第十九章二次根式 章末复习 课时分层训练2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

第十九章�二次根式章末复习 高频考点一 两个概念 概念1 二次根式的概念 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 3．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 概念2 最简二次根式的概念 4．下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 高频考点二 性质的运用 性质1 的运用 6．计算： （1）________． （2）________． （3）________． 性质2 的运用 7．______． 8．计算：___________． 9．化简：_______． 性质3 双重非负性〖〗的运用 10．已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 11．若、都是实数，且，求的平方根． 性质4 商的算术平方根的运用 12．化简的结果是__________． 高频考点三 二次根式的化简 13．化简： (1) (2) (3) (4) (5)（其中） (6)（其中） 14．计算： (1) (2)； (3)； 高频考点四 实际应用 15．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 16．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 17．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 18．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若，，求： ①的值； ②的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十九章�二次根式章末复习 高频考点一 两个概念 概念1 二次根式的概念 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，且被开方数为非负数，逐一验证选项即可． 【详解】解：A选项：的根指数为2，被开方数，满足二次根式定义，一定是二次根式； B选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； C选项：的根指数为3，不是二次根式； D选项：当时，无意义，不一定是二次根式． 2．下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 3．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3)，且 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 对于（1），根据二次根式有意义的条件可知，可求出答案； 对于（2），根据题意可知，可得答案； 对于（3），根据二次根式和分式有意义的条件可知，且，求出答案； 对于（4），根据题意可得，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 解得． 所以当得时，原式有意义； （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义； （3）解：根据题意，得，且， 解得，且． 所以当，且时，原式有意义； （4）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义． 概念2 最简二次根式的概念 4．下列式子中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可。 【详解】∵最简二次根式的定义为：满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，=，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 对选项C，分母含有根式，可化简为，不是最简二次根式， 对选项D，==，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 对选项B，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义， ∴选B. 5．下列根式：、、、、、中，最简二次根式的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断即可． 本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：，无法再开方，它们是最简二次根式； ，，，中被开方数中含有分母，它们都不是最简二次根式； 则最简二次根式共2个， 故选：A 高频考点二 性质的运用 性质1 的运用 6．计算： （1）________． （2）________． （3）________． 【答案】 4 0.6 【分析】本题考查了二次根式的平方运算性质，掌握平方运算的性质以及二次根式的性质 是解题的关键． （1）（2）（3）：根据二次根式的平方运算以及二次根式的性质逐一计算． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． （3）． 故答案为：． 性质2 的运用 7．______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 8．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简． 根据公式，化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 性质3 双重非负性〖〗的运用 9．化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简二次根式即可． 【详解】， 故答案为：． 10．已知实数a、b使等式成立，请先化简，再求值：． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式被开方数非负性，绝对值的非负性、分式的混合运算、二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用非负性求出a、b的值，利用分式和根式的运算进行化简，再将a、b的值代入求解即可． 【详解】解： ， ， 解得： 代入原式 ． 11．若、都是实数，且，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，平方根，以及二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．根据被开方数是非负数，得出，从而得到，再代入计算平方根即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， ， 的平方根是． 性质4 商的算术平方根的运用 12．化简的结果是__________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法运算，乘法运算，性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算，除法运算，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 高频考点三 二次根式的化简 13．化简： (1) (2) (3) (4) (5)（其中） (6)（其中） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的运算、分母有理化等知识点，掌握二次根式的性质化简即可． （1）先逆用二次根式乘法法则，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先逆用二次根式除法法则，再利用二次根式的性质化简即可； （3）先将被开方数化成分数，再用二次根式除法法则化简以及二次根式的性质化简即可； （4）利用二次根式除法法则化简以及二次根式的性质化简即可； （5）先利用二次根式乘法法则变形，再利用二次根式的性质化简即可； （6）先说明，利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：∵，且， ∴， ∴． 14．计算： (1) (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用乘法分配律展开后，化简计算即可； （3）利用平方差公式计算前部分的乘积，再化简后部分的二次根式，最后相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 高频考点四 实际应用 15．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，二次根式的乘法； 根据题意先求出，再代入海伦公式计算即可． 【详解】解：由题意知：， 则三角形的面积 ． 16．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时，原式平方米． 17．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 思想：数形结合思想 18．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若，，求： ①的值； ②的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算． （1）根据数轴可得，，进而根据二次根式的化简，即可求解； （2）先计算出的值； ①根据平方差公式进行计算即可求解； ②先通分，再根据完全平方公式变形求值，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ①， ②． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $