16.2一元二次方程的解法（第5课时因式分解法）（教学课件）数学新教材北京版八年级下册

一、一元二次方程和它的解法 第5课时因式分解法 第十六章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 理解因式分解法解一元二次方程的原理，掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤。 能根据方程的特点，选择合适的因式分解方法（提公因式法、公式法等）解一元二次方程。 3 体会因式分解法在解某些一元二次方程时的便捷性，能区分不同解法的适用场景。 复习回顾 问题1：我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？ 1 直接开平方法、配方法、公式法。 问题2：因式分解的常用方法有哪些？ 提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等。 问题3：如果两个数的乘积为 0，那么这两个数有什么特点？ 至少有一个数为 0，即若 ab=0，则 a=0 或 b=0。 新知导入 2 思 考 “我们已经会用公式法解一元二次方程，但对于方程 x2−3x=0 和 (y−1)2+3(y−1)=0，有没有更简便的解法？” 新知探究 探究1 3 因式分解 思 考 问题一：观察、分析下列一元二次方程的特点，有什么其他的方法能求出它们的解？ ( 1 ) x 2 - 3x = 0 ； ( 2 ) ( y - 1 )2 + 3( y - 1 ) = 0. 右边都等于0 左边的代数式都可以作因式分解的方程 因此方程可转化为： 整式 × 整式 =0 新知探究 探究1 3 因式分解 思 考 问题二：“使两个数的乘积为零”的条件是什么？怎样用简洁的语言来表述这个条件？怎样用这个条件求方程的解？ “使两个数的乘积为零”的条件可以表述为“只需两个数中有一个数为零”，由此可以得到某些一元二次方程的另一种解法。 整式 × 整式 =0 a · b =0 即a=o或b=0 新知探究 探究1 3 因式分解 思 考 问题三：用因式分解法解下列方程： ( 1 ) x 2 - 3x = 0 ； 解：方程 x 2 - 3x = 0 可以化为 x ( x - 3 ) = 0. 由于 x 和 ( x - 3 ) 的乘积为零时，只需 x 为零或 ( x - 3 ) 为零，也就是 x = 0 或 x - 3 = 0. 于是，可得方程的解为x 1 = 0， x 2 = 3 新知探究 探究1 3 因式分解 思 考 观察、分析下列一元二次方程的特点，有什么其他的方法能求出它们的解？ ( 2 ) ( y - 1 )2 + 3( y - 1 ) = 0. 解：方程 x 2 - 3x = 0 可以化为x ( x - 3 ) = 0. 由于 x 和 ( x - 3 ) 的乘积为零时，只需 x 为零或 ( x - 3 ) 为零，也就是x = 0 或 x - 3 = 0. 于是，可得方程的解为 x 1 = 0， x 2 = 3 新知探究 探究1 3 因式分解 　　 对于某些等号一边为零、另一边的代数式可以作因式分解的一元二次方程，都可以用这种方法来求解，这种方法称为因式分解法 . 典例解析 4 例1：用因式分解法解下列方程： ( 1 ) ( x - 3 )2 = 5( x - 3 ) ； 解：( 1 ) 移项，得 ( x - 3 )2 - 5( x - 3 ) = 0. 因式分解，得 ( x - 3 )[( x - 3 ) - 5] = 0. ( x - 3 ) ( x - 8 ) = 0. 所以 x 1 = 3， x 2 = 8. 典例解析 4 例：用因式分解法解下列方程： ( 2 ) ( y - 7 )2 - 3y( 7 - y ) = 0 解：原方程可以化为 ( y - 7 )2 + 3y ( y - 7 ) = 0. 提取公因式，得 ( y - 7 )[( y - 7 ) + 3y] = 0. ( y - 7 ) ( 4y - 7 ) = 0.所以y 1 = 7， y2= 典例解析 4 例2：用因式分解法解下列方程： ( 1 ) ( t - 3 ) ( t + 5 ) = - 15 ； 解：( 1 ) 去括号，整理，得 t 2 + 2 t = 0. 因式分解，得 t ( t + 2 ) = 0. 所以 t 1 = 0， t 2 = - 2. 典例解析 4 ( 2 ) ( y - 4 )2 = ( y - 4 ) ( 3y - 1 ) ； 解：移项，作因式分解，得 ( y - 4 )2 - ( y - 4 ) ( 3y - 1 ) = 0. ( y - 4 )[( y - 4 ) - ( 3y - 1 )] = 0. ( y - 4 ) ( - 2y - 3 ) = 0. 所以y 1 = 4， y2=- 典例解析 4 *( 3 ) x2 - 2x - 24 = 0. 解：( 3 ) 运用公式 x 2 + ( a + b )x + ab = ( x + a ) ( x + b )，原方程可以变形为( x - 6 ) ( x + 4 ) = 0. 所以x 1 = 6， x 2 = - 4 新知进阶 5 例3：选择适当的方法解下列方程： ( 1 ) x2 + 2x = 3x ( x + 1 ) ； 解：( 1 ) 整理，得 2x 2 + x = 0. 因式分解，得 x ( 2x + 1 ) = 0. 所以x1 = 0， x2=- 新知进阶 5 ( 2 ) y ( y - 4 ) = 4 ( y - 1 ) ； 解：( 2 ) 整理，得 y 2 - 8y + 4 = 0. 配方，得 y 2 - 8y + 4 2 = - 4 + 42. ( y - 4 ) 2 = 12. 开平方，得 y -4 = 或 y -4 = -. 所以y1 = +4 ， y2=-+4 新知进阶 5 ( 3 ) 2x2-2+3=0 ； 解：(3 ) 用公式法求解， 因为a=2,b=-2,c=3 所以 b2-4ac=(-2)-4×2×3=0 代入，得 x1=x2=-=-= 所以x1=x2= 课堂练习 6 x(x－2) (x－2)2 3(x＋3)(x－3) (x＋1)(x－5) (x－1)(x－6) (x－3)(x＋4) 课堂练习 6 D C 课堂练习 6 C D 课堂练习 6 x1＝－1，x2＝3 12 课堂练习 6 课堂练习 6 0 课堂总结 7 核心概念 因式分解法解一元二次方程的原理：若 ab=0，则 a=0 或 b=0。 因式分解法的一般步骤：移项→因式分解→转化→求解。 常用的因式分解方法：提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法。 方法归纳 当方程右边为 0，左边能因式分解时，优先选择因式分解法，比公式法 更简便。 若方程右边不为 0，需先整理为右边为 0 的形式，再进行因式分解。 因式分解要彻底，确保分解后的因式是一次因式。 感谢聆听! 1．因式分解：(1)x2－2x＝ ； (2)x2－4x＋4＝ ； (3)3x2－27＝ ； (4)(x－2)2－9＝ ； (5)(x－1)2－5(x－1)＝ ； (6)x2＋x－12＝ . 2．方程(x－2)(x＋7)＝0的解是(　　) A．x＝2 B．x＝－7 C．x1＝2，x2＝7 D．x1＝2，x2＝－7 3．方程x2－2x＝0的根是(　　) A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2 4．方程x(x－1)＝x的根为(　　) A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝1 5．方程x2＋4x＋3＝0的两个根为(　　) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝－1，x2＝－3 6．方程(x＋1)(x－2)＝1＋x的解是 . 7．若三角形两边长为3和4，第三边长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是____. 解：移项，得2y(2＋y)＋(y＋2)＝0， 因式分解，得(2y＋1)(2＋y)＝0， ∴2y＋1＝0或2＋y＝0， ∴y1＝－，y2＝－2； 8．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝0; (2)2y(2＋y)＝－(y＋2)； (3)(2x－1)2－x2＝0; (4)x2－3x＋2＝0. $