04 第一章 第四节 二次根式-【智乐星中考·中考备战】2026年山东省中考数学讲练本PPT课件（六三制）

1 2 第四节　二次根式 第一、二章 3 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 4 知识点1　二次根式的概念 1. 二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，“”称为二次根号. 2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. 5 3. 最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式. 4. 同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次根式，如是同类二次根式. 6 知识点2　二次根式的性质 1. 的双重非负性： 2. ()2=________(a≥0).   3. =________. [中，a的取值范围是全体实数；化简时， 不要忽略a<0的情况]  4. =________(a≥0，b≥0).   5. =________(a≥0，b>0).   a |a| · 7 知识点3　二次根式的运算 1. 二次根式的加减：先将二次根式化成______________，再将 _________________的二次根式进行合并.   2. 二次根式的乘除法法则 (1)二次根式的乘法：·=______ (a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘， 把被开方数______，根指数不变.   (2)二次根式的除法：=__________(a≥0，b>0)，即两个二次根式相除， 把被开方数______，根指数不变.   最简二次根式 被开方数相同 相乘 相除 8 知识点4　二次根式的估值 1. 确定一个数在哪两个相邻整数之间 (1)先对根式平方，如()2=7. (2)再找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如与7相邻且开得尽方的整数为4和9. (3)最后同时开方，即可确定这个根式的值在哪两个相邻整数之间. 例如：=2，=3，则2<<3. 9 2. 确定一个数离哪个整数较近 (1)确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间，如2<<3. (2)求这两个整数的平均数，如=2. 5. (3)用平方法比较根式与平均数的大小，若根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近. 例如：()2=7，2. 52=6. 25，7>6. 25，所以离较大的整数3近. 注：记住常见开方数的值可以快速解题，如≈1. 414，≈1. 732，≈2. 236. 10 3. 确定的整数部分 (1)确定在哪两个连续整数之间，如m≤≤m+1(m为整数)； (2)确定整数部分：的整数部分为m，小数部分为-m. 11 命题点1　二次根式有意义的条件　 1. 【典例】 (2024·烟台)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______.   x>1 12 【易错警示】 　　二次根式有意义的条件是被开方数≥0，若二次根式在分母上，则被开方数>0. 13 2. (2025·北京)若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________.   x≥1 【解析】 根据题意得3x-3≥0,解得x≥1. 故答案为x≥1. 14 3. (2025·广州)要使代数式有意义，则x的取值范围是___________.   x≥-1且x≠3 【解析】 要使代数式有意义,则x+1≥0且x-3≠0, 解得x≥-1且x≠3. 故答案为x≥-1且x≠3. 15 命题点2　二次根式的概念及性质　 4. 【典例】 下列二次根式中，是最简二次根式的是________. (填序号).   ①；②；③；④. 5. 把x根号外的因数移到根号内，结果是(　　) A. B. C. - D. - ①③④ 16 【解析】 由x可知x<0, ∴x=-=-. 故选C. 17 命题点3　二次根式的运算　 6. 【典例】 (2024·济宁)下列运算正确的是(　　) A. += B. ×= C. 2÷=1 D. =-5 【解析】 和不是同类项,故A选项错误. ×=,故B选项正确. 2÷=,故C选项错误. =|-5|=5,故D选项错误.故选B. 18 7. 下列计算正确的是(　　) A. += B. ±=±3 C. -=3 D. -=-3 【解析】 A.+=2+3=5,故该项不正确,不符合题意. B.±=±3,故该项正确,符合题意. C.-=-3,故该项不正确,不符合题意. D.-=3,故该项不正确,不符合题意. 故选B. 19 8. (2025·青岛)计算：-()0. 解:原式=-1=8-1=7. 20 命题点4　二次根式的估值　 9. 【典例】 【新设问·结果开放】(2024·滨州)写出一个比大且比 小的整数_________________.   思维导引：找出比()2大的数→再从中找出比()2小的数→将找到的数进行开方. 2(答案不唯一) 【解析】 ∵<<, ∴<2<, ∴比大且比小的整数有2.故答案为2.(答案不唯一) 21 10. 已知a=，b=2，c=，则a，b，c的大小关系是(　　) A. b>a>c B. a>c>b C. a>b>c D. b>c>a 【解析】 ∵a=,b=2,c=,∴2<a<3,1<c<2, ∴a>b>c.故选C. 22 11. (2025·天津)估计1+的值在(　　) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【解析】 ∵<<, ∴2<<3,∴3<1+<4. 故选C. 23 12. (2025·烟台)实数3的整数部分为________.   4 【解析】 ∵3=,4<<5, ∴4<3<5, ∴实数3的整数部分为4.故答案为4. 24 13. (2025·重庆)若n为正整数，且满足n<<n+1，则n=________.   5 【解析】 ∵<<, ∴5<<6. ∵n<<n+1, ∴n=5. 故答案为5. 25 命题点5　二次根式非负性的运用　 14. 【典例】 若y=+-3，则xy=________.   【解题通法】 ①如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数每个都必须为0； ②非负性常见于绝对值、偶次方、二次根式中，若与同时存在，则都为0，即a=1. 26 【解析】 由题意得2x-4≥0且4-2x≥0, 解得x=2, ∴y=-3, ∴xy=2-3=. 故答案为. 27 15. (2024·乐山)已知1<x<2，化简+|x-2|的结果为(　　) A. -1　　　B. 1　　　C. 2x-3　　　D. 3-2x 【解析】 ∵1<x<2, ∴+|x-2|=x-1+2-x=1.故选B. 28 16. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a|--结果 为________.   0 29 【解析】 由数轴可得a<0,b>0,|a|>|b|, ∴a+b<0, ∴|a|-- =-a-b+(a+b) =-a-b+a+b =0. 故答案为0. 30 【易错点加练】 易错点1　只满足二次根式有意义而忽略分母不为0 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是(　　) A. x≠　 B. x≠　 C. x>　 D. x> 31 易错点2　忽视二次根式内外“两重天” 2. 计算，小红计算的过程如下： ==5. 她的计算正确吗？请写出你的解答过程. 解：不正确. 原式==. 32 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 33 【解析】 A.=2,故该选项错误,不符合题意. B.=,故该选项错误,不符合题意. C.=5,故该选项错误,不符合题意. D.是最简二次根式,故该选项正确,符合题意.故选D. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 34 2. (2024·重庆A卷)已知m=-，则实数m的范围是(　　) A. 2<m<3 B. 3<m<4 C. 4<m<5 D. 5<m<6 【解析】 m=3-=2=. ∵9<12<16,∴3<<4,∴3<m<4.故选B. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 35 3. 已知a<b，则化简二次根式的正确结果是(　　) A. -a B. -a C. a D. a 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 36 【解析】 ∵有意义, ∴-a3b≥0, ∴a3b≤0. 又∵a<b, ∴a<0,b≥0, ∴=-a. 故选A. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 37 4. (2025·广东)计算×的结果是(　　) A. 3 B. 6 C. D. 2 【解析】 原式==6, 故选B. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 38 5. 如果1<a<，那么+|a-2|的值是(　　) A. 6+a B. 1 C. -a D. -6-a 【解析】 ∵1<a<,∴+|a-2|=+2-a=a-1+2-a=1.故选B. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 39 6. 【新设问·结果开放】(2025·山东一模)请写出一个二次根式 ________________，使它满足只含有一个字母x，且当x≥2时有意义.   (答案不唯一) 【解析】 由题意可知满足条件. 故答案为.(答案不唯一) 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 40 7. 已知m是的小数部分，则的值为________.   4 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 41 【解析】 ∵m是的小数部分,∴m=-2. 原式==|m-|. ∵m=-2,∴==+2,即>m, ∴原式=-(m-) =-m+ =-(-2)++2 =4.故答案为4. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 42 8. 计算：|-|+(-)2-(+)2. 解:原式=2+(-++)×(---) =2+2×(-1) =0. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 43 9. 计算：2×÷5. 解:原式=4×÷5 =3× =. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 44 10. 计算：3×(-)÷. 解:原式=-3××2× =-×=-×10 =-. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 45 11. 已知+=0，求(x+y)2的值. 解:由题意知x-2y=0,3x+2y-8=0. 联立得解得则(x+y)2=32=9. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 46 47 $