专题02 方程（组）与不等式（组）（复习讲义）（辽宁专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 方程（组）与不等式（组） 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 实际问题抽象出二元一次方程组 题型二 解分式方程 题型三 方程组与不等式组结合 必备知识 知识1 等式及不等式的基本性质及应用 知识2 一次方程及其解法 知识3 分式方程及其解法 知识4 二次方程及其解法 知识5 不等式及其解法 命题预测 预测1 一次方程（组）及其应用［2024年8题］ 预测2 分式方程的解法［2024年11题］ 预测3 分式方程的实际应用 预测4 解一元二次方程 预测5 一元二次方程根的判别式 预测6 一元二次方程的实际应用［2025年9题］ 预测7 解一元一次不等式（组）［常在方程与不等式（组）的应用中涉及］ 预测8 一元一次不等式（组）的解的应用 预测9 一元一次不等式的实际应用［两年必考］ 命题 透视 命题形式： 全题型考察，选择题、填空题、解答题都会有考察 考察能力： 模型观念、应用意识、运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 2025年 2024年 一次方程（组） 及其应用 T17(1)．一元一次方程的实际应用 T8．由实际问题抽象出二元一次方程组 分式方程及其应用 / T11．解分式方程 一元二次方程及其应用 T9．由实际问题抽象出一元二次方程 T19(2)．一元二次方程的实际应用 一元一次不等式（组）及不等式的应用 T17．一元一次方程与不等式的实际应用 T17．一元一次方程与不等式的实际应用 命题预测 1. 考情预测 · 结合辽宁近年中考规律与2026年全省统考趋势，方程与不等式大概率是必考解答+选择/填空，分值约15–20分，整体基础为主、中档综合、情境化、重步骤。 2. 备考建议 · 基础必拿分：熟练所有解法，步骤规范，不跳步、不漏验 · 应用题建模：每天1道，练找等量/不等关系 · 易错点专项：整理错题，重点突破验根、变号、取值范围 · 综合训练：方程+函数/几何小综合，适应长题干阅读 题型一 实际问题抽象出二元一次方程组 找两个“相等”，设两个未知数，列两个方程，解一次方程组。 1. （2024•辽宁中考•8题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：上有35个头， ； 下有94条腿， ． 根据题意可列方程组． 故选：． 2. （2025•辽宁中考•9题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：利用矩形面积公式即可列出方程为： ， 故选：． 3. （2025•新宾县校级模拟）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依据题意得：， 故选：． 题型二 解分式方程 1．标准步骤 ①找最简公分母 先把所有分母因式分解，再找最小公倍数。 ②去分母 方程左右每一项都乘最简公分母 → 变成整式方程。 ③解整式方程 一元一次 / 一元二次，正常解。 ④ 检验 把解代回最简公分母： - 若≠0 → 是原方程的解 - 若=0 → 增根，舍去 ⑤ 写结论 写出原方程的解或无解。 2．先去分母变整式，解方程，再验根，最后写答案。 4. （2024•辽宁中考•9题）方程的解为 　 　 ． 【解答】解：， 方程的两边同乘，得 ， 解得：， 经检验是分式方程的解， 所以原分式方程的解为． 故答案为：． 5. （2025•沈河区校级模拟）分式方程的解为 　　 ． 【解答】解：原方程去分母得：，即 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 6. （2025•凌河区校级三模）若关于的分式方程有增根，则的值为　　． 【解答】解：， ， ， 由题意可得： 将代入，得， ． 故答案为：． 题型三 方程组与不等式组结合 核心思路：就是先把方程组解出来，用字母表示 x、y，再把 x、y 代入给的不等式，解不等式求范围。 7. （2024•辽宁中考•17题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． （1）求甲池的排水速度． （2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【解答】解：（1）设甲池的排水速度是． 根据题意，得， 解得， 甲池的排水速度是． （2）设排水小时． 根据题意，得， 解得， 最多可以排水4小时． 8. （2024•辽宁中考•19题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件与每件售价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 45 55 65 日销售量件 55 45 35 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 【解答】解：（1）由题意，设一次函数的关系式为， 又结合表格数据图象过，， ． ． 所求函数关系式为． （2）由题意，销售额， 又销售额是2600元， ． ． △ ． 9. （2025•辽宁中考•17题）小张计划购进，两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进，两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【解答】解：（1）设种文创产品每件的进价为元，根据题意可得： ， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为4元； （2）设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元，则： ， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 知识1 等式及不等式的基本性质及应用 1.等式的基本性质 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 若，则 性质2 等式两边同时乘同一个数（或式子）或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等 若，则bc 若，则 2.不等式的基本性质 性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变． 若，则； 若，则． 性质2 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变． 若，，则，； 若，，则，． 性质3 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 若，，则，； 若，，则，． 知识2 一次方程及其解法 1．解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1. 2．二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将该方程中的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，例如； ②把代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x的值； ④把求得的x的值代回中，求出y的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： 由②，得，③ 把③代入①，， ∴，得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 （2）加减消元法： ①把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数相反或相等； ②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： ①②，得， 解得：． 将代入①，得， 解得． ∴方程组的解是． 知识3 分式方程及其解法 1．分式方程的解法： （1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． （2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化为1； ⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意：解分式方程一定要验根． 2．分式方程的增根 （1）产生增根的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根． （2）分式方程增根的应用 如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值． 3．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （1）原方程去分母后的整式方程无解； （2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 知识4 二次方程及其解法 1．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程． （2）配方法：解形如的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①二次项系数化为1． ②常数项右移． ③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成的形式． ⑤若，直接开平方得出方程的解． （3）公式法：将进行配方可以得到：． 当时，两个根为，其中时，两根相等为；当时，没有实数根． 可以用表示，称为根的判别式． 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值； ③计算的值； ④若，则代入公式求方程的根； ⑤若，则方程无实数根． （4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式． 因式分解法的一般步骤： ①将方程化为一元二次方程的一般形式； ②把方程的左边分解为两个一次因式的积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解． 2．判别式与根的关系： 在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定． 设一元二次方程为，其根的判别式为：，则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． 特殊的： （1）若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根； （2）若为完全平方式，同时是2a的整数倍，则方程的根为整数根． 3．韦达定理： 如果的两根是，，则，．（使用前提：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，． 知识5 不等式及其解法 不等式 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉中间找） 无解 （大大小小无解了） 命题预测1：一次方程（组）及其应用［2024年8题］ 1. （2024•金州区一模）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设城中人家的户数为户，下面所列方程符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设城中有户人家， 依题意得：， 解得：， 城中有75户人家． 故选：． 2. （2025•新宾县校级模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，内有“以碗知僧”的题目为：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？大意是说：山上有一座古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚？若设有个和尚，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意得：． 故选：． 3. （2025•鞍山模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程．（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设甲经过日与乙相逢，则乙已出发日， 依题意，得：． 故选：． 命题预测2：分式方程的解法［2024年11题］ 4. （2025•新宾县校级模拟）分式方程的解是 　 　 ． 【解答】解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是， 故答案为：． 5. （2025•铁西区模拟）分式方程的解是 　　． 【解答】解：方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 故答案为：． 命题预测3：分式方程的实际应用 6. （2025•大洼区校级三模）2024年辽宁省体育考试新增了球类技能考试：篮球运球，足球运球，排球垫球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）学校计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问学校有哪几种进货方案？ 【解答】解：（1）设足球的单价为元，则篮球的单价为元，根据题意得： ， 整理得，， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：足球的单价为90元，则篮球的单价为120元； （2）设购进篮球个，则购进足球个，根据题意得： ， 整理得，， 解得， 篮球不少于43个， ， 为整数， 取43，44，45， 即方案一：篮球43个，足球57个； 方案二：篮球44个，足球56个； 方案三：篮球45个，足球55个； 共有3种进货方案． 7. （2025•沈阳校级三模）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【解答】解：（1）设甲种点茶器具套装的单价是元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）设学校购进乙种点茶器具套装套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 8. （2025•大连模拟）为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？ 【解答】解：设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种树75棵． 命题预测4：解一元二次方程 9. （2025•铁岭模拟）如果是一元二次方程的一个根，则的值是（　　） A． B．4 C． D．2 【解答】解：是一元二次方程的一个根， ， ． 故选：． 命题预测5：一元二次方程根的判别式 10. （2025•沈阳模拟）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【解答】解：关于的一元二次方程， ， 方程有两个实数根， △， 解得， 的取值范围是且， 故选：． 11. （2025•丹东二模）下列关于的一元二次方程有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：分别计算根的判别式可得： 、△，则原方程没有实数根，不符合题意； 、△，则原方程没有实数根，不符合题意； 、△，则原方程没有实数根，不符合题意； 、△，则原方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：． 12. （2025•双台子区校级二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A． B．1 C． D．4 【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 即， 解得：， 故选：． 13. （2025•锦州二模）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【解答】解：由条件可得△， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 命题预测6：一元二次方程的实际应用［2025年9题］ 14. （2025•沈北新区二模）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为，则根据题意列出符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为， 根据经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子得： ， 故选：． 15. （2025•望花区二模）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【解答】解：（1）当天盈利：（元． 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元； （2）根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 商城要尽快减少库存， ． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 16. （2025•顺城区模拟）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【解答】解：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为，则5月份盈利为： （元． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为． （2）5月份盈利为4147.2元． 命题预测7：解一元一次不等式（组）［常在方程与不等式（组）的应用中涉及］ 17. （2025•本溪二模）将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， ， 则， 故选：． 18. （2025•中山区一模）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解： 解不等式得：， 解不等式得：， 在数轴上表示如图： ， 故选：． 19. （2025•海州区校级模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：不等式组． ， 由①得， 由②得， ， 故选：． 20. （2025•大连一模）若关于的不等式的解集为，则的取值范围 　　． 【解答】解：不等式的解集为， ， 解得． 故答案为：． 命题预测8：一元一次不等式（组）的解的应用 21. （2025•大连二模）某公司准备采购办公电脑，若采购1台型电脑和2台型电脑，需花费1.32万元；若采购3台型电脑和1台型电脑，需花费1.46万元． （1）求、两种型号电脑每台的售价各是多少万元？ （2）若该公司采购、两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台型电脑． 【解答】解：（1）设每台型电脑的售价是万元，每台型电脑的售价是万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台型电脑的售价是0.32万元，每台型电脑的售价是0.5万元； （2）设该公司要采购台型电脑，则采购台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：该公司至少要采购5台型电脑． 22. （2025•新宾县校级模拟）希望文具店购进品牌的文具盒20个，品牌的文具盒30个，进货款共为810元，其中品牌文具盒的进货单价比品牌文具盒的进货单价少3元． （1）求，两种文具盒的进货单价； （2）已知品牌文具盒的售价为23元个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于280元，则每个品牌文具盒的售价最少为多少元？ 【解答】解：（1）设品牌文具盒的进货单价为元，品牌文具盒的进货单价为元， 根据题意得：， 解得： ， 解得：， ， 答：品牌文具盒的进货单价为18元，品牌文具盒的进货单价为15元； （2）设每个品牌文具盒的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个品牌文具盒的售价最少为21元． 命题预测9：一元一次不等式的实际应用［两年必考］ 23. （2025•大连模拟）为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？ 【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了道题，则答错了道题， 依题意得：， 解得：． 答：该参赛同学一共答对了21道题． （2）设参赛者需答对道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了道题， 依题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为24． 答：参赛者至少需答对24道题才能被评为“二十大知识小达人”． 24. （2025•望城区校级模拟）我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到155亿（含预售），某商家推出，两种哪吒纪念挂件．已知种挂件的进货单价比种挂件进货单价多6元，若购进2个种挂件和4个种挂件共需要60元． （1）求每个种哪吒纪念挂件的进货是多少元？ （2）若该商家计划用不超过2000元的资金购进，两种挂件共200个，那么至少购买种挂件多少个？ 【解答】解：（1）设每个种挂件的进价是元，则每个种挂件的进价是元， 根据题意得：， 解得：， （元． 答：每个种哪吒纪念挂件的进价是6元； （2）设购买种挂件个，则购买种挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为67． 答：至少购买种挂件67个． 25. （2025•清原县模拟）为了加强中华传统文化教育，某校计划组织学生去参观广东革命历史博物馆．现有、两种客车可供选择．种客车可载45人，种客车可载33人．若租用2辆种客车和3辆种客车，共需1700元；若租用1辆种客车和2辆种客车，共需1000元． （1）每辆种客车和每辆种客车的租金各多少元？ （2）若学校安排5名教师带280名学生去革命历史博物馆，计划租用、两种客车共7辆，且要保证所有出行师生都有座位，则有几种租车方案？哪种方案租金最便宜？ 【解答】解：（1）设每辆种客车的租金是元，每辆种客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆种客车的租金是400元，每辆种客车的租金是300元； （2）设租用辆种客车，则租用辆种客车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 可以为5，6， 学校共有2种租车方案， 方案1：租用5辆种客车，2辆种客车，所需总租金为（元； 方案2：租用6辆种客车，1辆种客车，所需总租金为（元． ， 租用5辆种客车，2辆种客车最便宜． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 真题动向 题型一 实际问题抽象出二元一次方程组 题型二 解分式方程 题型三 方程组与不等式组结合 必备知识 知识1 等式及不等式的基本性质及应用 知识2 一次方程及其解法 知识3 分式方程及其解法 知识4 二次方程及其解法 知识5 不等式及其解法 命题预测 预测1 一次方程（组）及其应用［2024年8题］ 预测2 分式方程的解法［2024年11题］ 预测3 分式方程的实际应用 预测4 解一元二次方程 预测5 一元二次方程根的判别式 预测6 一元二次方程的实际应用［2025年9题］ 预测7 解一元一次不等式（组）［常在方程与不等式（组）的应用中涉及］ 预测8 一元一次不等式（组）的解的应用 预测9 一元一次不等式的实际应用［两年必考］ 命题 透视 命题形式： 全题型考察，选择题、填空题、解答题都会有考察 考察能力： 模型观念、应用意识、运算能力、抽象能力、推理能力 热考角度 考点 2025年 2024年 一次方程（组） 及其应用 T17(1)．一元一次方程的实际应用 T8．由实际问题抽象出二元一次方程组 分式方程及其应用 / T11．解分式方程 一元二次方程及其应用 T9．由实际问题抽象出一元二次方程 T19(2)．一元二次方程的实际应用 一元一次不等式（组）及不等式的应用 T17．一元一次方程与不等式的实际应用 T17．一元一次方程与不等式的实际应用 命题预测 1. 考情预测 · 结合辽宁近年中考规律与2026年全省统考趋势，方程与不等式大概率是必考解答+选择/填空，分值约15–20分，整体基础为主、中档综合、情境化、重步骤。 2. 备考建议 · 基础必拿分：熟练所有解法，步骤规范，不跳步、不漏验 · 应用题建模：每天1道，练找等量/不等关系 · 易错点专项：整理错题，重点突破验根、变号、取值范围 · 综合训练：方程+函数/几何小综合，适应长题干阅读 题型一 实际问题抽象出二元一次方程组 找两个“相等”，设两个未知数，列两个方程，解一次方程组。 1. （2024•辽宁中考•8题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2. （2025•辽宁中考•9题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3. （2025•新宾县校级模拟）《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 题型二 解分式方程 1．标准步骤 ①找最简公分母 先把所有分母因式分解，再找最小公倍数。 ②去分母 方程左右每一项都乘最简公分母 → 变成整式方程。 ③解整式方程 一元一次 / 一元二次，正常解。 ④ 检验 把解代回最简公分母： - 若≠0 → 是原方程的解 - 若=0 → 增根，舍去 ⑤ 写结论 写出原方程的解或无解。 2．先去分母变整式，解方程，再验根，最后写答案。 4. （2024•辽宁中考•9题）方程的解为 　 　 ． 5. （2025•沈河区校级模拟）分式方程的解为 　　 ． 6. （2025•凌河区校级三模）若关于的分式方程有增根，则的值为　　． 题型三 方程组与不等式组结合 核心思路：就是先把方程组解出来，用字母表示 x、y，再把 x、y 代入给的不等式，解不等式求范围。 7. （2024•辽宁中考•17题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． （1）求甲池的排水速度． （2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 8. （2024•辽宁中考•19题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件与每件售价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 45 55 65 日销售量件 55 45 35 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 9. （2025•辽宁中考•17题）小张计划购进，两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进，两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 知识1 等式及不等式的基本性质及应用 1.等式的基本性质 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 若，则 性质2 等式两边同时乘同一个数（或式子）或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等 若，则bc 若，则 2.不等式的基本性质 性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变． 若，则； 若，则． 性质2 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变． 若，，则，； 若，，则，． 性质3 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 若，，则，； 若，，则，． 知识2 一次方程及其解法 1．解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1. 2．二元一次方程组的基本解法 （1）代入消元法： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将该方程中的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，例如； ②把代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x的值； ④把求得的x的值代回中，求出y的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： 由②，得，③ 把③代入①，， ∴，得． 把代入③，得． ∴方程组的解为 （2）加减消元法： ①把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数相反或相等； ②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值，从而得出方程组的解； ⑤把这个方程组的解写成的形式． 解方程组： 解： ①②，得， 解得：． 将代入①，得， 解得． ∴方程组的解是． 知识3 分式方程及其解法 1．分式方程的解法： （1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． （2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②去括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化为1； ⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意：解分式方程一定要验根． 2．分式方程的增根 （1）产生增根的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根． （2）分式方程增根的应用 如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值． 3．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形： （1）原方程去分母后的整式方程无解； （2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 知识4 二次方程及其解法 1．一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程． （2）配方法：解形如的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①二次项系数化为1． ②常数项右移． ③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成的形式． ⑤若，直接开平方得出方程的解． （3）公式法：将进行配方可以得到：． 当时，两个根为，其中时，两根相等为；当时，没有实数根． 可以用表示，称为根的判别式． 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值； ③计算的值； ④若，则代入公式求方程的根； ⑤若，则方程无实数根． （4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式． 因式分解法的一般步骤： ①将方程化为一元二次方程的一般形式； ②把方程的左边分解为两个一次因式的积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解． 2．判别式与根的关系： 在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定． 设一元二次方程为，其根的判别式为：，则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． 特殊的： （1）若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根； （2）若为完全平方式，同时是2a的整数倍，则方程的根为整数根． 3．韦达定理： 如果的两根是，，则，．（使用前提：） 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，． 知识5 不等式及其解法 不等式 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉中间找） 无解 （大大小小无解了） 命题预测1：一次方程（组）及其应用［2024年8题］ 1. （2024•金州区一模）我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设城中人家的户数为户，下面所列方程符合题意的是（　　） A． B． C． D． 2. （2025•新宾县校级模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，内有“以碗知僧”的题目为：巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共进一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？大意是说：山上有一座古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚？若设有个和尚，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3. （2025•鞍山模拟）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程．（　　） A． B． C． D． 命题预测2：分式方程的解法［2024年11题］ 4. （2025•新宾县校级模拟）分式方程的解是 　 　 ． 5. （2025•铁西区模拟）分式方程的解是 　　． 命题预测3：分式方程的实际应用 6. （2025•大洼区校级三模）2024年辽宁省体育考试新增了球类技能考试：篮球运球，足球运球，排球垫球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）学校计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问学校有哪几种进货方案？ 7. （2025•沈阳校级三模）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价； （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 8. （2025•大连模拟）为了改善城市环境，提升市容市貌，某区计划在街道两旁种植900棵景观树．由于社区志愿者的支援，实际每天种植的棵数是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务．原计划每天种树多少棵？ 命题预测4：解一元二次方程 9. （2025•铁岭模拟）如果是一元二次方程的一个根，则的值是（　　） A． B．4 C． D．2 命题预测5：一元二次方程根的判别式 10. （2025•沈阳模拟）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 11. （2025•丹东二模）下列关于的一元二次方程有实数根的是（　　） A． B． C． D． 12. （2025•双台子区校级二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　） A． B．1 C． D．4 13. （2025•锦州二模）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 命题预测6：一元二次方程的实际应用［2025年9题］ 14. （2025•沈北新区二模）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为，则根据题意列出符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 15. （2025•望花区二模）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 16. （2025•顺城区模拟）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 命题预测7：解一元一次不等式（组）［常在方程与不等式（组）的应用中涉及］ 17. （2025•本溪二模）将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 18. （2025•中山区一模）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 19. （2025•海州区校级模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 20. （2025•大连一模）若关于的不等式的解集为，则的取值范围 　　． 命题预测8：一元一次不等式（组）的解的应用 21. （2025•大连二模）某公司准备采购办公电脑，若采购1台型电脑和2台型电脑，需花费1.32万元；若采购3台型电脑和1台型电脑，需花费1.46万元． （1）求、两种型号电脑每台的售价各是多少万元？ （2）若该公司采购、两种型号的电脑共30台，且总费用不超过14.1万元，求该公司至少要采购多少台型电脑． 22. （2025•新宾县校级模拟）希望文具店购进品牌的文具盒20个，品牌的文具盒30个，进货款共为810元，其中品牌文具盒的进货单价比品牌文具盒的进货单价少3元． （1）求，两种文具盒的进货单价； （2）已知品牌文具盒的售价为23元个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于280元，则每个品牌文具盒的售价最少为多少元？ 命题预测9：一元一次不等式的实际应用［两年必考］ 23. （2025•大连模拟）为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？ 24. （2025•望城区校级模拟）我国国产动画电影《哪吒2魔童闹海》截至3月末，全球票房已达到155亿（含预售），某商家推出，两种哪吒纪念挂件．已知种挂件的进货单价比种挂件进货单价多6元，若购进2个种挂件和4个种挂件共需要60元． （1）求每个种哪吒纪念挂件的进货是多少元？ （2）若该商家计划用不超过2000元的资金购进，两种挂件共200个，那么至少购买种挂件多少个？ 25. （2025•清原县模拟）为了加强中华传统文化教育，某校计划组织学生去参观广东革命历史博物馆．现有、两种客车可供选择．种客车可载45人，种客车可载33人．若租用2辆种客车和3辆种客车，共需1700元；若租用1辆种客车和2辆种客车，共需1000元． （1）每辆种客车和每辆种客车的租金各多少元？ （2）若学校安排5名教师带280名学生去革命历史博物馆，计划租用、两种客车共7辆，且要保证所有出行师生都有座位，则有几种租车方案？哪种方案租金最便宜？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $