8.2立方根（5知识点+7题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

8.2立方根 （5知识点+7题型+过关检测） 【题型1 立方根的概念】 1 【题型2 求一个数的立方根】 2 【题型3 已知一个数的立方根求这个数】 4 【题型4 解含立方的方程】 5 【题型5 与立方根有关的规律探索】 7 【题型6 立方根的实际应用】 9 【题型7 算术平方根和立方根的综合应用】 10 · 理解核心概念：掌握立方根的定义、表示方法及读法，明确立方根和平方根的性质差异，熟记开立方与立方互为逆运算。 · 熟练运算技能：能准确求出任意有理数的立方根，掌握带分数、小数、负数的立方根求解方法，规范书写立方根表达式。 · 突破综合考点：会利用立方根的定义解方程，能结合算术平方根解决综合运算题，掌握立方根相关规律探究与实际应用技巧。 · 辨析易混知识：精准区分平方根与立方根的定义、性质、取值范围，规避概念混淆导致的解题错误。 03 知识•梳理 知识点1. 立方根的定义 定义：如果一个数x的立方等于（即），那么这个数x叫做的立方根（也叫三次方根）。 记作：，读作“三次根号a”； 各部分名称：根指数3（不可省略，平方根根指数2可省略），叫做被开方数。 知识点2. 开立方定义 求一个数的立方根的运算，叫做开立方；开立方与立方互为逆运算，可利用立方运算检验立方根计算是否正确。 知识点3. 立方根的核心性质 · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数（负数有立方根，区别于平方根）； · 0的立方根是0（即）； · 任意数都有且只有一个立方根（区别于正数有两个平方根）； · 重要性质：（互为相反数的两个数，立方根也互为相反数）。 知识点4.平方根与立方根核心对比表 对比维度 平方根 立方根 定义 若，则是的平方根 若，则是的立方根 表示方法 （根指数2，省略不写） （根指数3，不可省略） 被开方数取值范围 （负数没有平方根） 任意实数（正数、负数、0都有立方根） 结果个数 正数有2个，互为相反数；0只有1个 任意数都有且只有1个 结果符号 正数结果为一正一负；0为0 与被开方数同号，正正得正，负负得负 逆运算 平方运算 立方运算 知识点5. 重要公式 · （任意实数） · （任意实数） 04 题型•汇总 【题型1 立方根的概念】 解题思路： 紧扣“，则x是a的立方根”核心定义，判断语句正误，重点区分立方根与平方根的性质差异，牢记“任意数都有唯一立方根”“负数有立方根”两大关键点。 【典例1】．立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数． 【详解】解：∵， ∴0的立方根是0，即0的立方根等于它本身． ∵， ∴1的立方根是1，即1的立方根等于它本身． ∵， ∴的立方根是，即的立方根等于它本身． 综上，立方根等于它本身的数是0或， 故选：D． 跟随训练1-1．若有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 跟随训练1-2．若，则______；若，则______；若，则______． 【答案】 2 / 【分析】本题考查的是立方根和算术平方根的定义与性质，熟知这些是解题的关键，根据立方根和算术平方根的定义与性质可求a和b的值，从而可求答案． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则． 故答案为：2；；． 【题型2 求一个数的立方根】 解题思路： 根据立方与开立方互为逆运算，找立方等于该数的数；带分数先化为假分数，小数先化为分数，再求立方根；负数立方根先求其绝对值的立方根，再添负号，结果只有一个，无需写±。 【典例2】．的立方根是_____，的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的求解，算术平方根、平方根的求解．根据立方根，平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， 则的平方根是， 故答案为：，． 跟随训练2-1．已知，．请根据已知条件填空： （1）_________； （2）若，则_________． 【答案】 24.77 0.006137 【分析】（1）利用算术平方根的性质：被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点就向右移动一位； （2）利用立方根的性质：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，其立方根的小数点就向左（或向右）移动一位． 【详解】解：（1）已知 ∵， ∴． （2）已知． ∵， ∴． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的小数点移动规律，解题关键是掌握：算术平方根：被开方数小数点每移动两位，结果小数点移动一位；立方根：被开方数小数点每移动三位，结果小数点移动一位． 跟随训练2-2．计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)1 (4) 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． （1）根据以及立方根的定义进行计算即可； （2）根据以及立方根的定义进行计算即可； （3）根据以及立方根的定义进行计算即可； （4）根据以及立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ． 【题型3 已知一个数的立方根求这个数】 解题思路： 利用立方根定义，若，则，直接将立方根数值立方，即可得到原数；含参数时，先根据立方根唯一性列等式，再求解参数。 【典例3】．9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可． 本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是x， ， 的立方根是， ， 或， 故选：D 跟随训练3-1．若，则的立方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 跟随训练3-2．已知有一个平方根是3，的立方根是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，代数式的求值，掌握相关知识点是解题的关键． 根据平方根，立方根的定义列式，求出的值，代入所求的式子，即可求解． 【详解】解：有一个平方根是3，的立方根是， ，， ，， ． 【题型4 解含立方的方程】 解题思路： 解含立方的方程，核心是利用开立方与立方互为逆运算，先把方程变形为的标准形式，再对等式两边同时开立方，求出未知数的值；注意立方根只有一个，方程只有唯一解，区别于平方根方程的双解情况，含括号的先把括号内整体看作未知数求解。 【典例4】．解方程： ． 【答案】 【分析】先将方程变形，求出的值，再根据立方根的定义求出x的值． 【详解】解：， ∴， ∴． 跟随训练4-1．求下列各式中的： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 两边同时乘以，再根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：， ， ， ． 跟随训练4-2．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解； （2）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解； （3）本题根据立方根知识，开立方，然后即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型5 与立方根有关的规律探索】 解题思路： 观察被开方数小数点移动与立方根小数点移动的规律，对比平方根规律区分记忆，总结规律后直接套用解决计算问题。 【典例5】．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 跟随训练5-1．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 跟随训练5-2．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 【题型6 立方根的实际应用】 解题思路： 结合实际场景（多为正方体体积、立方体容器容积问题），根据体积公式（正方体体积=棱长³），列出方程，通过求立方根得到棱长或边长，结果为正数，贴合实际意义。 【典例6】．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键．先求得增大后的正方体的体积，然后依据立方根的性质求解即可． 【详解】解：小正方体的体积． 大正方体的体积． 所以大正方体的棱长． 故选：D． 跟随训练6-1．一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 【答案】10 【分析】本题考查了正方体的棱长与体积的关系，解决本题的关键是熟练掌握正方体的棱长与体积的关系． 根据正方体的体积公式，体积扩大倍数与棱长扩大倍数的关系可通过立方根求解，由此可得结论． 【详解】解：设原正方体棱长为a，则体积为． 体积扩大为原来的1000倍，新体积． 设新棱长为，则， 因此． ∴棱长扩大为原来的10倍． 故答案为：10． 跟随训练6-2．小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 【题型7 算术平方根和立方根的综合应用】 解题思路： 同时运用算术平方根（非负、被开方数≥0）和立方根（任意数、结果唯一）的性质，先根据各自定义求出未知数的值，再代入代数式计算；重点注意算术平方根的非负性，避免漏解或错解。 【典例7】．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 跟随训练7-1．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 跟随训练7-2．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 05 过关•检测 1．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 若一个数的立方等于，即，则是的立方根，，且正数的立方根是正数， ∴ 的立方根是． 2．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 3．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 4．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值，求一个数的立方根，化简多重符号等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据相反数的定义，即绝对值相等且符号相反的两个数互为相反数，需分别计算各选项中的数，再根据定义判断． 【详解】解：，3和3相等，不是相反数， 故A不符合； ，，两数相等，不是相反数， 故B不符合； ∵，， 与互为相反数， ∴和互为相反数， 故C符合； 和绝对值不相等，不是相反数， 故D不符合， 故选：C． 5．已知，，，则的值约是（    ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律． 利用立方根的性质，将1510分解为，再分别求立方根后相乘． 【详解】解：∵ ， 又∵ ，， ∴ ． 故选：C． 6．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 7．计算：________． 【答案】 【分析】先算开立方，再算加法即可 ． 【详解】解：原式 ， 故答案为： ． 8．若a、b互为相反数，c为27的立方根，则_____ 【答案】 【分析】本题考查相反数的性质和立方根的定义，实数的相关概念及性质．根据相反数的性质及立方根定义求得，的值，然后将原代数式变形为后代入数值计算即可． 【详解】解：、互为相反数， ， 为27的立方根， ， 则 ， 故答案为：． 9．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 10．若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 11．一块体积为的金属块熔铸成四个相同的立方体金属块，则该立方体的棱长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的实际应用，关键是熟练应用立方体的体积公式；金属块总体积不变，分成四个相同立方体，每个体积为总体积的四分之一，再根据立方体体积公式求棱长． 【详解】解：设立方体的棱长为， 则，解得． 故答案为：． 12．（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 【答案】 26.46 6.69 14.42 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义以及小数点的变化规律是正确解答的关键． （1）根据被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位进行求解； （2）将写成，写成，结合，，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，则， 可以发现：当被开方数由变为时，其算术平方根由变为，即被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位， ∴当被开方数由变为时，其算术平方根由变为， ． 故答案为：． （2）∵， ； ， ； 故答案为：，． 13．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的性质与求解方法． 根据立方根的性质依次求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴的立方根为． （2）解：∵， ∴的立方根为． （3）解：∵， ∴的立方根为． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （）先化简算术平方根，立方根，再计算加减法即可； （）先化简立方根，算术平方根，化简绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 15．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键． （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．已知的算术平方根是3，的立方根是2， (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合的算术平方根是3，的立方根是2，得，，解得，，即可作答． （2）先把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3，的立方根是2 ∴，， 解得， 即， 解得， （2）解：由（1）得，； ∴， 则的平方根是， 的平方根为． 17．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式得到点、点的距离为，可知点表示的数为，根据“左减右加”可求的值； （2）先得到，，再根据非负数的性质计算即可； （3）根据相反数的定义得到，根据非负数的性质求出，求出的值，再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1， ∴点、点的距离为， ∵点关于点的对称点为点， ∴点表示的数为， ∵一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为， ∴； （2）解：， ，， ． （3）解：与互为相反数， ， ， ， 解得 ， 的立方根是． 18．我们知道的立方根是，可以表示为 反之 16 的平方根是，可以表示为 反之 根据立方根和平方根的含义，完成下面问题： (1)表示的含义是什么？ 表示的含义是什么？ (2)表示的含义是什么？ (3)若 求的值和的平方根． 【答案】(1)表示125的立方根，表示的立方根 (2)表示的算术平方根 (3)；的平方根为 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键． （1）根据立方根的概念解答即可； （2）根据算术平方根的概念解答即可； （3）先根据立方根，算术平方根的概念求出，然后代入和求解即可． 【详解】（1）表示125的立方根，表示的立方根． （2）表示的算术平方根． （3）因为， 所以， 所以， 所以，， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2立方根 （5知识点+7题型+过关检测） 【题型1 立方根的概念】 1 【题型2 求一个数的立方根】 3 【题型3 已知一个数的立方根求这个数】 3 【题型4 解含立方的方程】 3 【题型5 与立方根有关的规律探索】 4 【题型6 立方根的实际应用】 5 【题型7 算术平方根和立方根的综合应用】 5 · 理解核心概念：掌握立方根的定义、表示方法及读法，明确立方根和平方根的性质差异，熟记开立方与立方互为逆运算。 · 熟练运算技能：能准确求出任意有理数的立方根，掌握带分数、小数、负数的立方根求解方法，规范书写立方根表达式。 · 突破综合考点：会利用立方根的定义解方程，能结合算术平方根解决综合运算题，掌握立方根相关规律探究与实际应用技巧。 · 辨析易混知识：精准区分平方根与立方根的定义、性质、取值范围，规避概念混淆导致的解题错误。 03 知识•梳理 知识点1. 立方根的定义 定义：如果一个数x的立方等于（即），那么这个数x叫做的立方根（也叫三次方根）。 记作：，读作“三次根号a”； 各部分名称：根指数3（不可省略，平方根根指数2可省略），叫做被开方数。 知识点2. 开立方定义 求一个数的立方根的运算，叫做开立方；开立方与立方互为逆运算，可利用立方运算检验立方根计算是否正确。 知识点3. 立方根的核心性质 · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数（负数有立方根，区别于平方根）； · 0的立方根是0（即）； · 任意数都有且只有一个立方根（区别于正数有两个平方根）； · 重要性质：（互为相反数的两个数，立方根也互为相反数）。 知识点4.平方根与立方根核心对比表 对比维度 平方根 立方根 定义 若，则是的平方根 若，则是的立方根 表示方法 （根指数2，省略不写） （根指数3，不可省略） 被开方数取值范围 （负数没有平方根） 任意实数（正数、负数、0都有立方根） 结果个数 正数有2个，互为相反数；0只有1个 任意数都有且只有1个 结果符号 正数结果为一正一负；0为0 与被开方数同号，正正得正，负负得负 逆运算 平方运算 立方运算 知识点5. 重要公式 · （任意实数） · （任意实数） 04 题型•汇总 【题型1 立方根的概念】 解题思路： 紧扣“，则x是a的立方根”核心定义，判断语句正误，重点区分立方根与平方根的性质差异，牢记“任意数都有唯一立方根”“负数有立方根”两大关键点。 【典例1】．立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 跟随训练1-1．若有意义，则x的取值范围是_________． 跟随训练1-2．若，则______；若，则______；若，则______． 【题型2 求一个数的立方根】 解题思路： 根据立方与开立方互为逆运算，找立方等于该数的数；带分数先化为假分数，小数先化为分数，再求立方根；负数立方根先求其绝对值的立方根，再添负号，结果只有一个，无需写±。 【典例2】．的立方根是_____，的平方根是______． 跟随训练2-1．已知，．请根据已知条件填空： （1）_________； （2）若，则_________． 跟随训练2-2．计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【题型3 已知一个数的立方根求这个数】 解题思路： 利用立方根定义，若，则，直接将立方根数值立方，即可得到原数；含参数时，先根据立方根唯一性列等式，再求解参数。 【典例3】．9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 跟随训练3-1．若，则的立方根是__________． 跟随训练3-2．已知有一个平方根是3，的立方根是，求的值． 【题型4 解含立方的方程】 解题思路： 解含立方的方程，核心是利用开立方与立方互为逆运算，先把方程变形为的标准形式，再对等式两边同时开立方，求出未知数的值；注意立方根只有一个，方程只有唯一解，区别于平方根方程的双解情况，含括号的先把括号内整体看作未知数求解。 【典例4】．解方程： ． 跟随训练4-1．求下列各式中的： ． 跟随训练4-2．求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【题型5 与立方根有关的规律探索】 解题思路： 观察被开方数小数点移动与立方根小数点移动的规律，对比平方根规律区分记忆，总结规律后直接套用解决计算问题。 【典例5】．已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 跟随训练5-1．观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则________． 跟随训练5-2．【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【题型6 立方根的实际应用】 解题思路： 结合实际场景（多为正方体体积、立方体容器容积问题），根据体积公式（正方体体积=棱长³），列出方程，通过求立方根得到棱长或边长，结果为正数，贴合实际意义。 【典例6】．某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．2 B．8 C． D． 跟随训练6-1．一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 跟随训练6-2．小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【题型7 算术平方根和立方根的综合应用】 解题思路： 同时运用算术平方根（非负、被开方数≥0）和立方根（任意数、结果唯一）的性质，先根据各自定义求出未知数的值，再代入代数式计算；重点注意算术平方根的非负性，避免漏解或错解。 【典例7】．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 跟随训练7-1．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 跟随训练7-2．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 05 过关•检测 1．27的立方根是（   ） A．3 B．9 C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 3．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 4．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．3和 B．和 C．和 D．和 5．已知，，，则的值约是（    ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 6．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 7．计算：________． 8．若a、b互为相反数，c为27的立方根，则_____ 9．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 10．若与互为相反数，则的值为______． 11．一块体积为的金属块熔铸成四个相同的立方体金属块，则该立方体的棱长为___________． 12．（1）已知，则，__________． （2）已知，，则____________________． 13．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)． 14．计算： (1)； (2)． 15．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 16．已知的算术平方根是3，的立方根是2， (1)求，的值． (2)求的平方根． 17．已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点关于点的对称点为点，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行3个单位长度到达点，设点所表示的数为． (1)___________； (2)求的值； (3)在数轴上，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的立方根． 18．我们知道的立方根是，可以表示为 反之 16 的平方根是，可以表示为 反之 根据立方根和平方根的含义，完成下面问题： (1)表示的含义是什么？ 表示的含义是什么？ (2)表示的含义是什么？ (3)若 求的值和的平方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $