精品解析：辽宁鞍山市海城市育才学校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题 (2)

2025-2026学年度高中开学考试卷 高三数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，根据共轭复数的定义得，再利用复数的几何意义判断其所在的象限，即可得出答案. 【详解】 ， ，根据复数的几何意义在第四象限. 故选：D. 2. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式的解集为 A. B. C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系，求得的关系式，由此化简不等式，求得不等式的解集. 【详解】由于关于的一元二次不等式的解集为，所以，所以，所以不等式等价于，即，解得. 故选C. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集、考查根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 3. 在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 4. 已知函数，为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的运算法则即可判断. 【详解】由，得． 故选：D． 5. 已知双曲线，直线经过点且与双曲线C的右支交于两点．点为轴上一点且满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出的中点，可得的直线方程，求出可得点坐标可得，再求出、点到直线的距离，再由求出，然后由可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 由已知直线的斜率存在，且，， 设直线的方程为，与双曲线方程联立， ，整理得，设， 所以，， 则的中点， 所以的直线方程为， 令，得，可得， 所以， ， 点到直线的距离， 所以， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出、点到直线的距离，再由勾股定理求出，然后求. 6. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（ ） A. 牛的毛色与角无关 B. 牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C. 牛的毛色与角有关 D. 牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】A 【解析】 【分析】根据卡方独立性检验规则，比较与临界值即可得出结论. 【详解】因为，所以牛的毛色与角无关. 故选：A. 7. 设集合，那么集合中满足条件的元素个数为（ ） A. 180 B. 210 C. 240 D. 241 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合中的元素个数以及满足的情况和 的不同情况，从而可得答案. 【详解】因为， 所以都有3种不同的赋值， 集合中共有个元素， 可得， 其中满足的情况，只有1种情况，即； 时，都有2种不同的赋值，共有种不同情况， 所以集合中满足条件的元素个数为， 故选：B. 【点睛】方法点睛：解答排列组合计数问题时，首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，同时注意“正多则反”的应用，以便能准确迅速的解答问题. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ） A. 249 B. 499 C. 749 D. 999 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知关系式构造两个新数列，求出，利用放缩技巧，可得到数列的通项公式，再利用裂项相消法求数列 前项和后，带入函数解析式即可得到答案. 【详解】由，得，又，所以数列是以3为首项，4为公比的等比数列，则①； 由得，，又，所以数列是常数列，则②，由①②联立可得； 因为，所以 即： 所以， 故，所以，则． 故选：A 二、多选题 9. 已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，则（ ） A. B. 随的增大而减小 C. 随的减小而减小 D. 随的增大而增大 【答案】BD 【解析】 【分析】先把函数有且只有两个极值点转化为有且只有两不等实根，进而得出有两个根，再构造函数应用导函数得出函数的单调性进而分别判断各个选项. 【详解】由函数有且只有两个极值点，得导函数有且只有两个不同零点，函数的定义域为， 令，可得，因为函数有两个零点，即有两个根， 设，此时直线与函数的图象有两个交点，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减，所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值， 当时，；当时，， 因为直线与函数的图象有两个交点，所以，故A错误； 因为函数有两个零点，此时，当增大趋近于时，随之增大，趋近于1，而随之减小，也趋近于1， 则减小，所以随的增大而减小，故B正确； 当增大趋近于时，；当减小趋近于0时，，所以，所以不随的减小而减小，故C错误； 因为，所以①，不妨令，则②，联立①②，解得， 所以，不妨设，函数定义域为，可得，不妨设， 函数定义域为，可得，在，函数定义域为，可得， 所以函数在上单调递减，此时，即函数在上单调递减，此时，即， 所以函数在上单调递减，则随着的增大而减小， 知随着的增大而减小，所以随着的增大而增大，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，根据导函数的单调性结合各个选项分别计算判断. 10. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若D是AC边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C. 若三角形是锐角三角形，则的取值范围是 D. 若三角形是锐角三角形，BD平分交AC于点D，且，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由正弦定理和余弦定理得到，从而求出，结合三角恒等变换得到，结合，求出答案；B选项，整理得到，两边平方后得到，由基本不等式求出，进而求出面积最值；C选项，变形得到，根据，得到答案；D选项，由角平分线以及面积公式得，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】A选项，因为, 所以，所以， 即， 由余弦定理得，即， 又，所以， ， 因为，所以，所以， 所以，故A正确； B选项，因为，所以， 所以，又， 所以， 即，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的面积的最大值为，故B错误； ， 因为，所以，所以， 所以，所以，故C正确； D选项，由题意得：，由角平分线以及面积公式得， 化简得，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 此时， 而，所以，与三角形是锐角三角形矛盾，所以等号不成立,故D错误； 故选：AC 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 11. 已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（ ） A. 点（0，0）是函数f（x）的零点 B. ∈（1，3），使f（）>f（） C. 函数f（x）的值域为[ D. 若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（） 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的零点判断A，利用函数的单调性及最值判断选项BC；利用函数的单调性及函数的极值判断选项D. 【详解】对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误； 对于选项B，当时，， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，当时，； 当时，， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，当时，． 综上可得，选项B正确． 对于选项C，，选项C正确． 结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0； 所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且， 则 当时，， 当变化时，，的变化情况如下： 0 + 0 0 + 增 极大值 减 极小值 增 极大值，极小值； 当时，， 当变化时，，的变化情况如下： 1 2 0 + e 减 极小值 增 极小值． 综上可得，或， 解得的取值范围是， 故D错误． 故选：BC． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为__________． 【答案】405 【解析】 【分析】 根据系数和得到，再根据二项式定理计算得到答案. 【详解】展开式中的各项系数的和为，故， 故的展开式的通项为：， 取得到常数项为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 13. 等腰直角三角形的斜边为，，经过三点、､半径最小的球的内接圆锥的体积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出三角形的外接球，再建立球的内接圆锥的体积表达式，之后求最大值即可. 【详解】易知等腰直角三角形是球的大圆面的内接三角形时，此时的外接圆的半径最小，且直径为，即此球的半径为1，如下图所示： 设，则有， 所以此球内接圆锥的体积为，又， 所以， 令， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以圆锥的体积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题，一是要得到球的大小，二是要表达圆锥的体积，三是求最值. 14. 有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】还原情境，利用独立重复实验的概率公式即可求解； 【详解】要想满足题意，则需要步两阶与步一阶， 由于登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，概率均为， 则所求概率为 故答案为： 四、解答题 15. 求函数的导数． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数加减及基本初等函数的导数公式写出. 【详解】． 16. 已知为正三角形，动点为平面外一点，为平面内一点，已知，，且． （1）若平面，求到平面的距离； （2）在（1）的条件下，求三棱锥的外接球的半径； （3）求点的运动轨迹． 【答案】（1） （2） （3） 以为球心，为半径的球面（不包含在坐标平面上的圆）. 【解析】 【分析】（1）结合向量条件，得到点位置，再结合线面垂直利用勾股定理求解可得； （2）利用线面垂直证明面面垂直，再结合面面垂直性质证明线面垂直关系，进而得平行四边形，结合圆心与球心性质，构造直角三角形，利用勾股定理求解半径； （3）建立空间直角坐标系，设点，利用模长关系坐标代入可求轨迹方程，可得轨迹与性质. 【小问1详解】 由得，即， 则点为上靠近的三等分点，由，则， 由平面，平面，则， 在与中，由， 则有，解得， 故，即点到平面的距离. 【小问2详解】 设外接球球心为，的外接圆圆心为，半径为；的外接圆圆心为，半径为， 连接，则平面，且平面， 由为正三角形，则； 在中，， 则，则， 由，可得， 取中点，连接，则，且三点共线，， 由平面，平面，则平面平面， 平面平面，平面， 则平面，故， 同理得，，故四边形为平行四边形，所以， 则外接球半径. 【小问3详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 由得， 坐标代入得， 整理得，又点在平面外，故， 故动点的轨迹为以为球心，为半径的球面（不包含在坐标平面上的圆）. 17. 2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技.受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有的学生学过围棋，将频率视为概率. （1）从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为，求的分布列与数学期望； （2）经过海选，最终决定、、、、、、、八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军。已知~这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为，棋手与其他棋手对弈时，获胜的概率为，每局对弈结果相互独立，无和棋情况. （ⅰ）求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）求棋手与有过对弈且最终获得亚军的概率. 【答案】（1）分布列： 0 1 2 3 ； （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到的可能取值为0，1，2，3，，再分别求出概率，列出分布列求出数学期望即可. （2）（ⅰ）由题意可得夺冠的概率为，再求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）记事件“获得亚军”，事件“与对弈过”，事件“与在第轮对弈”，，则进行计算即可. 【小问1详解】 由题意得，每位报名选手中学过围棋的概率为，则没有学过围棋的概率为， 随机抽取3人，用随机变量表示3人中学过围棋的学生人数，则可能的取值为0，1，2，3，， ；； ；. 所以，的分布列为 0 1 2 3 ∴. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得：~八名运动员各自夺冠的概率之和为1，~夺冠概率相同， 夺冠的概率为，即最终夺冠的概率为. （ⅱ）记事件“获得亚军”，事件“与对弈过”， 事件“与在第轮对弈”，， 则. 不妨设在①号位，则 a.在第1轮能与对弈的位置编号为②， ； b.在第2轮能与对弈的位置编号为③或④， ； c.在第3轮能与对弈的位置编号为⑤或⑥或⑦或⑧， ； 综上所述：. 18. 已知的顶点坐标分别为，，，求，，的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】运用平面向量坐标公式及数量积公式可得，即可判断为直角三角形，进而可求得结果. 【详解】如图所示， 由已知可得，， 所以，所以，即， 所以， 又，， 所以在中， 所以，. 故，，. 19. 已知分别是椭圆的左、右顶点，过点、斜率为的直线交椭圆于两个不同的点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围； （3）若，设直线分别交轴于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程可求出得解； （2）点B落在以线段为直径的圆的外部，即，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数关系代入运算得解； （3）设，，由，可得，即，同理可得，，由得，同理得，可得的表达式，结合（2）代入运算得解. 【小问1详解】 ，，，，即， 所以椭圆的焦距为4，离心率为. 【小问2详解】 设，，直线，又， 联立方程，消去整理得， ，即或， ，， 点B落在以线段为直径的圆的外部，即， 则，又，， 可得，代入，运算整理得， ，解得或，又或， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设，，，， 由，可得，即， 同理可得，， 又即，解得， 同理可得， 又由（2）知，，，，， ，又， . 所以的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第二问，点B落在以线段为直径的圆的外部，关键转化为，进行坐标运算得解；第三问，关键是由已知向量关系求出，，再根据斜率关系求得，得到关于的关系式化简运算可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中开学考试卷 高三数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的一元二次不等式的解集为 A. B. C. ， D. ，， 3. 在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知函数，为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线，直线经过点且与双曲线C的右支交于两点．点为轴上一点且满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（ ） A. 牛的毛色与角无关 B. 牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C. 牛的毛色与角有关 D. 牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 7. 设集合，那么集合中满足条件的元素个数为（ ） A. 180 B. 210 C. 240 D. 241 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ） A. 249 B. 499 C. 749 D. 999 二、多选题 9. 已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，则（ ） A. B. 随的增大而减小 C. 随的减小而减小 D. 随的增大而增大 10. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若D是AC边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C. 若三角形是锐角三角形，则的取值范围是 D. 若三角形是锐角三角形，BD平分交AC于点D，且，则的最小值为 11. 已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（ ） A. 点（0，0）是函数f（x）的零点 B. ∈（1，3），使f（）>f（） C. 函数f（x）的值域为[ D. 若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（） 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 若展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为__________． 13. 等腰直角三角形的斜边为，，经过三点、､半径最小的球的内接圆锥的体积的最大值为______. 14. 有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________. 四、解答题 15. 求函数的导数． 16. 已知为正三角形，动点为平面外一点，为平面内一点，已知，，且． （1）若平面，求到平面的距离； （2）在（1）的条件下，求三棱锥的外接球的半径； （3）求点的运动轨迹． 17. 2025年，某卫视推出了“最强大脑围棋版争霸赛”，堪称围棋界史上最激烈的国际赛事，以“棋艺封神，一站扬名”为口号，致力于推广围棋文化和智力竞技.受此启发，某中学为了让学生亲身体验围棋比赛的精彩和激烈，激发学生的思维活力，特别举办了“校园棋王争霸赛”.根据已报名的学生资料统计，有的学生学过围棋，将频率视为概率. （1）从已报名选手中任取3名学生，记其中学过围棋的学生数为，求的分布列与数学期望； （2）经过海选，最终决定、、、、、、、八位棋手参加棋王争霸赛，比赛分预赛、半决赛和决赛三个阶段，采用淘汰制决出冠军.预赛共有四场，八位棋手赛前抽签确定比赛位置，获胜的四人进入半决赛，依次类推，在决赛中，胜者为冠军，负者为亚军。已知~这7位棋手互相对弈时，获胜概率均为，棋手与其他棋手对弈时，获胜的概率为，每局对弈结果相互独立，无和棋情况. （ⅰ）求棋手最终夺冠的概率； （ⅱ）求棋手与有过对弈且最终获得亚军的概率. 18. 已知的顶点坐标分别为，，，求，，的值． 19. 已知分别是椭圆的左、右顶点，过点、斜率为的直线交椭圆于两个不同的点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围； （3）若，设直线分别交轴于点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $