专题2 遇到角平分线巧思考-【一战成名新中考】2026贵州中考数学·二轮复习·专项分层提升练

解法2：如解图②，延长BA至点F,使得AF=AB,连接CF, :D为BC的中点，∴.AD为△BCF的中位线，∴.CF=2AD =12,AF=AB=13,AC=5,AC2+CF=AF2,△ACF为 直角三角形，且∠4CF=90Saw=4C.CP=×5x 12=30,AF=AB,..SAARG=SAACP=30. B∠ 例3题解图② 例426【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于H,设AB =AC=BD=x,则BE=x-2,BC=x+3,:AB=AC,AH⊥BC, 1 1 六BH=2BC=2（x+3),:在△ABM和△DBE中， I∠B=∠B. ∠AHB=∠DEB=90°，∴.△ABH≌△DBE(AAS),∴.BE= AB=DB, mx-2=(+3)x=7,BE=5,BD=7,DE √BD2-BE=√7-5=26 B B H D 例4题解图 例5题解图 例5B【解析】由作法得MW垂直平分AC,如解图，连接 PC,∴.PA=PC,·AB=AC=5,BC=6,AD平分∠BAC交BC 于点.ADLBC,BD=CD=BC=3,在RH△AD中】 AD=√AB-BD=√5-3=4，设PD=x,则PA=PC=4 x,在t△PCD中，+3=(4x),解得x= 8,即DP的 长为号 1.52.C 3.√2【解析】解法1：如解图①，延长AB交CF于点N, :△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，CE=EF=3,∴ △BCN是等腰直角三角形，FC=3V2,.BW=BC=AB=1, .CN=√2，.NF=CF-CN=22,M是AF的中点， BM是△ANF的中位线MB=2F=D. 图① 图② 第3题解图 解法2：如解图②，延长BM交EF于点H,由题可知AM= FM,∠ABC=∠ABE=∠E=90°，.AB∥EF,.∠MAB= ∠MFH,又.·∠FMH=∠AMB,.△MFH≌△MAB(ASA). .MH=MB.FH=AB=1,.EF=EC=3,AB=BC=1,..EC- BG=EF-i=2,即EB=EH=2Bm=2万MB=之m =2. 20 参考答案与重难 4A55经 6.A【解析】解法1：如解图①，连接CD,取CD的中点G, 连接MG,NG,M,N,G分别是AC,DE,CD的中点， c0,c=40=2.Gf/cE,G=E= ∠ABC=90°，∴.∠MGN=90°，∴.在Rt△MGN中，MN= M E B E 图D 图② 图③ 第6题解图 解法2：如解图②，连接DM并延长至，点H,使得MH=MD 连接CH,EH.M是AC的中点，.AM=MC,MD=MH, ∠AMD=∠CMH,∴.△ADM≌△CIM(SAS),∴.CH=AD= 4,∠DAM=∠HCM,∠B=90°，.∠A+∠ACB=90°， ∠ECH=∠HCM+∠ACB=∠A+∠ACB=90°，∴.EH= √CE2+CF=√3+4=5，N为DE的中点，MH=MD, 是△DEH的中位线，MmN三)E 解法3思路：如解图③，连接AN并延长至，点G,使得GN= AN,连接CG,EG,同解法2可得MN的长. 专题二遇到角平分线巧思考 例14【解析】如解图，过点D作 DF⊥AC于点F,.·AD平分 ∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE= DF=2,.S△HBc=SABm+S△Hcn= B D AB:DE+2AC·DF=7×6X2 例1题解图 +2ACx2=10,解得4C=4 1 例22【解析】解法1：如解图①，在AB上截取AE=AC, 连接DE.AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD,:AD=AD, .△AED≌△ACD,∴.DE=DC,∠AED=∠C,·∠C= 2∠B,∠AED=2∠B,∠AED是△BED的外角， LAED=∠B+∠EDB,.∠B=∠EDB,BE=DE,AB =AE+BE=AC+CD,.AB=5.AC=3...CD=2. 图① 图② 例2题解图 解法2：如解图②，延长AC至点F,使得AF=AB,连接DF. AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠FAD,·AB=AF,AD=AD ∴△ABD≌△AFD,∴.∠F=∠B,∠ACB=2∠B,∠ACB= ∠F+∠CDF,∴.∠CDF=∠F,∴.CD=CF,∴.CD=AF-AC= AB-AC=2. 题解析·贵州数学 例340【解析】如解图，延长BC交AD的延长线于点F, (LBAC=∠FAC, 在△ABC和△AFC中，了AC=AC, .△ABC≌ （∠ACB=∠ACF=90°. △AFC(ASA),∴.BC=FC,∠F=∠ABC=50°，.∠ACB= 90°，∴∠CAF=40°，E是BD的中点，EC是△BDF的 中位线，.EC∥AF,.∠ACE=∠CAF=40 B 例3题解图 例4；【解析1解法1：如解图①，过点D作DE/AB交 AC于点E,∴.∠BAD=∠ADE,:AD是△ABC的角平分 线，∠BAD=∠CAD,.∠ADE=∠CAD,.DE=AE,.DE /AB,△CDE∽△CBACE-DE,设DE=AE=,则CE CA BA =3号得 8.AF= 15 8,E=3-15 8 15 8DE/AB..BD-AE_8 5 9 CD CE 9 3 图 图② B D C G ③ 例4题解图 解法2：如解图②，过点C作CF∥AD交BA的延长线于点 F,则∠F=∠BAD,∠DAC=∠ACF,.·AD是△ABC的角平 分线，∴.∠BAD=∠CAD,.∠ACF=∠F,∴.AF=AC=3,: BDBA5 CF//AD.CD FA3' 解法3：如解图③，过点B作BG∥AC交AD的延长线于点 G,则∠G=∠DAC,△GDB一△ADC,8G-0AD是 △ABC的角平分线，∴.∠BAD=∠DAC,∴.∠BAD=∠G, 4指器瓷瓷子 1.502.B3.50 4.4【解析】解法1：如解图①，延长BA,CE交于点F, ∠A=90°，CE⊥BD,∴.∠ABD+∠ADB=90°，∠CDE+ ∠ACF=90°，又.∠ADB=∠CDE,.∠ABD=∠ACF, ∠BAC=90°，.∠BAC=∠CAF=90°，在△ABD和△ACF 参考答案与重难题角 一战成名新中考 I∠BAD=∠CAF, 中，AB=AC, .△ABD≌△ACF(ASA),∴.BD= (∠ABD=∠ACF, CF,BD平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE,CE⊥BD, ∠BEF=∠BEC=90°.在△BEF和△BEC中， I∠ABE=∠CBE. BE=BE. .△BEF≌△BEC(ASA),.EF=EC, ∠BEF=∠BEC EC=2 CF.CE=- ,0=8CB=4 图① 图② 第4题解图 解法2：如解图②，作DH⊥BC于H,.BD平分∠ABC,∠A =90°，DA=DH,设DA=DH=x,AB=AC,∠ACB= 45°，.△CDH是等腰直角三角形，.DC=√2x,.AB=AC =AD+DC=(1+√2)x,:∠ADB=∠EDC,∠BAD=∠CED= 90,△ABD△ECD,15-BD1+2)x.8 EC DC EC2x EC=2+E,在Rt△ADB中，AB+AD=BD,即 8 1+2)+64e22C=22=2+5 81 8 324 2+√ 5. 8【解析】解法1：如解图①，过点D作DM/CE交BF 的延长线于点M,.∠DCE=∠CDM,∠BCE=∠M,: ∠DCE=∠BCE,.∠CDM=∠M,.CD=CM,过点D作 DH⊥CM于点H,.DH=AB=8,:∠M=∠BCE,∠B= DWMnC一△m需%即8六解 得ME2设CH=x,则CM=x+号=CD,在Rm△DCM中， CnHD=CD,即r64=(号，解得=号，即C= DF-DC.DHL CF CH=HF=9 9 518 5 4 D E B G M 图D 图② G、 B 图③ 第5题解图 析·贵州数学 21 解法2思路：如解图②，过点B作BM∥CE交DC延长线 于点M,同解法1可得CB=CM,过点D作DH⊥BF于点 H,过点M作MG⊥BC于点G,同解法1可得△BEC∽ △GMB,在Rt△MCG中，利用勾股定理求得CG的长，再 利用△HDC∽△GMC求得CH的长，从而求得CF的长 解法3思路：如解图③，延长DA,CE交于点G,可得CD GD,由△AGE∽△BCE可得AG的长，设CH=x,得DG的 长，即DC的长，在Rt△DCH中，利用勾股定理求得CH的 长，从而求得CF的长 专题三一线三等角模型（含弦图） 例(1)证明：：∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°， .∴.∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°， .·.∠CAD=∠BCE ∠CAD=∠BCE. 在△ADC与△CEB中 ADC=∠CEB, AC=CB. .△ADC≌△CEB(AAS),.AD=CE,CD=BE .DE=CE+CD=AD+BE: (2)证明：·∠ADC=∠CEB=∠ACB,∠BCE+∠ACD= 180°-∠ACB,∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC. ∴.∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB, 在△ADC和△CEB中 ∠CAD=∠BCE AC=CB, .△ADC≌△CEB(AAS),.AD=CE,CD=BE .∴.DE=CE+CD=AD+BE: (3)解：7；(4)解：5. 12D8 4.7【解析】如解图①，当点M在PB上运动时，过点P作 P0,BC交AC于点Q,△APQ,△ABC4B-4P AC AQ, 1,∴.AP=AQ,=2,.·∠AMQ=∠B,∴.MQ∥BC,.当点M 由P向B运动时，点Q由Q,向C运动，.此时Q点运动 路径长为CQ,的长，：AB=AC=6,.CQ,=AC-AQ,=6-2 =4:如解图②，当点M在BC上运动，且在BC中点左侧 时，Q点沿CA方向运动，：∠AMC=∠B+∠BAM=∠AMQ +∠OMC,∠B=∠AMQ,∴.∠BAM=∠OMC,.AB=AC=6, ,C_CM设BM=x,则 六∠B=∠C,.△BMM△CMQ,BMBm, CM=6-x..=。2,即CQ=2=-了 6 6(x-3)+2 0<x≤3，当=3时，C0有最大值为多，即此时0点 运动路径长为}：如解图③，当点M在BC上运动，且在 BC中点右侧时，Q点沿AC方向运动，根据②可知QC有 最大值为弓，即此时Q点运动路径长为子综上，Q点运 22 参考答案与重邓 、3.3 动路径长为4+2+2 =7. M 图① 图② P M 图③ 第4题解图 5.35【解析】解法1：如解图①，在EB的延长线上取一点 G,使∠DGE=60°，由题可知∠DGE=∠ECF=∠DEF= 60°，∠DEG+∠FEC=∠EFC+∠FEC=120°，∴.∠DEG= ∠EFC,:△DEF是等边三角形，ED=FE,△DEG≌ △EFC(AAS),.GD=CE,GE=CF,∠ABC=90°，： LDRG-90 BD-6 RG=BD=2 DG-28G- 3 45,∠A=30BC=5AB=5 ×15=53,.BE=BC 3 3 -CE=BC-GD=√3，.CF=GE=BE+BG=33. A D D G B BE 图① 图② 第5题解图 解法2：如解图②，过，点E作EH⊥AC于点H,:△DEF是 等边三角形，∴.∠DEF=60°，DE=EF,∠A=30°，∠B= 90°，.∠C=90°-∠A=60°，∠BED+∠DEF=∠C+ ∠EFH,.∠BED=∠EFH,·∠EHF=∠B=90°，EF=DE ∴.△EFH≌△DEB(AAS),∴.FH=BE,EH=DB=6,∴.HC 5EH=25CE=2CH=45,∠A=30,∠B=90, Bc=B 3 x15-5 BE-BC-CE=.CF=FH +CH=BE+CH=√3+2√3=35. 专题四“手拉手”模型 例(1)证明：.△ABC,△AMN是等边三角形， .∴.AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°. .∠BAM=∠CAN. (AB=AC 在△BAM和△CAN中， ∠BAM=∠CAN, AM=AN. .△BAM≌△CAN(SAS),∴.∠ABC=LACN; (2)解：(1)中结论仍成立.理由如下： △ABC,△AMN是等边三角形， .AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°. .∠BAM=∠CAN. 题解析·贵州数学专题二遇到角平分线巧思考(5年4考) 已阶模型初探 类型①构造全等三角形 例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,恩模型解读 △ABC的面积为10，AB=6,DE=2,则AC的长是 情形1：有线段垂直于角的一边， 辅助线：如图，作另一边的垂线构全等 例2多解法如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC交 BC于点D,若AB=5,AC=3,则CD的长为 结论：PA=PB,△OPA≌△OPB 汝思路剖析… 情形2：有角平分线上及边上一点的 见[模型解读]情形2，已知AD平分∠BAC,AB=5,AC=3, 连线 考虑在AB上截取AC的等长（截长）或在AC的延长线上截 辅助线：如图，另一边上截等长构全等 取AB的等长（补短）构造全等三角形. M B 结论：△OPA≌△OPB. 类型2》构造等腰三角形(2025.16,2024.16) 例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC外一颶模型解读 点，且∠DAC=∠BAC,连接BD,E为BD的中点，连接CE, 情形1：有线段垂直于角平分线 辅助线：如图，延长垂线构等腰 若LABC=50°，则∠ACE= \P 0 结论：OA=OB. 情形2：角平分线+平行构等腰， 辅助线1：如图，作边的平行线； 例4多解法如图，AD是△ABC的角平分线，若AB=5,AC=3 M M 则BD P CD 思路剖析 A 见[模型解读]情形2，已知AD平分∠BAC,解法1：过点D 结论：AO=AP,∠PAN=∠OPA+∠POA= 2∠OPA=2∠POA. 作AB的平行线.解法2：过点C作AD的平行线与BA的延 辅助线2：如图，作角平分线的平行线 长线相交.解法3：过点B作AC的平行线与AD的延长线相 女 M 交.再结合相似三角形或平行线分线段成比例求解. A A P 结合以上3种解法，大家思考还可以如何添加辅助线， -N B 0 结论：OA=OB,∠MON=∠OAB+∠OBA= 2∠OBA=2∠OAB. 注：三角形中两角出现2倍关系，可构 造等腰三角形建立两角之间的关系 24 专项分层提升练·贵州数学 一战成名新中考 目阶对接中考 1.如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC,AB=8,BD=13,BC=12,则四边形ABCD的 面积为 备用图 2.如图，△ABC中，CP平分∠ACB,点D在AC上，PB=PD,若要求∠PCB的度数，则只需知道（） A.∠ABP的度数 B.∠BPD的度数 C.∠CPD的度数 D.∠PBC的度数 备用图 3.[2025贵阳云岩区一模]如图，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF,∠CFE的外角平分线交于点A,过点 A分别作直线CE,CF的垂线，B,D为垂足.已知AB=5,则(BE+5)(DF+5)的值为 BL E E 备用图 4.多解法[2022贵阳16题改编]如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交 BD的延长线于E,若BD=8,则CE的长为 备用图 5.多解法[2025山西]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8,BC=4,点E在边AB上， AE=3,连接CE,且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC,则线段CF的长 为 备用图 专项分层提升练·贵州数学 25