专题3 一线三等角模型（含弦图）-【一战成名新中考】2026贵州中考数学·二轮复习·专项分层提升练

解法2思路：如解图②，过点B作BM∥CE交DC延长线 于点M,同解法1可得CB=CM,过点D作DH⊥BF于点 H,过点M作MG⊥BC于点G,同解法1可得△BEC∽ △GMB,在Rt△MCG中，利用勾股定理求得CG的长，再 利用△HDC∽△GMC求得CH的长，从而求得CF的长 解法3思路：如解图③，延长DA,CE交于点G,可得CD GD,由△AGE∽△BCE可得AG的长，设CH=x,得DG的 长，即DC的长，在Rt△DCH中，利用勾股定理求得CH的 长，从而求得CF的长 专题三一线三等角模型（含弦图） 例(1)证明：：∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°， .∴.∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°， .·.∠CAD=∠BCE ∠CAD=∠BCE. 在△ADC与△CEB中 ADC=∠CEB, AC=CB. .△ADC≌△CEB(AAS),.AD=CE,CD=BE .DE=CE+CD=AD+BE: (2)证明：·∠ADC=∠CEB=∠ACB,∠BCE+∠ACD= 180°-∠ACB,∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC. ∴.∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB, 在△ADC和△CEB中 ∠CAD=∠BCE AC=CB, .△ADC≌△CEB(AAS),.AD=CE,CD=BE .∴.DE=CE+CD=AD+BE: (3)解：7；(4)解：5. 12D8 4.7【解析】如解图①，当点M在PB上运动时，过点P作 P0,BC交AC于点Q,△APQ,△ABC4B-4P AC AQ, 1,∴.AP=AQ,=2,.·∠AMQ=∠B,∴.MQ∥BC,.当点M 由P向B运动时，点Q由Q,向C运动，.此时Q点运动 路径长为CQ,的长，：AB=AC=6,.CQ,=AC-AQ,=6-2 =4:如解图②，当点M在BC上运动，且在BC中点左侧 时，Q点沿CA方向运动，：∠AMC=∠B+∠BAM=∠AMQ +∠OMC,∠B=∠AMQ,∴.∠BAM=∠OMC,.AB=AC=6, ,C_CM设BM=x,则 六∠B=∠C,.△BMM△CMQ,BMBm, CM=6-x..=。2,即CQ=2=-了 6 6(x-3)+2 0<x≤3，当=3时，C0有最大值为多，即此时0点 运动路径长为}：如解图③，当点M在BC上运动，且在 BC中点右侧时，Q点沿AC方向运动，根据②可知QC有 最大值为弓，即此时Q点运动路径长为子综上，Q点运 22 参考答案与重邓 、3.3 动路径长为4+2+2 =7. M 图① 图② P M 图③ 第4题解图 5.35【解析】解法1：如解图①，在EB的延长线上取一点 G,使∠DGE=60°，由题可知∠DGE=∠ECF=∠DEF= 60°，∠DEG+∠FEC=∠EFC+∠FEC=120°，∴.∠DEG= ∠EFC,:△DEF是等边三角形，ED=FE,△DEG≌ △EFC(AAS),.GD=CE,GE=CF,∠ABC=90°，： LDRG-90 BD-6 RG=BD=2 DG-28G- 3 45,∠A=30BC=5AB=5 ×15=53,.BE=BC 3 3 -CE=BC-GD=√3，.CF=GE=BE+BG=33. A D D G B BE 图① 图② 第5题解图 解法2：如解图②，过，点E作EH⊥AC于点H,:△DEF是 等边三角形，∴.∠DEF=60°，DE=EF,∠A=30°，∠B= 90°，.∠C=90°-∠A=60°，∠BED+∠DEF=∠C+ ∠EFH,.∠BED=∠EFH,·∠EHF=∠B=90°，EF=DE ∴.△EFH≌△DEB(AAS),∴.FH=BE,EH=DB=6,∴.HC 5EH=25CE=2CH=45,∠A=30,∠B=90, Bc=B 3 x15-5 BE-BC-CE=.CF=FH +CH=BE+CH=√3+2√3=35. 专题四“手拉手”模型 例(1)证明：.△ABC,△AMN是等边三角形， .∴.AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°. .∠BAM=∠CAN. (AB=AC 在△BAM和△CAN中， ∠BAM=∠CAN, AM=AN. .△BAM≌△CAN(SAS),∴.∠ABC=LACN; (2)解：(1)中结论仍成立.理由如下： △ABC,△AMN是等边三角形， .AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°. .∠BAM=∠CAN. 题解析·贵州数学专题三一线三等角模型（含弦图）(2022.8) 阶模型初探 例(1)【感知】如图①，∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=颶模型解读 BC.求证：DE=AD+BE; 条件：如图，一线：∠1，∠2，∠3的顶点 在一条直线上， 三等角：∠1=∠2=∠3. 图① 2 (2)【变式】如图②，将(1)中的条件改为∠ADC=∠CEB= ∠ACB=ax(90°<Q<180°)，AC=BC,请证明(1)中的结论仍 然成立； 图② (3)【应用】如图③，在△ABC中，D为AB上一点，DE= DF,∠A=∠EDF=∠B,AE=2,BF=5,则AB的长 内弦图 外弦图 为 结论：有边对应相等，则全等：无边对应 相等，则相似 D B 图③ (4)【拓展】如图④，在△ABC中，AB=2√2，∠B=45°，以点A 为直角顶点作等腰Rt△ADE,点D在BC上，点E在AC上，点 F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=√5，则CD的长为 B D 图④ 26 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 日阶对接中考 1.如图，D是等边△ABC的边AB上一点，AD=2,DB=4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折 痕为EF,且点E,F分别在边AC和BC上，则SS CE 备用图 2.如图，赵爽弦图由四个全等的直角三角形组成，形成一个大正方形ABCD,中间是一个小正方形 EFGH,连接DE,并延长交BC于点I,若H是AE的中点，AB=6,则EI的长为 5 6 C.6 3 A.2 0.2 H H E 7E 备用图 3.[2024威海·新北师八上P13尝试·思考改编]将一张矩形纸片（四边形ABCD)按如图所示的方式 对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN,点D落在点D'处，CD'交AD于点E.若BM=3, BC'=4,AC'=3,则DN= D D E E AN D M B M 备用图 4.[2025铜仁一模]如图，△ABC是等边三角形，边长是6，P是AB边上一点，且AP=2,动点M从点 P出发，沿P→B→C运动到C点，作∠AMQ=∠B与AC相交于点Q,则在点M运动的过程中，点 Q的运动路径长为： 4 备用图 5.构造一线三等角多解法如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AB=15,点D,E,F分别在边 AB,BC,AC上，连接DE,EF,DF,若BD=6,且△DEF是等边三角形，则CF= 备用图 专项分层提升练·贵州数学 27