专题6 半角模型-【一战成名新中考】2026贵州中考数学·二轮复习·专项分层提升练

专题六 半角模型 日阶模型初探 例(1)【感知】如图①，四边形ABCD是正方形，E,F分别颶模型解读 在边BC和CD上，且∠EAF=45°，这种模型称为“半角模情形1：正方形ABCD中含45°∠EDF 型”.小星为了探究线段EF,BE,DF之间的关系，将△ADF辅助线：如图，将△ADE绕点D逆时针 绕点A顺时针旋转90°，如图②，即解决了这个问题.则线旋转90°得到△CDM. 段EF,BE,DF之间的关系为 结论：△DEF≌△DMF,DC=DG E G B E EF=MF=CM+CF=AE+CF. 图① 图② 情形2：等腰Rt△ABC中90°角含 (2)【变式】如图③，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD= 45°∠DAE. 90°，AB=AD,点E,F在边BD上，且∠EAF=45°，请写出 辅助线1：作旋转.如图，将△ABD绕，点A EF,BE,DF之间的关系，并说明理由： 逆时针旋转90得△ACF,连接EF B E B D D E B D 图③ 结论：△ADE≌△AFE,∠ECF=90°， BD2+CE2=CF+CE2=EF=DE2 辅助线2：作对称.将△ABD,△ACE分 (3)【应用】如图④，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120,点别沿AD,AE翻折，点B,C重合在点 D,E在边BC上，且∠DAE=60°，当BD=10,EC=16时，求 F处 BC的长. B D E 图④ 结论：BD=DF,CE=EF,∠DFE=90°， BD2+CE2=DF2+EF2 DE2. 情形3：120°含60°，60°含30. 辅助线：将△ABD绕点A逆时针旋转 120°(60)得△ACD',连接ED' 60 B D 结论：△AED≌△AED' 32 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 目阶对接中考 1如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=a,则 ∠FEC一定等于 () A.2a B.90°-2ax C.45°-a D.90°-x B 备用图 2.多解法如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D,若BD=4,DC=6,则AD的长为 备用图 3.如图，在等边△ABC中，D,E为BC边上的点，∠DAE=30°，BD=3,EC=4,则DE的长为 R D 备用图 4.如图，等边三角形ABC的边长为2，△BDC是等腰三角形，顶角∠BDC=120°.以D为顶点作一个 60°的角，角的两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MW,则△AMN的周长为 M M B B D D 备用图 5.如图，∠AOB=90°，OP平分∠AOB,一个45°角的顶点与P重合，角的两边分别与射线OA交于点 C,与射线OB交于点D.若OP=3,则△COD的周长为 备用图 专项分层提升练·贵州数学 33EF EN 5 △EBM,BEBM3 D 例题解图⑤ 例题解图⑥ 解法3：如解图⑥，连接BF,取BF的中，点O,连接OE,OC ·四边形ABCD是矩形，∠BEF=90°，.∠BEF=∠BCF 90°，CD=AB=3,AD=BC=5,B,C,F,E四点共圆， EF AD 5 ∠EBF=∠ECF,∴.tan /EBF=tan LACD,∴. EB CD3 1.322.16 3.26【解析】：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°， 4c=-8.L4=60,M=4报=4C=4,C-号4C=45 .MC=BC-BM=45-4,∠A=∠CMN=60°，∴.∠CNM F180°-LC-LCMW=90°dMN=7MC=23-2,CW9 23解法1：如解图①，延长C =MN,连接BE,易证△BAE≌△BMN,.∠ABE=∠MBN. BE=BV,∴.∠NBE=∠MBA=90°，∴.△NBE是等腰直角三 角形，.NE=√∑BN,.·NE=AE+AN=MN+AC-CN=2√5-2 +8-6-25=45N-号E-2石解法，知期园 ②，过点N作ND⊥BC于点D,在Rt△DMW中，MW=2√5 -2,∠DMN=60DM=分w=万-1，DN=N=3- √5，.BN=√DW+BD=√(3-√3)2+(4+3-1)2= 26. N M C DM 图① 图② 第3题解图 4.4 5.1【解析】解法1：如解图①，过，点D作DG∥BC交AB于 点G,D为AC边的中点，.GD为△ABC的中位线，G 为AB的中点，则∠GDC=120°=∠EDF,∠DGE=120°= ∠DCF,DG=2BC=DC=2,∠GDE+∠EDC=∠EDC+ ∠CDF,∴.∠GDE=∠CDF,∴.△GDE≌△CDF(ASA),. GE=CE又：G是AB的中点，BG=)AB=2,BE=1, .∴.GE=1,∴.CF=1. N C 图① 图② 第5题解图 24 ○参考答案与重难 解法2：如解图②，过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥ BC于点N,连接BD,:D是AC的中点，△ABC是等边三 角形，∴.BD是∠ABC的平分线，∠A=∠ACB=∠ABC= 60°，.DM=DN,∠MDN=120°，∠EDF=120°， ∠MDE+∠NDE=∠NDE+∠NDF=120°，.·∠MDE= ∠NDF,:∠DME=∠DNF=90°，.△DME≌△DNF (ASA)ME=NF,在R△ADM中，AD=2AC=2,∠A= 60°，.AM=1,同理，CN=1,ME=AB-AM-BE=2,.NF =2,.CF=1. 专题六半角模型 例解：(I)EF=BE+DF; (2)EF2=BE+DF2,理由如下： 把△AFD绕，点A顺时针旋转90°得到△AE'B,连接EE', 如解图①， E 解图① .BE'=FD,AE'=AF,∠D=∠ABE',∠FAD=∠E'AB, ·AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠ABD=∠ADB=45 ∴.∠ABD+∠ABE'=90°，即∠E'BD=90°， ∴EB2+BE=E'E, 又.：∠EAF=45°， ∴.∠BAE+∠FAD=45 .∠E'AB+∠BAE=45°，即∠E'AE=45° 在△AEE'和△AEF中， (AE=AE. ∠E'AE=∠FAE AE'=AF. ∴.△AEE'≌△AEF(SAS), .EE'=FE. .EF=BE2+DF2: (3)把△ACE绕点A顺时针旋转120°得到△ABP,连接 PD,如解图②， 解图② .AP=AE,PB=CE=16,∠PBA=∠C,∠EAP=∠BAC =120°， ·AB=AC,∠BAC=120° ∴.∠ABD=∠C=∠ABP=30° ∴∠ABD+∠ABP=60°，即∠PBD=60°， 又.·∠DAE=60°， ∴.∠PAD=∠EAP-∠DAE=120°-60°=60°， (AD=AD. 在△AED和△APD中，了∠EAD=∠PAD=6O0°， AE=AP, ∴.△AED≌△APD(SAS),∴.ED=PD, 过点D作DH⊥BP,垂足为H, ∠PBD=60°，∠HDB=30°， BH=7BD=2X10=5, ∴.HD=WBD-BH=√10-5=5√5，HP=BP-BH=16-5 =11. 题解析·贵州数学 一战成名新中考 PD=√p2+D=√112+(53)2=14， 解法2：如解图②，过点B作BH⊥AC于点H,交AD于点 .DE=PD=14, G,.·∠BAC=45°，.AH=BH,.∠C+∠CAD=∠C+∠CBH ∴.BC=BD+DE+EC=40 =90°，.∠CAD=∠CBH,又∠AHG=∠BHC=90°， 1.A △AHG≌△BHC(ASA),.AG=BC=BD+CD=10.设GD= 2.12【解析】解法1：如解图①，·将△ABD沿着AB翻折 x,则AD=10+x,·∠BDG=∠ADC=90°，.△BDG 得到△ABE,将△ACD沿着AC翻折得到△ACF,延长EB 0品即0g解得=2（负值已会 FC交于点G,.AE=AD=AF,BD=BE=4,DC=CF=6. △ADC,GDCD' ∠BAD=∠BAE,∠CAD=∠CAF,∠E=∠ADB=90°，∠F= 去)，..AD=10+x=10+2=12. ∠ADC=90°，.∠BAC=45°，.∠EAF=∠BAD+∠BAE+ 3.374.45.32 ∠CAD+∠CAF=90°，四边形AEGF是矩形，又AE= 专题七“十字”模型 AF,∴.四边形AEGF是正方形，∴AE=EG=GF=AF,∠G= 例(1)证明：.·四边形ABCD为正方形， 90°，设AD=AE=AF=x,则BG=x-4,CG=x-6,在Rt△GBC .∴.AD=DC,∠A=∠FDC=90°， 中，BC2=BG2+CG,(4+6)2=(x-4)2+(x-6)2,.x=12 又AE=DF,.△AED≌△DFC(SAS), (负值已舍去)，∴.AD=12. .∠DFC=∠AED, .∴.∠DFC+∠ADE=∠AED+∠ADE=90°， ∴.∠DPF=90°，∴.CF⊥DE; (2)解：1： 3)解 4w/10 图① 图2 1.D2. 3 3.1434.225.4.5 第2题解图 第三部分 压轴专题提升练 专题一第16题几何综合计算题 m- 考向1线段长计算 2,..MH=RH sin60° 3(m-2),AG=GM-1m=2 √ 3 A-. 例12【解折】解法1：如解图①，连接AC交BD于点 23 O,连接HO,·四边形ABCD是矩形，.AB∥CD,O为BD 的中点，∠ACD=∠ABD=30°，H为DE的中点，.OH D 为△DEB的中位线，0m=之BE=CP=2.0H/AB/CD, H 例1题解图③ .∠HOG=∠ABD=30°，四边形OHFC为平行四边形，.. 1.4V2【解析】如解图，延长ED到，点G,使DG=DE,连接 ∠0HG=∠ACD=30°，∴.∠0HG=∠H0G=30°，.HG= FG,AG,:DF⊥DE,∴.DF是线段EG的垂直平分线，∴.FG 0G,过点G作Q10于点Q,则Q=2H0=1,HG= =EF=6,.·点D为AC边上的中点，.AD=CD,在△ADG (DG=DE. 025 和△CDE中，{∠ADG=∠CDE..△ADG≌△CDE(SAS), C0s30° 31 AD=CD. ∴.AG=CE=2,∠DAG=∠C,在△ABC中，∠ABC=90°.. M ∠C+∠BAC=90°，∴.∠FAG=∠DAG+∠BAC=LC+∠BAC H 0 =90°，AF=√JFG2-AG2=√6-22=4W2 图① 图② 例1题解图 解法2思路：如解图②，过点H作HO∥AB交BD于点O, 连接CO,:四边形ABCD是矩形，且H为DE的中点， 第1题解图 OH为△DEB的中位线，OH∥AB∥CD,同解法1可求HG 2.√2【解析】如解图，连接AF,:四边形ABCD是正方形， 的长. 解法3：如解图③，延长FM,BA交于点L,易证△EHI≌ AB=BE=BC,∠ABC=90°，∴.AC=√2AB=22,∠BEC= ∠BCE,.∴，∠EBC=18O°-2∠BEC,∴.∠ABE=∠ABC △DHF,∴.EI=DF,∴.AB=EI+EB-AI=DF+FC,∴.EB-AI= ∠EBC=2∠BEC-90°，：BF平分∠ABE,.∠ABF= FC,BE=2CF,∴AI=CF=2,连接AC,.四边形AFC为 平行四边形，设EI=DF=m,则AB=CD=m+2,∴AE=m- ∠EBF= 3 ∠ABE=∠BEC-45°，∴.LBFE=∠BEC 2,:∠ABD=30°，∴.∠MDG=60°，∠ACD=∠I=30°， AB=EB. ∠IMA=∠DMG=60°，△MDG是等边三角形，.GM= ∠EBF=45°，在△BAF与△BEF中 ∠ABF=∠EBF,∴. DN:”过点H作R上AD于点R,易得M- 1 BF=BF. -AE= △BAF≌△BEF(SAS),∴.∠BFE=∠BFA=45°，∠AFC =∠BFA+∠BFE=90°，.O为对角线AC的中点，∴.OF= 参考答案与重难题解析·贵州数学 25