精品解析：陕西省西安市临潼区华清中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

华清中学2025-2026学年高三年级自主命题（二） 科目：数学 （考试时间：75分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）． 1. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”，结合已知存在量词命题求解． 【详解】存在量词命题“”的否定是全称量词命题“”， “，”的否定是：“，”． 故选：D． 2. 已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双对称函数来证明函数的周期性，再利用单调性可以比较大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，即是奇函数，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以，即. 故选：D. 3. 已知扇形的弧长是2，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过已知的弧长和圆心角弧度数，利用弧长公式求出扇形的半径；再将弧长与半径代入扇形面积公式，计算得到面积． 【详解】根据弧度制下的扇形弧长公式， 已知弧长，圆心角弧度，代入得： ，解得半径． 扇形面积， 故选：A． 4. 已知向量不平行，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理，先转化平行关系为等式，再整理等式分离向量系数，最后利用“不共线向量的系数对应相等”列方程求解即可. 【详解】因为向量，不平行，， 所以存在实数，使得：， 即，解得. 故选：B. 5. 已知数列满足，其前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析数列的性质，利用等比数列的求和公式进行计算即可. 【详解】令，则. 由，所以， 两式相除可得：. 所以数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列. 所以 . 故选：B 6. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 7. 春节期间，甲，乙两人去西安旅游，打算去陕西历史博物馆参观，需要提前在网上预约门票，若甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人预约成功与否互不影响，则甲乙两人至少有一人预约成功的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率计算公式，结合对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意知，甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人互不影响， 则甲乙同时预约不成功的概率为， 所以甲乙两人至少有一人预约成功的概率是. 故选：C. 8. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法求得复数，然后得到其模长. 【详解】由题意可知， ∴. 故选：B 二、不定项选择题（每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的．全部选对的得6分，选对但不全的得2-4分．选错或不答的得0分）． 9. 已知向量，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 任意正数a，b，与不共线 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量共线的充要条件，即可判断选项、；根据向量垂直，数量积为零，可得，再根据向量加法和模长公式可得，再利用基本不等式即可得；根据，所以，化简可得，代入得：，结合基本不等式和换元法，即可计算出. 【详解】对于：由题意得，若，则，解得，因为，， 所以无解，故不存在，使得，所以选项错误； 对于：由选项可知，不存在，使得，所以选项正确； 对于：若，则，解得，， 所以，因为，， 根据基本不等式得：=2， 当且仅当=1时等号成立，所以；所以选项正确； 对于：，若，则， 即，化简得：， 因为，，所以，即，且， 所以，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以选项错误. 故选：. 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式、求和公式及性质逐一判断各选项. 【详解】等差数列的前项和为，公差为， 对于A：若，则，A选项正确； 对于C：若，则，C选项正确； 对于B：若，则，B选项错误； 对于D：若，则，D选项正确； 故选：ACD. 11. 已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，得到可判定A正确，根据正弦型函数的性质，可得判断B正确，C错误，D正确. 【详解】对于A，将的图象上点的横坐标变为原来的一半，可得， 再将的图象上的纵坐标变为原来的2倍，可得， 然后向上平移1个单位长度得到函数，所以A正确； 对于B，当，可得， 根据正弦函数的单调性，可得函数在上单调递增，所以B正确； 对于C，由，所以函数关于对称，所以C错误； 对于D，由，可得，所以， 所以，即在上的值域为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每空5分，共25分） 12. 已知，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 13. 正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】用表示，再根据向量数量积运算求解. 【详解】在正方形中，，且， ，， . 故答案为：0. 14. 对于数列，记区间内奇数的个数为，则称数列为的奇数列．若数列为数列的奇数列，则________，数列的前项和=________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】由，得到区间，即可求解第一空，由区间内的奇数为3，5，…，，即可求解，进而可解第二空. 【详解】当时， 在区间内的奇数为3，5，共有2个，则． 易知在区间内的奇数为3，5，…，， 所以， 等差数列，首项， 则． 故答案为：2， 15. 已知在正三棱台中，，若三棱台的高为时，则直线与平面所成的角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别取的中点为，分别过作底面垂线，垂足分别为，可得：与平面所成的角为，设，结合等腰梯形及勾股定理求解，进而求解，即可求出直线与平面所成的角. 【详解】 分别取的中点为，则， 如图，分别过作底面垂线，垂足分别为， 则，且与平面所成的角为，设， 则， 可得， 结合等腰梯形可得，即，解得， 所以与平面所成角的正切值为. 因为，所以. 故答案为：. 四、解答题 16. 如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成角； （2）用空间向量法求线面角：求出平面的法向量，由直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值. 【小问1详解】 连接，交于点，因为菱形，所以， 分别以为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，则， 所以, 点是棱的中点,则， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 由（1）知，设平面的一个法向量是， 则，取得， ， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 如图所示，，，…，，…是曲线C：上的点，，，…，，…是x轴正半轴上的点，且，，…，，…均为等腰直角三角形（为坐标原点）． （1）计算，，，猜想的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1），，，猜测. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用猜想. （2）利用数学归纳法证明猜想成立. （3）利用裂项求和法求得. 【小问1详解】 依题意，有，得. 由，得，即， 由可得，，，猜测. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，可求得，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即有， 则当时，由归纳假设得，即得， 即， 解得（不合题意，舍去）. 即当时，命题也成立. 由（ⅰ）、（ⅱ），对所有，； 【小问3详解】 ， . 18. 在平面直角坐标系中，对于曲线C上任意一点，总存在点满足关系式（），则曲线C变换为曲线，称为平面直角坐标系中的伸缩变换，记为．已知曲线经过伸缩变换后得到曲线． （1）求曲线方程． （2）已知过点的直线与曲线交于点（点在轴上方），曲线与轴的左、右两个交点分别为，设直线的斜率分别为． （i）是否存在常数t，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （ii）若直线与交于点，试求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（i），（ii）点轨迹为直线. 【解析】 【分析】（1）根据上即可求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据斜率公式化简求解（i），利用韦达定理化简得，即可求解（ii）。 【小问1详解】 设上任意一点，则点在上， 由题意得，化简得，所以曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （i）设直线，，， 联立直线与，，化简得， ，， ,, 若，则，故， 故存在，使得 （ii）直线，直线， 设点，则， 两条直线方程相除，可得 即，解得，即点在直线上； 故点轨迹为直线. 19. 当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中，． （1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程； （2）甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先对两边分别取对数得到，再根据题目中的数据代入公式去求即可； （2）依题意，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为两边取对数可得，即， 令，所以，由， ，. 所以， 又，即， 所以，所以. 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 甲每局比赛获胜的概率为，则甲每局比赛失败的概率为， 依题意可得， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时； 20. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点． （1）求C的方程； （2）若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补． （ⅰ）求直线所过定点的坐标； （ⅱ）证明：A，B，M，N四点共圆． 【答案】（1） （2）（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，联立抛物线方程得到韦达定理式，再代入向量数量积的坐标表示式即可得到方程，解出即可； （2）（i）求出的坐标为，再根据倾斜角和斜率关系得直线的方程，化简即可得到定点； （ii）联立方程得到方程，计算直线与直线的斜率乘积得其互相垂直，则得到点的轨迹即可证明四点共圆. 【小问1详解】 由题知，设两点的坐标分别为， 显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为， 联立方程消去整理得， 则，，， 所以， 所以，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知的准线方程为，直线的方程为， 令，得，即点的坐标为， 由直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，知直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 故直线过定点． （ⅱ）设点的坐标为． 联立方程消去后整理得，故， 由（1）知，， 直线的斜率为，同理可得直线的斜率为． 又， 所以直线与直线互相垂直，故点在以线段为直径的圆上， 同理可得点在以线段为直径的圆上， 故，，，四点共圆． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学2025-2026学年高三年级自主命题（二） 科目：数学 （考试时间：75分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C D. 3. 已知扇形的弧长是2，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知向量不平行，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知数列满足，其前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 7. 春节期间，甲，乙两人去西安旅游，打算去陕西历史博物馆参观，需要提前在网上预约门票，若甲预约成功概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人预约成功与否互不影响，则甲乙两人至少有一人预约成功的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、不定项选择题（每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的．全部选对的得6分，选对但不全的得2-4分．选错或不答的得0分）． 9. 已知向量，，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 存，使得 B. 任意正数a，b，与不共线 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，然后向上平移1个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 三、填空题（每空5分，共25分） 12. 已知，则_________． 13. 正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则__________． 14. 对于数列，记区间内奇数的个数为，则称数列为的奇数列．若数列为数列的奇数列，则________，数列的前项和=________． 15. 已知在正三棱台中，，若三棱台的高为时，则直线与平面所成的角为__________. 四、解答题 16. 如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，，，点是棱的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图所示，，，…，，…是曲线C：上的点，，，…，，…是x轴正半轴上的点，且，，…，，…均为等腰直角三角形（为坐标原点）． （1）计算，，，猜想的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想； （3）求数列的前n项和． 18. 在平面直角坐标系中，对于曲线C上任意一点，总存在点满足关系式（），则曲线C变换为曲线，称为平面直角坐标系中伸缩变换，记为．已知曲线经过伸缩变换后得到曲线． （1）求曲线的方程． （2）已知过点直线与曲线交于点（点在轴上方），曲线与轴的左、右两个交点分别为，设直线的斜率分别为． （i）是否存在常数t，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （ii）若直线与交于点，试求点的轨迹方程． 19. 当下，大量的青少年沉迷于各种网络游戏，极大地毒害了青少年的身体健康．为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某游戏公司开发了一款益脑游戏，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，如下表： 关卡 1 2 3 4 5 6 平均过关时间（单位：秒） 50 78 124 121 137 352 计算得到一些统计量的值为：，，其中，． （1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出关于的经验回归方程； （2）甲参加一场闯关游戏，比赛共有5局，甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立，记甲恰好获胜3次的概率为，求的最大值，并求出相应的概率． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 20. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点． （1）求C的方程； （2）若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补． （ⅰ）求直线所过定点的坐标； （ⅱ）证明：A，B，M，N四点共圆． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $