专题02 一元一次不等式（组）的实际应用（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题02 一元一次不等式（组）的实际应用 题型一：简单数量比较的不等式应用 题型二：含单价/总价的购物类不等式应用 题型三：行程限制的不等式应用 题型四：分配调配问题的不等式应用 题型五：阶梯计费的不等式应用 题型六：方案设计的不等式应用 题型一：简单数量比较的不等式应用 方法技巧：根据“大于、小于、不超过、不低于”等关键词，设未知数列一元一次不等式求解。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据宽和长的关系表示出长，再结合长方形周长公式和篱笆长度的限制列出不等式即可． 【详解】解：∵设试验田的宽为，宽比长少， ∴试验田的长为， ∵篱笆总长度是长方形的周长，要求篱笆总长度不超过， 长方形周长宽长，“不超过”用“”表示， ∴可列不等式为． 2．（25-26七年级·上海·假期作业）某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题的关键． 设张老师至少获胜x局，依据积分规则列出一元一次不等式，求解不等式并结合实际取整，得到获胜局数的最小值． 【详解】设张老师至少获胜x局，则输了局，即局， ∵ 积分不低于30分可晋级，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师平2局， ∴ 列不等式：， 展开并整理得：， ， ， 解得：， ∵ x为正整数， ∴ x的最小值为5， 即张老师至少应获胜5局． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分3～4次服完．”设一次服用这种药品，则x的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式在实际生活中的应用，准确理解题意是解题的关键．根据每日用量范围和服用次数，应分别求出每日服用3次和4次时，单次服用剂量x的取值范围，再将两个范围取并集即可得到最终结果． 【详解】解：当每日服用3次时，单次服用剂量为，则每日用量为， 根据题意得， 解得， 当每日服用4次时，单次服用剂量为，则每日用量为， 根据题意得， 解得， 综上所述，x的取值范围为． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本万元，如果每套软件定价万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？ 【答案】至少需要售出229套软件才能不亏本 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设至少售出套软件，根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】解：设至少售出套软件， 则， 解得：， ， 由于套数必须为整数， 故至少需要售出229套软件． 题型二：含单价/总价的购物类不等式应用 方法技巧：设购买数量为未知数，根据总价≤预算、数量为正整数列不等式，求符合条件的解。 5．（24-25七年级下·天津南开·期末）某超市用1750元从农户处购进苹果和橘子两种水果共150进行销售，其中苹果的收购单价为10元，橘子的收购单价为15元． (1)设收购苹果，收购橘子． ①填表： 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 ②列出二元一次方程组，并求收购苹果和橘子各多少千克； (2)已知苹果在运输和仓储过程中质量损失，若此超市计划销售苹果至少要获得的利润，不计其他费用，求苹果的最低销售单价． 【答案】(1)①填表见解析；②收购苹果千克，橘子千克 (2)苹果的最低销售单价为元/ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据单价乘以数量即可填表；②根据“用1750元从农户处购进苹果和橘子两种水果共150进行销售”建立方程组求解； （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【详解】（1）解：①填表： 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 ②由题意得：， 解得：， 答：收购苹果千克，橘子各千克； （2）解：设苹果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故苹果的最低销售单价为元/． 6．（24-25七年级下·广西桂林·期中）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买种品牌的足球30个，种品牌的足球20个，共花费3100元，已知种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元． (1)求、两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，种品牌的足球单价优惠4元，种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买两种品牌足球的总费用不超过2750元，请问至少要买多少个种品牌的足球? 【答案】(1)种品牌足球的单价是50元，种品牌足球的单价是80元 (2)至少要买25个种品牌的足球． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共需3100元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个种品牌的足球，则购买个种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元”，可得出关于m的一元一次不等式，计算即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买个种品牌的足球，则购买个种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m最小为25， ∴至少要买25个种品牌的足球． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【答案】她还能买7支中性笔 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，掌握根据实际问题列出不等式组并取正整数解是解题的关键． 设能买支中性笔，根据总花费不超过元且剩余钱数少于元，列出不等式组，求解后取正整数解． 【详解】解：设她能买支中性笔． 由题意，得 解得． 为正整数， ． 故她还能买支中性笔． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 【详解】解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 题型三：行程限制的不等式应用 方法技巧：设速度/时间为未知数，根据路程、时间、速度的关系，结合“不迟到、不超速”等限制列不等式。 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 12．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型四：分配调配问题的不等式应用 方法技巧：设调配数量为未知数，根据调配后各部分数量的限制条件（如不少于、不超过）列不等式求解。 13．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 14．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【详解】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 16．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件 (2)至少需要购买67个“滨滨”摆件 (3)能，可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件个，根据题意确定的取值范围，即可确定答案； （3）根据题意求出，进而作答即可. 【详解】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价为x元/件，“妮妮”摆件的零售价为y元/件，依题意，列得方程组得， 解得 答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价都为88元/件； （2）解：设购进“滨滨”摆件m个，则购进“妮妮”摆件个， ∵“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件的数量的2倍， ， 解得：． ∵m应为正整数， ∴可得m至少为67． 答：至少需要购买67个“滨滨”摆件； （3）解：商店售完这100个摆件能实现利润超过2310元的目标． 根据题意，得：， 解得： ， ∵m应为正整数， ∴m可以取67，68． 当时，；当时，． 答：可以购买67个“滨滨”摆件，33个“妮妮”摆件或者购买68个“滨滨”摆件，32个“妮妮”摆件． 题型五：阶梯计费的不等式应用 方法技巧：先判断取值所在计费区间，设用量为未知数，按对应区间计费规则列不等式，求用量范围。 17．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 18．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 19．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 题型六：方案设计的不等式应用 方法技巧：设方案中变量为未知数，根据各方案的限制条件列不等式组，求整数解确定所有可行方案。 21．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨 (2)共有3种租车方案；方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及在实际问题中寻找最优解方案的能力．问题分为两个部分：第一部分是通过已知运输组合建立方程组，求出每种车型的载货量；第二部分是在总运量固定的前提下，结合租金费用，找出满足运输需求的所有可行方案，并比较各方案的总费用，确定最经济的一种．解题核心在于正确列出方程，合理分析整数解情况，并进行成本比较． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨． 根据题意： 得 将第一个方程乘以2： 减去第二个方程： 代入第一个原方程： 解得： 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）设租用A型车辆，B型车辆，依题意，租用的车辆需恰好运完34吨货物，故有 其中为非负整数． 由方程得： 要求为非负整数，则必须是3的非负倍数． 得到三组解： A型车100元/辆，B型车120元/辆 方案1：10×100+1×120=1000+120=1120元 方案2：6×100+4×120=600+480=1080元 方案3：2×100+7×120=200+840=1040元 共有3种租车方案，其中方案3总费用最低，为1040元． 答：共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1040元． 【点睛】本题综合考查学生对实际运输问题建模的能力，涉及二元一次方程组的建立与求解、不定方程的整数解分析以及成本最优化比较．解题时需注意变量的非负整数限制，并逐一验证可能解，避免遗漏或误判．最终通过计算比较得出最优方案，体现了数学建模在物流运输中的实际应用价值． 22．（25-26八年级上·浙江金华·期末）西湖龙井是杭州名茶，杭州藕粉是当地传统小吃，现有两家供货公司给出不同的供货方案，具体如下： 供货公司 西湖龙井供货价 （元/千克） 杭州藕粉供货价 （元/千克） 额外优惠条件 甲公司 20 10 若总进货量恰为150千克，且杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍，总进货费用减免80元 乙公司 18 12 无额外优惠，货源稳定 (1)该店先从甲公司试点进货，共购进150千克，按供货价计算总费用为2000元（未享受优惠），求购进西湖龙井和杭州藕粉各多少千克？ (2)试点结束后，该店计划正式进货150千克（杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍），从成本控制角度出发，选择哪家公司进货更划算？请说明理由． 【答案】(1)购进西湖龙井50千克，杭州藕粉100千克 (2)当时，选择甲公司进货更划算；当时，选择两家公司进货一样划算；当时，选择乙公司进货更划算，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程组，不等式组和不等式是解题的关键． （1）设购进西湖龙井千克，杭州藕粉千克，根据一共购进150千克花费2000元建立方程组求解即可； （2）设购进西湖龙井千克，则购进杭州藕粉千克，根据杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍以及购进的重量非负列出不等式组求出x的取值范围，再用含x的式子分别表示出两家公司的费用，再建立不等式和方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进西湖龙井千克，杭州藕粉千克， 由题意得 解得 答：购进西湖龙井50千克，杭州藕粉100千克． （2）解：当时，选择甲公司进货更划算；当时，选择两家公司进货一样划算；当时，选择乙公司进货更划算，理由如下： 设购进西湖龙井千克，则购进杭州藕粉千克， 由题意得 ∴， 甲公司成本：元， 乙公司成本：元， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 答：当时，选择甲公司进货更划算；当时，选择两家公司进货一样划算；当时，选择乙公司进货更划算． 23．（25-26九年级上·四川广元·期末）为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资 (2)有三种运输方案：方案一：有6辆大货车，6辆小货车；方案二：有7辆大货车，5辆小货车；方案三：有8辆大货车，4辆小货车；当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元 【分析】本题考查了二元一次方程组以及解不等式组： （1）设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资，根据题意列方程组求解即可； （2）设有辆大货车，辆小货车，根据题意列不等式组，确定大货车数量的可能取值，进而列出所有方案并计算费用，比较得出最少费用即可． 【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资． 由题意可得：， 解得：． 答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资． （2）解：设有辆大货车，辆小货车， 由题意可得：， ， 取正整数， ，7，8， 有三种运输方案： 方案一：有6辆大货车，6辆小货车，此时费用（元， 方案二：有7辆大货车，5辆小货车，此时费用（元， 方案三：有8辆大货车，4辆小货车，此时费用（元， ， 当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为42000元． 24．（25-26七年级下·全国·课后作业）某校综合与实践小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告，请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用一元一次不等式组解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行” 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 项目 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积/m2 2 1.5 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元 问题一 求该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各自的费用 问题二 若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，求出占地面积最小的方案 【答案】问题一：该小区新建1个地上充电桩的费用为0.2万元，新建1个地下充电桩的费用为0.3万元．问题二：该小区共有4种建造方案．方案1：新建40个地下充电桩，20个地上充电桩；方案2：新建41个地下充电桩，19个地上充电桩；方案3：新建42个地下充电桩，18个地上充电桩；方案4：新建43个地下充电桩，17个地上充电桩；问题三：占地面积最小的方案是新建43个地下充电桩，17个地上充电桩． 【分析】（1）问题一可通过设未知数，根据两种新建方案的费用列出二元一次方程组，求解得到单个充电桩的费用； （2）问题二需设地下充电桩数量，结合资金限制和数量要求列出一元一次不等式组，求出整数解后确定建造方案； （3）问题三根据占地面积公式，结合一次函数的增减性，求出占地面积最小的方案． 【详解】解：问题一：设该小区新建1个地上充电桩万元，新建个地下充电桩万元． 根据题意，得 解得 答：该小区新建个地上充电桩的费用为万元，新建个地下充电桩的费用为万元． 问题二：设新建个地下充电桩，则新建个地上充电桩． 根据题意，得 解得． 又∵为正整数， ∴． ∴该小区共有种建造方案． 方案：新建个地下充电桩，个地上充电桩； 方案：新建个地下充电桩，个地上充电桩； 方案：新建个地下充电桩，个地上充电桩； 方案：新建个地下充电桩，个地上充电桩． 问题三：方案的占地面积为； 方案的占地面积为； 方案的占地面积为； 方案的占地面积为． ∵， ∴在问题二的条件下，占地面积最小的方案是新建个地下充电桩，个地上充电桩． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题关键是通过设未知数，结合实际条件建立数学模型，再根据方程、不等式的解法求解． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式（组）的实际应用 题型一：简单数量比较的不等式应用 题型二：含单价/总价的购物类不等式应用 题型三：行程限制的不等式应用 题型四：分配调配问题的不等式应用 题型五：阶梯计费的不等式应用 题型六：方案设计的不等式应用 题型一：简单数量比较的不等式应用 方法技巧：根据“大于、小于、不超过、不低于”等关键词，设未知数列一元一次不等式求解。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）茗香茶园研发小组准备用篱笆围出一块长方形试验田培育新品种茶叶，已知该试验田的宽比长少，若要求围绕试验田的篱笆总长度不超过，设此试验田的宽为，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·上海·假期作业）某乡镇中心学校举行教职工象棋比赛，规定预赛10局，积分不低于30分的选手晋级．预赛中，赢一局得10分，平一局得3分，输一局扣5分，张老师在预赛中平2局，他要想晋级比赛，则至少应获胜（    ） A．3局 B．4局 C．5局 D．6局 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分3～4次服完．”设一次服用这种药品，则x的取值范围为________． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本万元，如果每套软件定价万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？ 题型二：含单价/总价的购物类不等式应用 方法技巧：设购买数量为未知数，根据总价≤预算、数量为正整数列不等式，求符合条件的解。 5．（24-25七年级下·天津南开·期末）某超市用1750元从农户处购进苹果和橘子两种水果共150进行销售，其中苹果的收购单价为10元，橘子的收购单价为15元． (1)设收购苹果，收购橘子． ①填表： 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 ②列出二元一次方程组，并求收购苹果和橘子各多少千克； (2)已知苹果在运输和仓储过程中质量损失，若此超市计划销售苹果至少要获得的利润，不计其他费用，求苹果的最低销售单价． 收购单价（元） 收购重量（） 花费（元） 苹果 10 x 橘子 15 y 苹果和橘子 150 1750 6．（24-25七年级下·广西桂林·期中）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买种品牌的足球30个，种品牌的足球20个，共花费3100元，已知种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高30元． (1)求、两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进、两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，种品牌的足球单价优惠4元，种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买两种品牌足球的总费用不超过2750元，请问至少要买多少个种品牌的足球? 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 8．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 题型三：行程限制的不等式应用 方法技巧：设速度/时间为未知数，根据路程、时间、速度的关系，结合“不迟到、不超速”等限制列不等式。 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 10．（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 11．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 12．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 题型四：分配调配问题的不等式应用 方法技巧：设调配数量为未知数，根据调配后各部分数量的限制条件（如不少于、不超过）列不等式求解。 13．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 14．（25-26八年级上·广西南宁·月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 15．（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 16．（24-25七年级下·河南商丘·期末）“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．商丘某商家连续两周销售“滨滨和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示． 销售个数（个） 销售额（元） 滨滨 妮妮 第1周 20 15 3080 第2周 30 10 3520 (1)分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格； (2)根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件共100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，至少需要购买多少个“滨滨”摆件？ (3)在题（2）的条件下，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，商店售完这100个摆件能否实现利润超过2310元的目标？若能，给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 题型五：阶梯计费的不等式应用 方法技巧：先判断取值所在计费区间，设用量为未知数，按对应区间计费规则列不等式，求用量范围。 17．（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 18．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 19．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 题型六：方案设计的不等式应用 方法技巧：设方案中变量为未知数，根据各方案的限制条件列不等式组，求整数解确定所有可行方案。 21．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 22．（25-26八年级上·浙江金华·期末）西湖龙井是杭州名茶，杭州藕粉是当地传统小吃，现有两家供货公司给出不同的供货方案，具体如下： 供货公司 西湖龙井供货价 （元/千克） 杭州藕粉供货价 （元/千克） 额外优惠条件 甲公司 20 10 若总进货量恰为150千克，且杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍，总进货费用减免80元 乙公司 18 12 无额外优惠，货源稳定 (1)该店先从甲公司试点进货，共购进150千克，按供货价计算总费用为2000元（未享受优惠），求购进西湖龙井和杭州藕粉各多少千克？ (2)试点结束后，该店计划正式进货150千克（杭州藕粉重量不高于西湖龙井的2倍），从成本控制角度出发，选择哪家公司进货更划算？请说明理由． 23．（25-26九年级上·四川广元·期末）为加快复工复产，某企业需运输一批物资，据调查得知，3辆大货车与4辆小货车一次可以运输850箱；2辆大货车与5辆小货车一次可以运输800箱． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车运输一次所需费用为4000元，每辆小货车运输一次所需费用为3000元，若大货车的数量不少于6辆，总费用小于45000元．请列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 24．（25-26七年级下·全国·课后作业）某校综合与实践小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告，请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用一元一次不等式组解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行” 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 项目 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积/m2 2 1.5 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元 问题一 求该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各自的费用 问题二 若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，求出占地面积最小的方案 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $