02立方根预习讲义2025-2026学年人教版七年级下学期数学.(4大知识点+7大题型解读+18类巩固提升).

2025-2026学年七年级下学期数学第八章实数02立方根预习讲义（人教版）（4大知识点+7大题型解读+18巩固提升） 01预习目标 (1)理解立方根的定义并且会求一个数的立方根 (2)会表示一个数的立方根和理解立方根的性质 (3)会用估值法比较两个数的大小和掌握被开方数和立方根近似值的小数点的移动规律，并能利用规律解题。 02知识点梳理 知识点1立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根．求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 要点提示一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数． 开立方和立方互为逆运算． 知识点2立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 要点提示 任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同． 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数． 知识点3立方根的性质 ；   ；   ． 要点提示第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题． 知识点4立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位． 03题型解读 题型解读1立方根概念理解 例1．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 变式1.．化简： ， ， ． 变式2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型解读2求一个数的立方根 例2．5的立方根是（   ） A． B． C． D． 变式1．4的平方根为，的立方根为，则的值为 ． 变式2．求下列各数的立方根： (1) (2) (3)0.125 题型解读3已知一个数的立方根，求这个数 例3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1.已知的立方根是3，则 ． 变式2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型解读4与立方根有关的规律探索 例4．已知，那么（    ） A． B． C． D． 变式1．已知，如果，则 ． 变式2．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 题型解读5立方跟的实际应用 例5．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 变式1．已知球体的体积，若一个球的体积是，则它的半径 ． 变式2．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 题型解读6算术平方根和立方根的综合应用 例6．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 变式1．若x是9的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 变式2．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 题型解读7计算器——平方根和立方根 例7．用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 变式1．在计算器上按键： 显示的结果为 ．变式2．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)（结果保留小数，点后三位）． 04巩固提升 一、单选题 1．下列说法错误的是（　　） A．与相等 B．与相等 C．与 是互为相反数 D．与互为相反数 2．已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 3．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 4．已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 5．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 6．若用我们数学课本上的科学计算器进行计算，按键顺序为，按键结果为m；按键顺序为，按键结果为n．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．下列说法正确的是 ．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 8．若，则a的值是 ． 9．立方根为的数是 ，的平方根是 ． 10．观察．推测：若，则 ． 11．边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为，则的值为 ． 12．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为 ． 三、解答题 13．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．解方程： (1)； (2)． 15．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 16．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 17．小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 18．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学第八章实数02立方根预习讲义（人教版）（4大知识点+题型解读巩固提升） 01预习目标 (1)理解立方根的定义并且会求一个数的立方根 (2)会表示一个数的立方根和理解立方根的性质 (3)会用估值法比较两个数的大小和掌握被开方数和立方根近似值的小数点的移动规律，并能利用规律解题。 02知识点梳理 知识点1立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果那么叫做的立方根．求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 要点提示一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数． 开立方和立方互为逆运算． 知识点2立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 要点提示 任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同． 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数． 知识点3立方根的性质 ；   ；   ． 要点提示第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题． 知识点4立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位． 03题型解读 题型解读1立方根概念理解 例1．式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 变式1.．化简： ， ， ． 【答案】 /0.5 / 【分析】本题考查了求一个数的立方根，正确掌握相关性质是解题的关键．根据立方根的定义进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：，，． 变式2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． 题型解读2求一个数的立方根 例2．5的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：5的立方根是． 故选：A． 变式1．4的平方根为，的立方根为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根，解题关键在于掌握平方根、算术平方根、立方根的基本运算，特别注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．根据平方根、算术平方根、立方根的意义可得，然后分两种情况进行计算即可解答． 【详解】解：∵4的平方根是x，的立方根是y，且， ∴， ∴当时，； 当时，； 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 变式2．求下列各数的立方根： (1) (2) (3)0.125 【答案】(1) (2) (3)0.5 【分析】本题考查立方根的定义，理解立方根的定义是解答的关键． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可； （3）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：因为，所以的立方根是，即； （2）解：因为，所以的立方根是，即； （3）解：因为，所以的立方根是，即． 题型解读3已知一个数的立方根，求这个数 例3．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解决此题的关键是正确的理解立方根的定义； 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 变式1.已知的立方根是3，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 变式2．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可得解； （2）由立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 所以； （2）解：由，得， 所以． 题型解读4与立方根有关的规律探索 例4．已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 变式1．已知，如果，则 ． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 变式2．【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 题型解读5立方跟的实际应用 例5．如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（    ） A．2 倍 B．3 倍 C．6 倍 D．9 倍 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 变式1．已知球体的体积，若一个球的体积是，则它的半径 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，由题意可得，从而得出，再根据立方根计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式2．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长； (2)求截得的每个小正方体木块的棱长．小红的部分解答如下： 解：设截得的每个小正方体木块的棱长为，则截得的这8个小正方体木块的总体积为_____，由题意得：_______． 请补全以上填空并继续完成小红的解答． 【答案】(1) (2)，，截得的每个小正方体木块的棱长； 【分析】本题主要考查立方根的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）求一个数的立方根即可； （2）根据题意列出方程，根据求一个数的立方根的概念得到答案即可； 【详解】（1）解：由题可知：， ∴棱长为， 故大正方体木块的棱长为； （2）解：设截得的每个小正方体木块的棱长为， 则截得的这8个小正方体木块的总体积为， 由题意得：， 解得：， 故截得的每个小正方体木块的棱长为， 故答案为：，． 题型解读6算术平方根和立方根的综合应用 例6．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 变式1．若x是9的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的运算求得；根据立方根运算求得，进而得出结果． 【详解】解：∵x是9的算术平方根， ∴， ∵y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根与立方算，读懂题意，准确求出x与y值是解决问题的关键． 变式2．已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 题型解读7计算器——平方根和立方根 例7．用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根和立方根，根据计算器求算术平方根和立方根的按键方法求解即可． 【详解】解：用计算器求的近似值，其按键顺序正确的是 故选：A． 变式1．在计算器上按键： 显示的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同学们能熟练应用计算器和立方根，平方根，首先要求同学们熟悉每个键的功能，才能熟练应用计算器，这样才能使用科学记算器进行计算 【详解】解：在计算器上如图按键，是在计算， 故答案为：． 变式2．用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)（结果保留小数，点后三位）． 【答案】(1)31 (2) (3) 【分析】此题考查的是用计算器计算一个数的算术平方根，掌握求算术平方根的按键顺序是解决此题的关键． （1）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （2）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （3）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． 【详解】（1）解：依次按键，显示31． ． （2）依次按键，显示：． ． （3）依次按键，显示：……． ． 04巩固提升 一、单选题 1．下列说法错误的是（　　） A．与相等 B．与相等 C．与 是互为相反数 D．与互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查平方、平方根、立方根及绝对值的性质． 解决本题的关键是根据平方、平方根、立方根及绝对值的性质得到正确结果，再进行判断． 【详解】A选项： ，与相等，故A选项正确，不符合题意； B选项：，， 与相等，故B选项正确，不符合题意； C选项：，与互为相反数，故C选项正确，不符合题意； D选项：，， ，两者相等，不互为相反数，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 2．已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵立方根是， ∴这个数为， 故选：A． 3．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（   ） A． B． C．3倍 D．9倍 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 5．的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 6．若用我们数学课本上的科学计算器进行计算，按键顺序为，按键结果为m；按键顺序为，按键结果为n．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查计算器-基础知识，解答本题的关键是明确平方根的副功能键是立方根． 根据题目中的运算程序，可以分别计算出、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 7．下列说法正确的是 ．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】①② 【分析】本题考查平方根定义、立方根定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据平方根和立方根的定义及性质进行判断；负数没有实数平方根；负数的立方根是负数；平方根等于它本身的数只有0；从而确定答案． 【详解】解：①由任何实数的平方均为非负数，即可判断①正确； ②由负数的立方是负数，即可判断②正确； ③的平方根是；的平方根是，即可判断③错误； 综上所述，正确的是①②， 故答案为：①②． 8．若，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握“若，则是的立方根”是解题的关键． 根据立方根的定义，求满足的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故答案为：． 9．立方根为的数是 ，的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根及平方根，利用立方根和平方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以立方根为的数是， ，9平方根是， 故答案为：，． 10．观察．推测：若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 11．边长为a的正方形面积为256，棱长为b的正方体体积为，则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用正方形的面积和体积公式求出a，b的值，然后再代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：∵边长为a的正方形面积为256， ∴， ∵， ∴， ∵棱长为b的正方体体积为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20． 12．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 三、解答题 13．求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键． （1）利用立方根的定义即可得到结果； （2）利用立方根的定义即可得到结果； （3）利用立方根的定义即可得到结果； （4）利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）解：因为，所以的立方根是； （2）解：因为，所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以的立方根是． 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）， ， ， ， 解得． 15．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根及算术平方根，熟知立方根、平方根及算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题； （2）先求出的值，再结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是4， ， ∴； （2）解：当，时，， ∵36的平方根是， 的平方根是． 16．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 17．小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 【答案】铁球的半径为 【分析】本题主要考查了利用立方根解决几何问题，解题的关键是掌握立方根运算法则． 设铁球的半径为，根据球体的体积等于水下降的体积，列出方程，利用立方根求解即可． 【详解】解：设铁球的半径为，根据题意得， 铁球的体积， ， 解得， ∴铁球的半径为． 18．已知的算术平方根是5，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义，得出，，计算得出答案即可； （2）将，的值代入求值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 即，， 解得，， 故，的值为，． （2）将，的值代入，得 ， ， 的平方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $