专题2 第24题二次函数综合题-【一战成名新中考】2026贵州中考数学·二轮复习·专项分层提升练

时针旋转90°得△BEF,连接MF,QF,.·∠CBE=90° ∠ABC=90°，.∠ABC+∠CBE=180°，∴.A,B,E三点共 线，·∠PBM=∠PBQ-∠MBQ=90°-∠MBQ=∠FBQ,由 旋转性质得PB=QB,MB=FB,.△BPM≌△BQF(SAS), .MP=FQ=1,.Q的运动轨迹是以F为圆心，1为半径 的弧，BC=AB=4,CM=CD=2,BM=VBC+CT- 25.·∠MBF=90°，BM=BF,.MF=√2BM=210,· MQ≥MF-QF,.MQ≥2√10-1，.MQ的最小值为 2/10-1. 专题二第24题二次函数综合题 例1解：(1)画图略： 1 (2)①=和y=2,y2和y=-; 1 ②=x,=2,x:③小，小： ④上，下，相同，小，大： (3)g≤a≤3： 8a-4 (4)0A,F,C,E:②- 491 例26≥6 13 步骤1①向下：②b; 步骤2③如解图③，当对称轴在自变量取值范围内(4≤ b≤6)且在该区间中点左侧时(b<5),即4≤b<5,∴.x=6 时.)有最小值-6+125+b-1≥9，解得6≥6 34s6<5: ④如解图④，当对称轴在自变量取值范围左侧时，即0<b< 4,x=6时，y有最小值，-6+12b+b-1≥9，解得b≥ 4646 1313sbc4 V 0 46 046 图③ 图④ 例2题解图 步骤36≥6 13 1.(1)3:(2)二次函数的表达式为y=-10x2+60x+1: (3)ga名或a> 5 5 2.(1)二次函数的表达式为y=x2+2x-2: (2)函数图象的顶点坐标为(-1，-3)，作图略： (3)n的值为1+√5或4-√5 3.(1)二次函数图象的顶，点坐标为(-2，-4a+b): (2)当a>0时，d>c>e=f:当a<0时，d<c<e=f理由略； ()二次函数的表达式为y弓+号寸或)=弓 8.1 9x+9 4.(1)二次函数的表达式为y=-x2-4x-1; (2)当-1≤x<0时，y的最大值为2： (3)m=-3+√7或-3-√11. 5.(1)y=ax2-2ax-8=a(x-1)2-a-8, 抛物线的对称轴为直线x=1; 34 参考答案与重对 (2)0<k<2: (3)存在实数m,使得y,<y<y,≤-a-8恒成立，m的取值 1 范围为2<m<立 6.(1)抛物线的表达式为y=x-2x-1: 17 (2)点M的坐标为(2,4)： (3)d与m之间的关系式为d="2m+1m≤0)， (4)四边形CDEF是矩形，C(2m-1,4),D(1-m,4), E(1-m,-1), ∴.F(2m-1,-1), 令y=-1,则x2-2x-1=-1, 解得x1=0,x2=2, .抛物线与直线y=-1交于点H(0,-1)和K(2,-1), .E,F,HK四点共线 ①当点C在点D的左侧时，如解图①，即2m-1<1-m, 2 解得m<3: :图象G在矩形CDEF内部的部分所对应的函数值y随 x的增大而减小， ∴.2m-1<0≤1-m≤2， 解得-1≤m<2 NO 八EK 图① 图② 第6题解图 ②当点C在，点D的右侧时，如解图②，即2m-1>1-m, 2 解得m>3, ·图象G在矩形CDEF内部的部分所对应的函数值y随 x的增大而减小， .1-m<0≤2m-1≤2， 解得1<m≤2 3 综上所述，m的取值范围为-1≤m<分或1<m≤ 3 7()抛物线C,的表达式为)=之+分+1： (2)不能，理由略； 1 (3)四边形MNP0是正方形，M(2,1),N(1,1), 0分）1. 3 如解图所示，画出正方形MNPQ, 2 1M N -2-10 1234元 -1上 第7题解图 题解析·贵州数学 抛物线C1开口向下，.a<0, :Ia越小开口越大，Ial越大开口越小，点F在(3,0)和 (4,0)之间（包括这两点）， .分情况讨论如下：①由图象可得，当抛物线C,顶点为 点M,且经过点(4,0)时，开口最大，此时a最大， 设G的表达式为y=a(x+1, 将(4,0)代入，得0=a(4子41，解得a= 491 ②由图象可得，当抛物线顶点为点P,且经过点(3,0)时 开口最小，此时a最小， 设C,的表达式为y=a(x-1)+3 2 将(3.0)代入，得0=a(3-1)户解得a=号 8 4 a的取值范围为-及≤x≤4的 8.(1)桥拱部分抛物线的函数表达式为y=4（x-4)+4= 42+2x(0≤x≤8)： (2)工人的头顶不会触碰到桥拱，理由略： (3)m的取值范围是5≤m≤8. 9.(1)下层喷泉所对应抛物线C,的函数表达式为y=-(x- 1)2+1: (2)①b,c应满足的数量关系是c=6-b(形式不唯一)： ②b的取值范围为3≤b≤4 10.(1)桥洞OAM所在抛物线的函数表达式为y=-0.5(x- 3)2+4.5: (2)小船要通过桥洞，则1应不大于(23-0.4)m; (3)2+√3≤m≤6-√3或8+√3≤m≤11. 1.(1)顶棚抛物线的函数关系式为y=8x+x+2=-8 （x -4)2+4(0≤x≤8)： (2)小星能驾驶这辆车进人车棚； (3)的值为3 4 2()抛物线的每折式为y=高+60： (2)消防员不能直接使用消防喷水枪对小山丘的山顶进 行救火. 建议：消防员可以使用升降梯辅助消防喷水枪对小山丘 的山顶进行救火（言之有理即可）； (3)m的值为-163或57 3 3 专题三第25题几何综合与探究题 1a或 。2号 51 3.118°或67°4.1或9 6.15°或165°7.55°或95°8.4或12 9(-74)成-9号103或号 二阶对接中考 例1(1)解：画图如解图①，90： A 0 B C 例1题解图① 参考答案与重难题角 一战成名新中考 (2)证明：如解图②，过点P作PC⊥OB于点C,则∠OCP =90°. :∠A0B=90°，PA⊥OA, ∴.∠A=90°=∠AOB=∠OCP 四边形OAPC是矩形， 点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA,PC⊥OB .PA=PC,矩形OAPC是正方形 ∴.OA=AP=PC=OC,∠APC=90°. .PN⊥PM,∴.∠MPN=90°， .∴.∠CPN=90°-∠MPC=∠APM. 又.·∠MAP=∠NCP=90°，AP=CP. M .△APM≌△CPN(ASA), .∴.AM=CN, 0 C NB ..OM+ON=0M+0C+CN=OM+AM+ 例1题解图② OC=0A+OC=2AP. .OM+ON=2PA: (3)解：①当M在线 段A0上，即点M在G 点0上方时， 解法1：如解图③，延 长NM,PA交于点G NB 由(2)知OM+0N= 例1题解图③ 2AP,又.0N=3OM. .设0M=x,0N=3x,则0A=AP=2x, .AM=0A-0M=x=0M. .·∠MAG=∠MON=90°，∠AMG=∠OMN. ∴.△MAG≌△MON(ASA),.AG=ON=3x、 .AP∥OB,.△ONF∽△PGF, OF ONON 3x 3 小PF-PG-AG+AP3x+2x5' PF 5 OP 8 0F3心0F3 解法2：∠MON=∠MPN=90°， .0,M,P,N四点共圆，如解图④ 则∠MPO=∠MNO .点P在∠AOB的平分线上 ∠A0B=90° .∠M0P=∠F0N=45°， .△OMP∽△OFN. 例1题解图④ 0F0W0F=0M·Ow OM OP .0N=30M,.设0M=x,0N=3x 又.·OM+0N=2AP ∴.AP=2x, 易得△AOP是等腰直角三角形，.OP=2√2x, 0r-0M.0Nx…3x_32 OP 22x4x, 0P8 0F=39 ②当M在A0的延长线上，即，点M在点0下方时， 解法1：如解图⑤，过点P作PG⊥OB交OB于点C,交MW 于点G. 由(2)知，四边形OAPC是正方形 .0A AP PC OC, ∠APC=90°，PC∥A0. ,PN⊥PM,∴.∠CPN= 90°-∠MPC=∠APM, 又…∠A=∠PCN=90 M AP=CP. ∴.△APM≌△CPN(ASA), 例1题解图⑤ 析·贵州数学 35专题二第24题二次函数综合题(5年4考) 考情时间轴 打水漂建模，抛物线开口 拱桥建模，将军饮马问题，区间 桥拱建模，区间内与增减性 大小与参数a的分类讨论 最值（轴动区间定）的分类讨论 有关（轴动区间定）的分类讨论 2024 2022 2025 2023 2021 纯性质，根据增减性比较 函数值大小，区间最值（轴 定区间定)的分类讨论 口阶参数对图象的影响（分类讨论） 思解题技巧 解决含参二次函数问题应注重分类讨论及数形结合（画草图）： 1.分类讨论：分两种情况如下： 分类讨论 开口方向 ①函数表达式含参】 思考方向 对称轴与自变量取值范围相对位置 ②自变量取值范围或点坐标含参 分类讨论 思考方向 对称轴与自变量取值范围相对位置 强调分类讨论前应先确定抛物线的二次项系数及对称轴是否为定值； 2. 数形结合：根据分类讨论的每种情况画出对应的草图，有助于快速准确得出结论 类型①》“a”对抛物线开口的影响[2025.24(3)] 例1 :xC-=《=Cx-=《x=《彩姊4甲画中4末厚画击①☒孕【会T)吃 3 2 54321012.34.5元 y D 宁2 B 013 0 E 图① 图② 图③ (2)【性质探究】观察(1)中所画的图象，填空： ①开口方向：这四条抛物线中，开口向上的抛物线为 ;开口向下的抛物线为 ②形状与对称性：抛物线y=x2与抛物线 的形状相同，它们关于 轴对称；抛物线 y=22与抛物线 的形状相同，它们关于 轴对称： 1 ③开口大小：抛物线y=的开口比抛物线y=2的开口 (填“大”或“小”)；抛物线y= -的开口比抛物线)=之的开口 (填“大”或“小”)； ④探究结论：在抛物线y=ax2中，a>0时，抛物线开口向 ;a<0时，抛物线开口向 当1a相同时，抛物线开口大小；la越大，抛物线开口越；la越小，抛物线开 口越 48 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 (3)【性质应用】如图②，正方形四个顶点的坐标依次为(1,1)，(3,1)，(3,3)，(1,3).若抛物线 y=ax2与该正方形有公共点，则实数a的取值范围是 (4)【拓展应用】[2025贵州24题(3)改编]如图③，平面直角坐标系内有一个正方形ABCD,其中 4(,),B(1,),G1,,0多)，地物线y=ar+tc(a<0)的顶点在这个正方形区装内 (包括边界)，且与x轴的交点在E(3,0)和F(4,0)之间（包括这两点） ①当抛物线的开口最大时，它的顶点为点 ,与x轴的交点为点 ;当抛物线的开口 最小时，它的顶点为点 ,与x轴的交点为点 ；(只填写代表点的字母) ②a的取值范围是 类型2关于对称轴的分类讨论[2023.24(3)，2022.24(3)，2021.24(3)] 例2[2023贵州24题(3)改编]已知抛物线y=-x2+2bx+b-1(b>0),当4≤x≤6时，函数y的值总大 于等于9，则6的取值范围为 文思路剖析 题中仅函数表达式含有参数，抛物线开日向下但对称轴不确定，应根据对称轴与自变量取值范围的 相对位置分类讨论，通常分为如下4种情况：①对称轴在自变量取值范围右侧；②对称轴在自变量取 值范围内且靠近右侧端点；③对称轴在自变量取值范围内且靠近左侧端点；④对称轴在自变量取值 范围左侧！ 步骤1确定二次函数图象的对称轴、开口方向 抛物线y=-x2+2bx+b-1=-(x-b)2+b2+b-1: ①抛物线的开口 (填“向上”或“向下”)：②抛物线的对称轴为直线x= 步骤2分类讨论与数形结合 ①如解图①，当对称轴在自变量取值范围右侧时，即b>6,∴.x=4时，y有最小值，∴.-4+8b+b-1 ≥9，解得b≥ 06: 26 ②如解图②，当对称轴在自变量取值范围内(4≤b≤6)且在该区间中点及中点右侧时(b≥5)，即 56≤6=4时，y有最小值4+86+6-1≥9解得6≥5≤6≤6： 请补全后面两种情况的过程及草图并计算出结果： ③ ④ 画图区 y↑ x=6 ix=b 046元 046 46 46 图① 图② 图③ 图④ 步骤3得出结论综上，b的取值范围为 专项分层提升练·贵州数学 49 已阶对接中考 类型①纯性质综合题(2022.24) 1.[2025贵阳花溪区模拟]已知二次函数y=ax2-6ar+1. (1)二次函数图象的对称轴为直线x= ； (2)若不同的两点A(a-5,y),B(-2a+1,y,)在二次函数的图象上，且y,=y2,求二次函数的表 达式； (3)分类讨论如图，已知E(2,0),P(6,0),M(2,-4),N(6,-4),若二次函数的图象与正方形 EMNP只有2个交点，求a的取值范围. y 2.轴动区间定[2025河南]在二次函数y=ax2+bx-2中，x与y的几组对应值如表所示. -2 0 1 -2 -2 1 (1)求二次函数的表达式： (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)分类讨论将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最 大值与最小值的差为5，求n的值 ī4 432+101234x 50 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 3.轴定区间定[2022贵阳24题12分]已知二次函数y=ax2+4ax+b. (1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a,b的代数式表示）： (2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A,B两点，AB=6,且图象过(1，c),(3, d),(-1,e),(-3,f)四点，判断c,d,e,f的大小，并说明理由； (3)点M(m,n)是二次函数图象上的一个动点，当-2≤m≤1时，n的取值范围是-1≤n≤1，求二 次函数的表达式。 ■教你读题第(3)问可译为“当-2≤≤1时，y的最小值为-1，最大值为1，求a,b的值.” 4 3 2 0 6-5-4-3-2-1 123456元 - -5引 4.轴定区间动[2023贵州省模拟]已知二次函数y=ax2-4x+c(a≠0，a,c为常数)的图象经过点(1， -6),(-4,-1) (1)求二次函数的表达式； (2)当-1≤x<0时，求二次函数的最大值： (3)当m≤x≤0时，二次函数的最大值与最小值的和为2m,求m的值， 4 2 10 -6-543-2123456元 -2 -3引 4 -6 专项分层提升练·贵州数学 51 5.[2024贵阳南明区一模]在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)与y轴交于 点A. (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴： (2)当a>0时，抛物线上有两点(2，t1),(k,t2),若t1>t2,求k的取值范围； (3)若D(m-2,y1),E(m,y2),F(m+3,y3)都在抛物线上，是否存在实数m,使y,<y,<y2≤-a-8恒 成立？若存在，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由. 6.抛物线y=ax2+bx-1过点A(2,-1),B(3,2),M(m,y1),N(1-m,y2)是抛物线上的两点，将此抛物 线上M,N两点之间的部分（包括M,N两点）记为图象G. (1)求抛物线的表达式： (2)当M,N重合时，求点M的坐标； (3)当抛物线的顶点在图象G上时，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d,求d 与m之间的关系式； (4)矩形CDEF的顶点分别为C(2m-1,4),D(1-m,4),E(1-m,-1),当图象G在矩形CDEF内部 的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围 52 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 类型2与函数建模问题结合的性质综合题(2025.24,2023.24,2021.24) 7.[2025贵州24题12分]用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触，石块 会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水 漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点 F,运动路径近似为抛物线C,且C,:y=ax+bx+c,石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G, 运动路径近似为抛物线C,且C:=tm+机（小里所在地面，水面在同一平面内，目石块形 状大小、空气阻力等因素忽略不计) (1)如图②.当a=子6-=时者点F坐标为(2.0)，求抛物线G的表达式： (2)在(1)的条件下，若FG=4,在水面上有一个截面宽AB=1,高BC=0.5的矩形ABCD的障碍 物，点A的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线C,运动时是否能越过障碍物？请说明 理由； (3)小星在抛掷石块时，若C,的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界），且点F在(3,0) 和4,0之间（包括这丙点），其M2).1,1.Q分子，求a的取稍范瓦（在范郑过 程中正方形与抛物线C在同一平面内) C C2 A B G 图① 图② 专项分层提升练·贵州数学 53 8.[2021贵阳24题12分]甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片，如图①，甲秀楼的桥拱截面0BA可视为 抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m. (1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距0点0.4m时，桥下水位刚 好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰 到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）； (3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱 OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长 度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值 范围 A 图① 图② 图③ 54 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 9.[2025黔东南榕江县模拟·北师九下P60第17题改编]图①是两层喷泉景观的效果图，图②是其示 意图，两层喷泉落在直径为4的圆内，喷泉的水流均看作抛物线的一部分，下层喷泉C,的喷水 口设在圆心O处，落地点与圆心O的水平距离为2m,水流的最高点距离地面1m;上层喷泉C2 的喷水口设在圆心0的正上方，且水流经过下层喷泉水流的最高点，以圆心0为原点，过圆心0 的一条水平线为x轴，中心线1为y轴建立如图③所示的平面直角坐标系，设水流的高度为y(单 位：m),水流距离中心线的水平距离为x(单位：m). (1)求图③中下层喷泉所对应抛物线C,的函数表达式；（不必写x的取值范围） (2)当图③中上层喷泉所对应抛物线C,的函数表达式为y=-5x2+bx+c时，视觉效果最佳. ①试推算b,c应满足的数量关系； ②结合实际环境，要求上层喷泉C,水流的最大高度不低于2.8m,且不高于3.45m,求出b的 取值范围。 il 0 4m 0 2x 图① 图② 图③ 专项分层提升练·贵州数学 55 10.成名原如图①为某古代石桥，该石桥共有17个形状、大小完全相同的桥洞.其中三个连续 桥洞的截面示意图如图②所示.每个桥洞的截面均可抽象成抛物线的一部分，桥洞顶点到水面 的距离为4.5m,桥洞内水面的宽度为6m.桥墩的宽度、厚度忽略不计，建立如图②所示的平面 直角坐标系，0M=6. (1)求桥洞OAM所在抛物线的函数表达式； (2)若一艘顶部高于水面3m的小船想要通过桥洞，根据安全需要，它顶部最宽处两侧距桥洞的 水平距离均不能小于20cm,设它顶部最宽处长为lm,则1应满足何条件小船才能顺利 通过？ (3)将图②中三个桥洞截面部分抛物线向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在9≤ x≤11时的最大值不超过3，结合函数图象，直接写出m的取值范围 M 图① 图② 56 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 11.[2025贵州省模拟]如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部 分，OA,BC垂直于地面OC,且A0=BC=2m,OC=8m,以OC所在的直线为x轴，OA所在直线为 y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式y=ax2+x+c(a,c为常数，a≠0)， (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小星想驾驶一辆高为3m,宽为2m的货车进人车棚.通过计算判断他能驾驶这辆车进入车 棚吗？ (3)如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固.在顶棚A,B之间抛物线上有两个点D和 E(不与点A,B重合).它们的横坐标分别为t,2t,连接AD,AE.设点A与点D之间部分（含点 A和点D)的最高点与最低点的纵坐标的差为h,点A与点E之间部分（含点A和点E)的最 高点与最低点的纵坐标的差为h,当h,-h,=)时，求出i的值 o 1 图① 图② 图③ 专项分层提升练·贵州数学 57