精品解析：江西新余市第四中学2025-2026学年九年级下学期数学周练试卷

数学周练 一、（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. D. 2. 据统计，年全国高考人数再次突破千万，高达万人．数据万用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 观察下列按一定规律排列的式子：，，，，，…，则第n个式子是（　　） A. B. C. D. 二、（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：________． 8. 的算术平方根是_____． 9. 已知，则________ 10. 如果，那么___________． 11. 如图，，，，于D，，的长是________． 12. 如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点，且，则下列结论正确的有__________．（把正确的结论序号填在横线上） ①；②；③如果，则；④． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：． 14. 先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值． 15. 解方程： 16. 解方程组：． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式时x的取值范围； 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某地区的一所初级中学为了了解九年级学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从运动、娱乐、阅读、上网四个方面调查了该校部分九年级学生的兴趣爱好，并将本次调查的结果绘制成如下两幅统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了__________名学生； （2）补全条形统计图，并计算爱好运动部分圆心角是__________度； （3）该校想从喜欢上网的九年级学生中选取两位同学分享“网络对学习的影响”，但目前报名分享的同学有四名（2男2女），求选出恰好是一男一女的概率． 19. 春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（，且x是整数）元． （1）为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ （2）这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 20. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知抛物线：的顶点为，与y轴交于点B． （1）求m，n的值； （2）如图，抛物线与关于点B成中心对称，与x轴交于点D，求抛物线的解析式及点D的坐标； （3）记抛物线，组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，直接写出b的取值范围． 22. 如图，在直角三角形中，，是的直径，点M是线段的中点，与交于点N． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求阴影部分的面积． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则______°； 【解决问题】（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则________； 【迁移应用】（3）如图4，正方形的边长为，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学周练 一、（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 计算：（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 据统计，年全国高考人数再次突破千万，高达万人．数据万用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法的一般形式为，其中，为整数，确定和的值后按一般形式表示即可． 【详解】解：∵万， ∴将表示为时，，满足，小数点向左移动了位，即， ∴万用科学记数法可表示为． 3. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图． 【详解】解：几何体的主视图如图： 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的相关运算法则，分别根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法、积的乘方的法则计算各选项，判断正误即可． 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误． 选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，B错误． 选项C：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，C错误． 选项D：∵积的乘方，需将积中每个因式分别乘方，再把所得幂相乘， ∴，D正确． 5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解不等式，在数轴上表示不等式的解集，求得不等式的解集是解题的关键； 根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，根据不等式的解集判断即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，解得， ∴解集在数轴上表示，如图， 故选：C． 6. 观察下列按一定规律排列的式子：，，，，，…，则第n个式子是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别从符号、系数绝对值、的次数三个部分找规律，推导得到第个式子的表达式，再对比选项得到答案． 【详解】解： 当时，第1个式子为， 当时，第2个式子为， 当时，第3个式子为， …… 归纳可得，第个式子为． 二、（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，解题思路为找出多项式各项的公因式，提取公因式得到因式分解结果． 【详解】解：多项式中，两项的公因式为，利用提公因式法因式分解得： ． 8. 的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 9. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先由已知等式整理得到的值，再将所求代数式变形，利用整体代入法计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10. 如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的被开方数为非负数求出的值，再代入求出，最后求即可． 【详解】解：二次根式的被开方数为非负数，， ， ， 将代入中，得， ∴． 11. 如图，，，，于D，，的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】先证为等腰直角三角形，求得，再解，求出，根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 为等腰直角三角形， ∵， ， 在中，， ， ． 12. 如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点，且，则下列结论正确的有__________．（把正确的结论序号填在横线上） ①；②；③如果，则；④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用证明，可判断①正确；证明，得出，可判断②正确；根据，得出，根据四边形是矩形，，得出，，证明，根据相似三角形的性质列出方程求出，即可判断③；在上截取，连接．由（1）可知：，证明，得出．证明，得出为等腰直角三角形．从而得出，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， ∵， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形，， ∴， ， ， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得：，故③错误； 在上截取，连接． 由（1）可知：， 又 ∵， ∴， ∴． 又 ∵， ∴，即：， ∴为等腰直角三角形． ∴，④正确； 综上，①②④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 先化简，再求值：，请在，0，2中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选用代入，即可求解． 【详解】解：原式 ， ∵分母不能为0， ∴， ∴， ∴只能选， 把代入原式． 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，首先把方程的两边同时乘以化为整式方程，解整式方程可得：，再把代入检验是否增根． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 16. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，方法一利用代入消元法解二元一次方程组；方法二利用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】解： 法一：由①得③ 将③代入②得 解得 将代入③得， 则方程组的解为． 法二：， ①×2得③ ③+②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式时x的取值范围； 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 所以反比例函数的表达式为． 将代入，得， 所以． 将，代入，得， 解得， 所以一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， ， 由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为或， 的取值范围为或． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某地区的一所初级中学为了了解九年级学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从运动、娱乐、阅读、上网四个方面调查了该校部分九年级学生的兴趣爱好，并将本次调查的结果绘制成如下两幅统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了__________名学生； （2）补全条形统计图，并计算爱好运动部分圆心角是__________度； （3）该校想从喜欢上网的九年级学生中选取两位同学分享“网络对学习的影响”，但目前报名分享的同学有四名（2男2女），求选出恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）100 （2） 补全条形统计图如下： 144 （3） 【解析】 【分析】（1）用爱好运动的学生人数除以其百分比即可求解； （2）求出调查的学生中爱好阅读的学生人数，即可补全条形统计图，再用乘以爱好运动的学生人数占比可求出运动部分圆心角的度数； （3）根据题意画出树状图，再根据树状图解答即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴在这次调查中，一共调查了100名学生； 【小问2详解】 解：由条形统计图可得，调查的学生中爱好阅读的有人， 爱好运动部分圆心角是； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中选出恰好是一男一女的等可能结果有8种， ∴选出恰好是一男一女的概率是． 19. 春节期间，由于我市执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨x（，且x是整数）元． （1）为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ （2）这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 【答案】（1）50元 （2）当售价定为60元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元. 【解析】 【分析】（1）根据题意得涨价元，单个利润为元，每天销售量为个，根据题意列出方程，结合的限定范围求解得到最终售价； （2）设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为元，先列出利润关于的二次函数解析式，再利用二次函数的最值性质结合的范围求出最大利润和对应售价． 【小问1详解】 解：根据题意得涨价元，单个利润为元，每天销售量为个， 则， 解得或， 由于，则， 此时售价为（元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价应定为50元； 【小问2详解】 解：设该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润为元， 根据题意得 ：， 当时，取得最大值，最大值为900，此时售价为（元）， 答：这款电子鞭炮每个的售价定为60元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元． 20. 如图1是一款手推婴儿车，图2是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知． （1）求主支架杆点距地面的高度．（结果精确到） （2）手推婴儿车的车把高度合适范围一般在左右，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）符合要求， 过点作交于点，作于点， ， ， ， ． ， ， 是的中点， ， ， 点到地面的距离为：，符合要求． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）连接，求得，，据此求解即可； （2）过点作交于点，作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ， 由题意得， ， 点到地面的距离为：； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知抛物线：的顶点为，与y轴交于点B． （1）求m，n的值； （2）如图，抛物线与关于点B成中心对称，与x轴交于点D，求抛物线的解析式及点D的坐标； （3）记抛物线，组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点为，利用待定系数法即可求解； （2）根据中心对称的性质求出顶点坐标，然后利用顶点式求函数解析式即可，再利用二次函数的性质求交点坐标即可； （3）联立解析式，利用一元二次方程的根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， 设抛物线的顶点为，则点与点关于点对称， ， ∴点的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 令， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：当直线与抛物线只有一个交点时， 令， 即， ， 解得：， 当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ， 解得， 如图，根据图象可得， ∴若与直线有三个交点，则的取值范围为． 22. 如图，在直角三角形中，，是的直径，点M是线段的中点，与交于点N． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，，， 是直径， ，即为直角三角形． ∵点为中点， ． ，， ． ， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，，易得为直角三角形，斜边上的中线得到，证明，得到，即可得证； （2）用四边形的面积减去扇形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 在直角三角形中，， ∴ ， ， ． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则______°； 【解决问题】（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则________； 【迁移应用】（3）如图4，正方形的边长为，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长； 【答案】（1）45； （2）①证明：∵， ， ∵矩形中，， ， ， 平分． ②4； （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （2）①由矩形的性质及平行线的性质证明，则可得出结论； ②过点作于点，求出，证明，得出，证明，得出； （3）过点作交于点，证明，得出，证明是等腰直角三角形，则可得出答案； 【详解】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 故答案为：45； （2）①略 ②过点B作于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：4； （3）过点作交延长线于点， ∵四边形是正方形， ， ， 由旋转得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $