专题02 圆柱和圆锥的体积（期中专项训练）数学北师大版六年级下册

专题02 圆柱和圆锥的体积 （9种类型90道） 目录 题型一、圆柱的体积 1 题型二、圆柱的容积 8 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 15 题型四、圆柱与圆锥的体积关系 21 题型五、圆锥的体积（容积） 27 题型六、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 35 题型七、立体图形的切拼（圆锥 ） 42 题型八、组合体的体积（圆柱、圆锥） 49 题型九、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 58 题型一、圆柱的体积 1．一个圆柱的底面半径4cm，高5cm，它的侧面积是( )cm2，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 125.6 226.08 251.2 【分析】根据圆柱的侧面积：S＝2πrh，圆柱的表面积：S＝2πr2＋2πrh，圆柱的体积：V＝πr2h，分别代入数据计算，即可分别求出圆柱的侧面积、表面积、体积。 【详解】侧面积：2×4×3.14×5＝125.6（cm2） 表面积：42×3.14×2＋2×4×3.14×5 ＝16×3.14×2＋2×4×3.14×5 ＝100.48＋125.6 ＝226.08（cm2） 体积：42×3.14×5 ＝16×3.14×5 ＝251.2（cm3） 一个圆柱的底面半径4cm，高5cm，它的侧面积是125.6cm2，表面积是226.08cm2，体积是251.2cm3。 2．如图所示，鹏鹏将一张长方形纸剪成如下形状，正好可以拼成一个圆柱，则这个圆柱的体积是多少立方分米？ 【答案】1.57立方分米 【分析】由题可知，小长方形是圆柱侧面展开图，所以小长方形的长应等于底面圆周长，小长方形的宽等于圆柱的高。因此大长方形的长等于圆柱底面圆的周长加上底面圆的直径。设底面直径为d分米，根据圆周长＝圆周率×直径，可得圆柱底面圆的周长为πd分米，由此可得方程：d＋3.14d＝4.14，解出方程，即可求出底面直径，再根据半径＝直径÷2，可求出底面半径，小长方形的宽等于圆柱的高，即圆柱的高等于两个等圆直径之和，最后利用圆柱体积＝底面积×高，代入数据，即可求出这个圆柱的体积。 【详解】解：设底面直径为d分米。 d＋3.14d＝4.14 4.14d＝4.14 d＝4.14÷4.14 d＝1 半径：1÷2＝0.5（分米） 高：1×2＝2（分米） 3.14×0.52×2 ＝3.14×0.25×2 ＝1.57（立方分米） 答：这个圆柱的体积是1.57立方分米。 3．淘气制作了底面积相等的三种塑料模具（如图），并向三个模具倒满水，哪个模具装的水多（厚度忽略不计）？（    ） A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．一样多 【答案】D 【分析】已知三种模具的底面积相等，高也相等，根据圆柱、长方体、正方体体积公式：圆柱的体积＝底面积×高，长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝底面积×高，得出它们的容积相等，所以三个模具装的水一样多，据此解答。 【详解】根据分析可知，淘气制作的底面积相等的三种塑料模具容积相等，所以向三个模具倒满水，三个模具装的水一样多。 故答案为：D 4．圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则体积扩大到原来的（    ）倍。 A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】设圆柱底面半径为r，高为h，则底面半径扩大到原来的2倍后为2r，高扩大到原来的3倍后为3h，根据圆柱的体积公式分别求出扩大前、后的体积，再用扩大后的圆柱体积除以扩大前的圆柱体积即可。 【详解】扩大前的体积：πr2h 扩大后的体积：π×（2r）2×（3h） ＝π×4r2×3h ＝12πr2h 12πr2h÷πr2h ＝12÷1 ＝12 所以体积扩大到原来的12倍。 故答案为：D 5．一个底面半径为3分米的圆柱，若高增加了2分米，则表面积增加( )平方分米，体积增加( )立方分米。 【答案】 37.68 56.52 【分析】圆柱高增加，表面积增加的是侧面积的一部分；圆柱侧面积公式为S＝2πrh（r是底面半径，h是增加的高）；已知r＝3分米，h＝2分米，π取3.14 ，代入公式计算即可； 体积增加的部分是小圆柱体积，圆柱体积公式V＝πr2h（r是底面半径，h是增加的高）；r＝3分米，h＝2分米，π取3.14 ，代入公式计算即可；据此解答。 【详解】根据分析： S＝2×3.14×3×2 ＝6.28×3×2 ＝18.84×2 ＝37.68（平方分米）。 所以表面积增加37.68平方分米； V＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方分米）。 所以体积增加56.52立方分米。 6．一根圆柱形木料长4米，横截面的半径是2分米，如果将这根木料按3∶1锯成两段，较长一段的体积是( )立方分米。 【答案】376.8 【分析】1米＝10分米，先根据进率统一单位，按3∶1锯成两段，较长段占总长的，用总长度乘求出较长段长度，再用圆柱体积公式V＝πr2h（r＝2分米是底面半径，h是较长段长度）计算；据此解答。 【详解】根据分析： 4米＝40分米 40×＝40×＝30（分米） V＝3.14×22×30 ＝3.14×4×30 ＝12.56×30 ＝376.8（立方分米）。 所以较长一段体积是376.8立方分米。 7．一个圆柱形玻璃缸，底面直径是20厘米，高是30厘米，把一个钢球放入水中，钢球完全没入水中，缸内水面上升3厘米，求这个钢球体积。 【答案】942立方厘米 【分析】根据题意可知，缸内水上升的体积等于钢球的体积，上升的水的体积相当于底面直径20厘米，高3厘米的圆柱体积，圆柱体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】3.14×（20÷2）2×3 ＝3.14×102×3 ＝3.14×100×3 ＝942（立方厘米） 答：这个钢球体积是942立方厘米。 8．一个高50厘米的圆柱形容器内，放有一个高为20厘米的长方体铁块。打开水龙头往容器内注水3分钟，水正好没过长方体顶面。再注水18分钟，水灌满了容器。容器的底面积与长方体底面积的比是多少？ 【答案】4∶3 【分析】后18分钟注满了容器上方50－20＝30厘米的高度，则注满1厘米高的容器空间，需要18÷30＝0.6 分钟。如果容器里没有长方体，注满20厘米高需要20×0.6＝12分钟，但实际只花了3分钟，少的12－3＝9分钟，是因为长方体占了空间，少注了水。时间差对应“长方体的体积”，而体积＝底面积×高（高都是20厘米），所以长方体底面积对应的注水时间是9分钟，容器底面积对应的注水时间是12分钟，底面积的比＝时间的比（高相同），即容器底面积∶长方体底面积＝12∶9＝4∶3 。 【详解】无长方体的容器高度：50－20＝30（厘米） 注1厘米容器空间用时：18÷30＝0.6（分钟） 注20厘米纯容器空间用时：20×0.6＝12（分钟） 长方体占空间对应时间：12－3＝9（分钟） 底面积比：12∶9 ＝（12÷3）∶（9÷3） ＝4∶3 答：容器的底面积与长方体底面积的比是4∶3。 【点睛】这道题的关键是利用注水速度不变，先算出注满单位高度容器的时间，再通过“注满20厘米纯容器的理论时间”和“实际注水时间”的差值，得出长方体占据空间对应的注水时间，最后根据“同高时底面积比等于注水时间比”，算出容器与长方体的底面积比。 9．某木材加工厂新进200根杨树圆木，每根圆木的横截面直径为0.3m，长为4m。已知圆木的容重为（木料的质量叫作木料的容重），这批圆木大约重多少吨？（得数保留两位小数） 【答案】 24.30吨 【分析】圆木可看作圆柱体，先利用公式：体积=横截面的面积×长，计算单根圆木的体积，再求200根圆木的总体积， 然后根据容重计算总质量，最后将质量单位转换为吨并保留两位小数即可。 【详解】 （立方米） （千克） 答：这批圆木大约重24.30吨。 10．一个玻璃瓶里有饮料250mL，饮料高度为10cm（如图①）。小明喝掉50mL后将玻璃瓶倒过来放，此时空余部分的高度是6cm（如图②）。这个玻璃瓶的容积是多少毫升？ 【答案】350mL 【分析】玻璃瓶正放时，已知饮料体积和饮料高度，用饮料体积除以饮料高度，可求出玻璃瓶的底面积；喝掉50mL后将玻璃瓶倒放时，底面积不变，已知空余部分的高度，用玻璃瓶的底面积乘空余部分的高度，可求出空余部分的体积；现有饮料的体积＋空余部分的体积，即可求出玻璃瓶的容积。 【详解】250mL＝250cm3；50mL＝50cm3 玻璃瓶的底面积：（cm2） 空余部分的体积：（cm3） 现有饮料：（cm3） 玻璃瓶容积：（cm3） 350cm3＝350mL 答：这个玻璃瓶的容积是350毫升。 题型二、圆柱的容积 11．做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面周长是12.56分米，高是4分米，至少需要铁皮( )平方分米，这个水桶的容积是( )升。 【答案】 62.8 50.24 【分析】将底面周长除以3.14再除以2，求出底面半径。根据“圆面积＝πr2”求出圆柱形水桶的底面积，根据“圆柱侧面积＝底面周长×高”求出圆柱的侧面积。将底面积和侧面积相加，求出需要的铁皮面积。圆柱容积＝底面积×高，据此列式求出这个水桶的容积。 【详解】12.56÷3.14÷2＝2（分米） 3.14×22＋12.56×4 ＝3.14×4＋50.24 ＝12.56＋50.24 ＝62.8（平方分米） 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方分米） 50.24立方分米＝50.24升 所以，至少需要铁皮62.8平方分米，这个水桶的容积是50.24升。 12．做一个无盖的圆柱形水桶，底面周长是62.8分米，高是6分米，至少要用铁皮( )平方分米，最多能装水( )升。 【答案】 690.8 1884 【分析】圆周长＝2×3.14×半径，所以半径＝周长÷2÷3.14，据此先求出圆柱底面的半径。圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，本题中需要做一个无盖的水桶，所以只需要求一个底面积和侧面积的和，即可求出需要用的铁皮面积是多少平方分米。圆柱体积＝底面积×高，据此列式求出这个水桶最多能装水多少升。 【详解】62.8÷2÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（分米） 3.14×＋62.8×6 ＝3.14×100＋376.8 ＝314＋376.8 ＝690.8（平方分米） 3.14××6 ＝3.14×100×6 ＝314×6 ＝1884（立方分米） 1884立方分米＝1884升 所以至少要用铁皮690.8平方分米，最多能装水1884升。 13．修一个底面周长是25.12米，深是3米的圆柱形蓄水池，这个蓄水池的占地面积是( )平方米，它最多能蓄水( )立方米。 【答案】 50.24 150.72 【分析】已知圆柱形蓄水池的底面周长是25.12米，根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 然后根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积，也就是这个蓄水池的占地面积； 再根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，求出这个蓄水池的蓄水量。 【详解】圆柱的底面半径： 25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 占地面积： 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 蓄水量：50.24×3＝150.72（立方米） 这个蓄水池的占地面积是50.24平方米，它最多能蓄水150.72立方米。 14．一个圆柱形木桶，底面内直径为4dm，桶口距底面最小高度为5dm，最大高度为7dm。这个木桶如右图放置时，最多能装( )L水。 【答案】62.8 【分析】从题意分析可得：木桶的水面高度由最小高度决定。先求木桶的底面积，再用底面积×最小高度，即求出木桶最多能装多少水。据此解答。 【详解】3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×4×5 ＝3.14×（4×5） ＝3.14×20 ＝62.8（dm3） ＝62.8（L） 这个木桶最多能装62.8L水。 15．这个瓶子能否装下3升的牛奶？ 【答案】能 【分析】可以把瓶子看作是一个圆柱体，底面直径是14厘米，高为20厘米，圆柱的体积公式为：，代入数据求出瓶子的体积，再根据1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升来换算单位，并比较大小即可。 【详解】 ＝153.86×20 ＝3077.2（立方厘米） 3077.2立方厘米＝3077.2毫升 3升＝3000毫升 3077.2毫升＞3000毫升，能装得下。 答：这个瓶子能装下3升的牛奶。 16．小宇家来了5位客人，他用一盒牛奶招待客人，牛奶盒是一个长方体（如下图）。如果给每位客人都倒上一满杯后，牛奶还有剩余吗？（牛奶盒和杯子的厚度忽略不计） 【答案】牛奶还有剩余。 【分析】用圆柱的体积公式：底面积×高，算出杯子的容积后乘5得到客人一共需要的牛奶体积，再用长方体体积公式：长×宽×高，算出牛奶盒中牛奶体积，最后比较可知有没有剩余。 【详解】（立方厘米） （立方厘米） 答：给每位客人都倒上一满杯后，牛奶还有剩余。 17．“木桶效应”是指一只木桶能盛多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板。为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意制作了一只木桶（如图）。已知这只木桶内部的底面直径是4分米，木桶侧面上的木板长短不一，长度有3分米、5分米和7分米三种。 （1）这个木桶内部的底面积是多少平方分米？ （2）这个木桶在地面平放时最多能装多少立方分米的水？ 【答案】（1）12.56平方分米 （2）37.68立方分米 【分析】（1）已知这只木桶内部的底面直径是4分米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出木桶内部的底面积。 （2）木桶侧面上的木板长度有3分米、5分米和7分米三种，因为木桶能盛水的体积取决于最短的那块木板，所以这个木桶最多能装水的高度是3分米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，求出这个木桶在地面平放时最多能装水的体积。 【详解】（1）3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 答：这个木桶内部的底面积是12.56平方分米。 （2）12.56×3＝37.68（立方分米） 答：这个木桶在地面平放时最多能装37.68立方分米的水。 18．一个盖着瓶盖的玻璃瓶里装着一些水（如下图所示），玻璃的厚度忽略不计，瓶子的底面积为10平方厘米。请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是多少立方厘米？ 【答案】80立方厘米 【分析】瓶身是圆柱体，圆柱容积＝底面积×高。根据左图，将瓶子的底面积乘5厘米，求出水的体积。根据右图，将10厘米减去7厘米，求出没有水区域的高，再将瓶子的底面积乘这个高，求出没有水区域的容积。将水的体积加上没有水区域的容积，求出瓶子的容积。 【详解】10×5＋10×（10－7） ＝50＋10×3 ＝50＋30 ＝80（立方厘米） 答：瓶子的容积是80立方厘米。 19．一种圆柱形铁皮油桶，底面直径是6分米，高是10分米。 （1）做一个这种油桶至少要多少平方米的铁皮？ （2）这种油桶能装油多少升？ 【答案】（1）2.4492平方米； （2）282.6升 【分析】（1）首先要明确求做成这个汽油桶需要铁皮多少平方分米，是求圆柱的表面积．圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2；据此解答； （2）圆柱的容积（体积）公式：V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】（1）3.14×6×10＋3.14×（6÷2）2×2 ＝3.14×60＋3.14×18 ＝3.14×78 ≈244.92（平方分米） 244.92平方分米＝2.4492平方米 答：做一个这种油桶至少要2.45平方米的铁皮。 （2）3.14×（6÷2）2×10 ＝3.14×90 ＝282.6（立方分米） 282.6立方分米＝282.6升 答：这种油桶能装油282.6升。 【点睛】此题属于圆柱的表面积和体积（容积）的实际应用，解答此题除了把问题转换为求圆柱的表面积与体积，运用公式计算外，还要注意单位的换算。 20．笑笑家最近购买了一台电热水器（外壳和内胆均为近似的圆柱体），外壳长为6分米，底面直径为4分米，内胆从里边量长为5分米，底面直径为3分米。 （1）外壳的表面积是多少平方分米？ （2）内胆的容积约是多少升？（结果取整数） 【答案】（1）100.48平方分米 （2）35升 【分析】（1）将数据代入圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh计算即可。 （2）将数据代入圆柱的容积公式：V＝πr2h计算即可。 【详解】（1）3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×6 ＝3.14×8＋3.14×24 ＝3.14×32 ＝100.48（平方分米） 答：外壳的表面积是100.48平方分米。 （2）3.14×（3÷2）2×5 ＝3.14×2.25×5 ＝3.14×11.25 ≈35（立方分米） 35立方分米＝35升 答：内胆的容积约是35升。 【点睛】本题主要考查圆柱的表面积、容积公式的实际应用。 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 21．把一段长2米的圆柱体木料锯成4个小圆柱，表面积正好增加了18平方分米，这段木料的底面积是( )平方分米。体积是( )立方分米。 【答案】 3 60 【分析】把2米化成20分米，将圆柱体木料锯成4个小圆柱，需要锯4－1＝3次。每锯一次增加2个底面积，因此共增加6个底面积。用增加的总面积除以6求出底面积；根据圆柱的体积＝底面积×高求出体积。 【详解】2米＝20分米 （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 底面积：18÷6＝3（平方分米） 体积：3×20＝60（立方分米） 所以这段木料的底面积是3平方分米。体积是60立方分米。 22．把一个高是2m的圆柱分成两个完全相同的小圆柱，表面积增加了。原来圆柱的体积是( )。 【答案】0.2 【分析】将圆柱分成两个完全相同的小圆柱，表面积增加的部分是两个底面的面积，先用增加的表面积除以2，求出圆柱的底面积是多少平方分米，再化成平方米，再根据圆柱的体积＝底面积高，即可求解。 【详解】（平方分米） （立方米） 所以，原来圆柱的体积是0.2立方米。 23．曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 【答案】 2 37.68 【分析】把圆柱转化成近似的长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱的底面半径，长方体的高＝圆柱的高，圆柱底面周长的一半÷圆周率＝底面半径，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算， 【详解】6.28÷3.14＝2（dm） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（dm3） 原来这个圆柱的底面半径是2dm，体积是37.68dm3。 24．把一根长2米的圆柱木料锯成3段，表面积增加100.48平方厘米，这根木料的体积是( )立方厘米。 【答案】5024 【分析】把圆柱木料锯成3段，需要锯3－1＝2次，每锯一次会增加2个底面的面积，所以锯2次共增加了2×2＝4个底面的面积。已知表面积增加了100.48平方厘米，即4个底面的面积是100.48平方厘米，那么一个底面的面积为：100.48÷4＝25.12（平方厘米），圆柱木料的长为2米，因为1米＝100厘米，所以2米为2×100＝200厘米。圆柱的体积公式为V＝S×h（V是体积，S是底面积，h是高），把数据代入计算即可解答。 【详解】3－1＝2（次） 2×2＝4（个） 100.48÷4＝25.12（平方厘米） 1米＝100厘米 2×100＝200（厘米） 25.12×200＝5024（立方厘米） 这根木料的体积是5024立方厘米。 25．有3个相同的圆柱，拼成一个长15厘米的大圆柱，表面积减少了76平方厘米，拼成的大圆柱的底面积是________平方厘米，体积是________立方厘米。 【答案】 19 285 【分析】根据题意，把3个相同的圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少了76平方厘米，则减少的表面积是圆柱的4个底面积；先用减少的表面积除以4，求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出拼成的大圆柱的体积。 【详解】76÷4＝19（平方厘米） 19×15＝285（立方厘米） 原来每个圆柱的底面积是19平方厘米，体积是285立方厘米。 26．把一根长5米的圆柱形木料，截成3个小圆柱，表面积增加50.24平方分米，这根木料原来的体积是( )立方分米。 【答案】628 【分析】把一根长5米的圆柱形木料，截成3个小圆柱，则需要截取2次，截一次表面积会比原来增加2个底面积，截取2次会增加2×2＝4个底面积，即50.24平方分米，据此求出1个底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】5米＝50分米 50.24÷4＝12.56（平方分米） 12.56×50＝628（立方分米） 则这根木料原来体积是628立方分米。 27．一根长2米的圆柱形钢材截成三小段圆柱后，表面积比原来增加了36平方分米，这根钢材原来的体积是( )立方分米。 【答案】180 【分析】 如图所示，截开之后表面积比原来增加了4个截面的面积，求出一个截面的面积，再根据“圆柱的体积＝底面积×高”求出这根钢材原来的体积，据此解答。 【详解】一根长2米的圆柱形钢材截成三小段圆柱后表面积比原来增加了4个截面的面积。 2米＝20分米 36÷4×20 ＝9×20 ＝180（立方分米） 所以，这根钢材原来的体积是180立方分米。 28．一个圆柱体零件，高10厘米，如果沿着它的一条底面直径垂直底面往下切（如图），切成大小相同的两份，表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【答案】125.6立方厘米 【分析】根据题意，表面积增加的是两个长方形的截面，长是圆柱体的高，宽是圆柱体的底面直径。用80÷2就是一个截面的面积为40平方厘米，再根据长方形面积＝长×宽，则宽＝长方形面积÷长，所以用40÷10可得圆柱体的底面直径。圆柱的体积＝，代入数据计算即可解答。 【详解】底面直径： 80÷2÷10 ＝40÷10 ＝4（厘米） 底面半径：4÷2＝2（厘米） 3.14×22×10 ＝3.14×2×2×10 ＝3.14×4×10 ＝3.14×40 ＝125.6（立方厘米） 答：原来这个圆柱体的体积是125.6立方厘米。 29．如图所示，把一个底面直径是6厘米的圆柱，沿底面直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】282.6立方厘米 【分析】把圆柱沿底面直径切拼成近似长方体时，形状变化但体积不变，长方体体积等于圆柱体积。表面积增加的原因是多了两个长方形面，这两个面的长是圆柱的高h，宽是圆柱底面半径r。已知底面直径6厘米，可先得半径r＝6÷2＝3厘米；又知表面积增加60平方厘米，即两个长方形面积和为60，一个长方形面积是60÷2＝30平方厘米，根据长方形面积公式“面积＝长×宽”，这里宽是半径3厘米，所以长（即圆柱的高h）为30÷3＝10厘米。最后根据圆柱体积公式V＝πr2h计算体积，也就是长方体体积。 【详解】求圆柱底面半径：6÷2＝3（厘米） 求圆柱的高： 60÷2÷3 ＝30÷3 ＝10（厘米） 求长方体体积（圆柱体积）： 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 答：这个长方体的体积是282.6立方厘米。 30．王大爷要给在上海工作的儿子快递4罐茶叶（如图所示），为便于堆放，快递公司决定用长方体纸箱包装。请你帮忙设计一种包装方案（画出草图），并计算所需纸皮的面积（拼接部分忽略不计）。 底面直径8cm，高10cm 【答案】画图见详解；1312平方厘米 【分析】根据题意，用长方体纸箱包装4罐底面直径是8厘米，高是10厘米的茶叶，长方体的长可以是（厘米），宽是8厘米，高是10厘米，然后根据长方体的表面积公式解答即可。（方法不唯一） 【详解】（厘米） 如图： （平方厘米） 答：所需纸皮的面积是1312平方厘米。（设计方法不唯一，答案不唯一，合理即可。 题型四、圆柱与圆锥的体积关系 31．等底等高的圆柱和圆锥的体积差是40cm3，圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 60 20 【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积等于圆锥体积的3倍；把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，相差（3－1）份； 已知等底等高的圆柱和圆锥的体积差是40cm3，用体积差除以份数差，即可求出一份数，也就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积。 【详解】圆锥的体积： 40÷（3－1） ＝40÷2 ＝20（cm3） 圆柱的体积： 20×3＝60（cm3） 圆柱的体积是60cm3，圆锥的体积是20cm3。 【点睛】本题考查等底等高圆柱和圆锥的体积之间的关系，利用差倍问题的解题方法解答。 32．一个圆锥的体积是24立方米，与它等底等高的圆柱的体积是_______立方米。 【答案】72 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，用圆锥的体积×3，即可求出与它等底等高的圆柱的体积，据此解答。 【详解】24×3＝72（立方米） 一个圆锥的体积是24立方米，与它等底等高的圆柱的体积是72立方米。 【点睛】解答本题的关键是明确等底等高的圆柱体积与圆锥体积的关系。 33．一根圆柱形钢材，长12dm，底面半径是1dm，这根钢材的侧面积是( )dm2；要把它做成圆锥形钢材，且与圆柱等底等高，则圆锥形钢材的体积是( )dm3。 【答案】 75.36 12.56 【分析】这根钢材的侧面积＝底面周长×高＝2πrh；等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，即圆锥形钢材的体积＝圆柱的体积×，而圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，据此解答。 【详解】3.14×1×2×12 ＝6.28×12 ＝75.36（dm2） 3.14××12× ＝37.68× ＝12.56（dm3） 这根钢材的侧面积是75.36dm2；圆锥形钢材的体积是12.56dm3。 【点睛】本题考查了圆柱的侧面积和体积的运算、圆柱和圆锥体积的关系。熟练掌握圆柱的侧面积和体积公式是解题的关键。 34．把一个底面积是，高是6cm的圆柱形橡皮泥，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是__________，原来橡皮泥的体积是__________。 【答案】 36 108 【分析】根据题意可知，削成的最大的圆锥的体积是这个圆柱的体积的，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积；求原来橡皮泥的体积，就在这个圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】18×6× ＝108× ＝36（cm3） 18×6＝108（cm3） 把一个底面积是18cm2，高是6cm的圆柱形橡皮泥，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是36cm3，原来橡皮泥的体积是108cm3。 【点睛】解答本题的关键明确等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。 35．在长15cm、宽10cm的长方体容器中注入一些水，将等底等高的圆柱和圆锥浸没在水中（水未溢出），水面上升了2cm。圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 225 75 【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积就是圆柱和圆锥的体积和，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出圆柱和圆锥的体积和；等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，由此可知，圆柱和圆锥的体积和等于4个圆锥的体积，用圆柱和圆锥的体积和÷4，求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积。 【详解】15×10×2÷4 ＝150×2÷4 ＝300÷4 ＝75（cm3） 75×3＝225（cm3） 在长15cm、宽10cm的长方体容器中注入一些水，将等底等高的圆柱和圆锥浸没在水中（水未溢出），水面上升了2cm。圆柱的体积是225cm3，圆锥的体积是75cm3。 【点睛】解答本题的关键明确等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。 36．一个圆柱体的表面积比侧面积大6.28dm2，高是9dm，这个圆柱体的体积是( )dm3，和它等底等高的圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 28.26 9.42 【分析】圆柱的表面积＝侧面积＋两个底面的面积，已知圆柱体的表面积比侧面积大6.28dm2，说明两个底面的面积是6.28dm2，用6.28除以2即可求出圆柱一个底面的面积。圆柱的体积＝底面积×高，据此代入数据计算求出圆柱的体积。和它等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，用圆柱体积乘即可求出圆锥的体积。 【详解】6.28÷2×9 ＝3.14×9 ＝28.26（dm3） 28.26×＝9.42（dm3） 这个圆柱体的体积是28.26dm3，和它等底等高的圆锥的体积是9.42dm3。 【点睛】本题考查圆柱的表面积、圆柱和圆锥体积的运算。根据圆柱表面积的组成，明确6.28dm2是圆柱两个底面的面积，据此求出圆柱的底面积是解题的关键。 37．如图，把一个体积为960cm3的圆柱形木料削成一个陀螺，陀螺的体积为( )cm3。 【答案】640 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以这个陀螺圆锥部分的体积相当于原圆柱体积的，用乘法求得圆锥的体积，然后用圆锥体积加上原来圆柱体积的即可。 【详解】960×＋960×× ＝480＋480× ＝480＋160 ＝640（cm3） 【点睛】此题考查的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。 38．把一段高3.3m，底面半径2m的圆柱形钢材切削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥的体积是( )m3，切削掉的部分熔化后还可以组成( )个同样的圆锥。 【答案】 13.816 2 【分析】根据等底等高的圆锥的体积是圆柱的，根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据，求出圆柱的体积，进而求出圆锥的体积；再用圆柱的体积减去圆锥的体积，求出消掉部分的体积；再除以圆锥的体积，即可求出还可以组成几个同样的圆锥。 【详解】3.14×22×3.3× ＝3.14×4×3.3× ＝12.56×3.3× ＝41.448× ＝13.816（m3） （3.14×22×3.3－13.816）÷13.816 ＝（3.14×4×3.3－13.816）÷13.816 ＝（12.56×3.3－13.816）÷13.816 ＝（41.448－13.816）÷13.816 ＝27.632÷13.816 ＝2（个） 【点睛】利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行解答。 39．等底等高的圆柱和圆锥，体积差是24立方分米，圆柱的体积是( )立方分米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 36 12000 【分析】根据“等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍”，也就是说，圆锥的体积是1份，圆柱的体积是3份，那么它们的体积就相差2份；已知它们的体积相差24立方分米，用24除以2就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3就是圆柱的体积。 【详解】24÷（3－1） ＝24÷2 ＝12（立方分米） 12立方分米＝12000立方厘米 12×3＝36（立方分米） 【点睛】此题是考查体积的计算，可利用“等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍”来解答。要注意求的圆锥的体积单位是立方厘米。 40．如下图，先将甲容器装满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中水的高是( )cm。 【答案】4 【分析】先根据V＝Sh求出圆锥的容积，即水的体积，再根据h＝V÷S，体积除以圆柱的底面积，就是乙容器中水的高度。 【详解】×3.14×（10÷2）2×12 ＝×3.14×25×12 ＝314（cm3）； 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 314÷78.5＝4（cm） 【点睛】此题主要考查圆锥的体积和圆柱的体积计算公式。 题型五、圆锥的体积（容积） 41．一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米。如果每立方米沙子重2吨，这堆沙子有多少吨？ 【答案】12.56吨 【分析】圆锥底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆锥体积＝底面积×高÷3，圆锥形沙堆体积×每立方米沙子吨数＝这堆沙子吨数。 【详解】3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5÷3×2 ＝3.14×22×1.5÷3×2 ＝3.14×4×1.5÷3×2 ＝6.28×2 ＝12.56（吨） 答：这堆沙子有12.56吨。 42．沙漏是两个完全相同的圆锥形容器的组合体，上面的圆锥形容器高6cm，原来里面装满细沙，漏口每秒可漏细沙，漏完全部细沙用时5分。这个沙漏的底面积是多少平方厘米？（沙漏厚度忽略不计） 【答案】9平方厘米 【分析】由题可知，沙漏上下两个圆锥形的体积相同，所以只需把一个圆锥的体积求出来即可。一个圆锥的体积等于细沙的体积，细沙的体积为，再根据圆锥的体积公式即可求出沙漏的底面积。 【详解】    （立方厘米）      （平方厘米） 答：这个沙漏的底面积是9平方厘米。 43．下图所示的是一个蒙古包，上半部分可以看成一个圆锥，下半部分可以看成一个圆柱。这个蒙古包的体积是多少立方米？ 【答案】 75.36立方米 【分析】根据、分别求出圆柱和圆锥的体积，再相加即可。 【详解】 （平方米） （立方米） （立方米） （立方米） 答：这个蒙古包的体积是75.36立方米。 44．中国人食笋的历史久远，在《诗经》里就有“其蔌维何？维笋及蒲”的诗句。右图的竹笋可近似看作一个圆锥，这个竹笋的体积约是多少立方厘米？ 【答案】141.3立方厘米 【分析】竹笋可近似看作一个圆锥，已知圆锥的底面直径和高，利用圆锥的体积，即可求出这个竹笋的体积。 【详解】 （立方厘米） 答：这个竹笋的体积约是141.3立方厘米。 45．一个从里面量底面半径为10厘米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中浸没着一个底面直径为10厘米，高为9厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少厘米？ 【答案】0.75厘米 【分析】分析题目，水面下降部分对应的体积等于圆锥的体积，先根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h求出圆锥铅锤的体积，再根据圆柱的底面积＝πr2求出圆柱形玻璃容器的底面积，最后用圆锥的体积除以圆柱的底面积即可求出水面下降了多少厘米。 【详解】3.14×（10÷2）2×9× ＝3.14×52×9× ＝3.14×25×9× ＝78.5×9× ＝706.5× ＝235.5（立方厘米） 235.5÷（3.14×102） ＝235.5÷（3.14×100） ＝235.5÷314 ＝0.75（厘米） 答：当铅锤取出后，水面下降了0.75厘米。 46．张大伯家有一堆小麦，堆成了圆锥形，张大伯量得它的底面周长是9.42米，高是2米，这堆小麦的体积是多少立方米？如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量为多少千克？ 【答案】4.71立方米；3297千克 【分析】先根据圆锥的底面周长求出底面半径，再利用“”求出这堆小麦的体积，这堆小麦的质量＝这堆小麦的体积×每立方米小麦的质量，据此解答。 【详解】9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（米） ＝ ＝ ＝ ＝1.5×3.14 ＝4.71（立方米） 4.71×700＝3297（千克） 答：这堆小麦的体积是4.71立方米，这堆小麦的质量为3297千克。 47．如图，测量中经常使用铅锤。这个铅锤的体积是多少立方厘米？（结果保留两位小数） 【答案】16.75立方厘米 【分析】由图可知，铅锤的底面半径是4÷2＝2（厘米），铅锤的高是4厘米，利用“”求出铅锤的体积，注意结果保留两位小数；据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ≈16.75（立方厘米） 答：这个铅锤的体积是16.75立方厘米。 48．一个长方体的木块，它的长、宽、高的比是。这个长方体木块的长是24厘米，现在将这个长方体木块削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】1017.36立方厘米 【分析】长方体的12条棱分为三组，互相平行的一组是4条，根据题意，可知长占长＋宽＋高的和的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，先求出长＋宽＋高的和，再用乘法分别求出它的宽、高，再确定“将这个长方体削成一个体积最大的圆锥”，这个圆锥体的底面直径应该是长方体的宽，圆锥体的高等于长方体的高，根据圆锥的体积计算公式解答。 【详解】 （厘米） （厘米） （厘米） 体积： （立方厘米） 答：这个圆锥的体积是1017.36立方厘米。 49．在一个内底面直径是20厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径2厘米的圆锥形铁块，全部浸没水中，这时水面上升0.2厘米，圆锥形的高是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】根据题意可知，把圆锥形铁块放入容器中，上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据圆柱的体积公式：，得出上升0.2厘米圆柱的体积，也就是圆锥的体积。再根据圆锥的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【详解】 （厘米） 答：圆锥形铁块的高是15厘米。 50．一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】圆锥体铁块浸没在容器中，从容器中拿出来后，水面下降了2厘米，则圆锥的体积即下降的水的体积，根据圆柱的体积公式：，求出上升水的体积，再根据圆锥的体积公式：，变式求高：，代入数值计算即可。 【详解】下降的水的体积为： （立方厘米） 圆锥铁块的高为： ＝12（厘米） 答：这个圆锥体的高是12厘米。 题型六、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 51．有两个等底的圆柱和圆锥形空瓶容器，圆锥形瓶子高12厘米，底面直径10厘米。在圆锥形瓶子中加满水，再把水倒入圆柱形容器里，则圆柱形容器里的水深( )厘米。 【答案】4 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，先求出圆锥形瓶子的容积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积，求出圆柱形容器里的水深。 【详解】3.14×（10÷2）2×12÷3 ＝3.14×52×12÷3 ＝3.14×25×12÷3 ＝314（立方厘米） 314÷[3.14×（10÷2）2] ＝314÷[3.14×52] ＝314÷[3.14×25] ＝314÷78.5 ＝4（厘米） 圆柱形容器里的水深4厘米。 52．一个圆锥形钢坯，底面半径是6dm，高是3dm。如果把它熔铸成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是( )dm；如果把它熔铸成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是( )dm2。 【答案】 1 37.68 【分析】根据题意可知：把圆锥形钢材铸成圆柱体，只是形状变了，但体积不变，首先根据圆锥的体积公式：，求出圆锥形钢材的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh可得h＝V÷S、S＝V÷h，把数据代入公式解答即可。 【详解】 ＝3.14×36×1 ＝113.04（立方分米） ＝ ＝ ＝1（分米） 113.04÷3＝37.68（平方分米） 这个圆柱的高是1dm；如果把它熔铸成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是37.68dm2。 53．亮亮把一个棱长为4分米的正方体容器内装满水后，倒入一个底面积是12平方分米的圆锥形容器中正好装满。这个圆锥形容器的高是( )分米。（容器的厚度忽略不计） 【答案】16 【分析】把正方体容器中的水倒入圆锥体容器中，水的形状改变了，但是水的体积没有变，根据正方体的体积公式：V=棱长×棱长×棱长可求得正方体容器的体积，即水的体积，然后根据圆锥的体积V=×底面积×高可求得高=体积÷÷底面积，据此求出该圆锥容器的高。 【详解】4×4×4=64（立方分米） 64÷÷12 =64×3÷12 =192÷12 =16（分米） 则该圆锥形容器的高是16分米。 【点睛】 54．一个圆锥形沙堆的底面周长是12.56米，高是1.5米，如果把这堆沙子铺在10米宽的小路上，铺2厘米厚，能铺多长？ 【答案】31.4米 【分析】圆锥底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此计算出沙子体积，铺在小路上的形状是长方体，厚相当于长方体的高，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式解答即可。注意统一单位。 【详解】3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5÷3 ＝3.14×22×1.5÷3 ＝3.14×4×1.5÷3 ＝6.28（立方米） 2厘米＝0.02米 6.28÷10÷0.02＝31.4（米） 答：能铺31.4米长。 55．一个底面直径是20厘米的圆柱形杯子中装有水，水里完全浸没着一个底面直径是8厘米，高是15厘米的圆锥形铁块，当铁块从水中完全取出时，杯子里的水面会下降多少厘米？ 【答案】0.8厘米 【分析】圆锥形铁块底面直径8厘米，因此半径为8÷2＝4厘米，高为15厘米。根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可计算出圆锥形铁块的体积（水面下降部分的水体积）。 水面下降部分的水形成一个圆柱体，其体积等于圆锥体积，圆柱形杯子底面直径20厘米，因此半径为20÷2＝10厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷（πr2），把计算出的圆锥体积，和圆柱形杯子底面半径代入计算即可。 【详解】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×15 ＝×3.14×16×15 ＝251.2（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 251.2÷（3.14×102） ＝251.2÷（3.14×100） ＝251.2÷314 ＝0.8（厘米） 答：杯子里的水面会下降0.8厘米。 56．在一个从里面量底面周长为12.56分米，高为3分米的圆锥形量杯里装满水，把它倒入一个从里面量底面长为4分米，宽为2分米的空的长方体容器里。这个长方体容器里的水面高度是多少分米？ 【答案】1.57分米 【分析】底面周长÷π÷2＝底面半径，先求出圆锥的底面半径，圆锥的体积＝πr2h，再用圆锥的体积公式计算出圆锥的容积；长方体的体积＝长×宽×高，那么长方体的高＝长方体的体积÷（长×宽），再计算出长方体的高，也就是这个长方体容器里的水面高度；据此解答。 【详解】圆锥的底面半径：＝2（分米） 圆锥的体积：3.14×22×3×＝12.56（立方分米） 水面高度： ＝12.56÷8 ＝1.57（分米） 答：这个长方体容器里的水面高度是1.57分米。 57．一个圆锥形沙堆，底面周长12.56米，高1.5米，学校打算用这堆沙铺一个长4米，宽2米的沙坑（如图），可以铺多厚？ 【答案】0.785米 【分析】圆的周长＝2πr，据此求出这个圆锥的底面半径。圆锥的体积＝πr2h，代入数据计算即可求出沙堆的体积。用这堆沙铺沙坑时，沙堆的形状变为长方体，但体积不变。长方体的体积＝长×宽×高，据此用沙堆的体积除以沙坑的长以及宽，即可求出沙铺的厚度。 【详解】12.56÷3.14÷2＝2（米） ×3.14×22×1.5 ＝×3.14×4×1.5 ＝6.28（立方米） 6.28÷4÷2＝0.785（米） 答：可以铺0.785米厚。 58．为了方便学生练习跳远，东方小学新建了一个长方体沙坑，沙坑的底面积是16平方米。运来的沙堆成了一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.2米，用这堆沙来铺沙坑，能铺多少厘米厚？ 【答案】31.4厘米 【分析】根据圆锥体积＝底面积×高×，求出沙堆体积，铺到沙坑的厚度相当于长方体的高，根据长方体的高＝体积÷底面积，列式解答即可，根据1米＝100厘米，统一单位。 【详解】3.14×22×1.2×÷16 ＝3.14×4×1.2×÷16 ＝5.024÷16 ＝0.314（米） 0.314米＝31.4厘米 答：能铺31.4厘米厚。 59．一个圆锥沙堆，底面周长是62.8米，高是6米，用这堆沙铺宽为10米，厚为0.1米的长方体沙地，长方体沙地的长是多少米？（π取3.14） 【答案】628米 【分析】先求出这堆沙的体积，再根据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度。 【详解】沙堆的底面半径： 62.8÷（3.14×2） ＝62.8÷6.28 ＝10（米） 沙堆的体积： ×3.14×102×6 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方米） 所铺沙子的长度： 628÷（10×0.1） ＝628÷1 ＝628（米） 答：长方体沙地的长是628米。 【点睛】本题考查了圆锥的体积公式和长方体的体积公式，关键是沙子的体积不变。 60．一辆货车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸后沙堆成一个高是1.5米的圆锥形，它的底面积是多少平方米？ 【答案】48平方米 【详解】4×1.5×4=24（立方米） 24×3÷1.5=48（平方米） 答：它的底面积是48平方米。 题型七、立体图形的切拼（圆锥 ） 61．一个圆锥的底面直径是6cm，高是9cm，这个圆锥的体积是( )，如果沿圆锥的底面直径将它切成两个完全相等的部分，表面积增加了( )。 【答案】 84.78 54 【分析】先用底面直径除以2求出半径，再根据圆锥体积公式 V＝πr2h（π取3.14）。代入数值即可求出圆锥的体积。增加的表面积是两个相同的三角形切面的面积，每个三角形的底等于底面直径 6 cm，高等于圆锥的高 9 cm，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，求出两个三角形的面积之和即可。 【详解】体积：×3.14×（6÷2）2×9 ＝×3.14×32×9 ＝×3.14×9×9 ＝×9×9×3.14 ＝27×3.14 ＝84.78（cm3） 增加表面积：6×9÷2×2 ＝54÷2×2 ＝27×2 ＝54（cm2） 62．一个底面周长为15.7分米、高6分米的圆锥，沿着高把它分成完全相同的两个部分，这两个部分的表面积之和比原来圆锥的表面积增加了( )平方分米。 【答案】30 【分析】将圆锥沿着高分成完全相同的两个部分，即增加的表面积就是这两个横截面的面积之和，这两个横截面是两个等腰三角形，等腰三角形的高即为圆锥的高，等腰三角形的底即为圆锥的底面直径。再根据三角形的面积＝底×高÷2的公式再乘上2即可求出答案。 【详解】根据分析可得： 圆锥的底面直径：（分米） 增加的表面积： （平方分米） 所以这两个部分的表面积之和比原来圆锥的表面积增加了30平方分米。 【点睛】本题关键是清楚圆锥沿着高分出的横截面的形状。 63．将一个圆锥沿着它的高平均切成两半（如下图），截面是一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．等腰三角形 【答案】C 【分析】圆锥沿着高切开时，切面会经过圆锥的顶点和底面直径。切面的两条腰是圆锥的母线，长度相等。底边是圆锥的底面直径。因此，这个截面是一个等腰三角形。 【详解】将一个圆锥沿着它的高平均切成两半（如下图），截面是一个等腰三角形。 故答案为：C 64．如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 4 12.56 【分析】由题意可知：增加的面积即两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积，那么一个三角形的面积为12÷2＝6平方厘米，三角形面积公式为：面积＝底×高÷2，则底＝面积×2÷高，已知高为3厘米，则底为6×2÷3＝4厘米（即圆锥的直径），所以圆锥的半径为4÷2＝2厘米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径2厘米，高3厘米代入公式计算即可。 【详解】12÷2×2÷3＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方厘米） 原来圆锥的底面直径是4厘米，体积是12.56立方厘米。 65．如图，圆柱直径4dm，高2dm，体积是( )dm3；如果把它加工成最大的圆锥，圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 25.12 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解； 如果把圆柱加工成最大的圆锥，那么圆锥和圆柱等底等高；根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，由此求出圆锥的体积。 【详解】圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（dm3） 圆锥的体积： 25.12×＝（dm3） 圆柱的体积是25.12dm3，圆锥的体积是dm3。 【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的运用，明确等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系是解题的关键。 66．一个圆柱体木块切成四块（如图一），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图二），表面积增加50.24平方厘米。如果削成一个最大的圆锥体（如图三），体积减少了（    ）立方厘米。（π取3.14）    A．6.28 B．12.56 C．25.12 【答案】C 【分析】根据题意可知，图一表面积增加了4个长方形面，长是圆柱的底面直径，宽是圆柱的高，据此用48÷4即可求出1个长方形面的面积；图二表面积增加了4个底面积，据此用50.24÷4即可求出1个底面积，再根据底面积公式：S＝πr2，推出圆柱的底面半径，然后根据长方形的面积公式，求出圆柱的高即可；图三的圆柱和圆锥等底等高，根据圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，求出圆柱和圆锥的体积，再求出它们的差即可。 【详解】48÷4＝12（平方厘米） 50.24÷4＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4 4＝2×2 圆柱的底面半径是2厘米， 12÷（2×2） ＝12÷4 ＝3（厘米） 12.56×3－12.56×3× ＝37.68－12.56 ＝25.12（立方厘米） 体积减少了25.12立方厘米。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了立体图形的切拼、圆柱和圆锥体积公式的灵活应用，注意表面积增加了哪些面。 67．把一个圆锥体平行于底面截成两段，如图，截下的小圆锥的高是原来大圆锥高的一半，那么小圆锥的体积是原来大圆锥的( )。 【答案】 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，设小圆锥的底面半径为r，高为h，则大圆锥的底面半径为2r，高为2h，把数据代入公式求出大小圆锥的体积，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。 【详解】设小圆锥的底面半径为r，高为h，则大圆锥的底面半径为2r，高为2h， πr2h÷[π×（2r）2×2h] ＝πr2h÷[π×4r2×2h] ＝πr2h÷π÷8r2h ＝1÷8 ＝ 则小圆锥的体积是原来大圆锥的。 【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 68．一个底面半径是6厘米的圆锥形木块，把它沿高分成完全相同的两个木块，表面积比原来增加了120平方厘米，原来这个圆锥形木块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 【答案】376.8立方厘米 【分析】从“沿高分成完全相同的两个木块”可知，切面是两个完全一样的等腰三角形。这个三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高。从“表面积比原来增加了120平方厘米”可得一个三角形的面积是：120÷2＝60（平方厘米）。再根据三角形的高：h＝2S÷a，求出圆锥的高，根据圆锥的体积：V＝sh＝πr2h，求出圆锥的体积即可。 【详解】圆锥的高： 120÷2×2÷（6×2） ＝120÷12 ＝10（厘米） 圆锥的体积： （立方厘米） 答：原来这个圆锥形木块的体积是376.8立方厘米。 69．将一块底面周长是12.56厘米、高是6厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成两半（如图），切面是什么图形？每个切面的面积是多少平方厘米？ 【答案】等腰三角形；12平方厘米 【分析】当把一个圆锥分成形状、大小完全相同的两部分时，增加2个等腰三角形的面，等腰三角形的底和高分别是圆锥的底面直径和高。 三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据进行解答。 【详解】12.56÷3.14＝4（厘米） 4×6÷2＝12（平方厘米） 答：切面是等腰三角形，每个切面的面积是12平方厘米。 70．将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【答案】130平方厘米 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着回锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【详解】26×5÷2×2 ＝130÷2×2 ＝65×2 ＝130（平方厘米） 答：表面积比原来增加了130平方厘米。 题型八、组合体的体积（圆柱、圆锥） 71．计算下面立体图形的体积。 【答案】62.8cm3 【分析】观察可知立体图形的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，根据圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】 （cm3） 72．从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 【答案】474.32dm3 【分析】已知正方体的棱长是8dm，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体的体积；已知挖掉圆锥形木块的底面直径是6dm，高是4dm，用底面直径长度除以2计算出底面半径长度，然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥形木块的体积；最后用正方体的体积减去圆锥形木块的体积即可。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（dm3） 6÷2＝3（dm） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝3.14×3×4 ＝9.42×4 ＝37.68（dm3） 512－37.68＝474.32（dm3） 所以剩下木块的体积是474.32dm3。 73．求立体图的体积。 【答案】31.4dm3 【分析】看图可知，这个立体图的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【详解】3.14×（2÷2）2×8＋3.14×（2÷2）2×6÷3 ＝3.14×12×8＋3.14×12×6÷3 ＝3.14×1×8＋3.14×1×6÷3 ＝25.12＋6.28 ＝31.4（dm3） 这个立体图的体积是31.4dm3。 74．一个铜零件的形状如图所示。每立方厘米的铜的质量约9克，制作这样一个零件大约需要多少千克铜？（结果保留整数，单位：厘米） 【答案】54千克 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr²h，圆锥的体积公式V＝πr²h，代入数据求出这个零件的体积，再用零件的体积乘每立方厘米铜的质量，最后根据1千克＝1000克把结果换算成以千克为单位。 【详解】（20÷2）2×3.14×15 ＝100×3.14×15 ＝314×15 ＝4710（立方厘米） （20÷2）2×3.14×12× ＝100×3.14×12× ＝（100×3.14）×（12×） ＝314×4 ＝1256（立方厘米） 4710＋1256＝5966（立方厘米） 5966×9＝53694（克） 53694克≈54千克 答：制作这样一个零件大约需要54千克铜。 75．如图，粮囤上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱的底面周长是12.56米，高是2米，圆锥的高是1.2米。一个粮囤的体积是多少立方米？ 【答案】30.144立方米 【分析】 粮囤的体积可以看作是一个圆柱的体积加上一个圆锥的体积，其中圆柱的底面积和圆锥的底面积相等，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】 底面积：3.14×（12.56÷3.14÷2）2 ＝3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） （立方米） 答：一个粮囤的体积是30.144立方米。 76．如图，蒙古包由一个近似的圆柱和一个近似的圆锥组成。这个蒙古包的容积大约是多少立方米？（蒙古包的厚度忽略不计） 【答案】120.576平方米 【分析】圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，据此求出蒙古包两部分的容积，再把它们加起来即可解答。 【详解】8÷2＝4（米） ＝ ＝3.14×32＋3.14×6.4 ＝3.14×38.4 ＝120.576（平方米） 答：这个蒙古包的容积大约是120.576立方米。 77．一个正方体的棱长为6厘米，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥（如下图），剩下的体积是多少立方厘米？ 【答案】159.48立方厘米 【分析】剩下的体积就是这个棱长为6厘米的正方体的体积与高为6厘米的圆锥的体积之差，由此只要求得圆锥的底面半径即可解决问题：圆锥的底面在正方体的底面上，根据正方形内最大圆的特点可知：圆锥的底面半径为6÷2＝3厘米。 【详解】6×6×6－×3.14×（6÷2）2×6 ＝36×6－×3.14×32×6 ＝36×6－×3.14×3×6 ＝216－3.14×18 ＝216－56.52 ＝159.48（立方厘米） 答：剩下部分的体积是159.48立方厘米。 【点睛】此题考查了正方体与圆锥的体积公式的灵活应用，这里正确得出正方体内最大的圆锥的底面半径与高是解决此类问题的关键。 78．用底面半径和高分别是6厘米、12厘米的空心圆锥和空心圆柱各一个，组成竖放的容器如图。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆柱部分的细砂高2厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆锥与圆柱的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此可以求出圆锥容器中的细沙倒入圆柱容器中沙的高是（12×）厘米，再加上原来圆柱容器中的细沙高即可。 【详解】2＋（12×） ＝2＋4 ＝6（厘米） 答：细沙的高度是6厘米。 79．一个零件模型（如图），长2分米，底面的正方形边长是6厘米，圆的直径是4厘米。求该模型的体积。 【答案】468.8立方厘米 【分析】该模型的体积＝长方体体积－内部圆柱体的体积，长方体的长宽都是6厘米，高是2分米，圆柱的底面直径是4厘米，高是2分米，据此解答。 【详解】2分米＝20厘米； 6×6×20－3.14×（4÷2）2×20 ＝36×20－12.56×20 ＝23.44×20 ＝468.8（立方厘米） 答：该模型的体积是468.8立方厘米。 【点睛】求该模型的面积也可直接用长方形面积减圆的面积的差再乘模型的长即可。注意单位要统一。 80．如下图，做一块蜂窝煤需要多少立方厘米煤炭？ 【答案】602.88立方厘米 【分析】求这个蜂窝煤的用煤量，就是用这块蜂窝煤的总体积减去12个圆柱小孔的体积。根据蜂窝煤和圆孔的底面半径，分别求出它们的底面积，进而求出总体积和圆孔的体积，然后用总体积减去12个圆孔的体积和即可得解。 【详解】3.14×（12÷2）×8 ＝3.14×36×8 ＝904.32（立方厘米） 3.14×（2÷2）×8 ＝3.14×1×8 ＝25.12（立方厘米） 904.32－25.12×12 ＝904.32－301.44 ＝602.88（立方厘米） 答：做一块蜂窝煤需要602.88立方厘米煤炭。 【点睛】本题主要考查运用圆柱的体积计算公式，解题关键是理解用一块蜂窝煤（含孔）的体积减去所有孔的体积，从而求出一块蜂窝煤的实际体积。 题型九、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 81．一个圆柱形的金鱼缸，底面内半径是40cm，里面有一座假山石全部浸没在水中（水没有溢出），取出假山石后，水面的高度由20cm降到15cm。这座假山石的体积是多少？ 【答案】25120立方厘米 【分析】取出假山石后，水下降的体积等同于假山石的体积，用π乘内半径平方得内底面积，再用内底面积乘水下降的高度就可以求出水下降的体积，也就是假山石的体积。 【详解】（平方厘米） （立方厘米） 答：这座假山石的体积是25120立方厘米。 82．将面积为18平方厘米的三角形作为底面，向上平移5厘米，形成一个立体图形（如图③），它的体积是多少？ 【答案】90立方厘米 【分析】根据题意可知，把面积为18平方厘米的三角形向上平移5厘米，形成了一个以三角形为底面，以5厘米为高的立体图形，根据立体图形的体积＝底面积×高，代入数据计算求出它的体积。 【详解】18×5＝90（立方厘米） 答：它的体积是90立方厘米。 83．一个长方体水箱从里面量长40厘米，宽30厘米，箱中水面高10厘米，放进一个底面积为400平方厘米，高3厘米的圆柱后，圆柱被完全淹没。 【答案】1厘米 【分析】由题意可知，上升的水的体积等于圆柱的体积，根据，代入数据可求出上升的水的体积，上升的水可看作一个长40厘米，宽30厘米的长方体，根据的逆运算，用水的体积除以长再除以宽，即可得解。 【详解】 （厘米） 答：水面上升了1厘米。 84．在一个高是15厘米，容积是600毫升的圆柱形容器里装满水。当一个长10厘米，宽4厘米，高6厘米的长方体铅块完全浸没在水中时，容器中有一部分水溢出，取出铅块后容器中的水有多高？（铁块上沾的水忽略不计） 【答案】9厘米 【分析】先计算圆柱形容器的底面积，再计算长方体铅块的体积，铅块的体积等于水面上升部分的体积。铅块浸入后水面上升的高度＝铅块的体积÷容器的底面积，计算取出铅块后容器中的水的高度＝原来容器中水的高度—水面下降的高度 【详解】600毫升＝600立方厘米 容器的底面积：600÷15＝40（平方厘米） 长方体铅块的体积：10×4×6 ＝40×6 ＝240（立方厘米） 水面上升的高度：240÷40＝6（厘米） 取出铅块后容器的水的高度：15－6＝9（厘米） 答：取出铅块后容器中的水高9厘米。 85．有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），底面半径是4厘米。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为14厘米，倒放时空余部分的高度是5厘米，如图所示。饮料瓶的容积是多少毫升？ 【答案】954.56毫升 【分析】从图中可知：无论饮料瓶是正放还是倒放，瓶内空余部分的体积不变。因此通过将饮料瓶正放和倒放两个空余部分替换，饮料瓶的容积就相当于（14＋5）厘米高的圆柱形饮料瓶的容积。根据圆柱的体积（容积）公式：圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据即可求出饮料瓶的容积，再把单位换算成毫升。 【详解】3.14×42×（14＋5） ＝3.14×42×19 ＝3.14×16×19 ＝954.56（立方厘米） 954.56立方厘米＝954.56毫升 答：饮料瓶的容积是954.56毫升。 86．一个圆柱形玻璃容器从里面测量，底面直径是20厘米，把一个完全没入水中的铁球从这个容器中取出，水面下降2厘米，这个铁球的体积是多少立方厘米？ 【答案】628立方厘米 【分析】这个铁球的体积等于下降的水的体积，将数据代入圆柱的体积公式：解答即可。 【详解】3.14×（20÷2）2×2 ＝3.14××2 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方厘米） 答：这个铁球的体积是628立方厘米。 87．把一个圆锥形铁块完全浸没在一个底面积是8平方厘米、高15厘米的圆柱形水槽内，水面上升了3厘米（水没溢出），这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】24立方厘米 【分析】水面升高了的水的体积就是这个圆锥形铁块的体积，升高的部分是一个底面积是8平方厘米，高是3厘米的圆柱，根据圆柱的体积计算公式V＝Sh列式解答即可。 【详解】8×3＝24（立方厘米） 答：这个圆锥形铁块的体积是24立方厘米。 88．实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】56.52立方厘米 【分析】根据题意可知，把圆锥铁块浸没到水中，上升部分水的体积就等于这个圆锥的体积，上升的部分恰好是一个圆柱，底面直径是6厘米，底面半径是3厘米，高是2厘米，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】 （立方厘米） 答：这个圆锥体铁块的体积是56.52立方厘米。 89．一个盛水的圆柱形容器，底面直径是10厘米，此时水深20厘米。将一块石头完全浸没在水中，水面升高到24厘米（水没有溢出），这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】314立方厘米 【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积就是这个石头的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（10÷2）2×（24－20） ＝3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 答：这块石头的体积是314立方厘米。 90．一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 【答案】112平方厘米 【分析】根据题意可知，水面升高部分等圆锥浸在水中的部分体积，升高部分的高等于水面升高减去容器里水的高度，即12－8＝4厘米；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出浸在水中部分的圆锥的体积；水面升高到12厘米，这好是圆锥高的，则露在水面上部分的高是12厘米的小圆锥；高是圆锥的，半径也是大圆锥的；所以露出水面的小圆锥的体积是大圆锥的（）3＝；即露在水面上小圆锥体积与大圆锥的体积比是1∶8；所以浸在水中的体积是大圆锥体积的1－；再用求出圆锥在水中部分的体积，除以（1－），求出大圆锥的体积；再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，底面积＝体积÷（高×）。代入数据，即可解答。 【详解】浸在水中部分体积： 14×14×（12－8） ＝196×4 ＝784（立方厘米） 露出水面部分的小圆锥的高为12厘米；则大锥的高是12×2＝24（厘米）； 其高是大圆锥的，半径也是大圆锥的； 露在水面上小圆锥的体积是大圆锥体积的（）3＝ 小圆锥体积∶大圆锥＝体积1∶8 浸在水中部分体积： （1－）＝ 784÷ ＝784× ＝896（立方厘米） 大圆锥底面积： 896÷（12×2×） ＝896÷（24×） ＝896÷8 ＝112（平方厘米） 答：圆锥的底面积是112平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确露在水面外面的小圆锥的体积与大圆锥的体积之间的关系，即求出小圆锥是大圆锥的几分之几，进而解答问题。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆柱和圆锥的体积 （9种类型90道） 目录 题型一、圆柱的体积 1 题型二、圆柱的容积 3 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 6 题型四、圆柱与圆锥的体积关系 8 题型五、圆锥的体积（容积） 9 题型六、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 12 题型七、立体图形的切拼（圆锥 ） 14 题型八、组合体的体积（圆柱、圆锥） 16 题型九、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 20 题型一、圆柱的体积 1．一个圆柱的底面半径4cm，高5cm，它的侧面积是( )cm2，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 2．如图所示，鹏鹏将一张长方形纸剪成如下形状，正好可以拼成一个圆柱，则这个圆柱的体积是多少立方分米？ 3．淘气制作了底面积相等的三种塑料模具（如图），并向三个模具倒满水，哪个模具装的水多（厚度忽略不计）？（    ） A．正方体 B．长方体 C．圆柱 D．一样多 4．圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则体积扩大到原来的（    ）倍。 A．4 B．6 C．9 D．12 5．一个底面半径为3分米的圆柱，若高增加了2分米，则表面积增加( )平方分米，体积增加( )立方分米。 6．一根圆柱形木料长4米，横截面的半径是2分米，如果将这根木料按3∶1锯成两段，较长一段的体积是( )立方分米。 7．一个圆柱形玻璃缸，底面直径是20厘米，高是30厘米，把一个钢球放入水中，钢球完全没入水中，缸内水面上升3厘米，求这个钢球体积。 8．一个高50厘米的圆柱形容器内，放有一个高为20厘米的长方体铁块。打开水龙头往容器内注水3分钟，水正好没过长方体顶面。再注水18分钟，水灌满了容器。容器的底面积与长方体底面积的比是多少？ 9．某木材加工厂新进200根杨树圆木，每根圆木的横截面直径为0.3m，长为4m。已知圆木的容重为（木料的质量叫作木料的容重），这批圆木大约重多少吨？（得数保留两位小数） 10．一个玻璃瓶里有饮料250mL，饮料高度为10cm（如图①）。小明喝掉50mL后将玻璃瓶倒过来放，此时空余部分的高度是6cm（如图②）。这个玻璃瓶的容积是多少毫升？ 题型二、圆柱的容积 11．做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面周长是12.56分米，高是4分米，至少需要铁皮( )平方分米，这个水桶的容积是( )升。 12．做一个无盖的圆柱形水桶，底面周长是62.8分米，高是6分米，至少要用铁皮( )平方分米，最多能装水( )升。 13．修一个底面周长是25.12米，深是3米的圆柱形蓄水池，这个蓄水池的占地面积是( )平方米，它最多能蓄水( )立方米。 14．一个圆柱形木桶，底面内直径为4dm，桶口距底面最小高度为5dm，最大高度为7dm。这个木桶如右图放置时，最多能装( )L水。 15．这个瓶子能否装下3升的牛奶？ 16．小宇家来了5位客人，他用一盒牛奶招待客人，牛奶盒是一个长方体（如下图）。如果给每位客人都倒上一满杯后，牛奶还有剩余吗？（牛奶盒和杯子的厚度忽略不计） 17．“木桶效应”是指一只木桶能盛多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板。为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意制作了一只木桶（如图）。已知这只木桶内部的底面直径是4分米，木桶侧面上的木板长短不一，长度有3分米、5分米和7分米三种。 （1）这个木桶内部的底面积是多少平方分米？ （2）这个木桶在地面平放时最多能装多少立方分米的水？ 18．一个盖着瓶盖的玻璃瓶里装着一些水（如下图所示），玻璃的厚度忽略不计，瓶子的底面积为10平方厘米。请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是多少立方厘米？ 19．一种圆柱形铁皮油桶，底面直径是6分米，高是10分米。 （1）做一个这种油桶至少要多少平方米的铁皮？ （2）这种油桶能装油多少升？ 20．笑笑家最近购买了一台电热水器（外壳和内胆均为近似的圆柱体），外壳长为6分米，底面直径为4分米，内胆从里边量长为5分米，底面直径为3分米。 （1）外壳的表面积是多少平方分米？ （2）内胆的容积约是多少升？（结果取整数） 题型三、立体图形的切拼（圆柱） 21．把一段长2米的圆柱体木料锯成4个小圆柱，表面积正好增加了18平方分米，这段木料的底面积是( )平方分米。体积是( )立方分米。 22．把一个高是2m的圆柱分成两个完全相同的小圆柱，表面积增加了。原来圆柱的体积是( )。 23．曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 24．把一根长2米的圆柱木料锯成3段，表面积增加100.48平方厘米，这根木料的体积是( )立方厘米。 25．有3个相同的圆柱，拼成一个长15厘米的大圆柱，表面积减少了76平方厘米，拼成的大圆柱的底面积是________平方厘米，体积是________立方厘米。 26．把一根长5米的圆柱形木料，截成3个小圆柱，表面积增加50.24平方分米，这根木料原来的体积是( )立方分米。 27．一根长2米的圆柱形钢材截成三小段圆柱后，表面积比原来增加了36平方分米，这根钢材原来的体积是( )立方分米。 28．一个圆柱体零件，高10厘米，如果沿着它的一条底面直径垂直底面往下切（如图），切成大小相同的两份，表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱体的体积是多少立方厘米？ 29．如图所示，把一个底面直径是6厘米的圆柱，沿底面直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 30．王大爷要给在上海工作的儿子快递4罐茶叶（如图所示），为便于堆放，快递公司决定用长方体纸箱包装。请你帮忙设计一种包装方案（画出草图），并计算所需纸皮的面积（拼接部分忽略不计）。 底面直径8cm，高10cm 题型四、圆柱与圆锥的体积关系 31．等底等高的圆柱和圆锥的体积差是40cm3，圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 32．一个圆锥的体积是24立方米，与它等底等高的圆柱的体积是_______立方米。 33．一根圆柱形钢材，长12dm，底面半径是1dm，这根钢材的侧面积是( )dm2；要把它做成圆锥形钢材，且与圆柱等底等高，则圆锥形钢材的体积是( )dm3。 34．把一个底面积是，高是6cm的圆柱形橡皮泥，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是__________，原来橡皮泥的体积是__________。 35．在长15cm、宽10cm的长方体容器中注入一些水，将等底等高的圆柱和圆锥浸没在水中（水未溢出），水面上升了2cm。圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 36．一个圆柱体的表面积比侧面积大6.28dm2，高是9dm，这个圆柱体的体积是( )dm3，和它等底等高的圆锥的体积是( )dm3。 37．如图，把一个体积为960cm3的圆柱形木料削成一个陀螺，陀螺的体积为( )cm3。 38．把一段高3.3m，底面半径2m的圆柱形钢材切削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥的体积是( )m3，切削掉的部分熔化后还可以组成( )个同样的圆锥。 39．等底等高的圆柱和圆锥，体积差是24立方分米，圆柱的体积是( )立方分米，圆锥的体积是( )立方厘米。 40．如下图，先将甲容器装满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中水的高是( )cm。 题型五、圆锥的体积（容积） 41．一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米。如果每立方米沙子重2吨，这堆沙子有多少吨？ 42．沙漏是两个完全相同的圆锥形容器的组合体，上面的圆锥形容器高6cm，原来里面装满细沙，漏口每秒可漏细沙，漏完全部细沙用时5分。这个沙漏的底面积是多少平方厘米？（沙漏厚度忽略不计） 43．下图所示的是一个蒙古包，上半部分可以看成一个圆锥，下半部分可以看成一个圆柱。这个蒙古包的体积是多少立方米？ 44．中国人食笋的历史久远，在《诗经》里就有“其蔌维何？维笋及蒲”的诗句。右图的竹笋可近似看作一个圆锥，这个竹笋的体积约是多少立方厘米？ 45．一个从里面量底面半径为10厘米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中浸没着一个底面直径为10厘米，高为9厘米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少厘米？ 46．张大伯家有一堆小麦，堆成了圆锥形，张大伯量得它的底面周长是9.42米，高是2米，这堆小麦的体积是多少立方米？如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量为多少千克？ 47．如图，测量中经常使用铅锤。这个铅锤的体积是多少立方厘米？（结果保留两位小数） 48．一个长方体的木块，它的长、宽、高的比是。这个长方体木块的长是24厘米，现在将这个长方体木块削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 49．在一个内底面直径是20厘米的圆柱形容器中，放入一个底面半径2厘米的圆锥形铁块，全部浸没水中，这时水面上升0.2厘米，圆锥形的高是多少厘米？ 50．一个圆柱形容器，里面盛有一些水，有一个底面积为157平方厘米的圆锥形铁块浸没在容器内，把铁块从容器中拿出来后，水面下降了2厘米。如果这个容器底面半径是10厘米，那么这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 题型六、体积的等积变形（圆柱、圆锥） 51．有两个等底的圆柱和圆锥形空瓶容器，圆锥形瓶子高12厘米，底面直径10厘米。在圆锥形瓶子中加满水，再把水倒入圆柱形容器里，则圆柱形容器里的水深( )厘米。 52．一个圆锥形钢坯，底面半径是6dm，高是3dm。如果把它熔铸成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是( )dm；如果把它熔铸成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是( )dm2。 53．亮亮把一个棱长为4分米的正方体容器内装满水后，倒入一个底面积是12平方分米的圆锥形容器中正好装满。这个圆锥形容器的高是( )分米。（容器的厚度忽略不计） 54．一个圆锥形沙堆的底面周长是12.56米，高是1.5米，如果把这堆沙子铺在10米宽的小路上，铺2厘米厚，能铺多长？ 55．一个底面直径是20厘米的圆柱形杯子中装有水，水里完全浸没着一个底面直径是8厘米，高是15厘米的圆锥形铁块，当铁块从水中完全取出时，杯子里的水面会下降多少厘米？ 56．在一个从里面量底面周长为12.56分米，高为3分米的圆锥形量杯里装满水，把它倒入一个从里面量底面长为4分米，宽为2分米的空的长方体容器里。这个长方体容器里的水面高度是多少分米？ 57．一个圆锥形沙堆，底面周长12.56米，高1.5米，学校打算用这堆沙铺一个长4米，宽2米的沙坑（如图），可以铺多厚？ 58．为了方便学生练习跳远，东方小学新建了一个长方体沙坑，沙坑的底面积是16平方米。运来的沙堆成了一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是1.2米，用这堆沙来铺沙坑，能铺多少厘米厚？ 59．一个圆锥沙堆，底面周长是62.8米，高是6米，用这堆沙铺宽为10米，厚为0.1米的长方体沙地，长方体沙地的长是多少米？（π取3.14） 60．一辆货车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸后沙堆成一个高是1.5米的圆锥形，它的底面积是多少平方米？ 题型七、立体图形的切拼（圆锥 ） 61．一个圆锥的底面直径是6cm，高是9cm，这个圆锥的体积是( )，如果沿圆锥的底面直径将它切成两个完全相等的部分，表面积增加了( )。 62．一个底面周长为15.7分米、高6分米的圆锥，沿着高把它分成完全相同的两个部分，这两个部分的表面积之和比原来圆锥的表面积增加了( )平方分米。 63．将一个圆锥沿着它的高平均切成两半（如下图），截面是一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．等腰三角形 64．如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是( )厘米，体积是( )立方厘米。 65．如图，圆柱直径4dm，高2dm，体积是( )dm3；如果把它加工成最大的圆锥，圆锥的体积是( )dm3。 66．一个圆柱体木块切成四块（如图一），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图二），表面积增加50.24平方厘米。如果削成一个最大的圆锥体（如图三），体积减少了（    ）立方厘米。（π取3.14）    A．6.28 B．12.56 C．25.12 67．把一个圆锥体平行于底面截成两段，如图，截下的小圆锥的高是原来大圆锥高的一半，那么小圆锥的体积是原来大圆锥的( )。 68．一个底面半径是6厘米的圆锥形木块，把它沿高分成完全相同的两个木块，表面积比原来增加了120平方厘米，原来这个圆锥形木块的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 69．将一块底面周长是12.56厘米、高是6厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成两半（如图），切面是什么图形？每个切面的面积是多少平方厘米？ 70．将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 题型八、组合体的体积（圆柱、圆锥） 71．计算下面立体图形的体积。 72．从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 73．求立体图的体积。 74．一个铜零件的形状如图所示。每立方厘米的铜的质量约9克，制作这样一个零件大约需要多少千克铜？（结果保留整数，单位：厘米） 75．如图，粮囤上面是圆锥形，下面是圆柱形，圆柱的底面周长是12.56米，高是2米，圆锥的高是1.2米。一个粮囤的体积是多少立方米？ 76．如图，蒙古包由一个近似的圆柱和一个近似的圆锥组成。这个蒙古包的容积大约是多少立方米？（蒙古包的厚度忽略不计） 77．一个正方体的棱长为6厘米，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥（如下图），剩下的体积是多少立方厘米？ 78．用底面半径和高分别是6厘米、12厘米的空心圆锥和空心圆柱各一个，组成竖放的容器如图。在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还填了部分圆柱，圆柱部分的细砂高2厘米。若将这个容器上面封住并倒立，细沙的高度是多少厘米？ 79．一个零件模型（如图），长2分米，底面的正方形边长是6厘米，圆的直径是4厘米。求该模型的体积。 80．如下图，做一块蜂窝煤需要多少立方厘米煤炭？ 题型九、不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 81．一个圆柱形的金鱼缸，底面内半径是40cm，里面有一座假山石全部浸没在水中（水没有溢出），取出假山石后，水面的高度由20cm降到15cm。这座假山石的体积是多少？ 82．将面积为18平方厘米的三角形作为底面，向上平移5厘米，形成一个立体图形（如图③），它的体积是多少？ 83．一个长方体水箱从里面量长40厘米，宽30厘米，箱中水面高10厘米，放进一个底面积为400平方厘米，高3厘米的圆柱后，圆柱被完全淹没。 84．在一个高是15厘米，容积是600毫升的圆柱形容器里装满水。当一个长10厘米，宽4厘米，高6厘米的长方体铅块完全浸没在水中时，容器中有一部分水溢出，取出铅块后容器中的水有多高？（铁块上沾的水忽略不计） 85．有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），底面半径是4厘米。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为14厘米，倒放时空余部分的高度是5厘米，如图所示。饮料瓶的容积是多少毫升？ 86．一个圆柱形玻璃容器从里面测量，底面直径是20厘米，把一个完全没入水中的铁球从这个容器中取出，水面下降2厘米，这个铁球的体积是多少立方厘米？ 87．把一个圆锥形铁块完全浸没在一个底面积是8平方厘米、高15厘米的圆柱形水槽内，水面上升了3厘米（水没溢出），这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ 88．实践出真知。有一个圆柱形容器，从里面量得底面直径为6厘米。高为15厘米，里面装了10厘米高的水。将一个底面直径为4厘米的圆锥体铁块浸没到水中，水面升高了2厘米。这个圆锥体铁块的体积是多少立方厘米？ 89．一个盛水的圆柱形容器，底面直径是10厘米，此时水深20厘米。将一块石头完全浸没在水中，水面升高到24厘米（水没有溢出），这块石头的体积是多少立方厘米？ 90．一个底面是正方形的容器里放着水，从里面量边长是14厘米，水的高度是8厘米。把一个铁质实心圆锥直立在容器里以后，水的高度上升到12厘米，正好是圆锥高的。圆锥的底面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $