2026年中考数学一轮复习学案 17 多边形与平行四边形

中考数学一轮复习学案 17 多边形与平行四边形 ■考点一　多边形的相关概念► 1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形 。 2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的 对角线 。 3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引 （n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了 (n－2) 个三角形，n边形的对角线条数为 。 4）多边形内角和定理：n边形的内角和为 (n−2)∙180°（n≥3） 。 5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 360° ，与多边形的形状和边数无关。 6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做 正多边形 。 7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360°；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形、正方形、正六边形。如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。 ■考点二　平行四边形的性质与判定► 1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形 。 2）平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。 4）补充性质： （1）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积和周长。 （2）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE。 （3）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。 （4）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD。 5）平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ■考点三　中位线► 1）三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。 2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 3）三角形中位线定理的作用：（1）证明位置关系：可以证明两条直线平行；（2）证明数量关系：可以证明线段的倍分关系。 4）常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 ■易错提示► 1.多边形的有关计算的公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误； 2.切记一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。 一、单选题 1．已知正多边形的一个内角为，则这个多边形是 A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 2．如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（　　） A． B． C． D． 3．已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引　　条对角线． A．6 B．7 C．8 D．9 4．下列命题中的假命题是（　　） A．对角线互相平分的四边形是中心对称图形 B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形 C．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形 D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 5．如图，在▱ABCD中，AB=8，∠ABC=60°，BE 平分∠ABC，交边 AD 于点E，连结CE，若AE=2ED，则CE的长为 （　　） A．6 B．4 C．4 D．2 6．如图，在平行四边形中，为的中点，延长至点，使，连接交于点，则等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（　　） A．AE＝BC B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF 8．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么（　　)。 ①再加上条件“BC=AD”，四边形ABCD一定是平行四边形； ②再加上条件“∠BAD=∠BCD”，四边形ABCD一定是平行四边形； ③再加上条件“AO=CO”，四边形ABCD一定是平行四边形； ④再加上条件“∠DBA=∠CAB”，四边形ABCD一定是平行四边形。 A．①和② B．①③和④ C．②和③ D．②③和④ 9．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC=12，DE=10，则BG的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 11．如题图，在平行四边形中，，，以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点P，交于点Q，分别以P、Q为圆心，大于为半径画弧交于点M，连接并延长，交于点E，连接，则（　　） A．平分 B． C． D． 12．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB·AC；③OB=AB；④OE=BC.其中成立的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 13．如图，已知是正五边形的两条对角线，则　 　度． 14．过正八边形的一个顶点有　 　条对角线． 15．如图，在五边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则　 　． 16．已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为　 　． 17．在平行四边形中，点，在边上，把沿直线折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为　 　． 三、解答题 18． 如图， 在△ABC中， ∠ABC=90°， D为AC的中点， 点E在BC上， 过A点作BC的平行线交ED的延长线于点 F， 连接AE， CF. （1）求证：四边形AECF为平行四边形； （2） 若 且EF⊥AC， 求CE的长. 19．如图，在四边形ABCD中，AB=8cm， BC=6cm，∠B=90°，CD// AB，O是AC的中点，连结DO并延长，交AB于点E，连结CE. （1）求证：四边形AECD是平行四边形. （2）若 CE 平分∠ACB，求 AD 的长. 20．如图，平行四边形中，连接． （1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，，求证：； （3）若，，求的长． 21． 如图所示，AM 是△ABC 的中线，D 是线段AM 上一点（不与点 A 重合）.CE∥AM，DE∥AB，DE交AC 于点F，连结AE. （1）如图甲所示，当点 D 与点 M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形. （2）如图乙所示，当点 D 不与点M 重合时，（1）中的结论还成立吗?请说明理由. （3）如图丙所示，延长BD 交AC 于点H，若BH⊥AC且BH=AM，当 时，求 DH 的长. 22．如图 （1）用数学的眼光观察．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达．如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵正多边形的一个内角为150° ∴与这个内角相邻的外角为：180°-150°=30° ∵正多边形的每个内角都相等 ∴正多边形的每个外角都相等，都为30° ∵正多边形的外角和为360° ∴正多边形的本数为：360°÷30°=12 ∴这个正多边形是正十二边形， 故答案为：D. 【分析】根据正多边形的性质和已知条件求出它的一个外角，再根据正多边形的外角和是360°，列出算式进行计算即可. 2．【答案】C 3．【答案】B 【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，由题意得 解方程得： 则从一个顶点可引10-3，即7条对角线 故答案为：B. 【分析】从n边形的一个顶点最多引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，则多边形的内角和为，但任意n边形的外角和都是. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是中心对称图形，真命题，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是轴对称图形，真命题，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是中心对称图形，真命题，不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，假命题，符合题意， 故答案为：D． 【分析】根据平行四边形判定定理与性质，矩形的判定定理与性质，菱形的判定定理与性质，等边三角形性质，结合中心对称图形，轴对称图形定义逐项进行判断即可求出答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D=∠ABC=60°，CD=AB=8，AD//BC ∴∠AEB=∠​​​​​​​CBE ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠CBE ∴∠ABE=∠AEB， ∴AE=AB=8， ∵​​​​​​​AE=2ED， ∴2ED=8， ∴ED=4， 如图，过点E作EF⊥CD于点F， 则∠EFC=∠EFD=90°， ∴∠EFD=90°-∠D=90°-60°=30° ∴， ∴，CF=CD-DF=8-2=6， ∴ 故答案为：C. 【分析】由平行四边形的性质得∠D=∠​​​​​​​ABC=60°，CD=AB=8，AD//BC，再证∠ABE=∠AEB，则AE=AB=8，过点E作EF⊥CD于点F，则∠EFD=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得，则，CF=6，即可解决问题. 6．【答案】A 【解析】【解答】∵平行四边形中，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：A 【分析】根据平行四边形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案. 7．【答案】A 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， ∴①不正确； ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴②正确； 又∵AO=CO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴③正确； ∴四边形ABCD不一定是平行四边形， ∴④不正确， 故答案为：C. 【分析】根据平行四边形的判定定理判断①即可；根据两组对边分别平行判断②；先根据AAS得到△AOC≌△BOD，即可得到BO=OD，再根据两组对角线的互相平分判断③；根据平行得到△AOB∽△COD，即可得到CO=DO，根据对角线互相平分判断④解答即可. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE//BC， ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠GCF=∠ACF ∵DE//BC ∴∠GCF=∠EFC， ∴∠ACF=∠EFC ∴， ∴DF=DE-EF=10-6=4， ∴BG=2DF=8 故答案为：B . 【分析】根据中位线性质求出DE//BC，，根据等腰三角形的性质与判定求出EF=EC=6，再求出DF的长，最后可得答案. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：四边形是菱形， ，， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 【分析】 由于菱形的对角线互相垂直平分，则可利用勾股定理求得BO的长，再利用三角形中位线定理即可求得EF的长． 11．【答案】A 【解析】【解答】解：由作图可知平分，故选项A正确，符合题意； 则， 在平行四边形中，，， ∴，，故B不正确，符合题意； 则， ∴， ∴，则， 故无法判断选项C，D是否正确，不符合题意. 故选：A． 【分析】根据作图可知平分，故选项A正确，符合题意；根据平行四边形的判定性质可得，故B不正确，不符合题意；根据平行线的性质及角平分线的定义可知，则，故无法判断选项C，D是否正确，不符合题意. 12．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°， ∠BAD=120°，OA=OC， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠EAD=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴АЕ=АВ=ВЕ，∠AEB=60°， ∵ AB=BC ， ∴ BE=BC=AE， ∴CE=AE， ∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°. ∴∠BAC=90°， ∴∠CAD=30°，S平行四边形ABCD=AB·AC，故①②都正确； ∵ BO是直角三角形ABO的斜边，∴OB>AB，故③错误； ∵OA=OC，CE=AE=BE， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE=AB=BC，故④正确， 综上正确的有①②④. 故答案为：B. 【分析】由平行四边形对角相等邻角互补及角平分线的定义易得△ABE是等边三角形，得АЕ=АВ=ВЕ，∠AEB=60°，由AB=BC，证得∠CAD=30°，继而证得AC⊥AB，得S平行四边形ABCD=AB·AC；证明OE是三角形的中位线，证得4OE=BC. 13．【答案】36 14．【答案】5 【解析】【解答】解：过正八边形的一个顶点有条对角线； 故答案为：5． 【分析】从边形的一个顶点出发，可以引出条对角线，代入计算即可. 15．【答案】 【解析】【解答】解：在中，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【分析】根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案. 16．【答案】3 17．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，且沿直线折叠，沿直线折叠， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：. 【分析】根据平行四边形的性质和折叠的性质得到：，，，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 18．【答案】（1）证明： ∵ D为AC的中点， ∴AD=CD， ∵AF∥BC， ∴∠DAF =∠DCE， ∠DFA=∠DEC， 在△ADF和△CDE中， ∴AF=CE， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形； （2）解： ∵∠ABC=90°， AC=2 ， AB=2， ∵四边形AECF为平行四边形， EF⊥AC， ∴平行四边形AECF为菱形， ∴AE=CE， 设AE=CE=x(x>0)， 则BE=BC-CE=4-x， 在Rt△ABE中， 即 解得 ​​​​​​​ 【解析】【分析】(1)先证出△ADF≌△CDE， 根据全等三角形的性质可得AF=CE，再根据平行四边形的判定即可得证； (2)先利用勾股定理可得BC =4，再证出平行四边形AECF为菱形，根据菱形的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理求解即可得. 19．【答案】（1）证明：∵CD//AB， ∴∠DCO=∠EAO，∠CDO=∠AEO. ∵O是AC的中点，∴CO=AO， ∴ΔAOE≌ΔCOD (AAS)， ∴CD=AE， ∴四边形AECD是平行四边形. （2）解：过点E作EH⊥AC于点H，设EH=3x. ∵CE平分∠ACB， ∴BE=EH=3x， ∵AB=8cm， BC=6cm，即 tan∠CAB= ∴AH=4x，AE=5x， ∵AB=8cm， ∴AE+BE=8x=8，即x=1， 【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质、中点的定义，根据AAS证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质可得CD=AE，再结合平行线的性质可证明结论； （2）设EH=3x，先根据角平分线的性质可得BE=EH，再利用正切的定义求得AH与AE，再根据AB列方程求得出x；进而求得BE=3，然后利用勾股定理求得AD． 20．【答案】（1）解：如图，即为所作； （2）证明：∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， 在和中， ∴. （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． ​​​​​​ 【解析】【分析】（1）利用线段的垂直平分线的作图方法和步骤分析求解即可； （2）先利用平行线的性质可得，，再利用“AAS”证出即可； （3）利用全等三角形的性质可得OM=ON，再利用垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求出OD的长，最后求出即可． 21．【答案】（1）证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠ABM.∵CE∥AM，∴∠ECD=∠ADB. 又∵AM是△ABC的中线，且点D与点M重合，∴BD=DC.在△ABD与△EDC中， ∴ △ABD≌△EDC(ASA)， ∴ AB=ED. 又∵ AB∥DE， ∴四边形ABDE为平行四边形 （2）解：结论成立.理由如下：如图甲所示，过点M作MG∥DE交EC于点G.∵CE∥AM， ∴四边形DMGE为平行四边形，∴ED平行且等于GM.由(1)知AB平行且等于GM， ∴AB平行且等于ED，∴四边形ABDE为平行四边形 （3）解：如图乙所示，取线段HC的中点I，连结MI，则MI是△BHC的中位线， ∴MI平行且等于又∵BH⊥AC，且BH=AM，∴MI=AM，MI⊥AC，∴∠CAM=30°. 设DH=x，则AH=x，AD=2x，∴AM=4+2x，∴BH=4+2x. 由(2)知四边形ABDE为平行四边形，即解得(不合题意，舍去)， 【解析】【分析】(1)l利用平行线的性质可知∠EDC=∠ABM，∠ECD=∠ADB，再利用ASA证明△ABD≌△EDC，即可推出四边形ABDE是平行四边形； (2)过点M作MG//DE交CE于G，由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED//GM，由(1)可知AB=GM，AB//GM，可知AB//DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形； (3)取线段HC的中点I，连结MI，设DH=x，则AH=x，AD=2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出，解方程即可求解. 22．【答案】（1）证明： 是对角线 的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）证明：是对角线的中点，是的中点， ， 同理，. 由（1）可知， （3）证明：是直角三角形，证明如下：如图，取的中点，连接，， ∵是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 【解析】【分析】（1）根据线段中点可得，，再根据边之间的关系可得PM=PN，再根据等边对等角即可求出答案. （2）根据三角形中位线定理可得，则，同理，，由（1）可知，则，即可求出答案. （3）取的中点，连接，，根据中点性质可得，，同理，，，根据等边对等角可得，再根据直线平行性质可得，，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则CN=GN，则DN=GN，由等边对等角可得，再根据角之间的关系可得∠CGD=90°，再根据直角三角形判定定理即可求出答案. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $