精品解析：辽宁名校联盟2026届高三下学期3月开学数学试题

高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4 2. 设函数，若方程有且仅有三个解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 3. 函数的单调递减区间为__________. 4. 在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 5. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上与顶点不重合的一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 6. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点. （1）求点的坐标； （2）抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线交抛物线于两点. （i）当直线的方向向量是时，求经过三点的圆的圆心的坐标； （ii）点不在直线上，直线交抛物线于另一点，求证：直线过定点. 7. 已知函数的导函数为. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，当时，方程仅有两个不相等的实数根，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于两点，分别过点作的垂线，垂足为.若四边形的面积为，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，再表示出四边形面积，可得，则可由的倾斜角求出该点坐标，结合渐近线方程即可求出的值. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限， 显然的倾斜角为的倾斜角为，故， 又，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积 ，所以， 设，由的倾斜角为，得， 于是由，得， 又，所以，解得. 2. 设函数，若方程有且仅有三个解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数图象及与图象，由图象观察即可得. 【详解】如下图：作出函数图象及与图象， 由图象可知，当时，与有且仅有三个交点， 故实数的取值范围为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 3. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 4. 在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】要计算的展开式中的系数，只需利用二项式定理分析两个二项式的展开式，组合得到的项即可得到的系数. 【详解】①取常数项得取项得，乘积系数为80； ②取项得取常数项得，乘积系数为. 将以上结果相加得. 故答案为： 5. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上与顶点不重合的一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，设内切圆与边相切于点，结合圆的切线长的性质和椭圆性质可得，由内切圆性质可得，，由条件确定关系，由此可求离心率. 【详解】如图，不妨设在第一象限，过点分别作的垂线，垂足分别为， 设， 因为，所以， 利用两点间距离公式可以得到， 代入，可得， 同理， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以内心的横坐标为，则， 所以， 又因为，所以， 化简得，所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 6. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿逆时针方向旋转后得到点. （1）求点的坐标； （2）抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线交抛物线于两点. （i）当直线的方向向量是时，求经过三点的圆的圆心的坐标； （ii）点不在直线上，直线交抛物线于另一点，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，再利用新定义求出即可求解； （2）（i）根据题意可得抛物线，直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立可求得，设三点所在圆的圆心为， 则满足，利用两点间的距离公式化简即可求解圆心的坐标； （ii）分别设设，可得，代入点化简可得，设与另一交点为，根据化简可得，从而得到，化简即可得到直线直线过定点. 【小问1详解】 由题可知， 设，则， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 （i）由题意得抛物线，直线的方程为，设， 联立，得， 不妨设， 设三点所在圆的圆心为， 则， 由，得，所以， 由，得，所以， 所以圆心的坐标为. （ii）设， 所以， ， 代入得，所以. 设与另一交点为， 因为，所以， 所以， ， 则， 则所以 故直线过定点. 7. 已知函数的导函数为. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，当时，方程仅有两个不相等的实数根，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过求导求解斜率，结合题干求解切点坐标，再利用直线的点斜式方程求解； （2）对求导，再对导函数分析单调性，结合的初始条件，分类讨论的取值范围，再利用导数判断函数在的单调性来求解； （3）根据的根的情况，可得，构造函数，利用函数的单调性求解。 【小问1详解】 当时，， ， 故切线方程为， 化简为. 【小问2详解】 当时，，不符合题意，舍去. 当时，. 令， 当时，，故在上单调递增， 所以，即时，，在上单调递增， 所以成立. 当时，设恒成立， 所以在上单调递增， ， 所以，使， 当时，，即，所以单调递减， ，所以在时成立， 所以在上单调递减， 所以，不符合题意，舍去. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 证明：， 所以，与仅有两个交点， 所以， 不妨设所以， 因为，所以，所以， 又在上单调递减， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $