精品解析：陕西师大附中2024-2025学年度第一学期高三年级第一次月考（10月）数学试题

陕西师大附中2024－2025学年度第一学期高三年级 第一次月考（10月）数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可得：，则， 所以在复平面内的共轭复数对应的点位，位于第一象限. 故选：A. 2. 设集合，则的元素的个数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：分别求出A和B，再利用交集计算即可. 详解：，， 则，交集中元素的个数是5. 故选：C. 点睛：本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 4. 过点的直线与圆相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点的轨迹是（ ） A. 一个半径为10的圆的一部分 B. 一个焦距为10的椭圆的一部分 C. 一条过原点的线段 D. 一个半径为5的圆的一部分 【答案】D 【解析】 【分析】设 , 根据垂径定理得到，再转化为，写出相关向量，代入化简即可. 【详解】设，根据线段的中点为，则，即， 所以，又， 所以，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆在圆内的一部分， 故选：D. 5. 关于函数，有下列四个说法：①的最大值为；②的相邻两个零点分别为，，且有；③的图象上相邻两个对称中心间的距离为；④的图象关于直线对称，若有且仅有一个说法是错误的，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即可得到结果. 【详解】说法②可得，得到，说法③可得，则，②和③相互矛盾； 当①②④成立时，由题意，，，． 因为，令，得到， 所以，得到， 说法①③④成立时，由题意，，，， 则，故不合题意. 故选：B. 6. 已知为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的弦，其中点在第一象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由焦点坐标求出抛物线方程，再联立直线与抛物线方程得到交点坐标，最后利用向量点积、抛物线定义和弦长公式逐一验证选项，得出正确结论. 【详解】因为抛物线焦点坐标为，所以，解得，抛物线方程为， 又直线，由可得， 解得或，由得；由得，所以， 对于A：因为，所以，A错误； 对于B：，因为, 所以，B错误； 对于C：， 或由抛物线焦点弦公式，C错误； 对于D：由抛物线定义可得，所以，D正确. 【点睛】本题的核心是抛物线定义与焦点弦性质. 7. 唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的高为，内壁的表面积为，可得，可得，利用几何体的几何特征可求内壁表面积. 【详解】设圆柱的高为，内壁的表面积为， 由题意可知：，解得， 内壁表面积等于圆柱的侧面积，加半球的表面积， 即. 故选：D. 8. 设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，解方程得或，在区间取6个零点即可. 【详解】由题意可知， 令， 即或， 即或， 当时，零点从小到大依次， 因此有， 即． 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知事件满足，，则下列说法正确是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立 B. 事件A与事件B可能为对立事件 C. 若事件A与事件B相互独立，则 D. 若事件A与事件B互斥，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用相互独立事件的定义，即可求解；选项B，利用对立事件的概率和为1，即可求解；选项C，利用相互独立事件的概率公式，即可求解；选项D，利用互斥事件的概率公式，即可求解. 【详解】对于选项A，根据相互独立事件的定义易知选项A正确； 对于选项B，对立事件的概率和为1，但．故选项B错误； 对于选项C，根据相互独立事件的定义，，故选项C正确； 对于选项D，事件A与事件B互斥，则，故选项D正确. 故选：ACD． 10. 已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同直线与相切 D. 函数有5个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】求得，根据，可判定A正确；由，利用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B错误；设过点且与函数相切的切点为，求得切线方程，列出方程求得的值，可判定C错误；令，作出函数的图象，得到，进而的函数零点的个数，可判定以D正确． 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为 是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确； 对于B中，由，令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误； 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误； 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D正确． 故选：AD． 11. 已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（ ） A. 为上的单调递增函数 B. 为奇函数 C. 若函数为正比例函数，则函数在处取极小值 D. 若函数为正比例函数，则函数有两个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A，利用函数单调性的定义，设，，得出即可得证；选项B，先得出，再设，得出，即可得证；选项C，在前提下，求函数的导函数，分析导函数的正负，得出函数的单调性以及极值即可；选项D，在前提下，函数，利用零点存在性定理，代入特殊值检验即可. 【详解】对于选项A，设，且，， ，即， 故单调递增，选项A正确； 对于选项B，是定义在上的函数，取，则， 取，则，即， 故是奇函数，选项B正确； 对于选项C、D，设，代入，得， 其中C选项，，， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 函数在处取极大值，无极小值，选项C错误； 其中D选项，函数， 其中， ，， ， 由零点存在性定理可知，函数分别在区间，和上 各至少存在一个零点，选项D错误； 故选：AB 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中项的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，确定的取值，进而求得答案. 【详解】由二项式，可得展开式的通项为， 令，可得，所以展开式中项的系数是. 故答案为：. 13. 若将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则第20个“拐角数”为__________．（用数字作答） 【答案】211 【解析】 【分析】根据图形得出递推数列，求出通项公式可得答案. 【详解】记 “拐角数”构成的数列为，观察数字特征可得， 累加可得， 所以. 14. 若点是曲线上的点，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】令，不妨设，，代入可得，由有最大值得到有最小值，从而可解. 【详解】令，则原问题转化为求解的最小值， 不妨设，，由题意可得： ， 即 整理可得：， 所以当时，有最大值，即有最小值， 所以可得的最小值是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若的面积为，为边上一点，满足，求的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 分析】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去，由和差公式和辅助角公式化简可得； （2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出，然后在中利用余弦定理可得. 【小问1详解】 由正弦定理有， 因为， 所以， 化简得， 由有，可得， 因为， 所以，则． 【小问2详解】 由有 又可得， 联立解得，所以为正三角形， 所以， 在中，由余弦定理得． 故的长为. 16. 2024年7月12日，国家疾控局会同教育部､国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为. （1）若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率； （2）现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中肥胖的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见详解； 【解析】 【分析】（1）设相应事件，根据题意利用全概率公式运算求解； （2）分析可知，利用二项分布求分布列和期望. 【小问1详解】 设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则， 设“学生的肥胖”为事件B，则， 由全概率公式可得， 所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为. 【小问2详解】 由题意可知：，且的可能取值为0，1，2，3，则有： ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 的期望. 17. 在四棱锥中，为正三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点，，，． （1）求证：平面平面PAD； （2）在棱CD上是否存在点M，使得平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）推导出，从而平面ABCD，进而，然后可证得平面PAD，得证平面平面PAD． （2）在棱CD上假设存在点M，使得平面PBE，由平面ABCD，得要使平面PBE成立，只需成立，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出． 【详解】证明：（1）为正三角形，E为AD的中点，． 平面底面ABCD，平面底面， 平面ABCD． 平面ABCD， ． ，， ． ，面 平面PAD． 平面PCD， 平面平面PAD． （2）在棱CD上假设存在点M，使得平面PBE． 平面ABCD，． 要使平面PBE成立，只需成立． 以过与平行的直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， 设， ，即． ，，． ． ， 由，得，即解得． 故． 【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直的证明，考查满足线面垂直中线段比值的求法．解题方法：通过建立空间直角坐标系，把垂直转化为向量的数量积为0，由数量积的运算求得线段比值． 18. 已知函数． （1）当时，函数恒成立，求实数的最大值； （2）当时，若，且，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为求函数最值，通过分离参数，构造辅助函数并利用导数分析单调性，进而求得参数的取值范围； （2）利用函数单调性将和的不等式转化为函数值不等式，通过构造对称辅助函数并换元分析其单调性，完成极值点偏移类的和的不等式证明. 【小问1详解】 当时，恒成立， 即恒成立，只需即可， 令，则， 令，则， 当时，恒成立，在单调递增，所以， 所以在恒成立，在单调递增， 所以，所以，即实数的最大值为2． 【小问2详解】 当时，， 所以，在上单调递增， 又，且，不妨设， 要证，即证明， 因为在上单调递增，即证， 因为，即证， 设 ， 令，则， 则， 由可得，在（0，1）单调递增，所以，即， 所以成立，所以． 【点睛】本题以导数为工具，核心是分离参数求最值解决恒成立问题与构造对称函数、利用单调性证明极值点偏移类不等式，体现了函数与方程、转化与化归的数学思想. 19. 已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）． （1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积． 【答案】（1）1 （2）． 【解析】 【分析】（1）设直线、的倾斜角分别为、（、），则，再利用斜率与倾斜角的关系，结合诱导公式求解； （2）先求出点的坐标，进而得到双曲线在点处的切线方程为，不妨设直线为，与双曲线方程联立，结合韦达定理和三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由题意知直线斜率为1，直线的倾斜角， 设直线、的倾斜角分别为、（、）， 直线、关于直线对称，， ． 【小问2详解】 联立， 双曲线在点处的切线方程为． 不妨设直线为，，， 联立得， 整理得，将等式看作关于的方程： 两根之和，两根之积， 而其中， 由（1）得， 直线为，过定点， 又双曲线在点处的切线方程为，过点，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2024－2025学年度第一学期高三年级 第一次月考（10月）数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，则的元素的个数为 A. B. C. D. 3. 若，则值为（ ） A. B. C. D. 4. 过点的直线与圆相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点的轨迹是（ ） A. 一个半径为10的圆的一部分 B. 一个焦距为10的椭圆的一部分 C. 一条过原点的线段 D. 一个半径为5的圆的一部分 5. 关于函数，有下列四个说法：①的最大值为；②的相邻两个零点分别为，，且有；③的图象上相邻两个对称中心间的距离为；④的图象关于直线对称，若有且仅有一个说法是错误的，则（ ） A B. C. D. 6. 已知为坐标原点，过抛物线的焦点作斜率为的弦，其中点在第一象限，则（ ） A. B. C D. 7. 唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为，酒杯容积为，则其内壁表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知事件满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，则它们的对立事件也相互独立 B. 事件A与事件B可能为对立事件 C. 若事件A与事件B相互独立，则 D. 若事件A与事件B互斥，则 10. 已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同直线与相切 D. 函数有5个零点 11. 已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（ ） A. 为上的单调递增函数 B. 为奇函数 C. 若函数为正比例函数，则函数在处取极小值 D. 若函数为正比例函数，则函数有两个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中项的系数是__________. 13. 若将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则第20个“拐角数”为__________．（用数字作答） 14. 若点是曲线上的点，则的最小值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若的面积为，为边上一点，满足，求的长． 16. 2024年7月12日，国家疾控局会同教育部､国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为. （1）若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率； （2）现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中肥胖的人数，求的分布列和数学期望. 17. 在四棱锥中，为正三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点，，，． （1）求证：平面平面PAD； （2）在棱CD上是否存在点M，使得平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知函数． （1）当时，函数恒成立，求实数的最大值； （2）当时，若，且，求证：． 19. 已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）． （1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值； （2）若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $