专题5 对角互补模型-【一战成名新中考】2026贵州中考数学·二轮复习·专项分层提升练

专题五对角互补模型(2024.25) 阶模型初探 例（1)【感知】如图①，四边形ABCD为对角互补四边形，颶模型解读 ∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD.求证：CA平分∠BCD 条件：∠ABC+∠ADC=180. 小红：延长CD至点M,使得DM=BC,连接AM,即可证明. 辅助线1：作垂直.如图，作DE⊥AB, 小星：过点A分别作AQ⊥CD于点O,AP⊥CB交CB的延DF⊥BC,垂足分别为E,F 长线于点P,即可证明. ①请你选择一个同学的思路，并进行证明： ②通过证明过程，请直接写出CB,CD,CA之间的数量关 系： 结论：①若AD=CD,则△AED≌ △CFD,BD平分∠ABC; B ②若AD≠CD,则△AED∽△CFD. D 图① 辅助线2：作旋转.如图，将BD绕点D 逆时针旋转∠ADC的度数交BC的延 (2)【应用】如图②，将直角三角板放在正方形ABCD上， 长线于点G.(或作等角，作∠CDG= 使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，三角板的 ∠ADB;或作等线段（仅AD=CD时）， 一直角边交线段CD于点F,另一直角边交CB的延长线 延长BC至点G,使得CG=AB,连接 于点G.求证：EF=EG: DG 图② 结论：①若AD=CD,则△ABD兰 △CGD,BD平分∠ABC; ②若AD≠CD,则△ABD∽△CGD. (3)多解法【拓展】如图③，将(2)中的“正方形ABCD”改 为“矩形ABCD”,且使三角板的一直角边经过点B,其他 条件不变若A0=3.BC=5,品 图③ 30 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 目阶对接中考 1[2025遵义期末]如图，四边形ABCD是圆内接四边形，已知∠BCD=90°，AB=AD,若AC=8,则四 边形ABCD的面积为 备用图 2.如图，点P是正方形ABCD外一点，∠CPD=90°，∠PCD=30°，对角线AC,BD交于点O,连接OP, 若OP=√6+，√2，则正方形ABCD的周长为 备用图 3.多解法如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=8,BM=AB,N为AC上一点，连接BN,若 ∠A=∠CMN,则BN的长为· M 备用图 4.[2024遵义一模]如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD,∠BAD=60°，∠BCD=120°，若四边形AB- CD的面积为43，则AC=一 备用图 5.多解法如图，等边三角形ABC的边长为4，D是边AC的中点，点E在边AB上，BE=1,点F在边 BC的延长线上，且∠EDF=120°，则CF的长为 E 备用图 专项分层提升练·贵州数学 31(AB=AC, .·在△BAM和△CAN中，了∠BAM=∠CAN. AM=AN. .∴.△BAM≌△CAN(SAS),∴.∠ABC=∠ACN: (3)解：∠ABC=∠ACN.理由如下： ·.·BA=BC,MA=MN,∠ABC=∠AMN ∠BAC=LMAN达△ABC∽△AMN,=, 又.∠BAM=∠BAC-∠MAC,∠CAN=∠MAN-∠MAC, ∴.∠BAM=∠CAN,∴.△BAM∽△CAN,∴.∠ABC=∠ACN: (4)解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM.理由如下： :△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴.AC=BC,DC=EC,∠ACB=90°=∠DCE, ∴.∠ACD=∠BCE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS),∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC, :△DCE是等腰直角三角形，.∠CDE=∠CED=45°， ∴.∠ADC=180°-∠CDE=135°， .∠BEC=∠ADC=135° .∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°. .CD=CE,CM⊥DE,.DM=ME .·∠DCE=90°，∴.DM=ME=CM、 .DE=2CM,.'.AE=AD+DE=BE+2CM. 15-12.53.√104.0 5.3√7【解析】小：四边形ABCD为菱形，.AB=BC=CD= DA,∠D=∠ABC,如解图，将△BPC绕点B逆时针旋转使 点C与点A重合，点P的对应点为E,连接EP,过点E作 EF⊥PB于点F,过点B作BH⊥PE于点H,设PE与AB 交于点O,由旋转的性质可知EB=PB=5,EA=PC=8, 2ABE=∠CBP.LEBF=LABC,:tanD=,∠D3 ∠ABC,m∠BBF=m∠AC=2头在R△BF中， EF 24 BF7设EF=24k,BF=7,在Rt△BEF中，EF+BP =BE,即(24)+(7)2=5，解得=号或k=(不合 题意，含去)EF-24h-号BF=张=了PF=PB-BF 5-718 了=5在R△EFP中，PE=V√EF+PF=6, S=之PE·Bm=PB.BRPE·BH=Pg·EF,即 xE.PE6.PA10. AE2=PA,.△PAE为直角三角形，∠AEP=90°，.∠AEO =∠BH0=90,又∠A0E=∠B0H,△A0E△B0H, ∴.A0:B0=0E:OH=AE:BH=8:4=2,.A0=2B0,E0= 20.B.8PEENMPE..OM =1,.在Rt△BOH中，B0=WB+OH=√17，.A0= 2B0=2√17，.AB=A0+B0=3√17，.菱形ABCD的边 长为3√17. 第5题解图 参考答案与重难题角 一战成名新中考 专题五对角互补模型 例(1)解：①选择小红的思路，证明如下： 如解图①，延长CD至，点M,使得DM=BC,连接AM. :四边形ABCD为对角互补四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180°. 又：∠ADC+∠ADM=180°，∴.∠ABC=∠ADM, ,AB=AD,BC=DM,∴.△ABC≌△ADM .AC=AM,∠ACB=∠AMD ∴.∠ACD=∠AMD=∠ACB, .CA平分∠BCD: D ---M QD 例题解图① 例题解图② 选择小星的思路，证明如下： 如解图②，过点A分别作AQ⊥CD于点Q,AP⊥CB交CB 的延长线于点P,则∠APB=∠AQD=90°， :四边形ABCD为对角互补四边形， .∠ABC+∠ADC=180°， 又.·∠ABP+∠ABC=180°，∴.∠ABP=∠ADQ AB=AD,∴.△ABP≌△ADQ .AP=AQ,.CA平分∠BCD: ②CD+CB=√2CA: (2)证明：如解图③，过点E分别作EH⊥BC于点H,EP⊥ CD于点P,则∠GHE=∠FPE=90°， ·:四边形ABCD为正方形， .CE平分∠BCD,∠BCD=90° 又：EH⊥BC,EP⊥CD,EH=EP, .四边形EHCP是正方形，.∠HEP=90°， :∠GEH+∠IHEF=90°，∠FEP+∠HEF=90°. .∠FEP=∠GEH,.△FEP≌△GEH(ASA),.EF=EG: B H BM 例题解图③ 例题解图④ (3)解：3 【解法提示】解法1：如解图④，过，点E分别 作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,易得∠MEN=90° EM=CN,CD=AB=3,AD=BC=5,EN∥AD..△CEN∽ △c08-合-品号Lw+Bw ∠BEM+∠FEM=90°，∴∠BEM=∠FEN,'∠BME= ∠PNi=0△FNF.88x子 解法2：如解图⑤，过，点E作EM⊥AB于点M,延长ME交 CD于点N,则EN⊥CD,MN∥BC,MN=BC,.∴△AME∽ AM AB 3 AB-MB 3-MB 3 MB △MC,WEB元5心N-m5-EN5心EN LBEF=90,∠BEM+LFEN=LBEM+∠EBM. 3 ∴.∠FEN=∠EBM,.'∠ENF=∠BME=90°，∴.△FEN∽ 析·贵州数学 23 EF EN 5 △EBM,BEBM3 D 例题解图⑤ 例题解图⑥ 解法3：如解图⑥，连接BF,取BF的中，点O,连接OE,OC ·四边形ABCD是矩形，∠BEF=90°，.∠BEF=∠BCF 90°，CD=AB=3,AD=BC=5,B,C,F,E四点共圆， EF AD 5 ∠EBF=∠ECF,∴.tan /EBF=tan LACD,∴. EB CD3 1.322.16 3.26【解析】：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°， 4c=-8.L4=60,M=4报=4C=4,C-号4C=45 .MC=BC-BM=45-4,∠A=∠CMN=60°，∴.∠CNM F180°-LC-LCMW=90°dMN=7MC=23-2,CW9 23解法1：如解图①，延长C =MN,连接BE,易证△BAE≌△BMN,.∠ABE=∠MBN. BE=BV,∴.∠NBE=∠MBA=90°，∴.△NBE是等腰直角三 角形，.NE=√∑BN,.·NE=AE+AN=MN+AC-CN=2√5-2 +8-6-25=45N-号E-2石解法，知期园 ②，过点N作ND⊥BC于点D,在Rt△DMW中，MW=2√5 -2,∠DMN=60DM=分w=万-1，DN=N=3- √5，.BN=√DW+BD=√(3-√3)2+(4+3-1)2= 26. N M C DM 图① 图② 第3题解图 4.4 5.1【解析】解法1：如解图①，过，点D作DG∥BC交AB于 点G,D为AC边的中点，.GD为△ABC的中位线，G 为AB的中点，则∠GDC=120°=∠EDF,∠DGE=120°= ∠DCF,DG=2BC=DC=2,∠GDE+∠EDC=∠EDC+ ∠CDF,∴.∠GDE=∠CDF,∴.△GDE≌△CDF(ASA),. GE=CE又：G是AB的中点，BG=)AB=2,BE=1, .∴.GE=1,∴.CF=1. N C 图① 图② 第5题解图 24 ○参考答案与重难 解法2：如解图②，过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥ BC于点N,连接BD,:D是AC的中点，△ABC是等边三 角形，∴.BD是∠ABC的平分线，∠A=∠ACB=∠ABC= 60°，.DM=DN,∠MDN=120°，∠EDF=120°， ∠MDE+∠NDE=∠NDE+∠NDF=120°，.·∠MDE= ∠NDF,:∠DME=∠DNF=90°，.△DME≌△DNF (ASA)ME=NF,在R△ADM中，AD=2AC=2,∠A= 60°，.AM=1,同理，CN=1,ME=AB-AM-BE=2,.NF =2,.CF=1. 专题六半角模型 例解：(I)EF=BE+DF; (2)EF2=BE+DF2,理由如下： 把△AFD绕，点A顺时针旋转90°得到△AE'B,连接EE', 如解图①， E 解图① .BE'=FD,AE'=AF,∠D=∠ABE',∠FAD=∠E'AB, ·AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠ABD=∠ADB=45 ∴.∠ABD+∠ABE'=90°，即∠E'BD=90°， ∴EB2+BE=E'E, 又.：∠EAF=45°， ∴.∠BAE+∠FAD=45 .∠E'AB+∠BAE=45°，即∠E'AE=45° 在△AEE'和△AEF中， (AE=AE. ∠E'AE=∠FAE AE'=AF. ∴.△AEE'≌△AEF(SAS), .EE'=FE. .EF=BE2+DF2: (3)把△ACE绕点A顺时针旋转120°得到△ABP,连接 PD,如解图②， 解图② .AP=AE,PB=CE=16,∠PBA=∠C,∠EAP=∠BAC =120°， ·AB=AC,∠BAC=120° ∴.∠ABD=∠C=∠ABP=30° ∴∠ABD+∠ABP=60°，即∠PBD=60°， 又.·∠DAE=60°， ∴.∠PAD=∠EAP-∠DAE=120°-60°=60°， (AD=AD. 在△AED和△APD中，了∠EAD=∠PAD=6O0°， AE=AP, ∴.△AED≌△APD(SAS),∴.ED=PD, 过点D作DH⊥BP,垂足为H, ∠PBD=60°，∠HDB=30°， BH=7BD=2X10=5, ∴.HD=WBD-BH=√10-5=5√5，HP=BP-BH=16-5 =11. 题解析·贵州数学