6.3 正方形的性质与判定 导学案 2025-2026学年鲁教版数学八年级下册

6.3 正方形的性质与判定（1） 【自主探究】 知识点：正方形的定义 正方形： . 正方形的性质定理： ； 几何语言： 正方形的性质定理： . 几何语言： 针对训练一 1．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．对角线互相垂直 C．四个角都为直角 D．对角线互相平分 2．若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为（　　） A．2 B．4 C． D．2 3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（　　） A．30° B．20° C．15° D．10° 5．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF⊥AD，垂足为点F．若AF＝3，EC＝5，则正方形ABCD的面积为 　 　． 6．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝2，则FM的长为　 　． 7．如图，正方形ABCD中，AD＝5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝4，BE＝DF＝3，则EF的平方为 　 　． 8．如图，正方形ABCD中，BD为对角线，且BE为∠ABD的角平分线，并交CD延长线于点E，则∠E＝　 　． 9．如图，在正方形ABCD中，点F为边CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝25°，则∠AED的大小为 　 　度． 【基础巩固】 1．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° 2．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 3．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 第1题图 第2题图 第3题图 4．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E， （1）求DE的长； （2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长； 【素养提优】 如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且把绕点A顺时针旋转得到，若正方形的周长为12，，则ME的长为 ． 【中考链接】（2025东营中考） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系______． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【方法提炼】 本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键． 【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________ 1.如图，在正方形ABCD中，AD＝10，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝6，BE＝DF＝8，则EF的长为（　　） A．2 B．4 C． D．2 2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C．2 D．1 3．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 4．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．2 6.3正方形的性质与判定（2） 【自主探究】 知识点：正方形的判定 定理： 几何语言： 定理： 几何语言： 定理： 几何语言： 针对训练一 1．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AC与BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理成立的是（　　） A．①④⇒⑥ B．②④⇒⑥ C．①②⇒⑥ D．①③⇒⑤ 2．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　） A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 3．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（　　） A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果AD⊥BC且BD＝CD，那么四边形AEDF是正方形 4．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，请你添加一个条件　 　，使四边形BECF是正方形． 5．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，则∠ACB＝　 　°时，四边形AECF是正方形． 6．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　 　． 【基础巩固】 1．已知，如图，在Rt△ABC中，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形． 2．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F．求证：四边形CEDF是正方形． 3．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形． 4．已知：菱形ABCD中，E、F在BD上，∠ABC＝45°，BE＝DF＝AE，求证：四边形AECF是正方形． 5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N． （1）求证：∠ADB＝∠CDB； （2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形． 6．如图．在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E． （1）求证：四边形ADCE是矩形． （2）若连接DE，交AC于点F，试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）． （3）△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形．并证明你的结论． 7．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形． 【素养提优】 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【中考链接】 如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； 【方法提炼】 判定一个四边形是正方形时，在证明四边形是平行四边形后，有两种思路：（1）先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直；（2）先证它是菱形，再证它有一个角是直角或对角线相等. 【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________ 1.（3分）如图，正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，DE平分∠BDC交AC于F，交BC于E．若正方形ABCD的边长为2，则OF的值为（　　） A．2 B．﹣1 C． D．2 3.（7分）如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF． （1）求证：∠HEA＝∠CGF； （2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形． 答案： 6.3 正方形的性质与判定（1） 【自主探究】 知识点：正方形的定义 有一组邻边相等的矩形叫正方形； 有一个角是直角的菱形叫正方形； 正方形的性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等； 几何语言： ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA 正方形的性质定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 几何语言： ∵四边形ABCD为正方形 ∴AC=BD,AC⊥BD，AO=BO=CO=DO 针对训练一 1.B 2.A 3.A 4.C 5.49 6.5 7.2 8.22.5° 9.70 【基础巩固】 1. C 2.B 3.B 4.解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°， ∵CE平分∠DCA， ∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°， ∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°， ∵∠DBC＝45°， ∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE， ∴BE＝BC＝， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝2， ∴DE＝BD﹣BE＝2﹣； （2）∵FE⊥CE， ∴∠CEF＝90°， ∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE， ∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD， ∴△FEB≌△ECD， ∴BF＝DE＝2﹣； 【素养提优】 2.5 【中考链接】 （1）解：．理由如下： 由旋转的性质，可知，，，， ∴， ∴E，B，C三线共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 如图，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【达标测评】 1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6.3 正方形的性质与判定（2） 【自主探究】 知识点一： 定理：对角线相等的菱形是正方形 几何语言：∵AC=BD ∴菱形ABCD为正方形 定理：对角线垂直的矩形是正方形 几何语言：∵AC⊥BD ∴矩形ABCD为正方形 定理：有一个角是直角的菱形是正方形 几何语言：∵∠A=90° ∴菱形ABCD为正方形 针对训练一 1.B 2.A 3.D 4.AC＝BC 5.90 6.3 【基础巩固】 1．证明：过E作EM⊥AB， ∵AE平分∠CAB， ∴EF＝EM， ∵EB平分∠CBA， ∴EM＝ED， ∴EF＝ED， ∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形， ∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°， ∴四边形EFDC是矩形， ∵EF＝ED， ∴四边形CDEF是正方形． 2．证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F， ∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴ED＝EC＝CF＝FD， ∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形CEDF为正方形． 3．证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°， ∵∠CEF＝45°， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°， ∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形． 4．证明：连接AO交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AB＝AD，∠ABE∠ABC＝22.5° ∵BE＝DF ∴OE＝OF，且AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥BD ∴四边形AECF是菱形 ∴AE＝AF， ∵AE＝BE， ∴∠ABE＝∠BAE＝22.5° ∴∠AEF＝∠ABE+∠BAE＝45°， ∵AE＝AF ∴∠AEF＝∠AFE＝45° ∴∠EAF＝90° ∴菱形AECF是正方形 5．证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB； （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD＝∠PND＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝45° ∴PM＝MD， ∴矩形MPND是正方形． 6．证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC＝90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN， ∴∠DAE＝90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE为矩形； （2）四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE＝CD，AC＝DE． 又∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AB＝DE，AE＝BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形， 理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD＝CD＝BD， 又∵四边形ADCE是矩形， ∴四边形ADCE是正方形． 7．证明：如图，作EM⊥BC于点M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB⊥BC， ∴EM∥AB， ∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM， ∵∠ABE+∠CEF＝45°， ∴∠BEM+∠CEF＝45°， ∵BE⊥EF， ∴∠CEM＝45°＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∴AB＝BC， ∴矩形ABCD是正方形． 【素养提优】 解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； （2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下： ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在∴△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值． 【中考链接】 解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB， ∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N， ∴EM＝EN， ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四边形ANEM是矩形， ∵EF⊥DE， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°， ∴∠DEM＝∠FEN， ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF， ∴ED＝EF， ∵四边形DEFG是矩形， ∴四边形DEFG是正方形． （2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴AG＝CE， ∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4． 【达标测评】 1. C 2. 证明：（1）连接GE， ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠CGE， ∵GF∥HE， ∴∠HEG＝∠FGE， ∴∠HEA＝∠CGF； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠A＝90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴HG＝HE， 在Rt△HAE和Rt△GDH中， ， ∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL）， ∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°， ∴∠DHG+∠AHE＝90°， ∴∠GHE＝90°， ∴菱形EFGH为正方形； 1 学科网（北京）股份有限公司 $