为 ； （2）若和关于原点O成中心对称，则的坐标分别为 ； （3）的面积为 ； （4）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． ★★★【题型 18】几何综合大题：平移或旋转构造全等，求最值、证明线段关系 【例题18】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，等腰中，，，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点位于第三象限，交x轴于点D，交y轴于点E． （1）求点A的坐标； （2）若，求线段的长； （3）在（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（与点C不重合），使得以P，B，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·福建莆田·期末）如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，，两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线，是街道两边沿，现规划修建一座过街人行天桥． （1）天桥应建在何处才能使由单位经过天桥走到单位的路程最短？在图②中作出此时桥的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）． （2）根据图①中提供的数据计算由单位经过天桥走到单位的最短路线的长（单位：）． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2025·山东·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川资阳·中考真题）在平面直角坐标系中，将点沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南邵阳·三模）如图，点A的坐标是，B的坐标是，将绕点O顺时针旋转得到，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 5．（2025·浙江台州·三模）在等边中，为内的一点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 6．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 （2） 填空题（6题） 7．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 8．（2023·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 9．（2025·四川凉山·中考真题）如图，将周长为20的沿方向平移2个单位长度得，连接，则四边形的周长为______． 10．（23-24九年级上·四川泸州·三模）已知点关于原点的对称点为，且在直线上，把直线的图象向下平移2个单位后得到的直线解析式为_______． 11．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限，点，，，且．将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C的纵坐标为_________． 12．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是_______．    （3） 解答题（4题） 13．（2025·四川广安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出与关于原点成中心对称的； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的； （3）内一点关于原点的对称点的坐标为________． 14．（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点C，过点C且与平行的直线交y轴于点D． （1）______；点C的坐标是______；直线的表达式是______； （2）直线与交于点E，在直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 15．（2025·江西新余·三模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到 ．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作线段绕点顺时针旋转的得到的线段． （2）如图2，作关于直线的对称图形． 16．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 （1）如图1，在中，，，，求点B到边的距离； 问题探究 （2）如图2，在中，，，以为斜边作等腰，连接，求的最大值； 问题解决 （3）如图3是某试验田的示意图，其中，，且，A、C之间的距离为．现要求从点A处修建一条笔直的水渠（点P在四边形的任意一条边上），且平分该试验田的面积，请问小王能否找到满足条件的点P？如果能，求出点P到的距离；如果不能，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $